Cvičení z lineární algebry
23
Vít Vondrák
Cvičení č. 6
Vektorové prostory a podprostory.
Vektorové prostory
Definice:
Reálným (komplexním) vektorovým prostorem nazýváme množinu V na níž je definováno zobrazení V xV 3 (u,v) —> u + v e V, které nazýváme sčítání vektorů a zobrazení R(C)xV 9 (a,v) —> ave V, které nazýváme násobení vektoru skalárem, a pro něž platí (VI) Vw,v,we V : u + (v + w) = (u + v) + w
(V2)3oe WueV :u + o = o + u = u
(V3) \/u e V 3-u e V :u + (-u) = (-u) + u = o
(V 4) Vw,ve V:u + v = v + u
(V5) Vetre R(C)Vu,ve V : a(u + v) = au + av
(V6) Vaje R(C)VueV : (a + ß)u = au + ßu
(VI) Va,ße R(C)\fu e V : a(ßu) = (aß)u
(F8) Vw e V : \u = u
Prvky množiny F pak nazýváme vektory a prvky množiny R(C) skaláry.
Příklad:
Dokažte, žeR" = §u1,u2,...,un],ui e R,i = 1,...,«}, s operacemi definovanými předpisy
[u + v],. =[m]í+[v]í,[£B#]i. =a\u\,i = \...n. tvoří reálný vektorový prostor.
(Vl)Vu,v,we R" :[u + (v + w)l =[«],.+[v+ w],. =[u\.+([v],+[w\) = ([u\.+[v]í) + [w]í =
= [u + v\ + [w\ = [(u + v) + w\, pro lib. z a odtud u + (v + w) = (u + v) + w.
(V2)3o = [0,...,0]\/ueRn :[o + u\ =[o\+[u\ =0 + [u\ =[u\ = [u\+0 = [u\+[o\ =[u + o]
pro lib. z a odtud o + u=u = u + o.
(V3)Vue R"3-u = [-ul,...-un]: [u + (-u)\ = [u]t +[-u\ =ut +(-ut) = 0 = (-uj) + uj =
[-u]j + [u]t = [—u + u\, pro lib. i a odtud u + (-u) = o = —u + u.
(V4)\/ue Rn3-u = [-ul,...-un]: [M + (-u)]t =[u]i +[-zz]r = ut +(-ut) = 0 = (-ui) + ui =
[-u]j + [u]t = [—u + u\, pro lib. i a odtud u + (-u) = o = —u + u.
(V4)Vu,ve R" :[u + v]j =[u\i +[v]r = [v]r +[u\ = [v + řz]r,prolib.z a odtud w + v = v + u.
(V5)\/ae R\/u,ve R" : [a(u + v)]r = a[u + v\i = a([u\i +[v]r) = a[u\ +or[v]r = [au\ +[av\ =
= [au + av\, pro lib. i a odtud a(u + v) = au + av.
(V6)\/a,ßeR\/ueRn :[(a +ß)u\t =(a + ß)[u\ =a[u\ +ß[u]1) = [au]1 +[ßu\t =[au+ßu}1
pro lib. i a odtud (a + ß)u = au + ßu.
(V7)\fa,ße RVu e R" : [(a(ßu)\ = a[ßu\ = a(ß[u\) = (aß)[u\ = [(aß)u\,
pro lib. i a odtud a(ßu) = (aß)u.
Cvičení z lineární algebry
24
Vít Vondrák
(V8)VueR" :[\u]j = l[w]ŕ = [w]ŕ,prolib./'a odtud lw = u.
R" tedy tvoří s operací sčítání aritmetických vektoru a s operací násobení aritmetických vektoru skalárem reálný vektorový prostor.              ♦
Analogicky se dá dokázat, že taktéž C" (množina všech uspořádaných komplexních n-tic) tvoří s operací sčítání a násobení komplexním skalárem komplexní vektorový prostor.
Příklad:
Dokažte, že množina F všech reálných funkcí / :R—> R s operacemi sčítání funkcí a násobení funkce skalárem definovanými předpisy f + g- x^f(x) + g(x), qf:x^ qf(x), Vxe R tvoří reálný vektorový prostor.
(F1)V/, g,heF:(f + (g + h))(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) =
= (/(*) + g(x)) + h(x) = (/ + g)(x) + h(x) = ((/ + g) + h)(x), proVx e i? a odtud
f + (g + h) = (f + g) + h.
