Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko-správní fakulta Statistika distanční studijní opora Marie Budíkova Brno 2004 Socrates Grundtvig Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES — Grundtvig. Za obsah produktu odpovídá válučné autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise a Evropská komise neodpovídá za použití informací, jez jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product Statistika Vydala Masarykova univerzita v Brne Ekonomicko-správní fakulta Vydá n í pilotn í verze Brno, 2004 RNDr. Marie Bud íková , Dr. Publikace neprošla jazykovou úpravou Identifikace modulu Znak ■ KMSTAT Nazev ■ Statistika Garant/autor ■ RNDr. Marie Budíková, Dr. Statistika jako metoda analýzy dat patrí k vedním disciplínám, v nichž by mel být vzdeian každý ekonom. Její role v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovýní informací o hospodírství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nísledne zpracovava príve statistika. Primerena znalost zakladních statistickych pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pournlm porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere casti statistiku v hojne míre vyuzívají. Vyznam statistiky v poslední dobe neustale roste, coz uzce souvisí s rozvojem vypocetní techniky, ktera je pouzívína jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a uklí-dím informací. Dovednosti a znalosti získané po studiu textu Predmet „Statistika" vís nm predevsím naucit zpracovívat data, kterí se tíkají ekonomi ckích jevu, tj. data trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Velke mnozství príkladu, které jsou soucastí ucebního textu, vam pomuze pri formulovaní vlastních íloh a víberu spravne metody. Nauďte se rovnez vyuzívat vypocetní techniku pri résení ekonomickych problemu. Časový plán Časová náročnost ■ prezenční část 22% ■ samostudium 78% celkový studijní čas ■ 14 tádnu Harmonogram ■ prednaSky 24 hodin ■ samostudium a prace s počítačem 85 hodin 3 doporučená literatura: [1] Anděl J.: Matematická statistika. SNTL/Alfa Praha 1978. [2] Arltová M., Bílková D., Jarošová E., Pourová Z.: Sbírka přákladů ze statistiky (Statistika A). VŠE Praha 1996. [3] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecký P.: Popisná statistika. MU Brno 2001. [4] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecká P.: Teorie pravděpodobnosti a matematicka statistika. Sbírka príkladu. MU Brno 2001. [5] HebÁk P., KahounovÁ J.: Pocet pravdepodobnosti v prákladech. SNTL Praha 1978. [6] Karpíšek Z.: Pravdepodobnostná metody. VUT Brno 2000. [7] Karpíšek Z., Drdla M.: Statistické metody. VUT Brno 1999. [8] NovoviěOVÁ J.: Pravdřpodobnost a matematická .statistika. (ČVUT Praha 2002. [9] Stuchlý J.: Statistika I. Cvičená ze statistickájch metod pro managery. VSŠE Praha 1999. Vybavení ■ PC ■ CD-ROM Navod prace se studijními texty Text je rozvržen do 13 kapitol a 2 príloh. 1. az 4. kapitola se zabývají popisnou statistikou. Popisna statistika je disciplína, ktera pomočí ruznáčh tabulek, grafu, funkčionalníčh a číselnáčh charakteristik sumarizuje informace obsaŠzeníe ve velkíem mnoŠzstvíí dat. PouŠzíívaí jen zíakladníí matematičkíe operače a lze ji snadno počhopit. Její dulezitost spočíví jednak v tom, ze se v praxi velmi Ščasto pouŠzívía a jednak motivuje pojmý, kteríe jsou potŠreba v poŠčtu pravdŠepodobnosti. 5. aŠz 10. kapitola vías sezníamí s poŠčtem pravdŠepodobnosti, kteríý se zabíývía studiem zíakonitostí v níahodnýíčh pokusečh. Matematičkíými prostŠredký modeluje situače, v ničhŠz hraje roli níahoda. Pod pojmem níahoda rozumíme působení faktoru, které se zivelne mení pri ruznýčh provedeníčh téhoz pokusu a nepodlíehají naŠsí kontrole. 11. az 13. kapitola obsahují zakladní poznatky o matematičke statističe. Ma-tematičkaí statistika je vŠeda, ktería analýzuje a interpretuje data pŠredevŠsím za učelem získíní predpovedi a zlepsení rozhodovíní v ruzníčh oblastečh lidske Ščinnosti. PŠri tom se Šrídí prinčipem statističkíe indukče: na zíakladŠe znalostí o níahodníem výíbŠeru z urŠčitíeho rozloŠzení pravdŠepodobností se snaŠzí odvodit vlastnosti tohoto rozloŠzení pravdŠepodobností. PŠríloha A je tvoŠrena výbraníými statističkíými tabulkami, konkríetnŠe obsahuje hodnotý distribuŠční funkče standardizovaníeho normíalního rozloŠzení, kvantilý 4 standardizovaného normálního rozložení, Pearsonova rozložení x2(n), Studentova rozložení t(n) a Fisherova-Snedecorova rozložení F(ni,n2). Príloha B pak obsahuje informace o programovem systemu STATISTICA a podrobne nívody na jeho pouzití. V Úvodu 1. az 13. kapitoly je vzdy vymezen cíl kapitoly a je uvedena casova zatez, ktera je potrební ke zvladnutí príslušne kapitoly. Kapitoly jsou uzav-reny stručným shrnutím probrane lítky a kontrolními otazkami a íkoly. Ty ukoly, jejichz resení je nutne ci alespoň vhodne provadet pomocí systemu STATISTICA, jsou oznaceny (S). Vísledky ukolu muzete porovnat s vísled-ky, k nimz dospela autorka ucebního textu. 1. az 13. kapitola jsou usporadany v logickem sledu. Do prílohy A budete nahlízet podle potreby a príloha B vam poslouzí rovnez prubezne. 5 Obsah Obsah 1. Základní, výběrový a datový soubor...............................................13 2. Bodově a intervalově rozložení četností...........................................21 3. Číselně charakteristiky znakU......................................................39 4. Regresní prímka....................................................................49 5. Jev a jeho pravdepodobnost.......................................................57 6. Stochastický nezavisle jevý a podmínena pravdepodobnost.....................65 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce.........................................71 8. Výbrana rozložení diskretních a spojitých nahodných velicin.....................85 9. (Číselne charakteristiký nahodných velicin........................................97 10. Zakon velkých císel a centrální limitní veta.......................................111 11. Zakladní pojmý matematicke statistiký...........................................117 12. Bodove a intervalove odhadý parametru a parametrických funkcí...............123 13. Úvod do testovaní hýpotez a testý o parametrech normalního rozlození........137 Príloha A - Statisticke tabulký.........................................................147 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTIČA 6............................163 8 Úvod Úvod Proč se zabývat statistikou? Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v cele řadě ekonomických, technických, prírodovedných a humanitních disciplín. Její význam v poslední dobe neustale roste, coz ýzce souvisí s rozvojem výpocetní techniky, ktera je pouzívana jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a ukladíní informací. Role statistiky v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovaní informací o hospodarství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nasledne zpracovava prave statistika. Primerena znalost zakladních statistickích pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pomaha porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere (časti statistiku v hojne míre vyuzívají. Aplikovat statistiku znamení shromazd'ovat data o studovanych jevech a zpracovávat je, tj. trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Statistika se tak pro ekonoma ocita v tesnem sousedství informatiky a vípocetní techniky a je pripravena resit ekonomicke problemy pomocí kvantitativní analyízy dat. 10 Způsob studia Způsob studia Co lze očekávat od tohoto textu? V předmětu „Statistika" se budeme zabývat třemi oblastmi statistiky, a to popisnou statistikou, počtem pravdepodobnosti a matematickou statistikou. Popisná statistika je disciplína, ktera pomocí řuznych tabulek, grafu, funkcionýlních a číselných charakteristik sumarizuje informace obsazene ve velkem množství dat. Používý jen zakladní matematicke operace a lze ji snadno pochopit. Její dulezitost spocíva jednak v tom, ze se v praxi velmi casto pouzíva a jednak motivuje pojmy, ktere jsou potreba v poctu pravdepodobnosti. PoCet pravděpodobnosti se zabyva studiem zakonitostí v nahodních pokusech. Matematickými prostredky modeluje situace, v nichz hraje roli nahoda. Pod pojmem nahoda rozumíme pusobení faktoru, ktere se zivelne mení pri ruzních provedeních tehoz pokusu a nepodlehají nasí kontrole. Matematická statistika je veda, ktera analyzuje a interpretuje data predevsím za ucelem získaní predpovedi a zlepsení rozhodovaní v raznych oblastech lidske cinnosti. Pri tom se rídí principem statisticke indukce: na zaíklad e znalostíí o níahodníem víyb eru z ur citíeho rozlo zeníí pravd epodobnostíí se snazí odvodit vlastnosti tohoto rozlození pravdepodobností. K uspesnemu zvlídnutí predmetu „Statistika" je zapotrebí ovlídat kombinatoriku, zíaklady diferenciíalníího a integraílníího po ctu jedníe a dvou prom ennyích a zníat zaíklady príace s osobníím po cííta cem. Velmi uí cinnyím prost redkem pro re seníí statistickyích uíloh je programovyí system STATISTICA, jehoz instalacní CD je soucastí studijních materiam. Informace o tomto systemu a podrobne navody na jeho pouzití jsou uvedeny v príloze B studijních materiálu. Príklady ci íkoly, jejichz resení je nutne ci alespon vhodníe provaíd et pomocíí systíemu STATISTICA, jsou ozna ceny (S). P rííloha A obsahuje vybraníe statistickíe tabulky, konkríetn e hodnoty dis-tribu cníí funkce standardizovaníeho normaílníího rozlo zeníí, kvantily standar-dizovaneho normílního rozlození, Pearsonova rozlození x2(n), Studentova rozlození t(n) a Fisherova-Snedecorova rozlození F(n\,n2). Vsechny tyto tabelovane hodnoty (a samozrejme mnohe dalsí) lze získat pomocí systemu STATISTICA. 