Cvičení z lineární algebry 15 Vít Vondrák Cvičení č. 4 Gaussova-Jordanova eliminační metoda, výpočet inverzní matice, elementární řádkové úpravy a násobení matic Gaussova-Jordanova eliminační metoda Cílem Gaussovy-Jordanovy eliminační metody je převést rozšířenou matici soustavy na matici, kde na místě původní matice soustavy bude jednotková matice a na místě pravých stran se pak vyskytne řešení soustavy. ),(),( E.R.Ú xIbA Příklad: 15322 23 10223 321 321 321 =++ =-+ =+- xxx xxx xxx + - - + - -- - -- - - -- - -- - -- - - - - - - - 3 1 2 100 010 001 ~ 3 1 6 100 010 003 ~ 2 3 1 4 100 010 023 ~ ~ 3 11 4 100 0110 023 ~5 2 3 4 10 100 5110 223 ~ 63 4 10 2100 5110 223 ~ 255 4 10 11220 5110 223 ~ ~ 115 4 10 120 5110 223 ~ 25 4 10 5100 5110 223 ~ 245 6 10 966 393 223 ~ 3 3 15 2 10 322 131 223 3 1 2 11 1 3 3 21 1 2 5 1 2 1 r r r r r r Řešením je tedy vektor = 3 1 2 x . Kontrola viz Cvičení č. 3, 1. příklad. Inverzní matice Definice: Je-li dána čtvercová matice A a jestliže existuje čtvercová matice B stejného řádu taková, že IBAAB == , pak se matice B nazývá inverzní matice k matici A a značí se 1A . Matice, ke kterým existuje inverzní matice nazýváme regulární v opačném případě je nazýváme singulární. Jelikož bAx 1= a IAA =-1 můžeme schema Gaussovy-Jordanovy metody přepsat následovně: ),(),( 11E.R.Ú bAAAbA -- . Použijeme-li tedy místo b jednotkovou matici, můžeme Gaussovou-Jordanovou metodou nalézt matici inverzní k matici A. ),(),(),( 111E.R.Ú --- = AIIAAAIA Cvičení z lineární algebry 16 Vít Vondrák Příklad: ?, 121 011 322 1 = -= - AA - -- --- - -- -- - - - -- - + - - --- + --- --- + - - - - - 461 351 341 100 010 001 ~ 461 351 692 100 010 011 ~)( 461 12204 12184 100 040 022 ~ ~3 3 461 021 001 100 340 322 ~ 3402 021 001 10120 340 322 ~ ~ 2201 021 001 560 340 322 ~ 200 020 001 242 022 322 ~ 2 2 100 010 001 121 011 322 2 4 1 2 1 3 3 2 1 1 r r r r r r - -- -- =- 461 351 341 1 A a zkouška IAA = = - - - -- -- =- 100 010 001 121 011 322 461 351 341 1 Elementární řádkové úpravy a násobení matic Uvažujme matici = dc ba A 1. Matice výměny řádků = = ba dc ATT 2,12,1 , 01 10 Násobením maticí zleva tedy vyměníme řádky v matici A. Obecně pro matice řádu n má matice, která způsobí výměnu i-tého a j-tého řádku tvar: j i T ji ji = 1000 1010 0100 0001 , 2. Matice násobení řádku číslem = = dc ba ATT 11 , 10 0 Cvičení z lineární algebry 17 Vít Vondrák Násobením maticí zleva tedy vynásobíme 1. řádek v matici A. Obecně pro matice řádu n má matice, která způsobí vynásobení i-tého řádku tvar: iT i i = 100 00 001 2. Matice přičtení násobku jednoho řádku k jinému ++ = = dbca ba ATT 2,12,1 , 1 01 Násobením maticí zleva tedy přičteme násobek 1. řádku k 2. řádku v matici A. Obecně pro matice řádu n má matice, která způsobí přičtení násobku i-tého řádku k j-tému řádku tvar: j i T ji ji = 1000 010 0010 0001 , Poznámka: Je tedy vidět, že matici reprezentující řádkovou elementární uprávu získáme z jednotkové matice aplikováním odpovídající řádkové úpravy na tuto jednotkovou matici. Příklad: U rr r = - - - - - - - - - - - - - 1800 450 012 ~ 210100 450 012 ~ 5220 450 012 ~ 2204 442 012 ~2 204 221 012 21 1 Odpovídající matice elementárních řádkových úprav mají postupně tvary: - = = - = -= = 120 010 001 , 500 010 001 , 102 010 001 , 100 011 001 , 100 020 001 54321 TTTTT Tzn., že jsme prováděli následující násobení matic: 4534423312211 ,,,, ATUATAATAATAATA ===== Postupným dosazením dostaneme vztah: TAATTTTTATTTTTU === )()))))((((( 1234512345 Cvičení z lineární algebry 18 Vít Vondrák -- -= 548 021 001 T Matice T tedy transformuje matici A na matici U. UTA = - - = - - -- -= 1800 450 012 204 221 012 548 021 001 Poznámka: Budeme-li stejnými maticemi násobit zprava budeme provádět tytéž operace, ale na sloupcích matice.