Elektronický učební materiál Počítačová podpora cvičení z předmětu M7521 Pravděpodobnost a statistika 1 s využitím programového systému STATISTKA Autoři: Mane Budíková, Štěpán Mikoláš Pracoviště: Katedra aplikované matematiky PřF MU v Brně Základní informace o programovém systému STATISTICA 6 Systém má modulární stavbu. V multilicenci pro Masarykovu univerzitu jsou k dispozici moduly: Basic Statistics/Tables, Multiple Regression, ANOVA, Nonparametrics, Distribution Fitting, Advanced Linear / Nonlinear Models, Multivariate Explorartory Techniques, Industrial Statistics & Six Sigma. Velké množství informací o systému STATISTICA lze najít na webové stránce společnosti StatSoft, která je jejím distributorem v České republice (www.statsoft.cz). Z této stránky vede rovněž odkaz na elektronickou učebnici statistiky. STATISTICA 6 má několik typů oken: • spreadsheet (datové okno, má příponu sta, jeho obsah však lze exportovat i v jiných formátech). Do datového okna lze načítat datové soubory nejrůznějších typů (např. z tabulkových procesorů, databázové soubory, ASCII soubory). • workbook (má příponu stw). Do workbooku ukládají výstupy, tj. tabulky a grafy. Skládá se ze dvou oken, v levém okně je znázorněna stromová struktura výstupů, v pravém jsou samotné výstupy. V levém okně se lze pohybovat myší nebo kurzorem, mazat, přesouvat, editovat apod. Výstupy mohou sloužit jako vstupy pro další analýzy a grafy. • report (má příponu str, lze ho uložit i ve formátu rtf, txt či htm). Pokud požadujeme, aby se výstupy ukládaly nejen do workbooku, ale i do reportu, postupujeme takto: Tools -Options - Output Manager - zaškrtneme Also send to Report Window - OK. Report se podobně jako workbook skládá ze dvou oken. Do reportu můžeme vkládat vlastní text, vysvětlující komentáře, poznámky apod. Tabulky a grafy lze v reportu i workbooku dále upravovat. • okno grafů (přípona stg, lze ho uložit i jako bmp, jpg, png a wmf). Získá se tak, že ve workbooku klikneme pravým tlačítkem na graf a vybereme Clone Graph. • programovací okno (přípona svb). Slouží pro zápis programů v jazyku STATISTICA Visual Basic. Mezi jednotlivými typy oken se přepínáme pomocí položky Window v hlavním menu. Téma 1: Bodové zpracování četností Vzorový příklad : U 20 studentů 1. ročníku byly zjišťovány známky z matematiky, angličtiny a údaje o pohlaví (viz skripta Popisná statistika, příklad 2.4). Příslušný datový soubor se jmenuje znamky.sta. Proveďte bodové zpracování četností. Postup ve STATISTICE : 1. Do programu STATISTICA načtěte datový soubor znamky.sta. 2. Znaky nazvěte X, Y, Z, vytvořte jim návěští (X - známka z matematiky, Y - známka z angličtiny, Z - pohlaví studenta) a popište, co znamenají jednotlivé varianty (u znaků X a Y: 1 - výborně, 2 - velmi dobře, 3 - dobře, 4 - neprospěl, u znaku Z: 0 - žena, 1 - muž). Soubor uložte. Návod : Kurzor nastavíme na Varl — 2x klikneme myší — Name X — Long Name známka z matematiky, Text label — výborně, Numeric — 1, velmi dobře, Numeric - 2, dobře, Numeric — 3, neprospěl, Numeric — 4, OK. U proměnné Y lze text label okopírovat z proměnné X — v Text Labels Editor zvolíme Copy from variable X. (Přepínání mezi číselnými hodnotami a jejich textovým popisem se děje pomocí tlačítka s obrázkem štítku.) 3. U znaků X a Y vypočtěte absolutní četnosti, relativní četnosti a relativní kumulativní četnosti. Návod: Statistics - Basic Statistics/Tables — Frequency tables — OK — Variables X, Y, OK — Summary. (Obě tabulky se uloží do workbooku a listovat v nich můžeme pomocí stromové struktury v levém okně.) Řešení: Frequency table: X: známka z matematiky (zr| Category Count Cumulative Count Percent Cumulative Percent výborně: 7 7 35,00000 35,0000 velmi dobře: 3 10 15,00000 50,0000 dobře 2 12 10,00000 60,0000 neprospěl: 8 20 40,00000 100,0000 Missing 0 20 0,00000 100,0000 Frequency table: Y: známka z angličtiny (znai| Category Count Cumulative Count Percent Cumulative Percent výborně: 4 4 20,00000 20,0000 velmi dobře: 4 8 20,00000 40,0000 dobře 7 15 35,00000 75,0000 neprospěl: 5 20 25,00000 100,0000 Missing 0 20 0,00000 100,0000 4. Vytvořte sloupkový diagram absolutních četností znaků X a Y. Návod : Graphs - Histograms - Variables X, Y - OK- vypneme Normal fit - Advanced - zaškrtneme Breaks between Columns, OK. Vytvořte výsečový diagram absolutních četností znaků X a Y. Návod: Graphs - 2D Graphs - Pie Charts - Variables X, Y - OK - Advanced - Pie legend Text and Percent (nebo Text and Value) - OK. Vytvořte polygon absolutních četností znaků X a Y. Návod: ve workbooku vstoupíme do tabulky rozložení četností proměnné X. Pomocí Edit -Delete - Cases vymažeme řádek označen) Missing. Nastavíme se kurzorem na Count a kliknutím pravého tlačítka vstupíme do menu Line Plot: Entire Columns. Vykreslí se polygon četností. Řešení: Sloupkový diagram. výborně velmi dobře dobře neprospě známka z matematiky Sloupkový diagram. výborně velmi dobře dobře neprospě známka z angličtiny Výsečový graf. Výsečový graf. velmidobře; 15% velmidobře; 20% známka z matematiky známka z angličtiny Polygon absolutních četností. Polygon absolutních četností. výborně velmi dobře: dobře známka z matematiky výborně velmi dobře: dobře známka z angličtiny 5. Vytvořte graf empirické distribuční funkce znaku X. Návod: Při tvorbě histogramu zadáme v Advanced volbu Showing Type Cumulative, Y axis % - 2x klikneme myší na pozadí grafu — otevře se okno All Options — vybereme Plot: Bars — Type Rectangles. Vytvořte graf četnostní funkce znaku X. dobře; 10% 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 neprospěl: neprospěl: Návod: Při tvorbě histogramu zadáme v Advanced Y axis % - 2x klikneme myší na pozadí grafu — vybereme Plot General — zaškrtneme Markers — vybereme Plot: Bars — Type Lines. Řešení: Empirická distribuční funkce. výborně velmi dobře dobře známka z matematiky Graf četnostní funkce. výborně velmidobře dobře neprospěl známka z matematiky 45% 120 40% 100 35% 30 30% 60 25% 1. 