12 I 1 Základní, výběrový a datový soubor 1. Základní, výběrový a datový soubor I Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ vymezit základní soubor a jeho objekty ■ stanovit váberovy soubor ■ spočítat absolutní a relativní četnosti množin ve váberovem souboru a znát vlastnosti relativní četnosti a podmínene relativní četnosti ■ overit četnostní nezívislost dvou množin ve víberovem souboru vytvo rit datovíy soubor ■ usporídat jednorozmerný datovy soubor a stanovit vektor variant vypo číítat absolutníí a relativníí četnost jevu ve víyb erovíem souboru (Časová zátěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 4-5 hodin studia. Nejprve se seznamíme s definičí zakladního a vyberoveho souboru a pojmem absolutní a relativní četnosti mnoziny v danem vyberovem souboru. Uvedeme príklad, s jehoz razními variantami se budeme setkavat ve vsečh kapitolíčh venovaníčh popisne statističe. Rovnez shrneme vlastnosti relativní četnosti. 1.1. Definice Zakladním souborem rozumíme libovolnou neprízdnou mnozinu E. Její prvky značíme e a nazyvame je objekty. Libovolnou neprízdnou podmnozinu [e\,... ,en] základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n. Je-li G C E, pak symbolem N(G) rozumíme absolutní četnost mnoZiný G ve vyberovem souboru, tj. počet tech objektU mnoZiný G, ktere patrí do vyberoveho souboru. Relativní (četnost mnoZiný G ve vyberovem souboru zavedeme vztahem n 1.2. Příklad Zakladním souborem E je mnozina vsečh ekonomičky zamerenyčh studentu 1. ročníku českíčh vysokíčh skol. Mnozina G1 je tvorena temi studenty, kterí uspeli v prvním zkusebním termínu z matematiky a mnozina G2 obsahuje ty studenty, kterí uspeli v prvním zkusebním termínu z angličtiny. Ze zakladního souboru bylo nahodne vybrano 20 studentu, kterí tvorí víberoví soubor (ei,... , e20}. Z tečhto 20 studentu 11 uspelo v matematiče, 15 v angličtine a 11 v obou predmetečh. Zapiste absolutní a relativní četnosti uspesnyčh matematiku, angličtiním a oboustranne uspesníčh studentu. Řešení: N(Gi) = 12, N(G2) = 15, N(Gi n G2) = 11, n = 20 = ^ = 0,6, p(G2) = 0,75, p(Gi n G2) = ^ = 0,55 14 Vidíme, ze uspesnych matematiku je 60%, anglictinaru 75% a oboustranne uspesních studentu jen 55%. 1.3. Věta Relativní cetnost ma nísledujících 12 vlastností, ktere jsou obdobne vlastnostem procent. ■ p(0) = O ■ p(G) > 0 ■ p(G1UG2)+p(G1r\G2)=p(G1)+p(G2) m l+p(GlnG2)>p(Gl)+p(G2) ■ p(G1UG2)• p(Gl) < p(G2) m P(E) = 1 _ ■ p{G)+p{G) = 1 ■ P(G) < 1 Pokud se v danem zíkladním souboru zajímíme o dve podmnoziny, muzeme zavíest pojem podmínňeníe relativní ňcetnosti jedníe podmnoňziny v daníem víy-bňerovíem souboru za pňredpokladu, ňze objekt pochíazí z druhíe podmnoňziny. V naísledujícím pňríkladu vypoňcteme podmínňeníe relativní ňcetnosti uíspňeňsnyích matematiku mezi uspesními anglictinari a naopak. 1.4. Definice Necht' E je zíkladní soubor, G1, G2 jeho podmnoziny, [e1,..., en] vyberoví soubor. Definujeme podmíněnou relativní četnost mnoziny G1 ve víberovem souboru za predpokladu G2: !n lri ,_N(G1nG2) _P(G1nG2) P{GllG2) N(G2) p{G2) a podmíněnou relativní četnost G2 ve víberovem souboru za predpokladu G1: ín .„ , iV(GinG2) _p(G!nG2) 1.5. Příklad Pro uídaje z pňríkladu 1.2 vypoňctňete podmínňenou relativní ňcetnost uíspňeňsnyích matematiku mezi uspesními anglictinari a podmínenou relativní cetnost u- spesnych anglictinaru mezi íspesními matematiky. Řešení: p(Gi|G2) = y| = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří byli úspěšní v an-gliňctinňe, uspňelo i v matematice) 15 1. Základní, výběrový a datový soubor I p(G2|Gi) 11 12 0,92 (tzn., ze 92% tech studentů, kteří byli úspěšní v ma- tematice, uspělo i v angličtine) Nyní se naučíme, jak oveřovat četnostní nezúvislost dvou množin v danem vúbeřovem souboru. Znamena to, že informace o puvodu objektu z jedne množiny nijak nemení sance, s nimiž soudíme na jeho puvod i z dřuhe množiny. Oveříme, zda uspech v matematice a anglictine jsou v danem vy-beřovem soubořu cetnostne nezavisle. 1.6. Definice Řekneme, že množiny G1,G2 jsou cetnostne nezávislé v danem vybeřovem soubořu, jestli ze p(Gi n G2)= p(Gi) • p(G2). (V přaxi jen zřídka dojde k tomu, že uvedení vztah platí přesne. Vetsinou je jen nazna cena uř citía tendence cetnostníí nezíavislosti.) 1.7. Příklad Přo udaje z příkladu 1.2 zjistete, zda uspechy v matematice a anglictine jsou v daníem vyíb eřovíem soubořu cetnostn e nezíavislíe. Řešení: p(G1 n G2) = 0,55, p(G1) • p(G2) = 0,6 • 0,75 = 0,45, tedy skutecní řelativní cetnost oboustřanne úspeSnúch studentu je vetsí než by odpovídalo cetnostní nezavislosti množin G1, G2 v danem víbeřovem sou-bořu. Nyníí ka zdyí objekt zíakladníího soubořu ohodnotííme jedníím nebo vííce cíísly pomocí funkce, kteří se nazyví znak. Císla, kteří se vztahují pouze k objektum vyíb eřovíeho soubořu sestavííme do matice zvaníe datovyí souboř. Vystv etlííme si, co to je uspořadany datovy souboř a vektoř vařiant. Uvedene pojmy ob-jasnííme na p řííkladu. 1.8. Definice Necht' E je zakladní souboř. Potom funkce X : E — R, Y : E — R, ..., Z : E — R, kteře každemu objektu přiřazují císlo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořadana p-tice (X, Y,..., Z) se nazyva vektořovy znak. 1.9. Definice Necht' je dan vybeřoví souboř ..., en} C E. Hodnoty znaku X, Y,..., Z přo i-tí objekt oznacíme Xj = X(e), y = Y(e), ..., z = Z(e), i = 1,..., n. Matice X1 V1 X2 y2 Z1 Z2 16 typu n x p se nazyva datoví soubor. Její radky odpovídají jednotlivym ob-jektum, sloupce znakum. Libovolny sloupec teto matice nazyvíme jednorozměrným datovým souborem. Jestlize usporadíme hodnoty nektereho znaku (napr. znaku X) v jed-norozmernem datovem souboru vzestupne podle velikosti, dostaneme uspořádaný datový soubor rx(i) I kde x(1) < x (2) < • • • < x (n). Vektor X (n) X[1] x[n] kde x[1] < • • • < x[r] jsou navzíjem ruzne hodnoty znaku X, se nazyva vektor variant. 1.10. Příklad Pro studenty z víberoveho souboru u vedeneho v príkladu 1.2 byly zjist'ovany hodnoty znaku X - znamka z matematiky v prvním zkusebním termínu, Y - znamka z anglictiny v prvním zkusebním termínu, Z - pohlaví studenta (0 ... zena, 1... muz). Byl získan datoví soubor 3 1 4 0 4 4 1 3 3 1 1 4 440 440 441 130 Utvorte jednorozmerní usporadaní i neusporadaní datovy soubor pro znam-ky z matematiky a vektory variant pro znamky z matematiky. 17 1. Základní, výběrový a datový soubor V závěrečné partii této kapitoly se seznámíme s pojmem jevu a jeho absolutní a relativní četnosti. V nasledujíčím príkladu vypočítame konkretní absolutní a relativní četnosti nekolika jevu. 1.11. Definice Nečht' {či, ..., £„} je výberový soubor, X, Y,..., Z jsou znaky, B, B1,..., Bp jsou číselne množiny. Zapis {X G B} znamena jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B" a zapis {X G Bi A Y G B2 A ...Z G Bp} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B1 a současně znak Y nabyl hodnoty z mnoZiny B2 atd. az znak Z nabyl hodnoty z množiny Bp". Symbol N (X G B) značí absolutní četnost jevu X G B ve víberovem souboru, tj. počet tečh objektu ve víberovem souboru, pro nez x G B. Symbol p(X G B) znamená relativní četnost jevu {X G B} ve vyberovem souboru, tj. v(x e B) = mi*. n Analogičky N (X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp) resp. p(X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp) znamení absolutní resp. relativní četnost jevu {X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp} ve víberovem souboru. 1.12. Příklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 najdete relativní četnost a) matematičkíčh jedničkaru, b) uspesnyčh matematiku, 18 č) oboustranne neuspesnýčh studentu. Řešení: ad a) p{X = 1) = ^ = 0,35; ad b) p{X < 3) adc) p(X = 4Aľ = 4) = |r = 0,20. 