Cvičení z lineární algebry 64 Vít Vondrák Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo. Determinant Definice: Nechť A je reálná čtvercová matice řádu n. Čtvercovou matici ijM , která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku ija . Příklad: = = = 65 32, 97 64, 987 654 321 3112 MMA . Definice: Determinantem reálné čtvercové matice ][ ijaA = řádu n, nazýváme realné číslo, které značíme det A nebo A , a pro které platí 1. 11aA = je-li 1=n , 2. nn n MaMaMaA 11 1 12121111 )1(... -++-= pro 1>n . Příklad: Vypočtěte determinant matice . 987 654 321 =A Řešení: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .09123)3(3)6(2)3(1758437694286951 758437694286951 87 543 97 642 98 651 987 654 321 det =-+-=-+---=-+---= =-+---=+-==A Příklad: Vypočtěte determinant matice . = dc baA Řešení: .det bcadcbda dc baA -=-== Cvičení z lineární algebry 65 Vít Vondrák Poznámka: Determinant dolní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Nechť je dána dolní trojúhelníková matice = nnnn lll ll l L 21 2221 11 0 00 Pak dle definice determinantu je ....0)1(...0 0 00 0)1(...0 0 00 0 00 det 22112211 2 43 4443 33 2211 1 32 3332 22 11 21 2221 11 nnnn n nnnn n nnnnnnnn llllll lll ll l ll lll ll l l lll ll l L ===-++-= =-++-== - - Poznámka: Algebraickým doplňkem prvku (i,j) čtvercové matice A nazýváme číslo ij ji ij MA + -= )1( , kde ijM je minor matice A příslušný prvku i,j. Pak se dá druhý bod definice determinantu přepsat do tvaru nn AaAaAaA 1112121111 ...+++= . Vlastnosti determinantu: Věta: Nechť A, B jsou čtvercové matice stejného řádu. 1. Jestliže matice B vznikla z matice A vzájemnou výměnou dvou řádků pak det A=- det B 2. Jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku číslem pak det A=det B 3. Jestliže matice B vznikla z matice A přičtením násobku jednoho řádku k druhému pak det A=det B Důsledek: 1. Jestliže má čtvercová matice A jeden řádek nulový pak det A=0 2. Jestliže má čtvercová matice A lineárně závislé řádky pak det A=0 3. Jestliže je čtvercová matice A singulární pak det A=0 Věta (Rozvoj determinantu podle řádku): Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak ininiiii AaAaAaA +++= ...2211 pro libovolné i=1,...,n. Poznámka: Determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Cvičení z lineární algebry 66 Vít Vondrák Nechť je dána horní trojúhelníková matice = - nn nn n u u u uuu U 00 0 ,1 22 11211 Pak dle rozvoje determinantu podle posledního řádku je .... 00 0 0..0 00 0 0...0 00 0 det 22111,111 2,2 2,3 22 11211 1,1 1,1 1,2 22 111211 ,1 22 11211 nnnnnn nn nn n nnnn nn nn n nn nn nn n uuuuuu u u u uuu uu u u u uuu u u u u uuu U ===+++= =+++== -- -- -- -- -- -- - - Věta: Nechť A je libovolná čtvercová matice. Pak det det T A A= . Důsledek: Všechny všechny výše uvedené vlastnosti determinantu platí i pro sloupce. Výpočet determinantu Z výše uvedených vlastností tedy vyplývá, že je možné pomocí elementárních řádkových úprav podobně jako v případě Gaussovy eliminace upravit libovolnou matici na horní trojúhelníkovou. Přitom musíme ovšem mít na paměti následující pravidla: 1. Vynásobíme-li libovolný řádek matice nenulovým číslem, vynásobí se tímto číslem i determinant této matice a proto musíme determinant takto upravené matice vydělit tímto číslem. 2. Vyměníme-li dva libovolné řádky matice, změní se znaménko determinantu matice 3. Přičteme-li násobek jednoho řádku matice k jinému, determinant se nemění. Navíc všechny tyto úpravy můžeme použít pokud je to výhodné i pro úpravu sloupců. Pokud takto upravíme matici na horní případně i dolní trojúhelníkový tvar, je výsledný detrminant roven součinu prvků na diagonále. Příklad: Vypočtěte determinant matice . 