20% 40 15% 20 10% 0 20 nevyhovující 5 6. Z datového souboru vyberte pouze ženy (pouze muže) a úkol 3 proveďte pro ženy (pro muže). Návod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK -Select Cases — zaškrtneme Selection Conditions — Include cases — zaškrtneme Specific, selected by Z = 0, OK. Řešení Variační řady známek z matematiky a angličtiny pro ženy. Frequency table: X: známka z matematiky Count Cumulative Percent Cumulative Category Count Percent výborně: 5 5 50,00000 50,0000 velmi dobře: 2 ľ 20,00000 70,0000 dobře 1 B 10,00000 B0,0000 neprospěl: 2 10 20,00000 100,0000 Missing 0 10 0,00000 100,0000 Frequency table: Y: známka z angličtiny Count 1 Cumulative Percent Cumulative Category Count Percent výborně: 4 4 _ 40,00000 40,0000 velmi dobře: 2 B 20,00000 60,0000 dobře 1 ľ 10,00000 70,0000 neprospěl: 3 10 30,00000 100,0000 Missing 0 10 0,00000 100,0000 Variační řady známek z matematiky a z angličtiny pro muže. Frequency table: X: známka z matematiky Category Count Cumulative Count I Percent Cumulative Percent výborně: 2 2 20,00000 20,000( velmi dobře: 1 3 10,00000 30,000( dobře 1 4 10,00000 40,000( neprospěl: 6 10 60,00000 100,0000 Missing 0 10 0,00000 100,0000 Frequency table: Y: známka z angličtiny Category Count I Cumulative Count Percent Cumulative Percent velmi dobře: 2 2 20,00000 20,0000 dobře 6 8 60,00000 80,0000 neprospěl: 2 20,00000 100,0000 Missing 0 10 0,00000 100,0000 7. Nadále pracujte s celým datovým souborem. Vytvořte kontingenční tabulku absolutních četností znaků XaYa graf simultánní četností funkce. Návod: Statistics - Basic Statistics/Tables — Tables and banners — OK — Select cases — All -OK - Specify tables - List 1 X, List 2 Y, OK, Summary. Vytvoření grafu simultánní četnostní funkce: Návrat do Crosstabulation Tables Result — 3D histograms — vybereme Axis Scaling — Mode Manual — Minimum 0 (a totéž provedeme pro Axis Y) — dále vybereme Graph Layout — Type — Spikes — OK. Graf lze natáčet pomocí Point of View. Vytvořte kontingenční tabulku sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností znaků X a Y. Návod: Návrat do Crosstabulation Tables Result — Options - zaškrtneme ve sloupci Compute tables volbu Percentages of column counts (resp. Percentages of row counts). Řešení: Kontingenční tabulka absolutních četností známek z matematiky a z angličtiny. I Summary Frequency Table (znamky) Marked cells have counts > 10 (Marginal summaries are not marked) X Y Y Y Y Row výborně velmi dobře dobře neprospěl Totals výborně 4 1 2 0 ľ velmi dobře 0 2 1 0 3 dobře 0 0 1 1 2 neprospěl 0 1 3 4 8 All Grps 4 4 [ ľ 5 20 Simultánní četnostní funkce. Kontingenční tabulka sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností. Summary Frequency Table (znamky) Marked cells have counts > 10 (Marginal summaries are not marked) X Y Y Y Y Row výborně velmi dobře dobře neprospěl Totals Count výborně 4 1 2 0 7 Column Percent 100,00% 25,00% 28,57% 0,00% Row Percent 57,14% 14,29% 28,57% 0,00% Count velmi dobře 0 2 1 0 3 Column Percent 0,00% 50,00% 14,29% 0,00% Row Percent 0,00% 66,67% 33,33% 0,00% Count dobře 0 0 1 1 2 Column Percent 0,00% 0,00% 14,29% 20,00% Row Percent 0,00% 0,00% 50,00% 50,00% Count neprospěl 0 1 3 4 8 Column Percent 0,00% 25,00% 42,86% 80,00% Row Percent 0,00% 12,50% 37,50% 50,00% Téma 2: Intervalové zpracování četností Vzorový příklad: U 60 vzorků oceli byly zjišťovány hodnoty meze plasticity a meze pevnosti v kpcm-2 (viz skripta Popisná statistika, př. 2.5). Datový soubor se jmenuje ocel.sta. Proveďte intervalové zpracování četností. Postup ve STATISTICE: 1. Načtěte soubor ocel.sta. Proměnným X a Y vytvořte návěští „mez plasticity" a „mez pevnosti". 2. Pro X a Y použijeme intervalové zpracování četností. Podle Sturgesova pravidla je optimální počet třídicích intervalů 7. Musíme zjistit minimum a maximum, abychom vhodně stanovili třídicí intervaly. Návod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive statistics - Variables X,Y -zaškrtneme Minimum&maximum — Summary. (Pro X je minimum 33 a maximum 160, tedy vhodná volba třídicích intervalů je (30,50>, (50,70>, (150,170>, pro Y je minimum 52 a maximum 189, tedy třídicí intervaly zvolíme (50,70>, (70,90>, ..., (170,190> ) Řešení Variable Descriptive Statistics (o Minimum 1 Maximum 1 X 33,00000 160,0000 52,00000 189,0000 Y U znaku X volíme dolní mez prvního třídicího intervalu 30, horní mez posledního třídicího intervalu 170. U znaku Y volíme dolní mez prvního třídicího intervalu 50, horní mez posledního třídicího intervalu 190. Celkem tedy třídicí intervaly znak X budou: (30,50>, (50,70>, (70,90>, (90,110>, (110,130>, (130,150>, (150,170> a pro znak Y: (50,70>, (70,90>, (90,110>, (110,130>, (130,150>, (150,170>, (170,190>. 3. Vytvořte histogram pro X a pro Y. Návod: Graphs — Histograms — Variables X — vypneme Normal fit — Advanced — zaškrtneme Boundaries — Specify Boundaries — 50 70 90 110 130 150 170 OK —Y Axis %. Po vykreslení histogramu lze 2 x klepnout na pozadí grafu a ve volbě All Options měnit různé vlastnosti grafu. Řešení: Histogram. Histogram. 13% 10% 90 110 130 mez plasticity 23% 20% 10% 7% 90 110 130 150 170 mez pevnost 4. Proveďte zakódování hodnot proměnných X a Y do příslušných třídicích intervalů. Návod: Insert - Add Variables - 2 - After Y - OK - přejmenujeme je na RX a RY. Nastavíme se kurzorem na RX - Data - Recode - vyplníme podmínky pro všech 7 kategorií. (Pozor - podmínky se musí psát ve tvaru X > 30 and X <= 50 atd.(. Pak klepneme na OK. Analogicky pro Y. 27% 27% 23% 20% 1 7% 1 7% 13% 7% 3% 0% 70 190 50 70 150 170 5. Vytvořte graf intervalové empirické empirické distribuční funkce pro X. Návod: Vytvoříme Frequency table pro RX. Před 1. případ vložíme řádek, kde do Category napíšeme 0 a do Cumulative Percent také 0. Nastavíme se kurzorem na Cumulative Percent -Graphs — Graphs of Block Data — Custom Graph from Block by Column — Line Plots (Variables)-OK. Řešení Tabulka četností:RX (ocel) Četnost Kumulativní Rel.