12 _ 20 0,60; Shrnutí kapitoly Predmetem statističkeho zajmu není jednotliví objekt, níbrz soubor objektu, tzv. zíkladní soubor. Zpravidla není mozne výsetrovat vsečhný objekty, ale jenom určití počet objektu, které tvorí výberoví soubor. Tý prvký zakladního souboru, kteríe výkazujíí urŠčitou spoleŠčnou vlastnost, tvoŠríí mnoŠzinu. Statistik zkoumía absolutníí a relativníí Ščetnost mnoŠziný v daníem víýbŠerovíem souboru. Zajímají-li nas ve víberovem souboru dve mnoziný, muzeme zkoumat vískýtý objektu z jedne mnoziný mezi objektý počhízejíčími z druhe mnoziný. Tím dospíváme k pojmu podmínene relativní četnosti. Rovnez lze ovŠeŠrovat Ščetnostní nezíavislost tŠečhto dvou mnoŠzin v daníem výíbŠerovíem souboru. Cetnostní nezavislost vlastne znamena, ze informače o puvodu objektu z jedne mnoziný nijak nemení sanče, s nimiz soudíme na jeho puvod z druhe mnoziný. Kazdemu objektu zakladního souboru lze pomočí funkče zvane znak priradit číslo (nebo i víče čísel). Pokud hodnotý znaku pro objektý daneho víýbŠerovíeho souboru uspoŠraídíame do matiče, dostíavíame datovíý soubor. Libovolní sloupeč teto matiče tvorí jednorozmerný datový soubor, kterí muzeme uspoŠríadat podle velikosti a výtvoŠrit tak uspoŠríadaníý datovýí soubor nebo z nŠej získat vektor variant. Jevem rozumíme skuteŠčnost, Šze znak nabýl hod-notý z nejake číselne mnoziný. Muzeme zkoumat absolutní a relativní četnost jevu v daníem víýb erovíem souboru. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad zakladního souboru z ekonomičke praxe. 2 Nečht' jsou neslučitelne, p(Gi) = 0,27, p(Gi U G2) = 0,75. Výpočtete p(G2). 3 Nečht' G1 C G2, p(G1) = 0,33, p(G2 - G1) = 0,15. Výpočtete p(G2). 4 Nečht' p(G1 - G2) = 0,36, p(G1 n G2) = 0,12. Výpočtete p(G2). 5 Je dan dvourozmerný datoví soubor '2 1' 20 10 42 Znak X znamena počet členu domačnosti a znak Y počet detí do 15 let v tíeto domíačnosti. I 19 1. Základní, výberový a datový soubor I a) Utvorte usporadane datove soubory pro znaky X a Y. b) Najdete vektory variant znaku X a Y. c) Vypoctete relativní cetnost tríclennych domacností. d) Vypoctete relativní cetnost nejvíse tríclennych domacností. e) Vypoctete relativní cetnost bezdetních domacností. f) Vypoctete relativní cetnost dvouclennych bezdetnych domacností. g) Vypo ct ete podmíín enou relativníí cetnost dvou clennyích domíacnos-tíí, kteríe jsou bezd etníe. 20 2 Bodove a intervalove rozloZení (četností 2. Bodově a intervalově rozložení četností I Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ konstruovat diagramy znazorňujíčí rozlození četností ■ vytvaret tabulky četností ■ sestrojit grafy četnostní funkče, empiričke distribuční funkče, hustoty četnosti a empiričke intervalove distribuční funkče Casova zatěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 7-8 hodin studia. Nejprve se seznamíme s bo dovím rozlozením četností a ukazeme si, jak pomočí ruzníčh diagramu grafičky znazornit bodove rozlození četností. Pro datoví soubor znamek z matematiky a angličtiny pak vytvoríme nekolik typu diagramu. 2.1. Definice Nečht' je dan jednorozmerní datoví soubor. Jestlize počet variant znaku X není prílis velkí, pak prirazujeme četnosti jednotlivym variantam a hovoríme o bodovém rozlození četností 2.2. Definice Existuje nekolik zpusobu, jak grafičky znazornit bodove rozlození četností. Tečkové diagram: na číselne ose vyznačíme jednotlive varianty znaku X a nad kazdou variantu nakreslíme tolik teček, jakí je její absolutní četnost. Polygon (četnosti: je lomena čara spojujíčí body, jejičhň x-oví souradniče je varianta znaku X a y-ova souradniče je absolutní četnost teto varianty. Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujíčíčh obdelníku, kde stred zakladny je varianta znaku X a vyska je absolutní četnost teto varianty. Vysečovy graf: je kruh rozdelení na vyseče, jejičhň vnejsí obvod odpovídí absolutním četnostem variant znaku X. Dvourozměrný tečkový diagram: na vodorovnou osu vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku Y a do príslusnyčh průsečíku nakreslíme tolik teňček, jakaí je absolutní ňčetnost daníe dvojiče. 2.3. Příklad Pro datovíy soubor z pňríkladu 1.10 sestrojte a) jednorozmňerníe teňčkovíe diagramy pro znak X a znak Y, b) polygony ňčetností pro znak X a znak Y, č) sloupkovíe diagramy pro znak X a znak Y, d) vyíseňčovíe diagramy pro znak X a znak Y, e) dvourozmňernyí teňčkovíy diagram pro vektorovyí znak (X, Y), 22 Řešení: ad a) Známka z matematiky Známka z angličtiny I 2 3 2 3 ad b) Polygon četnosti pro znamky z matematiky Polygon četnosti pro známky z angličtiny ad c) Sloupkový diagram znamek z matematiky Sloupkový diagram znamek z angličtiny 12 3 4 ad d) Vysečovy diagram znamek z matematiky Vásečová diagram znamek z angličtiny 1 4 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 2 3 23 2. Bodove a intervalová rozloZení četností I Ze vsech techto diagramu je videt odlisní prístup zkousejících ke studentum. Matematik nesetrí jednickami, ale místo trojky radeji rovnou dava ctyrku. Naproti tomu anglictinar povazuje trojku za typickou studentskou znímku. ad e) Y 12 3 4 X Dvourozmerny teckoví diagram svedcí o neprílis vyrazne tendenci k podobne klasifikaci v obou predmetech. Muzete si zkusit nakreslit dvourozmerne teckove diagramy zvlast' pro muze a zvlíst' pro zeny. Zjistíte, ze u zen je tendence k podobním znamkam daleko silnejsí nez u muzu. Bodove rozlození cetností lze znazornit nejenom graficky, ale tez tabulkou zvanou variacní rada, kterí obsahuje absolutní a relativní cetnosti jednot-livyích variant znaku v daníem vyíb erovíem souboru a tíe z absolutníí a relativníí kumulativníí cetnosti. Pomocíí relativníích cetnostíí se zavíadíí cetnostníí funkce, pomocíí relativníích kumulativníích cetnostíí empirickía distribu cníí funkce (je pro ni typicke, ze ma schodovity prubeh). Tyto pojmy objasníme na príkladu znamek z matematiky a uvedeme rovnez vlastnosti obou vyse zmínenych funkcí. 2.4. Definice Necht' je dan jednorozmerní datovy soubor, v nemz znak X nabyví r variant. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní (četnost varianty xjj ve víberovem souboru nj = N (X = x[j]) relativní četnost varianty Xjj ve vyberovem souboru n absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj = N(X < xy]) = ni +-----+ nj relativní kumulativní Četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj 4 3 2 1 24 Tabulka typu x\j] rij Pi N3 F3 ni Pi Ni X[r] nr Pr Nr Fr se nazyva varia ční řada. Funkče p(x) = 0 jinak se nazyva četnostní funkce. Funkče I 0 pro x < F (x) = { Fj pro x[j ] < x < x[i+i], j = 1,..., r - 1 1 pro x > x[r] se nazyví empirická distribuční funkce. 2.5. Příklad Pro datoví soubor z príkladu 1.10 sestavte variační radu pro znak X. Nakreslete grafy četnostní funkče a empiričke distribuční funkče. Řešení: x\j] Pi N3 F3 1 7 0,35 7 0,35 2 3 0,15 10 0,50 3 2 0,10 12 0,60 4 8 0,40 20 1,00 - 20 1,00 - - p(t) 0,4 0,2 0,0 1 2 I 3 4 t x F (t) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 F (x) = £ p(t) t — OC Nyní se budeme zabávat dvourozmerných datovím souborem. Zavedeme simultánní absolutní a relativní cetnosti pro dvojice variant znaku X a Y a ukážeme souvislost mezi simultánními a marginálními cetnostmi. Budeme definovat podmínene relativní cetnosti. Vysvetlíme si, jak se uvedene cetnosti zapisují do kontingencních tabulek. Pomocí simultánních relativních cetností zavedeme simultínní cetnostní funkci, seznámíme se s jejími vlastnostmi a ukázeme vztah mezi simultánní cetnostní funkcí a marginálními cetnostními funkcemi. Zavedeme pojem cetnostní nezávislosti znaku v danem výberovem souboru. Se vsemi uvedeními pojmy se naucíme pracovat v príkladu se známkami z matematiky a anglictiny. 2.7. Definice Necht' je dán dvourozmerní datovy soubor xi yi kde znak X má r variant a znak Y má s variant. Pak definujeme: simultánní absolutní četnost dvojice (xj],y[k]) ve vyberovem souboru njk = N(X = x[j] A Y = y[fc]), simultánní relativní Četnost dvojice (xj],y[k]) ve víberovem souboru njk n marginální absolutní Četnost varianty xjj nj. = N (X = x [j ]) = nj i +-----+ njS, marginaílníí relativníí cetnost varianty x[j] n V ji + • • • + Vjs; X 26 marginální absolutní četnost varianty y[k] n.k = N (Y = y[fcj) = ník +-----+ nrk, marginální, relativní, četnost varianty y[k] n.k p.k n Pik +-----+ Prk, I sloupcove podmínena relativní četnost varianty Xj] za predpokladu y[k] njk pj(k) n.k radkov e podmín ena relativní Četnost varianty y[k] za predpokladu x [j] njk p(j)k nj. Kteroukoliv ze simultíanníích ňcetnostíí ňci podmíínňenyích relativníích ňcetnostíí zapisujeme do kontingencní tabulky. Kontingencní tabulka simultanních absolutních ňcetností maí tvar: y Vis] rij. X xm nu nu ni. X[r] nrl nr. n.k n.i n.s n Funkce I pjk pro x = x[j], y = y[k], j = 1,...,r, k =1,...s 0 jinak se nazývá simultínní četnostní funkce. Četnostní funkce pro znaky X a Y odlišíme indexem takto: pi(x) p2(y) pj. pro x = ccj], j = 1,...,r 0 jinak p.k pro y = y[k], k = 1,...,s 0 jinak Řekneme, ze znaky X, Y jsou v danem vyberovem souboru cetnostne ne-zavisle, prave kdyz pro vsechna j = 1,..., r a vsechna k = 1,..., s platí multiplikativní vztah: pjk = • pk neboli V(x, y) G E2 : p(x, y) = pi(x) ^ p2(y). 