Cvičení z lineární algebry 10 Vít Vondrák
Cvičení č. 3
Řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda
Soustava lineárních rovnic:
Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme systém rovnic
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...

...
...
2211
22222121
11212111
nxx ,,1 ... nazýváme neznámé, mnaa ,,11 ... koeficienty soustavy a čísla mbb ,,1 ... nazýváme
pravými stranami.
Matici koeficientů soustavy












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
nazýváme matici soustavy a vektory




















mn b
b
x
x

11
, nazýváme vektorem neznámých a vektorem pravých stran.
Soustavu můžeme zapisovat v tzv. maticovém tvaru Ax=b.
Matici [A,b], která vznikla tak, že jsme matici soustavy rozšířili vektorem pravých stran
nazýváme rozšířenou maticí soustavy.
Gaussova eliminační metoda:
Definice: Elementárními řádkovými úpravami matice rozumíme nasledující operace:
1. Záměna dvou řádků
2. Vynásobení řádku libovolným nenulovým číslem
3. Přičtení nenulového číselného násobku jednoho řádku k druhému
Cílem Gaussovy eleminační metody je pomocí elementárních řádkových operací převést
rozšířenou matici soustavy na matici, která má pod diagonálou nuly.
jiuuUbUbA ijij
ÚŘE
>==  ,0),(),',(),( ...
Poté je možné vypočítat řešení soustavy přímo dosazováním. Více vysvětlí následující
příklad.
Příklad:
15322
23
10223
321
321
321
=++
=-+
=+-
xxx
xxx
xxx
Cvičení z lineární algebry 11 Vít Vondrák
Soustavu přepíšeme do maticového tvaru:










=










=










-
-
=
15
2
10
,,
322
131
223
3
2
1
b
x
x
x
xA
Gaussovou eliminací nyní upravíme rozšířenou matici soustavy:








--
-









--
-
-








--
-









--
-









--
-
-
-








-
-










-
-
3
4
10
100
5110
223
~
63
4
10
2100
5110
223
~
255
4
10
11220
5110
223
~
~
115
4
10
120
5110
223
~
25
4
10
5100
5110
223
~
245
6
10
966
393
223
~
3
3
15
2
10
322
131
223
21
1
2
5
1
1
1
r
r
r
3
4511
10223
3
32
321
=
-=-
=+-
x
xx
xxx
Dosazením poslední rovnice do druhé dostaneme
143511 22 =-=- xx
a nyní dosazením do první rovnice
21032123 11 ==+- xx
Řešením tedy je vektor










=
3
1
2
x
Provedem ještě zkoušku:
bAx =










=





















-
-
=
15
2
10
3
1
2
322
131
223
Vektor x je tedy opravdu řešením naší soustavy.
Příklad:
534
532
52
321
321
321
=++
-=+-
=-+
xxx
xxx
xxx










--
-











--
-
-









-
-
-
-
-
-
-










--
-
0
3
5
000
110
121
~
0
15
5
000
550
121
~
15
15
5
550
550
121
~
4
2
5
5
5
134
312
121
5
1
21
1
rr
r
Jelikož se vynuloval jeden celý řádek, dostáváme nyní pouze 2 rovnice o 3 neznámých.
Budeme tedy volit jednu neznámou jako parametr.
Cvičení z lineární algebry 12 Vít Vondrák
15)3(2
33
,
3
52
11
22
3
32
321
--==-++
+=-=+-
=
-=+-
=-+
txttx
txtx
Rttx
xx
xxx
Řešení je tedy nekonečně mnoho s jedním parametrem a můžeme je zapsat ve tvaru
Rtt
t
t
t
x 









-
+









-
=










+
--
= ,
1
1
1
0
3
1
3
1
Příklad:
23
332
342
321
321
321
=++-
=+-
=++
xxx
xxx
xxx