četnost Kumulativní Kategorie četnost rel.četnost 0 0,0000 1 8 8 13,33333 13,3333 2 4 12 6,66667 20,0000 3 13 25 21,66667 41,6667 4 15 40 25,00000 66,6667 5 9 49 15,00000 81,6667 6 7 56 11,66667 93,3333 7 4 60 6,66667 100,0000 ChD 0 60 0,00000 100,0000 Tabulka četností:RY (ocel) Četnost Kumulativní Rel.četnost Kumulativní Kategorie četnost rel.četnost 0 0,0000 1 5 5 8,33333 8,3333 2 10 15 16,66667 25,0000 3 14 29 23,33333 48,3333 4 13 42 21,66667 70,0000 5 9 51 15,00000 85,0000 6 6 57 10,00000 95,0000 7 3 60 5,00000 100,0000 ChD 0 60 0,00000 100,0000 ó. Sestavte kontingenční tabulky absolutních četností (relativních četností, sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností) dvourozměrných třídicích intervalů pro (X,Y). Návod: Viz úkol č. 7 v tématu l, kde budeme pracovat s proměnnými RX a RY. Řešení: Kontingenční tabulky absolutních a relativních četností. Summary Frequency Table (ocel) Table: RX(ľ) x RY(ľ)_ RX RY RY RY RY RY RY RY Row (50,ľ0> (ľ0,90> Í90,110>110,130l130,150l150,1ľ0 ľ0,190 Totals Count (30,50> 5 3 0 0 0 0 0 8 Total Percent 8,33% 5,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 13,33% Count (50,ľ0> 0 3 1 _0 0 0 0 4 Total Percent 0,00% 5,00% 1,6ľ% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 6,6ľ% Count (ľ0,90> 0 4 ľ 1 1 0 0 13 Total Percent Ía00°/o 6,6ľ% 11,6ľ% 1,6ľ% 1,6ľ% 0,00% 0,00% 21,6ľ% Count (90,110> 0 0 6 8 1 0 0 15 Total Percent 0,00% 0,00% 10,00% 13,33% 1,6ľ% 0,00% 0,00% 25,00% Count 110,130: 0 0 0 4 5 _0 _0 9 Total Percent 0,00% 0,00% 0,00% 6,6ľ% 8,33% 0,00% 0,00% 15,00% Count (130,150 0 0 0 0 2 5 0 ľ Total Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 3,33% 8,33% 0,00% 11,6ľ% Count (150,1 ľ0 0 0 0 0 0 1 _3 4 Total Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 1,6ľ% 5,00% 6,6ľ% Count All Grps 5 10 14 13 9 6 3 60 Total Percent 8,33% 16,6ľ% 23,33% 21,6ľ% 15,00% 10,00% 5,00% Kontingenční tabulky řádkově a sloupcově podmíněných relativních četností. Summary Frequency Table (ocel) Table: RX(7) x RY(7) RX H RY Row Totals Count "j 3 0 8 Row Percent 62,50% 37,50% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Count 2 _0 3 1 0 0 0 0 4 Row Percent 0,00% 75,00% 25,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Count 3 0 4 7 1 1 0 0 13 Row Percent 0,00% 30,77% 53,85% 7,69% 7,69% 0,00% 0,00% Count 4 0 0 6 8 1 0 _0 15 Row Percent 0,00% 0,00% 40,00% 53,33% 6,67% 0,00% 0,00% Count 5 0 0 0 4 5 0 0 9 Row Percent 0,00% 0,00% 0,00% 44,44% 55,56% 0,00% 0,00% Count 6 0 0 0 0 2 5 0 7 Row Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 28,57% 71,43% 0,00% Count 7 0 0 0 _0_ 0 1 3 4 Row Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 25,00% 75,00% Count All Grps 5 j0 14 13 9 6 3 60 Summary Frequency Table (ocel) Table: RX(7) x RY(7) RX RY RY RY RY RY RY RY Row 1 2 3 4 5 6 7 Totals Count 1 5 3 0 0 0 0 0 8 Column Percent 100,00% 30,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Count 2 0 3 1 0 0 0 0 4 Column Percent 0,00% 30,00% 7,14% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Count 3 0 4 7 1 1 0 0 13 Column Percent 0,00% 40,00% 50,00% 7,69% 11,11% 0,00% 0,00% Count 4 0 0 6 8 1 0 0 15 Column Percent 0,00% 0,00% 42,86% 61,54% 11,11% 0,00% 0,00% Count 5 0 0 0 4 5 0 0 9 Column Percent 0,00% 0,00% 0,00% 30,77% 55,56% 0,00% 0,00% Count 6 0 0 0 0 2 5 _0 7 Column Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 22,22% 83,33% 0,00% Count 7 0 0 0 0 0 1 3 4 Column Percent 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 16,67% 100,00% Count All Grps 5 10 14 13 9 6 3 60 7. Vytvořte stereogram pro (RX,RY). Návod: V tabulce Crosstabulation Tables Result zaškrtneme 3D histograms. Ve volbě Axis Scaling (pro RX i pro RY) změníme Mode na Manual — Minimum 0. Řešení: 8. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram pro (X,Y). Návod: Graphs - Scatterplots - Variables X,Y - OK vypneme Linear fit - OK. Řešení Dvourozměrný tečkový diagram. 100 80 o ( °° 0 o ° o° o ° o 0 o 0 o 0 o o o 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 mez plasticity Téma 3: Výpočet číselných charakteristtk jednorozměrného datového souboru Vzorový příklad: Pro následující datové soubory vypočtěte číselné charakteristiky. Postup ve STATISTICE: 1. Načtěte soubor znamky.sta. Pro známky z matematiky a angličtiny vypočtěte medián, dolní a horní kvartil a kvartilovou odchylku. Výsledky porovnejte s údaji ve skriptech Popisná statistika (viz str. 28). Návod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK — zaškrtneme Median, Lower & upper quartiles, Quartile range — Summary. Řešení Variable Descriptive Statistics (znamky) Median I Lower 1 Upper 1 Quartile 1 Quartile 1 Quartile 1 Range X 2,500000 1,000000 4,000000 3,000000 3,000000 2,000000 3,500000 1,500000 Y 2. Načtěte soubor ocel.sta. Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočtěte aritmetické průměry, směrodatné odchylky a rozptyly. Výsledky porovnejte s údaji ve skriptech Popisná statistika (viz str. 3O). Návod: Stastistics - Basic StatisticsETables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK - zaškrtneme Mean, Standard Deviation, Variance - Summary. Vysvětlení: Rozptyl a směrodatná odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak než ve skriptech, protože STATISTICA ve vzorci pro výpočet rozptylu nepoužívá l En, ale lE(n-l). Řešení Descriptive Statistics (ocel) Variable Mean Variance Std.Dev. X 95,8833 1070,240 32,71453 Y 114,4000 1075,125 32,78911 3. Je třeba si uvědomit, že průměr a rozptyl nepopisují rozložení četností jednoznačně. Existují datové soubory, které mají shodný průměr i rozptyl, ale přesto se jejich rozložení četností velmi liší. Tuto skutečnost dobře ilustruje následující příklad: Tři skupiny studentů