27 2. Bodově a intervalově rozložení četností I 2.8. Veta Mezi simultanní cetnostní funkcí a mařginalními cetnostními funkcemi platí vztahy: p1(x) = p(x,y): y=-oc oc p2(y) = Yp(x,y). 2.9. Příklad Přo datovy souboř z příkladu 1.10 a) sestavte kontingencní tabulky simultanních absolutních a řelativních cetností, b) nakřeslete gřaf simultanní cetnostní funkce p(x, y), c) sestavte kontingencní tabulky sloupcove a řídkove podmínenych řela-tivníích cetnostíí, d) kolik přocent tech studentu, kteří meli jednicku z anglictiny, melo dvojku z matematiky, e) kolik přocent tech studentu, kteří meli jednicku z matematiky melo dvojku z anglictiny, f) zjistete, zda znaky X, Y jsou v danem vybeřovem soubořu cetnostne nezíavislíe. Řešení: ad a) y 1 2 3 4 rij. X rijk 1 4 1 2 0 7 2 0 2 1 0 3 3 0 0 1 1 2 4 0 1 3 4 8 4 4 7 5 n = 20 y i 2 3 4 X 1 0,20 0,05 0,10 0,00 0,35 2 0,00 0,10 0,05 0,00 0,15 3 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 4 0,00 0,05 0,15 0,20 0,40 P.k 0,20 0,20 0,35 0,25 1,00 28 ad b) 'a 0, 200,150, 10 0, 05 0, 00 4 I 2 x 4 1 ad c) v 1 2 3 4 X P j (k) 1 1,00 0,25 0,29 0,00 2 0,00 0,50 0,14 0,00 3 0,00 0,00 0,14 0,20 4 0,00 0,25 0,43 0,80 E 1,00 1,00 1,00 1,00 y i 2 3 4 E x 1 0,57 0,14 0,29 0,00 1,00 2 0,00 0,67 0,33 0,00 1,00 3 0,00 0,00 0,50 0,50 1,00 4 0,00 0,12 0,38 0,50 1,00 ad d) Tento údaj najdeme ve druhém řádku prvního sloupce tabulky sloupcově podmíněných relativních Četností: 0%. ad e) Tento udaj najdeme v prvním řádku druheho sloupce tabulky radkove podmínených relativních cetností: 14%. ad f) Kdyby v danem výberovem souboru byly oba znaky cetnostne nezavisle, platil by pro všechna j = 1, 2, 3, 4 a všechna k = 1, 2, 3, 4 multiplikativní vztah: pjk = Pj, -p.k, coz splneno není. Tedy známky z matematiky a anglictiny nejsou cetnostne nezávisle. V nekterých datových souborech je pocet variant znaku prílis veliky a použití bodoveho rozlození cetností by vedlo k neprehlednym a roztrístením vísled- 29 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kům. V takových situacích používáme intervalové rozložení četností. Definujeme třídicí interval a jeho absolutní a relativní četnost, absolutní a relativní kumulativní cetnost. Nove zavadíme cetnostní hustotu trídícího intervalu. Uvedene cetnosti zapisujeme do tabulky rozložení cetností. Pocet trídících intervalu stanovujeme napr. podle Sturgesova pravidla. Intervalove rozlození cetností pozijeme v príkladu s datovým souborem obsahujícím udaje o mezích plasticity a pevnosti 60 vzorku oceli. 2.10. Definice Necht' je dan jednorozmerní datoví soubor. Jestlize pocet variant znaku X je blízkí rozsahu souboru, pak prirazujeme cetnosti nikoliv jednotlivým vari-antím, ale celým intervalum hodnot. Hovoríme pak o intervalovém rozložení četnosti. 2.11. Definice Číselnou osu rozlozíme na intervaly týpu (—oo,«i), (mi,m2), • • •, (ur, ur+i). (ur+i, oo) tak, abý okrajove intervalý neobsahovalý zídnou pozorovanou hodnotu znaku X. Uzívame oznacení: j-tý trídičí interval znaku X, j = 1,..., r: (uj ,uj+i): delka j -teho třídicího intervalu znaku X: střed j-teho trídičího intervalu znaku X: 1 x\j] = ^m + Uj+i)- Trídicí intervalý volíme nejcasteji stejne dlouhe. Jejich pocet urcíme napr. pomocí Sturgesova pravidla: r ~ 1 + 3,3 • log n, kde n je pocet variant znaku X. 2.12. Definice Necht' je dan jednorozmerný datový soubor rozsahu n. Hodnotý znaku X roztrídíme do r trídících intervalu. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost j -teho trídičího intervalu ve výberovem souboru n j = N (u j < X < Uj+i). relativní četnost j-teho t rídičího intervalu ve výberovem souboru nj Pj = —i n 30 četnostní hustota j -tého třídicího intervalu ve výběrovém souboru Pl d j absolutní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalů, ve výběrovém souboru Nj = N (X < uj+l) = nl +-----+ nj, relativní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalu ve výběrovém souboru. I n Pi +-----+ pj. Tabulka týpu (Uj,Uj+1) dj Pi fi N3 F3 (ui,u2) d\ ni Pi fi Fi (ur,ur+i) dr nr Pr fr Nr Fr E n 1 se nazývý tabulka rozložení četností. 2.13. Příklad Z fiktivního základního souboru všech vzorku oceli odpovídajících „všem myslitelným tavbím" býlo do laboratore dodano 60 vzorku a zjistený a hodnoty znaku X - mez plasticitý a Y - mez pevnosti. Datoví soubor mí tvar: 154 178' 133 164 58 75 145 161 94 107 113 141 86 97 121 127 119 138 112 125 85 41 96 45 99 97 72 113 89 109 51 95 101 114 160 169 87 101 88 83 139 98 106 111 92 104 85 103 112 118 98 102 103 108 99 119 104 128 107 118 98 140 97 115 105 101 71 39 33 78 73 77 47 68 93 69 122 147 52 117 147 137 125 149 76 85 61 85 137 142 44 92 66 42 68 116 141 157 155 189 136 155 82 81 136 163 72 79 81 61 113 123 42 85 133 147 153 179 85 91 a) Pro znak X stanovte optimalní počet trídicích intervalu dle Sturgesova pravidla. b) Sestavte tabulku rozlození cetností. 31 2. Bodove a intervalová rozloZení četností Řešení: ad a) Znak X nm 50 variant, tedy podle Sturgesova pravidla je optimalní pocet trídicích intervalu r = 7. Budeme tedy volit 7 intervalu stejne delky tak, aby v nich byly obsazeny vsechny pozorovane hodnoty znaku X, z nichz nejmensí je 33, nejvetsí 160; volba u\ = 30, ..., u8 = 170 splnuje pozadavky. ad b) dj xtí] Pj N3 F3 fi (30,50) 20 40 8 0,1333 8 0,1333 0,0066 (50,70) 20 60 4 0,0667 12 0,2000 0,0333 (70,90) 20 80 13 0,2166 25 0,4167 0,0108 (90,110) 20 100 15 0,2500 40 0,6667 0,0125 (110,130) 20 120 9 0,1500 49 0,8167 0,0075 (130,150) 20 140 7 0,1167 56 0,9333 0,0058 (150,170) 20 160 4 0,0667 60 1,0000 0,0033 Součet 60 1,0000 Ke grafickemu znazomení intervaloveho rozlození cetností slouzí histogram. S jeho pomocí lze dobre vysvetlit, co znamení hustota cetnosti, coz je funkce zavedena pomocí cetnostních hustot jednotlivích trídicích intervalu. S hustotou cetnosti ízce souvisí intervalova empiricka distribucní funkce (je vsude spojita, protoze je funkcí horní meze integrílu z hustoty cetnosti). Pro udaje o mezi platicity oceli vytvoríme histogram a graf intervalove empiricke distribucní funkce. Seznamíme se rovnez s vlastnostmi obou víse zmínenych funkcí. 2.14. Definice Intervalove rozlození cetností graficky znazornujeme graficky pomocí histogramu. Je to graf skladající se z r obdelníku, sestrojeních nad trídicími intervaly, pricemz obsah j-teho obdelníku je roven relativní cetnosti pj j -teho trídicího intervalu, j = 1,..., r. Histogram je shora omezen schodovitou carou, kterí je grafem funkce zvane hustota cetnosti: f (x) fj pro uj < x < uj+^ j = 1,..., r 0 jinak Pomocí funkce hustoty cetnosti zavedeme intervalovou empirickou distribucní funkci: F (x) f (t) dt. 2.15. Příklad Pro datoví soubor z príkladu 2.13 nakreslete histogram pro znak X a pod histogram nakreslete graf intervalove empiricke distribucní funkce. 32 Řešení: f (t) x 2.16. veta r ké Hustota četnosti je nezaporní (Vx G R : f (x) > 0) a normovaní (J f (x) dx). Intervalova empiričkí distribuční ( lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). Intervalova empiričkí distribuční funkče je neklesajíčí, spojití a normovana x—>—oc x—>oc V nísledujíčím tematu se budeme venovat dvourozmernemu intervalovemu rozlození četnosti, tj. budeme pračovat s dvourozmernym datovím souborem. Zavedeme podobne pojmy jako u dvourozmerneho bodoveho rozlození ňčetnosti a jejičh počhopeníí si ovňeňrííme na pňrííkladňe s datovíym souborem ob-sahujííčíím uídaje o mezi plastičity a mezi pevnosti očeli. 