Inverzní matice
1. Určete inverzní matici A-1 k matici A
A =


1 2 2
2 1 -2
2 -2 1


2. Určete inverzní matici A-1 k matici A
A =


0 1 1
-1 2 -1
1 -2 0


3. Určete inverzní matici A-1 k matici A
A =


1 1 0
-1 1 2
2 0 -1


4. Je dána matice
A =


3 -1 2
4 -3 2
2 1 3


a) určete matici A-1
b) pomocí matice A-1 určete řešení soustavy rovnic:
3x1 - x2 + 2x3 =7
4x1 - 3x2 + 2x3 =4
2x1 + x2 + 3x3 =13
5. Užitím inverzní matice řešte soustavu rovnic
2x1 + 2x2 + x3 = - 1
3x1 + x2 + 5x3 = - 1
3x1 + 2x2 + 3x3 = - 1
6. Vypočítejte výhodně maticový výraz C-1Av + C-1Bv, kde
A =


1 1 1
0 1 0
1 1 1

 , B =


1 0 1
2 1 1
-1 1 0

 , C =


1 2 0
2 0 2
-1 1 1

 , v =


-1
1
0

 .
7. Jakou maticí musíme vynásobit matici typu 3/3 aby se provedla operace
r1 - r2 + 5r3  r2
8. Užitím inverzní matice řešte soustavy rovnic Ax = B, Ax = C, Ax = D, kde
A =


1 0 3
-2 2 1
0 1 1

 , B =


1
0
1

 , C =


0
2
1

 , D =


3
2
1

 .
9. Nechť A, B jsou regulární matice řádu n. Dokažte, že platí
(A  B)-1
= B-1
 A-1
.
10. Nechť A je regulární matice. Dokažte, že platí: (AT )-1 = (A-1)T
Výsledky
1. A-1 = 1
9 A
2. A-1 =


2 2 3
1 1 1
0 -1 -1


3. A-1 =


-1
2
1
2 1
3
2 -1
2 -1
-1 1 1


4. A-1 = 1
5


11 -5 -4
8 -5 -2
-10 5 5

, [x1, x2, x3] = [1, 2, 3]
5. [x1, x2, x3] = [2, -2, -1]
6. C-1Av + C-1Bv =


-1
0
1


7. A-1 =


1 0 0
1 -1 5
0 0 1


8. [1, 1, 0], [0, 1, 0], [-3
5 , -1
5 , 6
5 ]