Souřadnice vektoru, hodnost matice, Frobeniova
věta
1. Jsou dány vektory e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Rozhodněte, zda
vektory u, v, w tvoří bázi prostoru R3, je-li u = 2e1 + e2 + 3e3, v = e2 + 2e3,
w = e1 - e2 + 7e3.
2. Nechť vektory u, v, w tvoří bázi vektorového prostoru V . Rozhodněte, zda následující
vektory tvoří bázi prostoru V :
a) u + v, v - w, u + w,
b) 2u + v + 3w, v + 2w, u - v + 7w.
3. Ukažte, že vektory u1, u2, u3 tvoří bázi a spočtěte souřadnice vektoru x v této bázi.
a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 3), x = (6, 9, 14)
b) u1 = (1, 2, 3), u2 = (1, 1, 1), u3 = (1, 1, 2), x = (3, 4, 7)
c) u1 = (2, 1, -3), u2 = (3, 2, -5), u3 = (1, -1, 1), x = (6, 2, -7)
4. Mějme vektorový prostor P2 polynomů stupně maximálně 2. Nalezněte souřadnice
polynomu p(x) = 2x2 + 5x + 7 v uspořádané bázi B = ((x + 2)2, x + 2, 1).
5. Je dána homogenní soustava lineárních rovnic:
x1 + 2x2 - x3 =0
x1 - x2 + 3x3 =0.
Ověřte, že množina M všech řešení této soustavy je vektorový podprostor prostoru
R3. Určete dimM a najděte alespoň jednu bázi vektorového prostoru M.
6. Jsou dány homogenní soustavy nad R. Určete bázi a dimenzi podprostoru řešení
těchto soustav.
a) - x1 + 2x2 + 3x3 = 0 b) 2x1 - 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0
x1 - 4x2 - 13x3 = 0 3x1 - 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0
-3x1 + 5x2 + 4x3 = 0 4x1 - 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0
7. Najděte bázi a dimenzi vektorového prostoru V , kde
V = {x = (x1, x2, x3)T
 R3
: 2x1 + x2 - x3 = 0, x1 - x2 - x3 = 0}.
Výsledky
1. ano,
2. a) ne, b) ano,
3. a) x = (1, 2, 3), b) x = (1, 0, 2), c) x = (1, 1, 1)
4. p = (2, -3, 5)
5. dimenze je 1, bázi tvoří např. vektor (-5, 4, 3)
6. a) dimenze je 1, bázi tvoří např. vektor (-7, -5, 1),
b) dimenze je 2, bázi tvoří např. vektory (2, 0, -5, 7), (2, 1, 0, 0)
7. dimenze je 1, bázi tvoří např. vektor (0, 1, 1).