o počtech 149, 69 a 11 odpovídaly při testu na 10 otázek. Znak X je počet správně zodpovězených otázek. Známe absolutní četnosti znaku X ve všech třech skupinách. č. sk. X O l 2 4 L ó 7 8 W lO l 2 L lL 2O 2L lL 2L 2O lL L 2 2 4 2 l O 4W O l 2 4 l O O O O W O O O O l Vypočtěte průměr (mean), rozptyl (variance), šikmost (skewness) a špičatost (kurtosis) počtu správně zodpovězených otázek ve všech třech skupinách. Nakreslete sloupkové diagramy absolutních četností. Návod: Při zadávaní dat do STATISTIKY utvořte čtyři proměnné all případů. V 1. sloupci budou varianty znaku X (tj. 0 až 10), v dalších sloupcích pak absolutní četnosti. Proměnné pojmenujeme X, SK1, SK2, SK3. V tabulce Descriptive Statistics zadáme Variable X a klepneme na tlačítko W, abychom program upozornili, že budeme pracovat s daty zadanými pomocí absolutních četností. Zadáme Weight variable SK1, zaškrtneme Status On, OK -zaškrtneme Mean, Variance, Skewness, Kurtosis — Summary. Dále pro znak X nakreslíme sloupkový diagram — viz úkol č. 4 v tématu „Bodové rozložení četností". Tytéž úkoly provedeme s Weight variable SK2 a SK3. Řešení: 1. skupina (X weightet by SK1) Variable Descriptive Statistics Mean 1 Variance 1 Skewness Kurtosis X 5,000000 5,000000 -0,00000C -0,75950C 2. skupina (X weightet by SK2) Variable Descriptive Statistics Mean 1 Variance 1 Skewness Kurtosis X 5,000000 5,000000 -0,000000 1,291133 3. skupina (X weightet by SK3) Variable Descriptive Statistics (cischar) Mean 1 Variance 1 Skewness Kurtosis X 5,000000 5,000000 -0,000000 5,000000 Sloupkový diagram. 26i-1-■-■-1-■-■-1-■-■-1-■-124---------- 22---------- 20---------- ---------1- - 18---------- 16---------- 12---------- 10 ■ 8 ---------- 6 ---------- 1 .n ,1.1,1,1.1,1,1.1,^ 01 23456789 10 X váženo přes SK1 Sloupkový diagram. 50|-■-1-■-■-■-■-■-■-1 50 X váženo přes SK2 Sloupkový diagram. 2 3 4 5 6 7 X váženo přes SK3 D 3 1D Interpretace: Všechny tři skupiny mají týž průměr, rozptyl a šikmost, liší se pouze ve špičatosti. Rozložení četností počtu správně zodpovězených otázek je ovšem velmi rozdílné. Téma 3 Korelace a regrese Vzorový příklad: Pro následující datové soubory proveďte korelační, resp. regresní analýzu. Postup ve STATISTICE : 1. Načtěte soubor znamky.sta. Vypočtěte Spearmanův korelační koeficient známek z matematiky a angličtiny pro všechny studenty, pak zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Získané výsledky interpretujte. (Spearmanův korelační koeficient měří těsnost lineární závislosti dvou ordinálních proměnných x, y a počítá se podle vzorce: rs = 1 - -rf-n Ž (Ri - Qi )2, n(n -1)t=f kde R je pořadí xr tj. počet těch hodnot x1, xn, které jsou ] xi a Qi je pořadí yi.( Návod : Po načtení souboru zvolíme Statistics — Nonparametrics — Correlations — OK -Variables First variable list X, Second variable list Y — OK — Spearman R. Počítáme-li rSpro muže, vybereme v tabulce tabulce Nonparametric Correlation tlačítko Select Cases — Specific, select by Z=1. Řešení Pro všechny Pair of Variables Spearman Rank Order Correlations (zna MD pairwise deleted Marked correlations are significant at p < Valid 1 Spearman t(N-2) 1 p-level N R X & Y 20 0,688442 4,027090 0,000791 Pro muže (if Z=1) Pair of Variables Spearman Rank Order Correlations (zna MD pairwise deleted Marked correlations are significant at p < Valid Spearman t(N-2) p-level N R X & Y 10 0,373544 1,138990 0,287662 Pro ženy (if Z=0) Pair of Variables Spearman Rank Order Correlations (zna MD pairwise deleted Marked correlations are significant at p < Valid 1 Spearman t(N-2) p-level N R X & Y 10 0,860314 4,773446 0,001402 2. Vysvětlení významu Pearsonova korelačního koeficientu: Načtěte soubor korkoef.sta, který obsahuje proměnné X,Y1,Y2,Y3,Y4, X4. Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty dvojic proměnných (X,Y1), (X,Y2), (X,Y3), (X4,Y4) a pro každou z uvedených dvojic proměnných nakreslete dvourozměrný tečkový diagram. Pro které dvojice proměnných se hodí Pearsonův korelační koeficient jako vhodná míra těsnosti lineární závislosti? Návod : Statistics — Basis Statistics/Tables — Correlation matrices — OK — One variable list X, Y1 — OK — Summary: Correlation matrix — Návrat do Product-Moment and Partial Correlations — Advanced/plot — 2D Scatterplots — OK — First X, Second Y1 — OK. Analogicky pro ostatní dvojice proměnných. Řešení Correlations (korkoe Variable X Y1 X 1,000000 0,816421 Y1 0,81642l| 1,000000 Correlations (korkoe Variable X YS X 1,000000 0,816287 YS 0,816287 1,000000 Correlations (korkoe Variable X Y2 Y2 1,000000 0,8162S7 0,8162S7 1,000000 Variable Correlations (korkoe X4 X4 1,000000 0,816521 0,816521 1,000000 Y4 Dvourozměrný tečkový diagram r = 0,81642 2 4 6 8 10 12 14 16 X Dvourozměrný tečkový diagram r = 0,81629 8 10 X 2 6 Dvourozměrný tečkový diagram r = 0,81624 2 4 6 8 10 12 14 16 X Dvourozměrný tečkový diagram r = 0,81652 12 14 X4 12 10 11 10 9 8 >- 7 5 6 4 5 4 2 14 1S 1S 12 11 10 C3 >- >- 9 4 2 4 6 12 14 16 6 8 10 16 8 20 S. Načtěte do STATISTIKY soubor oceLsta. Vypočtěte kovarianci a Pearsonův koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Porovnejte s výsledky ve skriptech Popisná statistika (str. SO). Návod r Po načtení souboru zvolíme Statistics - Multiple Regression - Variables Independent X, Dependent Y - OK - OK - ResidualsEassumption-prediction - Descriptive statistics -Covariances. Pro získání korelačního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances. Vysvětlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než ve skriptech, protože ve STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá l En, ale lE(n-l). Řešení: Variable Correlations (ocel) X Y X 1,000000 0,934548 0,934548 1,000000 Y Variable Covariances (ocel) X Y X 1070,240 1002,471 1002,471 1075,125 Y 4. Určete koeficienty regresní přímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Určete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu. Návod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y -OK — Summary:Regression results. Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na řádku označeném Intercept, koeficient b1 ve sloupci B na řádku označeném X, index determinace pod označením R2. Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict dependent variable X:110 - OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako Predictd. Nakreslení regresní přímky: Návrat do Multiple Regression — Residuals / assumption / prediction — Perform residuals analysis — Scatterplots — Bivariate correlation — X, Y — OK. Jiný způsob: Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak, že v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK. Řešení Summary Statistic Value Multiple R 0,9345 Multiple R2 0,8734 Adjusted R2 0,8712 F(1,58) 400,0641 p 0,0000 Std.Err. of Estimate 11,7677 Variable Predicting Values for (ocel) variable: Y B-Weight Value B-Weight * Value X Intercept 0,936679 110,0000 103,0346 24,5881 Predicted 127,6228 -95,0%CL +95,0%CL 124,3063 130,9392 N=60 Regression Summary for Dependent Variable:Y (ocel) R= ,93454811 R2= ,87338017 Adjusted R2= ,87119707 F(1,58)=400,06 p<0,0000 Std.Error of estimate: 11,768 Beta I Std.Err. B 1 of Beta Std.Err. t(58) p-level of B Intercept 24,58814 4,740272 5,18707 0,000003 X 0,934548 0,046724 0,93668 0,046830 20,00160 0,000000 Regresní přímka me ze pevnosti na mez plasticity. Y = 24,5881+0,9367*x ° —- 80 SO 40 20 Model s převrácenou hodnotou Summary Statistic Value Multiple R 0,94282 Multiple R2 0,88891 Adjusted R2 0,866ľ0 F(1,5) 40,01016 p 0,00146 Std.Err. of Estimate 12,45245 Predicting Values for (stroje) variable: Y Variable B-Weight Value B-Weight * Value INVX -84,4832 0,250000 -21,1208 Intercept 126,6192 Predicted 105,4984 -95,0%CL 91,5231 +95,0%CL 119,4ľ38 N=7 Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje) R= ,94282234 R2= ,88891396 Adjusted R2= ,86669676 F(1,5)=40,010 p<,00146 Std.Error of estimate: 12,452 Beta Std.Err. I B 1 Std.Err. t(5) p-level of Beta 1 of B Intercept 126,6192 ľ,6ľ32ľ 16,50134 0,000015 INVX -0,942822 0,149054 -84,4832 13,3562ľ -6,32536 0,001456 Model s logaritmem Summary Statistic Value Multiple R 0,95349 Multiple R2 0,90915 Adjusted R2 0,8909ľ F(1,5) 50,03321 p 0,0008ľ Std.Err. of Estimate 11,26153 Predicting Values for (stroje) variable: Y Variable B-Weight Value B-Weight * Value LOGX 93,234ľ2 0,602060 56,1329 Intercept 44,645ľ Predicted 100,ľľ86 -95,0%CL 88,9325 +95,0%CL 112,624ľ N=7 Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje) R= ,95349135 R2= ,90914576 Adjusted R2= ,89097491 F(1,5)=50,033 p<,00087 Std.Error of estimate: 11,262 Beta 1 Std.Err. 1 B 1 Std.Err. 1 t(5) p-level 1 of Beta 1 of B Intercept 44,64571 7,49541 5,956407 0,001907 0,953491 0,134799 93,23472 13,18100 7,073415 0,000874 LOGX Regresní přímka. y=44,6457+93,2347*log(x) -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 _OGX Nejvyšší hodnotu indexu determinace vykazuje model s logaritmem. Výsledky všech čtyř modelů: 140 120 sz "O EZ EZ OJ "O 60 40 y - yochl 0 1 2 3 4 5 6 7 8-«- joch3 yxhi4 stáří stroje v letech 140 120 100 >- 80 60 40 20 Zi >N "O •Z3 100 80 Téma 5: Výpočty pravděpodobností pomocí distribuční funkce binomického rozložení STATISTICA poskytuje hodnoty distribučních funkcí mnoha rozložení. Omezíme se na binomické rozložení (funkce IBinom(x,p,n), kde x ... počet úspěchů, p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu, n ... celkový počet pokusů). Vzorový příklad na binomické rozložení: Pojišťovna zjistila, že 12% pojistných událostí je způsobeno vloupáním. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 30 náhodně vybranými pojistnými událostmi bude způsobeno vloupáním a) nejvýše 6, b) aspoň 6, c) právě 6, d) od dvou do pěti? Řešení Náhodná veličina X udává počet pojistných událostí způsobených vloupáním, X~Bi(30; 0,12). ad a) P(X<6) = 0(6) = 0,9393, ad b) P(X>6) = 1 - P(X<5) = 1 - 0(5) = 0,1431, ad c) P(X=6) = O (6) - 0(5) = 0,0825, ad d) P(26) = 1-P(X<5) = 1-0(5) = 1-IBinom(5;0,12;30) = 0,143077 c) P(X=6) = P(X<6)-P(X<5) = IBinom(6;0,12;30)-IBinom(5;0,12;30) = 0,082470 d) p(23) = 1 -P(X<3) = 1 -P(X<2) = 1 - O(2) = 1 - IBinom(2;0,2;7) = 0,148032 Příklad 4.12. Úspěch je výhra partie se stejně silným soupeřem, když remíza je vyloučena Pravděpodobnost úspěchu ů = 0,5, X udává počet úspěchů a) n = 4 b) n = 8 Řešení ad a) P(X=3) = P(X<3) - P(X<2) = 0(3)-0(2) =IBinom(3;0,5;4) - IBinom(2;0,5;4) = 0,250000 ad b) P(X=5) = P(X<5) -P(X<4) = 0(5)-0(4) =IBinom(5;0,5;8) - IBinom(4;0,5;8) = 0,218750 Příklad 4.13. n = 20, úspěch je padnutí tří líců při hodu třemi mincemi, ů = 1/8 = 0,125, X udává počet úspěchů Řešení P(X>1) = 1 -P(X<1) = 1 -P(X<0) = 1 - IBinom(0;0,125;20) = 0,930791 Příklad 4.14. n = 5, úspěch je padnutí tří jedniček při hodu třemi kostkami, ů = 1/63 = 1/216 , X udává počet úspěchů Řešení P(X=2) = P(X<2) -P(X<1) = O(2) - 0(1) =IBinom(2;1/216;5) - IBinom(1;1/216;5) = 0,000211 Téma 6: Kreslení grafů distribuční funkce a pravděpodobnostní funkce binomického rozložení Vzorový příklad: Nakreslete graf distribuční funkce a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X - Bi (12; 0,3) Postup ve STATISTICE: Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 13 případech. První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0, 1, 12 (do Long Name napíšeme =v0-1). Druhou proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Long Name napíšeme příkaz =IBinom(x;0,3;12)). Třetí proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty pravděpodobnostní funkce (do Long Name napíšeme příkaz =Binom(x;0,3;12)). Graf distribuční funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, DF - OK - vypneme Linear fit -OK - 2x klikneme na pozadí grafu - PlotGeneral - zaškrtneme Line - Line Type: Step - OK. Graf pravděpodobnostní funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, PF - OK - vypneme Linear fit - OK. Podle tohoto návodu nakreslete grafy distribučních a pravděpodobnostních funkcí binomického rozložení pro různá nap, např. n=5, p=0,5 (resp. 0,75) apod. Sledujte vliv parametrů na vzhled grafů. Řešení Distribuční funkce Bi(0,3;12) □JE □JE □m □JE □JE -ajg Pravděpodobnostní funkce. Bi(0,3;12) 2 4 6 B ID 12 li Distribuční funkce. Bi(0,75;12) Pravděpodobnostní funkce. Bi(0,75;12) Distribuční funkce Bi(0,1;12) Pravděpodobnostní funkce. Bi(0,1;12) Disstribuční funkce. Bi(0,5;12> Distribuční funkce. Bi(0,5;12) 1D 12 12 r Ifl ■ ap ■ Distribuční funkce. Bi<0,5;5) Pravděpodobnostní funkce. Bi<0,5;5) □ 1 2 3 i Distribuční funkce. Bi(0,75;5) Pravděpodobnostní funkce. Bi(0f75;S) 2 3 i Téma 7: Výpočet střední hodnoty, rozptylu, kovariance a koeficientu korelace u diskrétních náhodných veličin. Vzorový příklad 1. Postupně se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší jen tehdy, když předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobností 0,8. Náhodná veličina X udává počet zkoušených přístrojů. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. Řešení: X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4 a její pravděpodobnostní funkce je 7i(l) = 0,2,7i(2) = 0,8*0,2 = 0,16, h(3) = 0,82*0,2 = 0,128, h(4) = 0,83*0,2 + 0,84 = 0,5 1 2, h(0) = 0 jinak E(x) = 1*0,2 + 2*0,16 + 3*0,128 + 4*0,512 = 2,952 D(X) = 12*0,2 + 22*0,16 + 32*0,128 + 42*0,512 - 2,9522 = 1,4697 Postup ve STATISTICE; Otevřeme nový datový soubor o čtyřech případech a pěti proměnných, které nazveme x,pi(x),x*pi(x),xkvadrat,xkvadrat*pi(x). První proměnnou naplníme hodnotami náhodné veličiny X, druhou hodnotami její pravděpodobnostní funkce. Do třetí proměnné uložíme součin xh(x) (do Long name napišeme =v1*v2), do čtvrté x2 (do Long name napíšeme =vJ2), do páté součin x h(x) (do Long name napíšeme v4*v2). x pi(x) x*pi(x) xkvadrat xkvadrat* pi(x) 1 O,2 O,2 1 O,2 2 O,16 O,32 4 O,64 3 O,128 O,384 9 1,152 4 O,512 2,O48 16 8,192 Výpočty E(X) a D(X) provedeme takto: Statistics - Basic Statistics /Tables - Descriptive Statistics -Variables x* pi (x), xkvadrat*pi(x) -OK, zaškrtneme Sum - Summary Proměnnou Sum ve workbooku transponujeme: Data - Transpose - File. Proměnou x*pi(x) přejmenujeme na E (X) (vidíme, že E (X) p 2,952). Přidáme (ve workbooku) proměnnou D(X) a do jejího Long name napíšeme p v2-vJ2. Vidíme, že D(X) p 1,4697. Variable Descriptiv Sum x*pi(x) 2,95200 10,18400 xkvadraťpi(x) Vzorový příklad 2. Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná veličina Y příjem manželky (v tisících dolarů. Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce h(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X,Y): h(10,10) = 0,2, h(10,20) = 0,04, h(10,30) = 0,01, h(10,40) = 0, rc(20,10) = 0,1,7i(20,20) = 0,36, h(20,30) = 0,09, h(20,40) = 0, h(30,10) = 0, h(30,20) = 0,05,7i(30,30) = 0,1,7i(30,40) = 0, ti(40,10) = 0, ti(40,20) = 0, ti(40,30) = 0, ti(40,40) = 0,05, 7i(x,y) = 0 jinak. Vypočtěte koeficient korelace příjmů manžela a manželky. Řešení Náhodná veličina X i náhodná veličina Y nabývají hodnot 10, 20, 30, 40. Stanovíme hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí: h1(10) = 0,25, 7i1(20)=0,55, h1(30) = 0,15, h1(40) = 0,05, h1(x) = 0 jinak, h2(10) = 0,3, h2(20) = 0,45, h2(30) = 0,2, h2(10) = 0,05, h2(y) = 0 jinak. Spočteme E(X) = 20, E(Y) = 20, D(X) = 60, D(Y) = 70. Dosazením do vzorce pro výpočet kovariance zjistíme, že C(X,Y) = 49, tedy koeficient korelace R(X,Y) = 49/V60V70 = 0,76. Postup ve STATISTICE: Budeme potřebovat dva nové soubory. První pro výpočet středních hodnot a rozptylů, druhý pro výpočet kovariance a koeficientu korelace. První soubor bude mít 4 případy a 10 proměnných. Zde jsou pro výpočet středních hodnot a rozptylů použity dva soubory vzhledem k přílišné délce tabulky pro obě náhodné veličiny. x pi(x) x*pi(x) xkvadrat xkvadrat*pi(x) 10 0,25 2,5 100 25 20 0,55 11 400 220 30 0,15 4,5 900 135 40 0,05 2 1600 80 Variable Descriptiv Sum x*pi(x) 20,0000 460,0000 xkvadrat*pi(x) y pi(y) yipi(y) ykvadrat ykvadrat*pi(y) 10 0,3 3 100 30 20 0,45 9 400 180 30 0,2 6 900 180 40 0,05 2 1600 80 Variable Descriptiv y*pi(y) 20,0000 470,0000 ykvadrat*pi(y) Nyní vytvoříme nový datový soubor o 16 případech a 4 proměnných, které nazveme x,y,pi(x,y), a x*y*pi(x,y). Do první proměnné napíšeme 10, 10, 10, 10, 20, 20, 20, 20, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 40, 40 a do druhé proměnné 10, 20, 30, 40, 10, 20, 30, 40, 10, 20, 30, 40, 10, 20, 30, 40. Do třetí proměnné zapíšeme hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce h(x,y) a do čtvrté proměnné uložíme součin xyh(x,y) (do Long name napíšeme =v!*v2*v3). x y pi(x,y) x*y*pi(x,y) 10 10 0,2 20 10 20 0,04 8 10 30 0,01 3 10 40 0 0 20 10 0,1 20 20 20 0,36 144 20 30 0,09 54 20 40 0 0 30 10 0 0 30 20 0,05 30 30 30 0,1 90 30 40 0 0 40 10 0 0 40 20 0 0 40 30 0 0 40 40 0,05 80 Statistics - Basic Statistics/Tables - Variables x*y*pi(x,y) - OK , zaškrtneme Sum — Summary. Variable Descriptiv Sum x*y*pi(x,y) 449,0000 Proměnnou Sum ve workbooku přejmenujeme na E(X,Y) a přidáme k ní 6 nových proměnných E(X), E(Y), D(X), D(Y), C(X,Y), R(X,Y). Do proměnných E(X), E(Y), D(X), D(Y) napíšeme vypočtené střední hodnoty a rozptyly. Do Long name proměnné C(X,Y) napíšeme=vl-vv2*v3 a do Long name proměnné R(X,Y) napíšeme =v6/sqrt(v4*v5). E(X,Y) E(X) E(Y) D(X) D(Y) C(X,Y) R(X,Y) x*y*pi(x,y) 449 20 20 60 70 49 0,756086 Vzorový příklad 3. Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl. Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Její pravděpodobnostní funkce je 7i(l) = 1/6, h(2) = 1/6, h(3) = 1/6, h(4) = 1/6, h(5) = 1/6, ti(6) = 1/6, rc(x) = 0 jinak E(X) = (1/6)(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5 E(X2) = (1/6)(1+4+9+16+25+36) = 91/6 D(X) = E(X2) - pE(X)]2 = 91/6-49/4 = 35/12 Postup ve STATISTICE: Otevřeme nový datový soubor o čtyřech případech a pěti proměnných, které nazveme x, pi(x), x*pi(x), xkvadrat, xkvadrat*pi(x). První proměnnou naplníme hodnotami náhodné veličiny X, druhou hodnotami její pravděpodobnostní funkce (do Long name napíšeme =1/6). Do třetí proměnné uložíme součin xh(x) (do Long name napišeme =v!