Cvičení z lineární algebry 70 Vít Vondrák Cvičení č. 14 Vlastní čísla a vlastní vektory. Charakteristický mnohočlen a charakteristická rovnice. Lokalizace spektra. Spektrální rozklad. Vlastní čísla a vlastní vektory matice Definice: Nechť je dána čtvercová komplexní matice A řádu n. Nechť pro skalár C a nenulový vektor 3 Cv platí vAv = Pak se nazývá vlastní číslo matice A a v vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu . Množina všech vlastních čísel matice A se nazývá spektrum matice A a značí se )(A . Příklad: Rozhodněte, zda-li vektory = = 1 0 1 , 0 1 1 vu jsou vlastními vektory matice - - = 311 211 120 A Řešení: . 0 1 1 2 0 2 2 0 1 1 311 211 120 uAu = = = - - = . 4 3 1 1 0 1 311 211 120 vAv - = - - = Z prvního případu vyplývá, že u je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu 2= . Z druhého případu je zřejmé že takové číslo, které by vyhovovalo definici nelze nalézt a tudíž v není vlastním vektorem. Charakteristický mnohočlen a charakteristická rovnice. Poznámka: Podmínka vAv = je ekvivalentní podmínce ( ) ovIA =- . Poslední podmínka představuje soustavu n lineárních rovnic s n neznámými v. Číslo představuje parametr této soustavy. Jelikož pravé strany jsou nulové je zřejmé, že soustava má nenulové řešení pouze tehdy, když bude mít nekonečně mnoho řešení tj. když matice soustavy bude singulární. To lze zajistit podmínkou ( ) 0det =- IA . Z této podmínky pak můžeme vypočítat vlastní čísla a dosazením Cvičení z lineární algebry 71 Vít Vondrák takto získaných vlastních čísel do soustavy ( ) ovIA =- pak získáme jim odpovídající vlastní vektory. Definice: Nechť A je čtvercová komplexní matice řádu n. Mnohočlen n-tého řádu ( )IA -= det)( se nazývá charakteristický mnohočlen matice A a rovnice ( ) 0det =- IA se nazývá charakteristická rovnice. Poznámka: Ze základní věty algebry, která říká, že algebraická rovnice stupně n má alespoň jedno řešení vyplývá, že spektrum komplexní matice A řádu n bude neprázdné. Navíc platí, že taková matice bude mít právě n komplexních vlastních čísel, přičemž se do tohoto počtu započítává i násobnost kořenů. Příklad: Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice . 100 011 011 =A Řešení: 1. Sestavíme charakteristickou rovnici a vyřešíme ji. ( ) ( ) .0)2)(1()2)(1()211)(1()1(1)1( 11 11 )1(00 011 011 100 100 011 011 det 222 3 1 =---=---=-+---=----= = - - -+--= - - - -= - - - =- r r IA Z posledního výrazu je ihned vidět, že kořeny jsou 2,1,0 321 === . Toto jsou tedy vlastní čísla matice A. 2. K jednotlivým vlastním číslům nalezneme příslušné vlastní vektory. a. Pro 01 = řešíme soustavu ( ) ovIA =- 1 1 . Sestavíme tedy matici soustavy .0,, 000 0 0 100 000 011 ~ 0 0 0 100 011 011 1 1 3 1 2 1 1 1 - = = = -= - tRtt t v v tv tv r b. Pro 12 = řešíme soustavu ( ) ovIA =- 2 2 . Sestavíme tedy matici soustavy .0,,0 0 0 0 0 0 0 000 010 001 ~ 0 0 0 000 001 010 2 2 3 2 2 2 1 21 = = = = tRt t v tv v v rr c. Pro 23 = řešíme soustavu ( ) ovIA =- 3 3 . Sestavíme tedy matici soustavy .0,, 000 0 0 100 000 011 ~ 0 0 0 100 011 011 2 3 3 3 2 3 1 1 = = = = - - + - - - tRtt t v v tv tv r Položíme-li např. 1=t pak dvojice Cvičení z lineární algebry 72 Vít Vondrák 1 2 3 1 2 3 1 0 1 0, 1 , 1, 0 , 2, 1 0 1 0 v v v - = = = = = = jsou vlastními čísly s příslušnými vlastními vektory matice A. Poznámka: Jak je předchozího příkladu patrno, tak vlastní vektory nejsou určeny jednoznačně neboť jejich libovolný nenulový násobek je taktéž vlastním vektorem. To platí zcela obecně neboť pro libovolné 0t platí ( ) ( ) ( ) ( ) owIAotvIAovIAtovIA =-=-=-=- . Z poslední rovnice tedy plyne, že tvw = je taktéž vlastním vektorem příslušným k . Lokalizace spektra Věta: (Geršgorinova) Nechť ][ iji aA = je komplexní čtvercová matice řádu n. Nechť { } .,...,1,|:||,|...