2.17. Definice Nečht' je daín dvourozmňerníy datovyí soubor x1 y1 xn yn 33 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kde hodnoty znaku X roztrídíme do r tří dicích intervalu (uj j = 1,..., r s delkami d1,..., dr a hodnoty znaku Y roztrídíme do s trídicích intervalu (vk, vk+1), k = 1,..., s s delkami h1,..., hs. Pak definujeme: simultínní absolutní Četnost (j, k) -teho trídicího intervalu: njk = N (uj < X < Uj+1 A Vk < Y < Vk+1), simultínní relativní Četnost (j, k)-tého trídicího intervalu: njk pjk n marginalní absolutní Četnost j -teho t rídicího intervalu pro znak X: nj. = nj1 + • • • + njs, marginaílníí relativníí cetnost j-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak X: nj. pj. n marginaílníí absolutníí cetnost k-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak Y: n.k = n1k +-----+ nrk, marginíalníí relativníí cetnost k-tíeho t ríídicíího intervalu pro znak Y: n.k p.k n simultaínníí cetnostníí hustota v (j, k)-tíem t ríídicíím intervalu: pjk /jk marginíalníí cetnostníí hustota v j-tíem t ríídicíím intervalu pro znak X: pj. /j. marginíalníí cetnostníí hustota v k-tíem t ríídicíím intervalu pro znak Y: p.k /.k hk Kteroukoliv ze simultanních cetností zapisujeme do kontingencní tabulky. Uved'me kontingencní tabulku simultanních absolutních cetností: (Vk,Vk+l) (vi,v2) (vs,vs+i) rij. njk (Ui,U2) nu nn ni. (ur,ur+i) nrl nr. n.k n.i n.s n 34 f1(x) /2(V) Funkce ( ) í fjk přo uj x2), tj. jejich usporadaní výjadruje vetsí nebo mensí intenzitu zkoumane vlastnosti. Napr. skolní klasifikace výjadruje mensí nebo vetsí znalosti zkousených (jednickír je lepsí nez dvojkar), ale intervalý mezi znamkami nemají obsahove interpretace (netvrdíme, ze rozdíl ve znalostech mezi jednickarem a dvojkarem je stejný jako mezi trojkarem a ctýrkarem. Podobní charakter mají ruzní bodovaní ve sportovních, umeleckých a jiních soutezích. (1) Intervalove znaky pripoustejí obsahovou interpretaci krome relace rovnosti a usporadaní tez u operace rozdílu xi — x2 (poprípade souctu xi + x2), tj. stejný interval mezi jednou dvojicí hodnot a jinou dvojicí hodnot výjadruje 40 i stejny rozdíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Napr. teplota merená ve stupních Celsia predstavuje intervaloví znak. Nameríme-li ve ctyrech dnech polední teploty 0, 2, 4, 6, znamená to, ze kazdym dnem stoupla teplota o 2 stupne Celsia. Bylo by vsak chybou interpretovat tyto ídaje tvrzením, ze ze druheho na tretí den vzrostla teplota dvakrát, kdezto ze tretího na ctvrtí pouze jedenapulkrát. (p) Poměrové znaky umoznují obsahovou interpretaci krome relace rovnosti a usporádání a operace rozdílu jeste u operace podílu x1/x2 (poprípade soucinu x1 • x2), tj. stejny pomer mezi jednou dvojicí hodnot a druhou dvojicí hodnot znamená i stejny podíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Napr. má-li jedna osoba hmotnost 150 kg a druhá 75 kg, má smysl prohlísit, ze první je dvakrát hmotnej sí nez druhá. Zvlástní postavení mají: (a) Alternativní znaky, které nabyvají jen dvou hodnot, napr. 0,1, coz znamená absenci a prezenci nejakeho jevu. Napríklad 0 bude znamenat neuspech, 1 uspech pri résení urcité úlohy. Alternativní znaky mohou byt ztotozneny s kterymkoliv z predchízejících typu. I 3.3. Definice Pro nominální znaky pouzíváme jako charakteristiku polohy modus. U bo-doveho rozlození cetností je to nejcetnejsí varianta znaku, u intervaloveho stred nejcetnejsího trídicího intervalu. 3.4. Definice Pro ordinální znaky pouzíváme jako charakteristiku polohy a-kvantil. Jeli a G (0,1), pak a-kvantil xa je císlo, ktere rozdeluje usporádání datoví soubor na dolní ísek, obsahující aspoň podíl a vsech dat a na horní usek obsahující aspon podíl 1 — a vsech dat. Pro vypocet a-kvantilu slouzí algoritmus: Ícelé číslo c => xn = X 2 necele císlo == zaokrouhlíme nahoru na nejblizsí cele císlo c == == xa X(c) Pro speciílne zvolená a uzívíme názvu: Xo,so - medién, Xo,25 - dolní kvartil, Xo,75 - horní kvartil, x0;1,... ,x0;g - decily, x0;01,... ,x0;gg - percentily. Jako charakteristika variability slouzí kvartilové odchylka: q = x0,75 — x0,25- 3.5. Příklad Pro datoví soubor známek z matematiky (viz príklad 1.10) vypoctete medián, oba kvartily a kvartilovou odchylku. 41 3. Císělně čharaktěristiký znakU I Řešení: OL na c 0,25 5 5 (i+i) 2 1 0,50 10 10 (2+3) 2 2,5 0,75 15 15 (4+4) 2 4 q=4-1=3 3.6. Definice Pro intervalove a pomerove znaky slouzí jako čharakteristika polohy aritmetický průměr 1 m = n E i=1 (lze ho interpretovat jako teziste jednorozmerneho tečkoveho digramu). Charakteristikou variability je rozptyl s2 1 n i=1 či směrodatná odchylka s = Vš^. Pomocí průměru zavedeme centrovanou hodnotu xi — m (podle znamenka pozname, zda i—ta hodnota je podprumerní či nadprumerna a pomočí smerodatne odčhylky zavedeme standardizovanou xi - m hodnotu (vyjadruje o kolik smerodatníčh odčhylek se i-tí hodnota odčhylila od prumeru). 3.7. Veta Rozptyl je nuloví, príve kdyz x1 = x2 = 3.8. Příklad Vypočtete prumer a rozptyl a) čentrovanyčh hodnot, b) standardizovaníčh hodnot. ŘŘešení: ad a) Prumer čentrovanyčh hodnot: 1 n (xi - m) m i=1 Rozptyl čentrovaníčh hodnot: 1 n n • m = 0. n i=1 ((xi — m) — 0)2 = s2. n 1 n 42 ad b) Průměr standardizovaných hodnot: 1 ^-a (xí — m) n ^ s Rozptyl standardizovaných hodnot: = -•0 = 0. s 1 n i=1 x% m ■)' f! s2 1. 3.9. Poznámka V předešlém příkladě jsme vypočítali, ze průměr centrovaných hodnot je 0. Této skutečnosti lze vyůzít k vysvetlení rozptylů: chceme získat číslo, ktere by charakterizovalo variabilitu jednotlivých hodnot kolem průmerů. Průmer centrovaních hodnot nelze poůzít (vyjde 0), proto místo centrovanych hodnot vězměmě jejich kvadráty. Tím dospějeme ke vzorci pro rozptyl: s2 = - ^( xi i=l m)2. Rozptyl však vychází v kvadrátech jednotek, v nichž byl měřen znak X. proto raději používáme směrodatnou odchylku s. DefiniCní tvar vzorce pro rozptyl není príliš vhodny pro vypocty, v praxi še používa vypocetní tvar vzorce pro rozptyl: I s2 = — } (xí — m)2 = — } (x2 — 2mxi + m2) = — > n n n =l =l =l x n — • 2m • > Xi H— } m2 = — > n n n =l =l =l =l x m2. x 2m2 + 1 n n m2 n n 1 3.10. Definice Pro poměrově znaky poůžívýniě jako charakteristiku variability koeficient s variace —. Je to bezrozměrné číslo, které se často vyjadřuje v procen-m těch. Umoznůjě porovnat variabilitu několika znaků. Jsoů-li vSěchny hodnoty poměrověho znaků kladně, pak jako charaktěristiků polohy lzě ůzít geometrický průměr ^Jx\ ■ ... ■ xn. 3.11. Příklad Vypoctětě koěficiěnt variacě mězě plasticity a mězě pěvnosti ocěli pro datový soůbor z príkladů 2.13. Řešení: s1 32,441 s2 32,515 — = —-= 0,338, — = —-= 0,284. mi 95,88 ' ' m2 114,40 Zjistili jsmě, zě koěficiěnt variacě mězě plasticity jě 33,8%, zatímco mězě pěvnosti jěn 28,4%. 43 3. Číselné charakteristiky znaků Nyní se budeme zabývat číselnými charakteristikami dvourozměrného datového souboru se znaky intervaloveho či pomeroveho typu. Spole čnou variabilitu t e chto dvou znaku kolem jejich prameru meríme pomocí kovariance. Jako míra t esnosti lineární zavislosti dvou znaku slouzí koeficient korelace. Je velmi dulez ite porozumet vlastnostem koeficientu korelace, proto si pozorne prohlednete obrazky ilustrující jeho váznam. Pro prakticke procvi cení nám poslouzí príklad na císelne charakteristiky mezí plasticity a pevnosti. 3.12. Definice Pro dvourozm ernyá datovyá soubor kde znaky X, Y jsou intervaloveho ci pomeroveho typu, pouzívame jako charakteristiku spolecne variability znaku X, Y kolem jejich pramení kovarianci 1 n Si2 = - y^ixi - nii){yi - m2). 3.13. Poznámka Kovariance je prumerem soucimů centrovanych hodnot. Pokud se nadprumer-ne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s nadprumernámi (podprumer- nymi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot xi — m\ a Ví — m2 vesmes kladne a jejich prumer (tj. kovariance) rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X, Y existuje urcitá stupen príme linearní zavislosti. Pokud se nadprumerne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s podprumernámi (nadprumernámi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot vesmes zaporne a jejich prumer rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X a Y existuje ur citáy stupen nep ráímáe lineáarnáí záavislosti. Je-li kovariance nulováa, pak rekneme, ze znaky X, Y jsou nekorelovanáe a znamenáa to, ze mezi nimi neexistuje záadnáa lineáarnáí záavislost. Pro vápo cet kovariance pouzíváme vzorec: 1 n si2 = - V" Xiiji - mima. n í=i 3.14. Definice Jsou-li smerodatne odchylky s\, s2 nenulove, pak definujeme koeficient korelace znaku X, Y vzorcem 1 r 12 Xi — mi Ví — m2 n s1 i=1 s2 44 3.15. Veta Pro koeficient korelace platí —1 < r12 < 1a rovnosti je dosazeno prave kdyz mezi hodnotami xi,..., xn a y/i,..., yn existuje uplní linearní zívislost, tj. existují konstanty a, b tak, ze y» = a + bx^, i = 1,..., n, pricemz znamenko + platí pro b > 0, znamenko — pro b < 0. (Uvedena nerovnost se nazíva Cauchyova - Schwarzova - Buňakovskeho nerovnost.) 3.16. Poznámka Koeficient korelace se počítá podle vzorce r 12 S12 Predstavu o významu hodnot koeficientu korelace podávají následující dvourozmerne tečkove diagramy. I 1,00 0,76 0,00 r r r r = -0,37 r = -1,00 3.17. Příklad Pro datová soubor z príkladu 2.13 výpoctete a) aritmeticke prumerý znaku X, Y, b) rozptýlý a smerodatne odchýlky znaku X, Y, c) kovarianci a koeficient korelace znaku X, Y. Řešení: ad a) m1 = 95,9, m2 = 114,4. ad b) sl = 1052,40, s2 = 1057,21, si = 32,4, S2 = 32,5. ad c) s12 = 985,76, r12 = 0,936. Koeficient korelace svedcí o tom, ze mezi obema znaký existuje velmi silna prímá linearní zívislost - cím výšší je mez plasticitý, tím je výšší mez pevnosti a cím je nizsí mez plasticitý, tím je nizsí mez pevnosti. Pri vípoctu císelních charakteristik se v rade situací uplatní veta shrnující n ekteríe jejich vlastnosti. Pro lep síí pochopeníí uvedeníých vlastnostíí slou zíí níasledujíícíí p rííklad. 