*v2), do čtvrté x2 (do Long name napíšeme —vJ2), do páté součin x2 n(x) (do Long name napíšeme v4*v2). X pi(x) x*pl(x) xkvadrat xkvadrat*pl(x) 1 0,166666667 0,166666667 1 0,166666667 2 0,166666667 0,333333333 4 0,666666667 3 0,166666667 0,5 9 1,5 4 0,166666667 0,666666667 16 2,66666667 5 0,166666667 0,833333333 25 4,16666667 6 0,166666667 1 36 6 Výpočty E(X) a D(X) provedeme takto: Statistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics -Variables x*pl(x), xkvadrat*pi(x) -OK, zaškrtneme Sum — Summary Proměnnou Sum ve workbooku transponujeme: Data — Transpose — File. Proměnou x*pi(x) přejmenujeme na E (X) (vidíme, že E (X) = 2,952). Přidáme (ve workbooku) proměnnou D(X) a do jejího Long name napíšeme = v2-vJ2. Vidíme, že D(X) = 1,4697. Variable Descriptiv Sum x*pi(x)_ xkvadraťpi(x) 3,50000 15,16667 Vzorový příklad 4. Diskrétní náhodný vektor (X1;X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci s hodnotami ti(0,-1) = c, ti(0,0) = h(0,1) = = h(2,-1) = 0, ti(1,0) = = = h(2,1) = 2c, h(2,0) = 3c, ft(x,y) = 0 jinak. Určete konstantu c a vypočtěte R(X1,X2). Řešena Náhodná veličina X1 nabývá hodnot 0, 1, 2, náhodná veličina X2 nabývá hodnot —1, 0, 1. Součet hodnot simultánní pravděpodobnostní funkce musí být roven jedné a odtud 10c = 1, tedy c = 0,1. Stanovíme hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí: h1(0) = 0,1, = 0,4, h1(2) = 0,5, h1(x) = 0 jinak, h2(-1) = 0,1, h2(0) = 0,5, h2(1) = 0,4, h2(y) = 0 jinak. Spočteme E(X) = 20, E(Y) = 20, D(X) = 60, D(Y) = 70. Dosazením do vzorce pro výpočet kovariance zjistíme, že C(X,Y) = 49, tedy koeficient korelace R(X,Y) = 49/V60Y70 = 0,76. Postup ve STATISTICE: Budeme potřebovat tři nové soubory. První dva pro výpočet středních hodnot a rozptylů, třetí pro výpočet kovariance a koeficientu korelace. První dva soubory bude mít po 3 případy a 5 proměnných. x1 pi(x1) x1*pi(x1) x1kvadrat x1kvadrat*pi(x1) 0 0,1 0 0 0 1 0,4 0,4 1 0,4 2 0,5 1 4 2 Variable Descriptiv Sum x1*pi(x1) 1,400000 2,400000 x1kvadrat*pi(x1) x2 -1 pi(x2) O,l x2*pi(x2) -o,i x2kvadrat 1 x2kvadrat*pi(x2) 0,1 O O,5 O 0 0 1 O,4 0,4 1 0,4 Variable Descriptiv Sum x2*pi(x2) 0,300000 0,500000 x2kvadrat*pi(x2) Nyní vytvoříme nový datový soubor o 9 případech a 4 proměnných, které nazveme x1, x2, pi(x1,x2), x1*x2*pi(x1,x2). Do první proměnné napíšeme 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2 a do druhé proměnné —1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1. Do třetí proměnné zapíšeme hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce h(x1,x2) a do čtvrté proměnné uložíme součin x1x2h(x1,x2) (do Long name napíšeme =v1*v2*v3)). xl x2 pi(xl,x2) xl*x2*pi(xl,x2) 0 -1 0,1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 0,2 0 1 1 0,2 0,2 2 -1 0 0 2 0 0,3 0 2 1 0,2 0,4 Statistics - Basic Statistics/Tables - Variables xl*x2*pi(xl,x2) - OK , zaškrtneme Sum — Summary. Variable Descriptiv Sum x1*x2*pi(x1,x2) 0,600000 Proměnnou Sum ve workbooku přejmenujeme na E(Xl*X2) a přidáme k ní 6 nových proměnných E(Xl), E(X2), D(Xl), D(X2), C(Xl,X2), R(Xl,X2). Do proměnných E(Xl), E(X2), D(Xl), D(X2) napíšeme vypočtené střední hodnoty a rozptyly. Do Long name proměnné C(X,Y) napíšeme =vl-v2*v3 a do Long name proměnné R(X,Y) napíšeme =v6/sqrt(v4*v5). E(X1*X2) E(X1) E(X2) D(X1) D(X2) C(X1,X2) R(X1,X2) xl*x2*pi(xl,x2) 0,600000 1,4 0,3 0,44 0,41 0,18 0,42379 Téma 8: Ilustrace empirického zákona velkých čísel Empirický zákon velkých čísel: Se vzrůstajícím počtem pokusů se relativní četnost úspěchu ustaluje kolem pravděpodobnosti úspěchu. Modelová situace: Provádíme n nezávislých hodů mincí. Padnutí líce považujeme za úspěch. Tento pokus budeme simulovat pomocí programu STATISTICA a budeme sledovat závislost relativní četnosti úspěchu na počtu pokusů. (Počet pokusů volíme 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500,1000, 2000.) Postup: Vygenerujeme n náhodných čísel mezi 0 a 1. Nabude-li náhodné číslo hodnotu z intervalu <0,5; 1>, pokus považujeme za úspěšný - tzn., že padl líc. Zjistíme relativní četnost úspěchu. Postup opakujeme pro různá n a nakonec znázorníme graficky závislost relativní četnosti úspěchu na počtu pokusů. Návod: File - New - Number of variables 2, Number of cases 2000 - OK. 1. proměnnou přejmenujeme na NC, do Long Name napíšeme =Rnd(1), OK. (Funkce Rnd(1) vygeneruje náhodné číslo mezi 0 a 1.) 2. proměnnou přejmenujeme na POCET. Data — Recode - Category 1: Include If NC >=0,5, Category 2: Include If NC < 0,5, New Value 2, value 0, OK. (Proměnná POCET indikuje, zda nastal úspěch nebo neúspěch.) Vypočítáme průměr proměnné POCET (tj. relativní četnost úspěchu). Poznamenáme si počet pokusů n a relativní četnost úspěchu p. Nyní vymažeme posledních 1000 případů. Edit — Delete — Cases - From Case 1001 To Case 2000, OK. Znovu naplníme proměnné NC a POCET a spočteme průměr proměnné POCET. Postup opakujeme, až nám zbudou jen dva případy. Pak vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných n a p a 10 případech, kam zapíšeme hodnoty nap. Nakonec nakreslíme dvourozměrný tečkový diagram závislosti p na n. Category Frequency table: POCET (Ezvc) Count Cumulative Count Percent Cumulative Percent 0 1 1005 1005i 50,25000 50,2500 995 2000 49,75000 100,0000 Missing 0 2000 0,00000 100,0000 Category Frequency table: POCET (Ezvc Count Cumulative Percent Cumulative Count Percent 0 510 510 51,00000 51,0000 490 1000 49,000"00l 100,0000 1 Missing 0 1000 0,00000 100,0000 Frequency table: POCET (Ezvc) Count Cumulative 1 Percent 1 Cumulative Category Count Percent 0 256 256 