---
+









---
+
-










-
-
2
3
3
000
550
421
~
5
3
3
550
550
421
~2
2
3
3
131
312
421
21
1
rr
r
Z tohoto je vidět, že soustava nemá řešení neboť v poslední rovnici dostáváme, že 0=2 což
nelze nikdy splnit.
Poznámka: Soustava lineárních rovnic může mít následující počet řešení:
1. žádné
2. právě jedno
3. nekonečně mnoho s jedním či více parametry
Příklad:
03
0352
053
4321
4321
4321
=+++
=+++
=+--
xxxx
xxxx
xxxx
Při zápisu rozšířené matice soustavy, můžeme vynechat sloupec pravých stran, neboť všechny
pravé strany jsou nulové a tedy elementárními řádkovými úpravami se nemění.










-
--
-









-
-
--












-
-
--
-
-









 --
0000
1110
5131
~
1110
1110
5131
~
4440
7770
5131
~2
1311
3512
5131
24
1
7
1
1
1
rr
r
)(205)(3
0
;
;
11
22
3
4
qpxpqqpx
qpxpqx
Rqqx
Rppx
+-==+---
-==-+
=
=
Cvičení z lineární algebry 13 Vít Vondrák
Rqpqp
p
q
qp
qp
x 














-
-
+













-
=














-
+=
,,
0
1
1
2
1
0
1
2)(2
Poznámka: Soustavy lineárních rovnic, které mají všechny pravé strany rovny nule
nazýváme homogenní. V opačném případě nehomogenní.
Příklad:
023
032
042
321
321
321
=++-
=+-
=++
xxx
xxx
xxx










--
+









--
+
-










-
-
100
550
421
~
650
550
421
~2
231
312
421
21
1
rr
r
000402
00055
0
11
22
3
==++
==--
=
xx
xx
x










=
0
0
0
x
Poznámka: Homogenní soustava má vždy alespoň jedno řešení a tím je řešení nulové. Toto
řešení nazýváme řešením triviálním. Netriviální řešení má pouze má-li řešení nekonečně
mnoho.
Příklad:
1
0
321
321
321
=++
=++
=++
pxxx
xpxx
pxxpx










-
+-
--










-
+-
--










-
--+-
--
-









-
+--
--
+
-










-
--
--
-
-





















1)2)(1(00
110
11
~
)2)(1(00
110
11
~
~
)1()1)(1(00
110
11
~
0)1)(1(10
110
11
~
~
)1(
1
0110
110
11
~0
11
~
0
1
0
11
11
11
2
1
2
2
2
2
22
2
2
2
1
1
2
2
p
p
pp
pp
p
p
p
p
ppp
pp
p
p
p
p
ppp
pp
p
r
p
p
ppp
pp
p
p
p
p
p
pp
pp
p
r
r
p
p
ppp
ppp
p
p
p
pp
p
p
p
p
A. 10 - pp
1. Nemá řešení
Cvičení z lineární algebry 14 Vít Vondrák
21
)]01)11(()21[(
)]00101(0)2)(1[( 2
-==
=-==-==
-=-=-=+-
pp
pppppp
ppppp
2. Právě jedno řešení
21)]11()21[()]01(0)2)(1[( 2
----+- ppppppppp
1)2)(1(
)1()1(
3
32
2
321
=+-
-=-+-
=++
xpp
pxpxp
pxxpx
)2)(1(
1
,
)2)(1(
1
,
)2)(1(
1 2
123
+-
-+
=
+-
+
-=
+-
=
pp
pp
x
pp
p
x
pp
x
B. 10 -= pp










--









--











1
0
0
200
110
101
~
1
0
0
110
110
101
~
1
0
0
011
101
110
22
21
rr
rr ,








-
=
2
1
2
1
2
1
x
C. 10 -= pp










-
--
+
+









 -
-
-
-
0
1
1
020
200
111
~
1
0
1
111
111
111
1
1
r
r ,










-
=
2
1
2
1
0x