Kvadratické formy
1. Je dána bilineární forma B : R2 × R2  R definovaná vztahem
B(x, y) = x1y1 + 3x1y2 + 5x2y1 - 3x2y2.
Najděte kvadratickou formu příslušnou bilineární formě B a její matici.
2. Je dána bilineární forma B : P2 × P2  R definovaná předpisem
B(p(x), q(x)) = p(-1)q(2) + p(2)q(1)
(a) Nalezněte matici bilineární formy vzhledem ke standardní bázi E = (x2, x, 1)
a potom nalezněte matice její symetrické a antisymetrické části.
(b) Určete obraz dvojice polynomů p(x) = -3x2 + 5x + 2 a q(x) = 4x2 - 2x v
bilineární formě.
(c) Je kvadratická forma Q v P2 daná předpisem Q(p(x)) = 8a2 + 2c2 + 4ab +
+ 10ac + 4bc, příslušná k bilineární formě B, jestliže p(x) = ax2 + bx + c? Své
tvrzení zdůvodněte!
3. Klasifikujte následující kvadratické formy:
(a) Q: R2  R, Q(x) = 3x2
2 - 2x1x2,
(b) Q: R3  R, Q(x) = -3x2
1 - 4x2
2 - 2x2
3 + 6x1x2 + 2x1x3 - 4x2x3,
(c) Q: R3  R, Q(x) = x2
1 + x2
2 + x2
3 - 4x1x2 - 4x2x3,
(d) Q: R3  R, Q(x) = x2
1 + 4x2
2 + 8x2
3 - 4x1x2 + 6x1x3 - 12x2x3,
(e) Q: R3  R, Q(x) = x2
1 + x2
2 + 4x2
3 - x1x2 - x2x3.
4. Je dána kvadratická forma Q. Určete bázi, ve které má tato kvadratická forma
diagonální matici a formu klasifikujte.
(a) Q: R2  R, Q(x) = 3x2
1 + 2x1x2,
(b) Q: R2  R, Q(x) = -2x2
1 + 2x1x2 - 3x2
2,
(c) Q: R2  R, Q(x) = -2x2
1 - 2x1x2 - 1
2 x2
2,
(d) Q: R3  R, Q(x) = 2x2
1 + 4x2
2 + 29x2
3 + 4x1x2 - 12x1x3 - 4x2x3.
5. Najděte diagonální matici D, která je kongruentní s maticí A:
A =


2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2

 .
Výsledky
1. Q(x) = x2
1 + 8x1x2 - 3x2
2,
[Q] =
1 4
4 -3
2. (a) [B] =


8 6 5
-2 0 -1
5 3 2

 , [BS] =


8 2 5
2 0 1
5 1 2

 , [BA] =


0 4 0
-4 0 -2
0 2 0


(b) B(p, q) = -62,
(c) ano.
3. (a) indefinitní,
(b) negativně definitní,
(c) indefinitní,
(d) indefinitní,
(e) pozitivně definitní.
4. (a) indefinitní, báze D = ((1, 0), (1, -3)), [Q]D =
3 0
0 -3
.
(b) negativně definitní, báze D = ((1, 0), (1, 2)), [Q]D =
-2 0
0 -10
.
(c) negativně semidefinitní, báze D = ((1, 0), (1, -2)), [Q]D =
-2 0
0 0
.
(d) pozitivně definitní, báze D = ((1, 0, 0), (-1, 1, 0), (5, -2, 1)), [Q]D =


2 0 0
0 2 0
0 0 3

.
5. Například [Q] =


2 0 0
0 6 0
0 0 12

.