45 3. Číselné charakteristiky znaků I 3.18. Veta Uveďme některé vlastnosti číselných charakteristik. a) Necht' mi je aritmetický průmer a s f rozptyl znaku X. Pak znak Y = a + bX ma aritmetický průmer m2 = a + bmf a rozptyl s2, = b2sf. b) Necht m1, m2 jsou aritmeticke průmerý, sf, s2 rozptýlý a s12 kovariance znaků X, Y. Pak znak U = X+Y ma aritmetický průmer m3 = mf +m2 a rozptýl s3 = s2 + s2 + 2s12. c) Necht' s12 je kovariance znaků X, Y a mf, m2 jsoů aritmeticke průmerý znaků X, Y. Pak znaký U = a + bX, V = c + d Y mají kovarianci s34 = bds12. 3.19. Příklad a) Znak X ma aritmetický průmer 2 a rozptýl 3. Najdete aritmetický průmer a rozptýl znaků Y = — 1 + 3X. b) Znaký X a Y mají aritmeticke průmerý 3 a 2, rozptýlý 2 a 3, kovarianci 1,5. Výpoctete aritmetický průmer a rozptýl znaků Z = 5X — 4Y. c) Soůcet rozptýlů dvoů znaků je 120, soůcin 1000 a rozptýl jejich soůctů je 100. Výpoctete koeficient korelace techto znaků. Řešení: ad a) m2 = — 1 + 3ím = —1 + 3 • 2 = 5, s2, = 32 • s2 = 9 • 3 = 27. adb) m3 = 5m1—4m2 = 5-3—4-2 = 7, s3 = 52-s2+(—4)2^s2+2^5^(—4)^s12 = 25 • 2 + 16 • 9 — 40 • 1,5 = 134. ad c) s2 + s2 = 150, s1 • s2 = 1000, s2+2 = 100 = s1 + s2 + 2s12 s12 = '1+2 -SJ-S2 _ 100-120 _ — 10, r12 S1-S2 +2 -10 —0,316. Pokůd nemame k dispozici původní datový soůbor, ale jenom variacní radů nebo tabůlků rozlození cetností (resp. kontingencní tabůlků), můz eme výpo-cítat tzv. vaz ene císelne charakteristiký. Pro datový soůbor obsahůjící ýdaje o mezi plasticitý a mezi pevnosti oceli je zajímave porovnat původní císelne charakteristiký a vazene císelne charakteristiký. 3.20. Definice a) Vazene císelne charakteristiký ů bodoveho rozlození cetností: Vážený aritmeticky průměr m 1 n i=1 Važený rozptyl §2 = -^2nÁx\j]-m)2- i=1 VaZena kovariance s12 n Yl Yl nJfc — m1)(y[k]— m2). j=1 k=1 _ «12 _ 1 46 b) Vážené číselné charakteristiky u intervalového rozložení četnosti: Vzorce jsou formálne shodne s predeSlími. Je vSak zapotřebí uvest, že výpočty jsou presne jen tehdy, souhlasí-li prumery v jednotlivých tradicích intervalech se stredy techto intervalu, resp. vykompenzují-li se vzajemne chyby vznikle v důsledku odchylek stredu intervalu od prumeru v techto intervalech. Oba tyto prípady jsou vsak vzacne a vetsinou se dopustíme urcite chyby. 3.21. Příklad Pro intervalove rozlození cetností uvedene v príkladu 2.13 spoctete vízene císelne charakteristiky a porovnejte je s císelnymi charakteristikami uve-denymi v príkladu 3.17. Řešení: I bodové rozložení intervalové rozložení mi 95,88 96,67 m2 114,40 113,67 s\ 1052,40 1148,89 4 1057,21 1019,89 Sl 32,441 33,895 S2 32,515 31,936 Sl2 985,76 998,89 r i2 0,939 0,923 Shrnutí kapitoly Podle stupně kvantifikace znaky třídíme na nominální, ordinální, intervalové, poměrové a alternativní. Jako charakteristika polohy nominainích znaku slouZí modus. Charakteristikou polohy ořdinainích znaku je kterýkoliv a—kvantil, casto se pouZívý median, dolní a horní kvartil, decily, per-centily. Rozdíl horního a dolního kvartilu je kvartiloví odchylka, kterou pouZívíme jako charakteristiku variability. U intervalovích znaku slouží jako charakteristika polohy aritmetickí prUmer a jako charakteristika variability rozptyl ci smerodatna odchylka. Odecteme-li od libovolne hodnoty průmer, dostaneme centrovanou hodnotu, a podelíme-li centrovanou hodnotu smerodatnou odchylkou, získíme standardizovanou hodnotu. Pro pomerove znaky pouzívame koeficient variace. Maj í-li kladne hodnoty, pak jejich polohu charakterizujeme geometrickím prumerem. Mame-li dvourozmerny datoví soubor, pak jako charakteristiku spolecne variability zavedeme kovarianci a jako míru tesnosti lineírní zavislosti koeficient korelace. Podle Cauchy — Schwarzovy — Buňakovskeho nerovnosti nabyví koeficient korelace hodnot mezi —1 a 1. 47 3. Číselné charakteristiky znaků Je-li k dispozici variační řada u bodového rozložení četností nebo tabulka rozložení četností u intervaloveho rozložení četností (resp. kontingenční tabulka), můžeme vypočítat vazene číselne čharakteristiky: vážený aritmetický průměr, vážený rozptyl a váženou kovarianci. I Kontrolní otazky a ůkoly 1 Udejte príklad nominalního, ordinálního, intervaloveho, pomeroveho a alternativního znaku. 2 Jake čharakteristiky polohy a variability uziVame pro uvedene typy znaku? 3 Kdy se shodují číselne čharakteristiky s vazenymi číselnámi čharakte-ristikami? 4 Jaky váznam ma koefičient korelače? 5 V akčiove společnosti je pramenia mzda 13 500 Kč. Pritom 30% pra-čovníku s nejnizsí mzdou ma prumerne 9 000 Kč. Na začatku roku dostal kazdy z tečhto pračovníku pridano 500 Kč. O kolik % vzrostla pramenia mzda v čele akčiove společnosti? 6 (S) Pri statističkem setrení pojistenču byly získany tyto váse pojistek v Kč: výše pojistky 390 410 430 450 470 490 510 530 550 570 abs. četnost 7 10 14 22 25 12 3 3 2 2 Určete aritmetičkí prumer, median, modus, rozptyl, smerodatnou od-čhylku a koefičient variače víse pojistky. V datovem souboru, z nehoz byl vypočten prumer 110 a rozptyl 800, byly zjisteny 2 čhyby: místo 85 mí bít 95 a místo 120 ma byt 150. Ostatníčh 18 udaju je spravnýčh. Opravte prumer a rozptyl. Vazeny aritmetičky prumer činil 1500 a vazeny rozptyl 90000. Varianty X[j] byly transformovany vztahem: h j = 1,..., r. Po této transformaci byl vážený aritmetický průměr 5 a vážený rozptyl 9. UrCete konstanty a a h. 9 (S) Pro dvoůrožinerný datový soůbor 2 4 4 5 6 8 10 10 10 10 1 2 3 4 4 4 5 5 5 6 vypočtete koefičient korelače. 10 Rozptyl součtu hodnot dvou znaku je 350, rozptyl rozdílu je 700. Vypočtete koefičient korelače, víte-li, ze oba znaky mají stejne rozptyly. 7 8 a 48 4. Regresní přímka Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ stanovit odhady parametrU regresní prímky a znát jejich význam ■ posoudit kvalitu proloZení regresní prímky dvourozmerným tečkovým diagramem ■ vypočítat regresní odhady zavisle promenneho znaku ■ stanovit odhady parametru druhe regresní prímky ■ znat vztahy mezi parametry první a druhe regresní prímky. Casova zatěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 3-4 hodiny studia. Budeme se zabívat specialním prípadem, kdy hodnoty znaku Y zavisejí na hodnotach znaku X priblizne linearne. Ukízeme si, jak tuto zavislost popsat regresní prímkou, jak odhadnout její parametry metodou nejmensích čtvercu na zíklade znalosti dvourozmerneho datoveho souboru a jak posoudit kvalitu regresní prímky pomocí indexu determinace. Vysvetlíme si vyznam regresních parametru a v príkladu se budeme zabívat regresní prímkou meze pevnosti na mez plasticity. 4.1. Motivace Cílem regresní analízy je vystizení zívislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. Pri tom je nutne vyresit dva problemy: jakí typ funkce pouzít k vystizení dane zavislosti a jak stanovit konkrétní parametry zvoleneho typu funkce? Typ funkce urcíme bud' logickím rozborem zkoumane zavislosti nebo se snazíme ho odhadnout pomocí dvourozmerneho teckoveho diagramu. Zde se omezíme na linearní zavislost y = fl0 + flix. Odhady b0 a bi neznamych parametru fl0, fli získame na zaklade dvourozmerneho datoveho souboru metodou nejmensích čtverců. Požadujeme, aby průměr součtu čtverců odchylek skutečných a odhadnutých hodnot byl minimální, tj. aby výraž - y^iVí -Po- PiXí)2 i=l nabýval svého minima vzhledem k /30 a (3\. Tento výraz je minimální, jsou-li jeho první derivace podle f30 a fli nulove. Stačí tyto derivace spočítat, poloZit je rovny 0 a réSit system dvou rovnic o dvou neznýmych, tzv. system normalních rovnic. 50 4.2. Definice Nechť je dan dvourozměrný datový soubor a prímka y = //0 + A x. Výraz q(Po, A) = - y^iVi -Po- PiXif i=1 se nazývý rozptyl hodnot znaku Y kolem prímký y = //0 + A x. Prímka V = A) + Ax, jejíz parametry minimalizují rozptyl q(/0,/1) v celem dvou-rozmernem prostoru, se nazíva regresní přímka znaku Y na znak X. Regresní odhad i-te hodnoty znaku Y značíme yi = b0 + b1xi, i = 1,..., n. Kvadrat koeficientu korelace znaku X, Y se nazýví index determinace a značí se ID2. (Index determinace udava, jakou cast variability hodnot znaku Y vystihuje regresní prímka. Nabíva hodnot z intervalu (0,1). Čím je blizší 1, tím lepe vystihuje regresní prímka zavislost Y na X.) I 4.3. Veta Necht' y = b0 + b1x je regresní prímka znaku Y na znak X. Pak pouzitím metodý nejmensích ctvercu dostaneme: b1 £l2 bo = m2 £12 si Ul1, tedy y = m,2 + ^f(x-mi). Přitom úsek 60 regresní přímky udává velikost jejíího posunutíí na svislíe ose (tj. udíavía, jakíý je regresníí odhad hodnotý znaku Y, nabíva-li znak X hodnotý 0) a smernice b1 udíví, o kolik jednotek se zmení hodnota znaku Y, zmení-li se hodnota znaku X o jednotku. Jestlize je b1 > 0, dochazí s rustem X k rastu Y a hovoríme o príme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotích znaku X. Je-li b1 < 0, dochazí s rustem X k poklesu Y a hovoríme o nepríme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. 