987 654 321 =A Řešení: Cvičení z lineární algebry 67 Vít Vondrák 1 1 3 1 21 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 det 4 5 6 4 0 3 6 ( ) ( 3) 6 0 1 2 7 8 9 0 6 12 0 1 27 1 2 3 18 0 1 2 18 1 1 0 0. 0 0 0 A ř řř = - = - - - = - = - - - - +- = - = - = Adjungovaná a inverzní matice Definice: Matice 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = , kde ijA je algebraický doplněk prvku ija ve čtvercové matici A nazýváme adjungovanou maticí k matici A. Příklad: Nalezněte adjungovanou matici k matici 1 2 2 1 0 2 1 1 1 A = - Řešení: 1 1 1 2 11 12 1 3 2 1 13 21 2 2 2 3 22 23 3 1 31 0 2 1 2( 1) 1 (0 2) 2, ( 1) ( 1) ( 1 2) 3, 1 1 1 1 1 0 2 2( 1) 1 ( 1 0) 1, ( 1) 1 (2 2) 0, 1 1 1 1 1 2 1 2( 1) 1 (1 2) 1, ( 1) 1 (1 2) 1, 1 1 1 1 2 2( 1) 1 (4 0) 4 0 2 A A A A A A A + + + + + + + -= - = - = - = - = - - - = -= - = - - = - = - = - - = = - = - = - = - = - - = = - = - = 3 2 32 3 3 33 1 2, ( 1) 1 (2 2) 4, 1 2 1 2( 1) 1 (0 2) 2. 1 0 A A + + = - = - + = - = - = + = 11 21 31 12 22 32 13 23 33 2 0 4 3 1 4 . 1 1 2 A A A A A A A A A A - = = - - - Věta: Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť det 0A . Pak je matice A regulární a platí 1 1 det A A A = . Cvičení z lineární algebry 68 Vít Vondrák Příklad: Nalezněte inverzní matici k matici 1 2 2 1 0 2 1 1 1 A = - Řešení: 1 1 2 1 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 det 1 0 2 0 2 4 0 2 4 0 2 4 1 2 2 2 2 2 21 1 1 0 1 1 2 0 2 2 0 0 2 2 0 4 1 0 2 1 1 3 1 4 2 . det 2 1 1 2 1 A ř ř ř A A A - - = - + = = = = = - - - - - + - - = = - - = - - Poznámka: Je třeba si povšimnout, že sestavení adjungované matice je výpočetně velmi náročný proces a například pro matici řádu 4 je zapotřebí vypočítat 16 determinantů řádu 3. Z tohoto důvodu je mnohem výhodnější pro výpočet determinantů matice používat Gauss-Jordanovu eliminační metodu. Použití adjungované matice pro výpočet inverzní matice má tedy snad význam pouze pro výpočet inverzní matice k matici, jejíž prvky jsou zadány parametricky a to jen pro velmi malé řády. Cramerovo pravidlo Definice: Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých Ax b= . Je-li matice A regulární pak soustava má jediné řešení a pro jeho složky platí det det b i i A x A = , kde matice b iA vznikla z matice A záměnou i-tého sloupce za vektor pravých stran b. Příklad: Pomocí Cramerova pravidla vyřešte soustavu 1 2 3 1 3 1 2 3 2 2 1 2 1 0 x x x x x x x x + + = - + = + + = Řešení: 1 2 2 1 1 0 2 , 1 1 1 1 0 A b = - = - Cvičení z lineární algebry 69 Vít Vondrák Rozvoj podle 1. sloupce 1 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 det 1 0 2 2 0 a proto je matice soustavy regulární. 1 1 1 1 2 2 1 2 2 det 1 1 1 12 4 1 0 2 0 2 4 1 0 0 (2 4) 1, 1 1det 2 2 2 20 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 det 1 1 1 1 2 0 0 4 det 2 21 0 1 0 1 1 b b A A x ř A A x ř ř A ř ř = - = = = - + = = - + = - = - = = - - + = - - 1 3 2 Rozvoj podle 1. sloupce 3 3 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 ( 1) 4 2, 2 20 0 4 1 2 1 1 2 1 1 2 1 det 1 1 1 1 12 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 (2 0) 1. 1 1det 2 2 2 2 21 1 0 0 1 1 0 1 1 b s s A x ř A = - - - = - - = = = - - = - - - + = - = - = - - = Řešením soustavy je tedy 1 2 31, 2, 1x x x= - = = - což se dá snadno ověřit dosazením do zadané soustavy. Poznámka: Z příkladu je patrné, že řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla je výpočetně mnohem více náročné než řešení pomocí Gaussovy eliminace. Např. pokud počítáme determinant matice, musíme ji upravit na trojúhelníkový tvar. A již toto odpovídá svou náročností upravě na schodový tvar v Gaussově eliminaci. Tuto úpravu pak při užití Cramerova pravidla musíme ještě opakovat pro všechny složky řešení!!!!