(V2)3o e F, o(x) = OVx e R, V/ e F : (f + o)(x) = f (x) + o(x) = f (x) + 0 =
f (x) = 0 + f (x) = o(x) + f (x) = (o + f)(x), proVx e i? a odtud f + o = f =o + f.
(V3)Vf e F 3-f e F, (-/)(x) = -f (x), Vx e R : (/ + (-/))(x) = f (x) + (-/)(x) =
= /(x) + (-f (x)) = 0 = o(x) = -f (x) + f (x) = (-/)(x) + /(x) = (-/ + f)(x), proVx e i? a odtud
/ + (-/) = o = -/ + /.
(F4)V/, geF:(/l g)(x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f)(x\ proVx e R a odtud
f + g = g + f-
(V5)\/a sR,y/,gsF: (a(f + g))(x) = a(f + g)(x) = a(f(x) + g(x)) = qf(x) + ag(x) =
= (af)(x) + (ag)(x) = (qf + ag)(x\ proVx e R a odtud a(f + g) = qf + ag.
(F6)V«, ß e R,\/f e F: ((a + ß)f)(x) = (a + ß)f(x) = qf(x) + ßf(x)) = (qf)(x) + (ßf)(x) =
= {af + ßf)(x), proVx e i? a odtud (a + ß)f = qf + ßf.
(V7)Va,ße R,VfeF: (a(ßf))(x) = a(ßf)(x) = a(ßf(x)) = (aß) f (x) = {{aß)f){x\
proVx e R a odtud a(ßf) = (aß) f.
(F8)V/ e F : (l/))(x) = l/(x) = f(x\ proVx e R a odtud If = f.              ♦
Příklad:
Množina Rm,n všech reálných matic typu (m,n) s operacemi sčítání matic a násobení matice
skalárem definovanými předpisy
[A + B\ =[A\+[B\p[aAl].=(AÄ\tj,i = \,...,m, j = \,...,n,
kde A,B jsou lib. reálné matice typu (m,n) a edib. skalár, tvoří reálný vektorový prostor.
(VI) \/A,B,CeRmn :A + (B + C) = (A + B) + C viz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací,
č.8
(V2) 30e iT'",[0]y = 0, / = l,..,m, j = l,..n,VAe Rm'n : A + O = 0 + A = A viz Cvičení 2,
vlastnosti maticových operací, č.9
Cvičení z lineární algebry
25
Vít Vondrák
(V3)yAeRm"3-AeRm\[-A]i]=-[A]i],i = l,..,mJ = l,..n,:A + (-A) = -A + A = 0
víz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací, č. 10
(V 4) VA,Be Rm'n :A + B = B + A víz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací, č.7
(V5) \/ae R \/A,Be Rmn : a(A + B) = aA + aB víz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací,
č.4
(V6) \f a, ßeRVAeRmn :(a + ß)A = oA + ßA viz Cvičení 2, vlastnosti maticových
operací, č.3
(VI) Va,/Je R\/Ae Rm'n : a(ßA) = (aß)A viz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací, č.5
(F8) \/A e Rm'n :\A = A viz Cvičení 2, vlastnosti maticových operací, č.2             ♦
Vektorové podprostory
Definice:
Neprázdná podmnožina U vektorového prostom Vse nazývá podprostorem V, je-li sama vektorovým prostorem vzhledem k operacím sčítání vektoru a násobení vektoru skalárem definovanými na V.
Věta:
Nechť U j e neprázdná podmnožina vektorového prostom V. Jestliže
1.    Vw,ve U je u + ve. U
2.    \/aeR(C)VueU jeccueU
pak U j e podprostorem vektorového prostom V.
Příklad:
Rozhodněte, zda-li je množina U = {[w^w^O]: u1,u2 e Ŕ\ podprostorem R3.
Je zřejmé, že U a i?3 neboť jestliže u =[ul,u2,0]e U =>ue R3
1.  u = [Wj, u2,0] e U a v = [Vj, v2,0] e f/ => u + v = [ux +vuii2 + v2,0 + 0] = [wx, w2,0] e f/
2.  u = [Wj,w2,0]e f/ a lib. skalár ör=> cüz/ = [cüz/j,cüz/2,orO] = [>v1,i4'2,0]e U Podle předchozí věty je tedy U podprostorem R3.    ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li je množina U = {[Wj,w2,l]: uuu2 e Ŕ\ podprostorem R3.