4.4. Příklad Pro datoví soubor z príkladu 2.13 a) urcete regresní prímku meze pevnosti na mez plasticity b) Zakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. c) Jak se zmení mez pevnosti, vzroste-li mez plasticitý o jednotku? d) Najdete regresní odhad meze pevnosti pro mez plasticitý = 60. e) Výpoctete index determinace a interpretujte ho. Řešení: ad a) Na zíklade vísledku príkladu 3.17 dostavame: b1 bo = TO2 - b1TO1 = 114,4 - 0,937 • 95,9 = 24,5; y = 24,5 + 0,937x. £12 985,76 , 1052,4' n 51 4. Regresní přímka ad b) I m O > 19017015013011090 70 50 • • • • < |_ • |_ * •S' 30 50 70 90 110 mez plasticity 130 150 170 Povšimněte si, ze koeficient korelace znaků X, Y vypočtený v příkladě 3.17 činil 0,936. Tato hodnota je blízka 1, coZ svedčí o silne prime lineární závislosti mezi znaky X a Y. Tečky v dvoůrozmernem tečkovem diagramů nejsoů přílis rozptáleny kolem regresní prímky. ad č) Mez pevnosti vzroste o 0,937kpčm-2. ad d) = 24,5 + 0,937 • 60 = 80,72. ad e) ID2 = r22 = 0,9362 = 0,876. Znamena to, ze 87,6% variability hodnot meze pevnosti je vysvetleno regresní prímkoů. 2 4.5. Dennice Regresní přímkou znaku X na znak Y nazveme tů prímků x parametry minimalizují rozptyl bo + hy, jejíž 1 n n E i=i (xí - po- PiVí)2 v čele rovine. Nazáva se tez druhá regresní přímka. Regresní prímka znaků Y na znak X a regresní prímka znaků X na znak Y se nazyvají sdruření regresní prímky. 4.6. Veta Rovnice regresní přímky znaku X na znak Y má tvar x = m\ + ^r(y — m2). Sdrůzene regresní prímky se protínají v bode (mi,m2). Pro regresní parametry b1, b1 platí: b1 b1 můzeme psat ve tvarů 12- Rovniče sdrůzenyčh regresníčh prímek y = m2 + ri2 — {x si mi); 1 s2 m2-\---[x ri2 si mi), (je-li ri2 = 0). 52 Regresní přímky svírají tím menší úhel, čím méně se od sebe liší r 12 a Regresní přímky splynou, je-li r22 = 1. K tomu dojde právě tehdy, existuje-li mezi X á Y Úplná lineární závislost. VSechny body (xj, y/j), i = 1,..., n leží ná jedne přímce, tedy ze ználosti xi můžeme přesne vypocítát /ji, i = 1,..., n. Jsou-li znáky X, Y nekorelováne, pák májí sdruzene regresní přímky rovnice /j = m2, x = m\ á jsou ná sebe kolme. Oznácíme-li a uhel, který svírájí sdruzene regresní prímky, pák plátí: ■ cos a = 0, práve kdyz mezi X á Y neexistuje zídná lineírní závislost, cos a = 1, príáv e kdy z mezi X á Y existuje uíplníá p ríímíá lineíárníí zíávislost, ■ cos a = —1, práve kdyz mezi X á Y existuje uplná neprímá lineární zíávislost. 4.7. Příklad Pro dátoví soubor z príkládu 2.13 á) Určete regresní prímku meze plásticity ná mez pevnosti. b) Zákreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diágrámu. RResení: ád á) S vyuzitím vísledku príkládu 3.17 dostáváme: — s12 985,76 b0 = m1- &iTO2 = 95,9 - 0,932 • 114,4 = -10,7, tedy x = —10,7 + 0,932//. ád b) Uvedomte si, ze soucin smernic sdruzených regresních prímek je 0,937 • 0,932 = 0,87, 53 4. Regresní přímka což je index derminace naboli kvadrát indexu korelace. I 'o m 170150130110 50- 30- • • • ____' ._____. • • • • • • ___• • • k < u • u < » 50 70 90 110 130 mez pevnosti 150 170 190 Shrnutí kapitoly Pokud vzhled dvourozměrného tečkového diagramu svědčí o existenci určitého stupně lineární závislosti znaku Y na znaku X, muZeme diagramem proloZit regresní přímku znaku Y na znak X. (Pozor - nelze se spokojit pouze s výpočtem korelačního koeficientu, je nutne grafičke posouzení závislosti.) Její parametry (tj. posunutí a smerniči) odhadujeme metodou nejmenSích ctvercU. Kvalitu prolození posuzujeme pomočí indexu determinace - čím je tento index blizsí 1, tím je regresní prímka výstiznejsí a čím je blizsí 0, tím je regresní prímka nevhodnejsí pro výstizení zavislosti Y na X. Dosadíme-li danou hodnotu znaku X do rovniče regresní prímký, získíme regresní odhad príslusne hodnoty znaku Y. Ma-li smýsl zkoumat tez opační smer zívislosti, tj. X na Y, hledame druhou regresní prímku. 1. a 2. regresní prímka se označují jako sdružene regresní prímky. Kontrolní otazky a Úkoly 1 V čem spočíví prinčip metodý nejmensíčh čtverču? 2 Uved'te príklad dvourozmerneho datoveho souboru z ekonomičke praxe vhodní pro pouzití regresní prímký. 3 Co výjadruje index determinače a jak se počítí? 4 Jaký je vztah mezi smerničemi sdruzenýčh regresníčh prímek 5 Jsou-li sdruzene regresní prímký kolme, čo lze ríčt o značíčh X a Y? 6 Rozhodnete, zda prímký y =13 — 2x, x = 8 — y mohou bít sdruzenými regresními prímkami. 7 Je dana rovniče regresní prímký y = 87 + 0,3(x — 25) a koefičient korelače r12 = 0,77. Najdete rovniči sdruzene regresní prímký. S 54 8 (S) U ošmi níhodne vybramích študentu byly zjišt'ovany jejich mate-maticke a verbalní šchopnošti. Víšledky matematickeho teštu udava znak X, víšledky verbalního Y. X 80 50 36 58 72 60 56 68 Y 65 60 35 39 48 44 48 61 a) b) c) d) Vypoctete koeficient korelace a interpretůjte ho. Najdete rovnice sdrůzenych regresních prímek. Zlepsí-li se vysledek v matematickem testů o 10 bodů, o kolik bodů se zlepsí vysledek ve verbalním testů? Zlepsí-li se vysledek ve verbalním testů o 10 bodů, o kolik bodů se zlepsí vysledek v matematickem testů? Jak se zmení ůsek a smernice regresní prímky, kdyz kazdoů hodnotů zavisle promenneho znaků zvetsíme o 10%? 10 Zavislost mezi vnejsí teplotoů a teplotoů ve skladisti je popsana regresní prímkoů y = 8 + 0,6x. Pri jake vnejsí teplote klesne teplota ve skladisti pod bod mrazů? 9 55 4. Regresní přímka 56 5. Jev a jeho pravděpodobnost Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet ■ rozlisit nahodní a determinističkí pokus stanovit zíakladníí prostor ■ popsat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovíčh operačí ■ vypočítat pravdepodobnost jevu a znat vlastnosti pravdepodobnosti časova zatez Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 6 hodin. I Nejprve se sezníamííme s pojmem pokusu, a to determinističkíeho a níahodníeho pokusu. Nadale se budeme zabívat níhodnymi pokusy. Mnozinu mozníčh vísledku pokusu povazujeme za zakladní prostor. Na zíkladním prostoru vybudujeme jevove pole jako system podmnozin, kterí je uzavrení vzhledem k mnozinovym operačím. Zakladní prostor spolu s jevovím polem tvorí tzv. meritelny prostor. Libovolna podmnozina mozníčh výsledku níhodneho pokusu, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Naučíme se vyjadrovat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovyčh operačí a uvedeme vlastnosti tečhto operačí. 5.1. Definice Pokusem rozumíme jednorazove uskutečnení konstantne vymezeneho souboru definičníčh podmínek. Predpokladame, ze pokus muzeme mnohonasob-ne nezavisle opakovat za dodrzení definičníčh podmínek (ostatní podmínky se mohou menit, proto ruzna opakovíní pokusu mohou vest k ruznym vy-sledkum). Dale predpokladame, ze opakovaním pokusu vznika opet pokus. Deterministickým pokusem nazívame takoví pokus, jehoz kazde opakovaní vede k jedinemu moznemu vísledku. (Napr. zahrívíní vody na 100 °C pri atmosfíeričkíem tlaku 1015 hPa vede k varu vody.) Náhodným pokusem nazyvame takoví pokus, jehoz kazde opakovíní vede k príve jednomu z víče moznyčh vísledku, ktere jsou vzíjemne neslučitelne. (Napr. hod kostkou vede k prave jednomu ze sesti moznyčh vysledku.) 5.2. Definice Neprázdnou mnozinu mozníčh vísledku nahodneho pokusu značíme Q a nazyvíme ji základni prostor. Mozne vysledky značíme uj\,u2,---. Na zíkladním prostoru Q vytvoríme jevove pole A jako system podmnozin, ktery s kazdími dvema mnozinami obsahuje i jejičh rozdíl, obsahuje čelí zakladní prostor a obsahuje-li kazdou ze spočetne posloupnosti mnozin, obsahuje i jejičh spočetne sjednočení (znamení to, ze system A je uzavrení vzhledem k mnozinovím operačím). Jestlize A G A, pak rekneme, ze A je jev. Dvojiče (Q, A) se nazyví měřitelný prostor. Q se nazíví jistý jev, 0 nemoZný jev. 58 5.3. Poznámka Vztahý mezi jevý výjad růjeme pomocýí mno zinovýých inklůzýí a operace s jevý popisůjeme pomocí mnozinových operací. a) A C B znamený, ze jev A ma za důsledek jev B. b) A U B znamena nastoůpení aspon jednoho z jevů A, B. c) A n B znamena spolecne nastoůpení jevů A, B. d) A — B znamená nastoupení jevu A za nenastoupení jevu B. e) A = Q — A znamená jev opačný k jevu A. f) A n B = 0 znamena, ze jevý A, B jsoů neslůcitelne. g) u G A znamena, ze mozný výsledek w je príznivý nastoůpení jevů A. 5.4. Veta Uved'me n ekterýe vlastnosti, kterýe majýí operace s jevý: a) Pro sjednocení a průnik jevů platí komůtativní zakon, který pro dva jevý A, B mýa tvar: A U B = B U A, A n B = B n A. b) Pro sjednocení a průnik trí jevů A, B, C platí zakon asociativní: A u (B u C) = (A u B) u C, A n (B n C) = (A n B) n C, a zaýkon distribůtivnýí: A n (B u C) = (A n B) u (A n C), A u (B n C) = (A u B) n (A u C). c) Pro sjednocení a průnik jevů opacných platí de Morganový zakoný, ktere pro dva jevý A, B zapíseme takto: A U B = A n B, A n B = A U B. 5.5. Příklad Nahodný pokůs spodVa v hodů kostkoů. Jev A znamena, ze padne sůde císlo a jev B znamena, ze padne císlo vetsí nez 4. a) Urcete zýkladní prostor ŕŕ. b) Výpiste mozne výsledký priznive nastoůpem jevů A, B. c) Pomocý operacý s jevý výjýdrete nasledůjící jevý: padne liche ďslo; nepadne ďslo 1 ani 3, padne ďslo 6; padne ďslo 2 nebo 4. Řešení: ad a) Q = ..., Wô), kde mozný výsledek uui znamena, ze padne císlo i, i = U..