51,20000 51,2000 1 244 500 48,800001 100,0000 Missing 0 500 0,00000| 100,0000 Frequency table: POCET (Ezvc) Category Count Cumulative Count Percent Cumulative Percent 0 100 100 50,00000 50,0000 1 100 200 50,00000 100,0000 Missing 0 200 0,00000 100,0000 Frequency table: POCET (Ezvc) Category Count Cumulative Count Percent Cumulative Percent 0 42 42 42,00000 42,0000 1 58 100 58,00000 100,0000 Missing 0 100 0,00000 100,0000 Frequency table: POCET (Ezvc) Count Cumulative Percent Cumulative Category Count Percent 0 23 23 46,00000 46,0000 1 27 50 54,00000 100,0000 Missing 0 50 0,00000 100,0000 Frequency table: POCET (Ezvc) Count 1 Cumulative Percent Cumulative Category Count Percent 0 8 8 40,00000 40,0000 1 12 20 60,00000 100,00001 Missing 0 20 0,00000 100,0000 Category Frequency table: POCET (Ezvc) Count Cumulative Percent Cumulative Count Percent 0 6 6 60,00000 60,0000 4 10 40,00000 100,0000 1 Missing 0 10 0,00000 100,0000 Category Frequency table: POCET (Ezvc) Count Cumulative 1 Percent Count Cumulative Percent 0 _L 1|50,00000| 50,0000| 1 1 2 50,00000 100,00001 Missing 0 2 0,00000 100,0000| Frequency table: POCET (Ezvc) Category Count Cumulative 1 Percent 1 Count Cumulative Percent 0 4 4 80,00000 80,0000 1 1 5 20,00000 100,0000 Missing 0 5 0,00000 100,0000 n| 2000 I 1000 I 500 " 200 100 50 I 20 I 10 I 5 I 2 p I 0,4975 I 0,4900 | 0,4880 | 0,5000 | 0,5800 | 0,5400 | 0,6000 | 0,4000 | 0,2000 | 0,5000 Dvouroz měrný tečkový diagram. Závislost relativní četnosti úspěchu na počtu pokusů. 0,650,600,550,500,45-CL 0,400,350,300,250,20- 0,13 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 -200 0 n Téma 9: Centrální limitní věta Ilustrace centrální limitní věty Vygenerujeme 12 x 1000 realizací náhodných veličin Xl5 X12, X1 > Rs(0,l), i=l, 12. Podle centrální limitní věty má náhodná veličina X = X1 + ... + X12 - 6 přibližně rozložení N(0,1). Návod: Vytvoříme nový datový soubor o 13 proměnných a 1000 případech. Otevřeme programovací okno STATISTICA VISUAL BASIC (File - New - Macro (SVB) Program -Name clv — OK) a do okna napíšeme příkazy: Dim s As Spreadsheet Set s = ActiveSpreadsheet For i = 1 To 12 s.Variable(i).FillRandomValues ' do proměnných v1 až v12 se uloží náhodná čísla ' z intervalu (0,1) Next i s.VariableLongName(13) = "=Sum(v1:v12)-6" ' do proměnné v13 se uloží souč et promě nných v1 až v12 ' zmenšený o 6 s.Recalculate Znázorníme histogramy proměnných v1 a v13 a porovnáme jejich vzhled s tvarem hustot rozložení Rs(0,1), N(0,1). Dále spočteme průměry a rozptyly proměnných v1 a v13 a porovnáme je s teoretickou střední hodnotou a rozptylem náhodné veličiny s rozložením Rs(0,1) (E(X)=0,5, D(X) = 1/12=0,833) a náhodné veličiny s rozložením N(0,1) (E(X)=0, D(X) = 1). Řešení Histogram. 12* |-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-. 10Í Sít ■ Sít ■ lít ■ 2* ■ mt I—■-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1- -0,1 OB D.1 02 M 0,i D.S 0.6 D.T 0,3 03 10 1.1 v1 Jedná se o 1000 náhodných čísel vygenerovaných z intervalu (0,1). Jejich aritmetický průměr je m = 0,497491 a rozptyl s2 = 0,082374. Střední hodnota Rs(0,1) je E(X) = 0,5 a rozptyl D(X) = 1/12 = 0,08333. Histogram. U13- imrajFioimaiuioffiBTUfl]^ 22* ,—,-,-1-,-,-,-1-1-,-,-r -3JS -2Ü -ijs -os Dŕ 1JS 2ŕ 3JS v13 Variable Descriptive Statistics Mean 1 Variance 1 vi 0,497471 0,082374 v13 0,039656 1,009721 Jedná se o náhodnou veličinu vl3 = vl+v2+...+vl2 — 6, která podle centrální limitní věty má rozložení N(0,l). (přesněji řečeno, posloupnost standardizovaných součtů konverguje v distribuci ke standardizované normální náhodné veličině.) Aritmetický průměr vl3 vyšel m = 0,039656, rozptyl s2 = l,00972l. Střední hodnota X ~N(0,l) je E(X) = 0, rozptyl D(X) = l. Aplikace Moivreovy - Laplaceovy integrální věty Pomocí STATISTIKY spočteme př. 11.2. ze skript Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika: Yl00 — počet úspěchů v posloupnosti n = l00 opakovaných nezávislých pokusů, pravděpodobnost úspěchu ů = 0,3, Yl00 > Bi(l00, 0,3), E(Yl00) = nů = 30, D(Yl00) = nů(l -ů) = 2l. Aproximativní vypočet ( 19 - B0 < Y l00 30 < 40 - B0 P(20 < Y100 , 40)= _ j kde 0(x) je distribuční funkce rozložení N(0,1). l0 ll W21J I V21J 0,9773, Postup ve STATISTICE: File — New — Number of variables 2, Number of cases 1 — OK. Nastavíme se kurzorem na 1. sloupec. Long Name =INormal(10/sqrt(21);0;1)- INormal(-11/sqrt(21);0;1) OK. (Funkce INormal(x;mu;sigma) poskytuje hodnotu distribuční funkce v bodě x normálního rozložení se střední hodnotou mu a směrodatnou odchylkou sigma.) Přesný vypočet P(20 < Y100 < 40) = P(l9 < Y100 < 40) = $(40)-$(l9) = 0,978614, kde e(x) je distribuční funkce rozložení Bi(100, 0,3). Postup ve STATISTICE: Nastavíme se kurzorem na 2. sloupec. LongName =IBinom(40;0,3;100)- IBinom(19;0.3;100). (Funkce FBinom(x;p;n) poskytuje hodnotu distribuční funkce v bodě x binomického rozložení s parametry p a n.) Podle tohoto návodu vyřešte příklady 11.3., 11.5., 11.6. Př. 11.3. n = 400, ů = 0,2, úspěch je nutnost opravy v záruční době nů = 80, nů(1-ů) = 64 aproximativní výpočet: P(Y400 >96) » 1 - INormal(16/8;0;1) = 0,022750 přesný výpočet: P(Y400 >96) = 1 — IBinom(96;0,2;400) = 0,024640 Př. 11.5. n = 10000, ů = 0,515, úspěch je narození chlapce nů = 5150, nů(1-ů) = 2497,75 Úkol (a) aproximativní výpočet: P(Y10000 < 5000) » INormal(-150/sqrt(2497,75);0;1) = 0,001344 přesný výpočet: P(Y10000 < 5000) = IBinom(5000;0,515;10000) = 0,001347 Úkol (b) aproximativní výpočet: P(4999 < Y10000 < 5300) » INormal(150/sqrt(2497,75);0;1) -INormal(-151/sqrt(2497,75);0;1) = 0,997399 přesný výpočet: P(4999 < Y10000 < 5300) = IBinom(5300;0;1) — IBinom(4999;0;1) = 0,997400 Př. 11.6. n = 1000, ů = 0,05, úspěch je zhotovení vadného výrobku nů = 50, nů(1-ů) = 47,5 aproximativní výpočet: P(Y1000 < 70) ~ INormal(20/sqrt(47,5);0;1) = 0,998145 přesný výpočet: P(Y1000 < 70) = IBinom(70;0,05;1000) = 0,997670