Je zřejmé, že U a i?3 neboť jestliže u =[ul,u2,\]e U => we i?3.
Avšak množina U není podprostorem R3 neboť v U neexistuje nulový vektor o e U tak, žeVwe C7 je w + o = u . Vskutku [ul,ii2,l] + [ol,o2,l] = [ul +oi,u2 +o2,2] ^ [Wj,w2,l] neboť pro poslední složku je vždy 2^1.      ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li je množina U = §_ul,u2,ii3] :ul+u2-u3 = 0} podprostorem R3.
Je zřejmé, že U a R3 neboť jestliže we U => w e R3.
Cvičení z lineární algebry
26
Vít Vondrák
1.    u = [ul,u2,u3]eU,ul+u2-u3 =0, av = [v1,v2,v3]e f/,Vj +v2 -v3 = 0 =>
=> u + v = \ul + vl,u2 + v2,u3 + v3 ] = [wl, w2, w3 ] a zároveňá/j +u2-u3 =0 av1 +v2 -v3 = 0 Odtud0 = 0 + 0 = ul +u2 -u3 + Vj + v2 -v3 ={ul + vl) + (u2 +v2)-(u3 + v3) = wl +w2 -w3
Odtud dostáváme, že u + w e U .
2.    u =[ul,u2,u3]e U ,ux +u2-u3 = 0, a a lib. skalár => oä/ = [aul,au2,au3] = [wl,w2,w3]
a zároveňá/j +u2-u3 =0. Odtud 0 = ert) = a(ux +u2 -u3) = aul + au2 - au3 =wx+w2-w3
Odtud dostáváme, že cm e U.
Uje tedy podprostorem vektorového prostom R3.               ♦
Příklad:
Dokažte, že množina Pn+l všech mnohočlenů stupně nejvýše «je podprostorem vektorového prostoru všech reálných funkcí F.
Je zřejmé, že každý mnohočlen pe Pn+l definovaný předpisem p(x) = anxn +... + axxl +a0, kde x,an,...,ai,a0 e R je reálnou funkcí a tedy Pn+l a F
!•   P^Pn+i,P(x) = anx" +- + a1x1 +a0 aqe Pn+l,q(x) = bnx" +... + blxl +b0 ^> (j> + q){x) ■■ = p(x) + q(x) = anxn + ... + axxl +a0 +bnxn + ... + bxxl +b0 =
= (an + bn)x" +... + («!+ b,)xl + (a0 + b0) a odtud p + q e Pn+l
2.   p e Pn+1,p(x) = anxn + ... + axxl +a0 a a e R => (op)(x) = op(x) =
= cc(anxn +... + ÖJX1 +a0) = (aan)xn +... + (cto1)x1 +((m0) aodtudc^e Pn+l
Podle věty tedy plyne, že Pn+l je podprostorem vektorového prostom F.     ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li množina mnohočlenů U = \p(x) = a2x2 + a2x + a0 : a0,a2 e R] je podprostorem P3.
Je zřejmé, že každý prvek množiny Uje mnohočlenem stupně nejvýše 2 a tedy i prvkem P3. Odtud tedy U<zP3.
1.    p e U,p(x) = a2x2 +a2x + a0 aqe Pn+l, g(x) = b2x2 + b2x + b0 => (p + q)(x) =
= p(x) + q(x) = a2x2 +a2x + a0 +b2x2 +b2x + b0 = (a2 +b2)x2 +(a2 +b2)x + (a0 +b0) = = c2x2 +c2x + c0 a odtud p + qe Pn+l
2.    p e U,p(x) = a2x2 +a2x + a0 a a e R => (op)(x) = op(x) =
= a(a2x2 +a2x + a0) = (aa2)x2 + (aa2)x + (aa0) = c2x2 + c2x + c0 a odtud ope U Uje tedy podprostorem vektorového prostom P3.                ♦
Věta:
Nechť V]q libovolný vektorový prostor a vl,v2,...,vm e F jeho libovolné vektory. Množina
U = {ve V : v = alvl +oc2v2 +... + amvm,Vai,a2,...,am e i?} je podprostorem V, která se nazývá lineární obal vektorů v1,v2,...,vme V aznačíme U = {y1,v2,...,vm
Cvičení z lineární algebry
27
Vít Vondrák
Důkaz:
Je zřejmé, že U e V, neboť každý vektor z U vznikl ze součtu vektorů z F nebo jeko násobek
skaláru vektoru z Fa tudíž musí taktéž patřit do vektorového prostoru V.