||||...|| 1,1,1 nirazCzSaaaar iiiiiniiiiii =-=+++++= +Pak nSSA ...)( 1 . Příklad: Pomocí Geršgorinovy věty lokalizujte spektrum matice . 210 41 011 - - -+ = i i A Řešení: { } { } { }.1|2:|,1|1||0| ,2|4:|,2|||1| ,1|)1(:|,1|0||1| 33 22 11 -==-+= -==+-= +-==+-= zCzSr zCzSir izCzSr Nalezené množiny vykreslíme do komplexní roviny: Spektrum se pak nachází ve sjednocení všech tří kruhů 321)( SSSA . 1 2 3 4 555 60 - i -2i 2i i S1 S3 S2 Re Im Cvičení z lineární algebry 73 Vít Vondrák Věta: Nechť A je reálná symetrická matice. Pak RA )( . Příklad: Lokalizujte spektrum matice . 100 011 011 =A Řešení: Jelikož matice je reálná a symetrická, kruhy S z Geršgorinovy věty se redukují na intervaly na reálné ose neboť matice má reálné spektrum. Můžeme tedy psát { } { } { } {}.10|1:|,0|0||0| ,2,01|1:|,1|0||1| ,2,01|1:|,1|0||1| 33 22 11 =-==+= =-==+= =-==+= xRxSr xRxSr xRxSr Odtud dostáváme, že 2,0)( 321 = SSSA . Spektrální rozklad Definice: Matice Q se nazývá ortogonální jestliže .IQQT = Věta: Nechť A je reálná symetrická matice. Pak vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální. Věta: (O spektrálním rozkladu) Nechť A je reálná symetrická matice. Pak existuje ortogonální matice Q a diagonální matice D tak, že DQQA T = . Navíc řádky matice Q tvoří ortonormální vlastní vektory matice A a diagonální prvky D jsou jim odpovídající vlastní čísla. Příklad: Nalezněte spektrální rozklad matice . 100 011 011 =A Řešení: Druhá část věty o spektrálním rozkladu nám dává návod jak nalézt matici Q a D. Nejdříve musíme tedy nalézt vlastní čísla a vlastní vektory matice A. Tuto úlohu jsme však již řešili v druhém příkladě tohoto cvičení a výsledné vlastní čísla a vektory byly následující Cvičení z lineární algebry 74 Vít Vondrák 1 2 3 1 2 3 1 0 1 0, 1 , 1, 0 , 2, 1 0 1 0 v v v - = = = = = = . Z věty předcházející větu o spektrálním rozkladu vyplývá, že vlastní vektory jsou ortogonální. Skutečně .0011010),( ,000111)1(),( ,010010)1(),( 32 31 21 =++= =++-= =++-= vv vv vv Avšak nejsou ortonormální neboť např. 20011)1()1(),( 11 =++--=vv . Proto musíme vektory normalizovat: ].0,1,1[ 2 1 001111 ]0,1,1[ ),( ],1,0,0[]1,0,0[ 1 1 110000 ]1,0,0[ ),( ],0,1,1[ 2 1 0011)1()1( ]0,1,1[ ),( 33 3 3 3 3 22 2 2 2 2 11 1 1 1 1 = ++ === == ++ === -= ++-- - === vv v v v q vv v v v q vv v v v q Nyní můžeme sestavit obě hledané matice spektrálního rozkladu DQQA T = : . 011 200 011 2 1 0 100 0 , 200 010 000 }2,1,0{ 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 - = = = == - q q q QdiagD Na závěr můžeme ještě provést zkoušku, zda-li nalezené matice opravdu splňují podmínku DQQA T = . . 100 011 011 200 022 022 2 1 022 200 000 020 101 101 2 1 2 1 011 200 011 2 1 200 010 000 020 101 101 2 1 A DQQT = = = = - = - - = Nalezené matice Q a D jsou tedy opravdu spektrálním rozkladem matice A.