1. Jestliže w,ve t/jsou libovolná, pak u = alvl +oc2v2 + ... + ocmvm a
v = ßxvx + ß2v2 +... + ßmvm . Potom lze vyjádřit
u + v = axvx +a2v2 +... + amvm+ß1v1 + ß2v2 +... + ßmvm =
= {ax +ßl)vl +(a2 +ß2)v2+... + (am +ßjvm = yvx+y2v2+... + ymvm.
Odtud j e patrné, že u + v e U.
2. Je-li u e U a y e i? libovolná, pak
yu = y(axvx +oc2v2+... + amvm) = yoc.v, + yoc2v2 +... + yamvm =r = (Wh +(yoc2)v2+... + (yocm)vm = ßxvx +ß2v2+... + ßmvm. Odtud zřejmě yueU. Z 1. a 2. tedy vyplývá, že Uje podprostorem V.        ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li jsou množiny U = fux,u2,u3]e R3 :ul+u2 —u3 =0 au2 —u3 = Oj a
V = |[w1,w2,w3]e R3 :u2+u3 = OJ podprostory R3. Pokud ano, nalezněte jejich průnik a součet.
Všechny prvky množiny U musí splňovat podmínky ul+u2-u3 = 0,u2 - u3 = 0 . Tzn. že
složky vektoru  ueU musí být řešením soustavy 2 rovnic ux+u2—u3 =0
u2—u3 =0 Matice této soustavy je již ve schodovém tvaru, takže můžeme přímo určit její řešení Mj = 0,w2 =t,u3 =t,Vte R . Vektor řešení můžeme dále zapsat ve tvaru
u = [u1,u2,u3] = [0,t,t] = t [0,1,1] pro Vře R.
Odtud U = {t ■ [0,1,1], Vr e Ŕ\ = ([0,1,1]). Množina f/je tedy lineárním obalem vektoru
[0,1,1]e R3 a tedy podprostorem R3.
Analogicky musí všechny prvky množiny V splňovat podmínku u2+u3 = 0. Tzn. že složky vektoru u e V musí být řešením 1 rovnice o 3 neznámých u2+u3 =0
V této rovnici si proto volíme neznámé ux,u3 za parametry a dostáváme řešení
Wj = p,u2 = -q, u3 = q, Vp, q e R . Tento vektor řešení můžeme dále zapsat ve tvaru u=[ul,u2,u3] = [p,-q,q] = [p,0,0] + [0,-q,q] = p-[l,0,0] + q-[0,-l,l] pro Vp,qeR. Odtud V = {p-[l,0,0] + q-[0,-l,l],Vp,qe R} = ([1,0,0],[0,-1,1]). Množina V]e tedy lineárním obalem vektorů [1,0,0],[0,-1,1] e R3 a tedy podprostorem R3.
Složky všech vektorů u =[ux,u2,ii3] průniku U nV musí splňovat podmínky
Wj + u2 - u3 = 0, u2 - u3 = 0 a zároveň podmínku u2+u3 = 0. Dostáváme tedy soutavu rovnic
Cvičení z lineární algebry
28
Vít Vondrák
ul+u2 — u3 =0 u2 — u3 = 0 u2 +u3 =0
Odečtením 2. rovnice od 3. dostáváme soustavu ve schodovém tvaru
ul+u2 —u3 =0
u2—u3 =0 2w3 =0 Jejíž řešením j e Wj =0,w2 =0,w3 =0. Průnik podprostoru t/a F obsahuje tedy pouze jediný vektor a tím je vektor nulový! U nV = {o}.
Pokud uvážíme, že libovolný vektor ueU má tvar u = t ■ [0,1,1] pro Vr e R a libovolný vektor v e F má tvar v = p ■ [1,0,0] + g • [0,-1,1] pro Vp, q e R, tak w = « + ve f/ + F má tvar w = t- [0,1,1] + /? [1,0,0] + g [0,-1,1] pro \/t,p,qe R. Pak podprostor U + V je lineárni kombinací vektorů [0,1,1], [1,0,0], [0,-1,1] e R3 a můžeme psát U+ V = ([0,1,1], [1,0,0], [0,-1,1]).
♦
Poznámka:
Z předchozího příkladu vyplývá, že všechna řešení soustavy lineárních rovnic s nulovými pravými stranami tvoří podprostor vektorového prostoru R", kde «je počet neznámých sosutavy!