^ 6. ad b) A = {w2, W4, cug), B = {w5, cug). ad c) A = {ui, uj3, W5}; A U B = {1j2, u^, u5, ujq}; AC\B = {ujq}\ A —B = {W2, W4) I Na meritelnem prostorů zavedeme pravdepodobnost jako fůnkci, ktera spl-nůje ůrcite axiomý a kazdemů jevů prirazůje císlo mezi 0 a 1. Meritelný prostor spolů s pravdepodobností tvorí pravdepodobnostní prostor. Seznamíme 59 5. Jev a jeho pravděpodobnost se s vlastnostmi pravdepodobnosti a uvidíme, ze téměř všechny jsou obdobné vlastnostem relativní Četnosti jak jsme je poznali v první kapitole. Zavedeme specialní případ pravdepodobnosti - klasickou pravdepodobnost a vypočítame nekolik príkladU. 5.6. Definice Necht' (Q, A) je meritelný prostor. Pravděpodobnosti rozumíme reálnou množinovou funkci P : A — R, která splnuje následující tri axiomy: každemu jevu prirazuje nezáporne císlo, jistemu jevu prirazuje císlo 1, sjednocení neslucitelných jevu prirazuje soucet pravdepodobností techto jevu. Trojice (Q, A, P) se nazýva pravděpodobnostní prostor. I (Axiomy pravdepodobnosti jsou zvoleny tak, aby pravdepodobnost byla „zi-dealizovaným" protejskem relativní cetnosti zavedene v definici 1.1. Znamena to, ze pro velkí pocet opakovaní pokusu, v nemz sledujeme nastoupení jevu A, se relativní cetnost jevu A blízí pravdepodobnosti jevu A. Tento poznatek je znam jako empirický zákon velkých čísel. Zdílo by se prirozene definovat pravdepodobnost jako limitu relativní cetnosti pro n — oo. Tento postup by vsak nebyl korektní, protoze pocet pokusu n je vzdy konecny a nelze se tedy presvedcit o existenci uvedene limity.) 5.7. Věta Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pro libovolné jevy A, Ai, A2, • • • G A platí následujících 14 vlastností: P1: P(0) = 0 P2: P(A) > 0 (nezapornost - axiom) P3: P(Ai U A2) + P(Ai n A2) = P(Ai) + P(A2) P4: 1 + P(Ai n A2) > P(Ai) + P(A2) P5: P(Ai U A2) < P(Ai) + P(A2) P6: Ai n A2 = 0 == P(Ai U A2) = ) = P(A2) - P(Ai n A2) P(A2 - Ai) = P(A2) - P(A2) P9: Ai C A2 == P(A2) < P(A2) (monotonie) P10: P(Q) = 1 (normovanost - axiom) Pil: P(A) + P(A) = 1 (komplementarita) P12: P(A) < 1 A (subaditivita) P (Ai) + P (A2) (aditivita) P7: P(A2 - Ai) P8: A1 C A2 == (subtraktivita) P13: Ai n Aj = 0 pro i = j P (Ai U A2 U ...) (spocetna aditivita - axiom) P14: P (Ai) + P (A2) + (n \ n i=1 / i=1 n i n n 2 n i n P (Ai) ^ E P (Ai n Aj)+ í=i j=í+i +Y. Y, Y, P (Ai nAj nAfc)+(-i)n-1P (Ai n A2 n---nAn) i=1 j=i+i k=j+i 60 Pro neslučitelné jevy A\,..., An dostáváme P (n \ n i=1 / i=1 P (Ai). (Vlastnosti P1,..., P12 odpovídají vlastnostem relativní četnosti z véty 1.3, vlastnost P14 je známá jáko vetá o sčítání pravdepodobností.) 5.8. Definice Nechť Q je konečný základní prostor a necht' všechny možné výsledky mají stejnou šanci nastat. Klasická pravdepodobnost je funkce, ktera jevu A pri-m(A) rázuje číslo P (A) m(Q) kde m(A) je počet moznýčh výsledků příznivých nastoupení jevu A a m(Q) je pocet vsech možných výsledkU. 5.9. Příklad Vypočítejte pravděpodobnosti jevů A, B, A, A U B, A n B, A — B z příkladu 5.5. Řešení: m(Q) = 6, P (A U B) P(A) _ 4 _ 2 6 ~~ 3' 3 _ 1 6 ~~ 2' P (A n B) P(B) 2 _ 1 6 ~ 3' P (A - B) P(A) 3 _ 1 6 — 2' _ 2 _ 1 6 — 3' I 5.10. Příklad V dodávče 100 kusů várobků nemá pozádováný průmer 10 kusů, pozádovánou delku 20 kusů á součásne nemá pozádováný průmer i delku 5 kusů. Jáká je právdepodobnost, ze náhodne výbráná várobek z teto dodávký má pozádováný průmer i delku? Řešení: Jev A spočívá v tom, ze várobek má pozádováný průmer á jev B v tom, ze výrobek má pozádovánou delku. Počítáme P (A C\B) = P{A U B) = 1 - P (A U B) -- = 1 - [P (Ä) + P (B) - P (Ä nš)] = i ( 10 20 + 5 100 100 100 0,75. 1 6 5.11. Příklad Mezi N výrobký je M zmetků. Náhodne bez vráčení výbereme n výrobků. Jáká je právdepodobnost, ze výbereme práve k zmetků? Řešení: Zákládní prostor Q je tvoren vsemi neusporádánými n-tičemi výtvorenými z N prvků. Tedý m(Q) = (^). Jev a4 spočívá v tom, ze výbereme práve k zmetků z M zmetků (tý lze výbrát způsobý) á váber doplníme n — k 61 5. Jev a jeho pravděpodobnost kvalitními výrobký výbranými z N — M kvalitních vírobku (tento víber lze zpusobý). Podle kombinatorickeho pravidla soucinu dostava- províest me n—k m(A) UJU — k ) tedý P (A) m(A) f)( nk N I Shrnutí kapitoly Deterministický pokus vede pri kazdem opakovaní k jedinemu moznemu vísledku, zatímco náhodný pokus vede pri kazdem opakovíní príve k jednomu z více mozných vísledku. Mnozina mozních vísledku nahodneho pokusu tvorí základní prostor. Sýstem podmnozin zakladního prostoru, který je uzavrený vzhledem k mnozinovím operacím, se nazíva jevove pole. Zakladní prostor spolu s jevovím polem oznacujeme jako meřitelný prostor. Podmnozina, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Čelý zakladní prostor je jevem jistým, prízdna mnozina jevem nemoZným. Šanci jevu na uskutecnení výjadrujeme pomocí pravdepodobnosti, coz je funkce, ktera kazdemu jevu prirazuje císlo mezi 0 a 1 a splnuje urcite axiomý, ktere stanovil ruskí matematik A. N. Kolmogorov tak, abý pravdepodobnost býla „zidealizovaným" protejskem relativní cetnosti. Pri mnohonísobnem nezíavislíem opakovíaníí tíehoŠz níahodníeho pokusu totiŠz platíí empirický za kon velkých Čísel: relativní cetnost jevu se ustaluje kolem nejake konstantý, kterou povazujeme za pravdepodobnost tohoto jevu. Meritelný prostor spolu s pravdepodobností tvorí pravdepodobnostní prostor. V praxi se nej-casteji pouzíví klasickí pravdepodobnost zavedena jako podíl poctu tech vísledku, ktere jsou príznive nastoupení daneho jevu, a poctu vsech mozních vísledku. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad deterministickeho pokusu a nahodneho pokusu. 2 Nahodný pokus spodVa v hodu dvema kostkami. Urcete zakladní prostor. 3 Pro zkousku provozní spolehlivosti urciteho zarízení je predepsan tento postup: zaŠrízení je uvedeno v Šcinnost pŠetkríat pŠri maximaílním zatíŠzení. Jakmile pri nekterem z techto peti pokusu zarízení selze, nesplnilo podmínký zkouský. Oznacme Ai jev: „pri i-tem pokusu zarízení selhalo" pro i = 1,... , 5. Pomocí jevu Ai výjídrete jevý: a) ZaŠrízení neproŠslo uíspŠeŠsnŠe zkouŠskou. b) První tŠri pokusý býlý uíspŠeŠsníe, ve 4. a 5. pokusu zaŠrízení selhalo. c) 1. a 5. pokus býlý uíspŠeŠsníe, ale zkouŠska býla neuíspŠeŠsnía. 4 Formulujte emiprickí zakon velkích císel. 5 Uved'te pŠrííklad situace, v nííŠz nelze pouŠzíít klasickou pravdŠepodobnost. 6 Z karetní hrý o 32 kartach výbereme nahodne bez vracení 4 kartý. Jaka je pravdŠepodobnost, Šze asponŠ jedna z nich je eso? 62 7 Dva hraci hazejí strídave mincí. Vyhrava ten, komu padne drív líc. Stanovte pravdepodobnost víhry 1. hríce a pravdepodobnost vyhry 2. hrace. 8 Chevalier de Mere pozoroval, ze pri hazení tremi kostkami padí soucet 11 casteji nez soucet 12, i kdyz podle jeho nízoru (nespravneho) mají oba soucty stejnou pravdepodobnost. Stanovte pravdepodobnost obou jevu. 9 Student se ke zkousce pripravil na 15 otazek z 20 zadaních. Pri zkousce si vybere nahodne dve otízky. Jaka je pravdepodobnost, ze aspon na jednu zní odpoved'? 10 Mezi nasledujícími tvrzeními vyberte ta, kterí jsou pravdiví: a) P (a n b) < P (b), b) p (a u b) < p (b), c) p (a U b) < p (a) + p (b), d) p(a) < 0. I 63 5. Jev a jeho pravděpodobnost 64 Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost 6. Stochasticky nezávisle jevy a podmíněna pravděpodobnost Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitolý budete umet ■ overit stočhastičkou nezávislost posloupnosti jevu ■ resit príkladý výuzívajíčí stočhastičkou nezavislost jevu ■ počítat podmínenou pravdepodobnost ■ pouzít vetu o násobení pravdepodobností, vzoreč pro uplnou pravdepodobnost a Baýesuv vzoreč I Casova zatez Pro zvládnutí teto kapitolý budete potrebovat asi 6 hodin studia. Z predesle kapitolý víme, ze pravdepodobnost je „zidealizovaným" protejskem relativní četnosti. Lze tedý očekavat, ze stočhastičký nezávisle jevý zavedeme podobne jako četnostne nezavisle mnoziný: pomočí multiplikativního vztahu. Uvedeme vlastnosti stočhastičký nezavislíčh jevu a s jejičh pomočí odvodíme dve dulezita rozlození pravdepodobnosti - geometričke a binomičke, ktera mají, jak uvidíme pozdeji, časte výuzití v praxi. 6.1. Definice Nečht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor. Jevý A1, A2 G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize P(A1 n A2) = P(A1)P(A2). (Tento vztah znamena, ze informače o nastoupení jednoho jevu neovlivní sanče, s nimiz očekáváme nastoupení druheho jevu. Stočhastička nezávislost jevu A1, A2 je motivována četnostní nezavislostí mnozin G1, G2 ve váberovem souboru - viz definiče 1.6.) Jevý A1,..., An G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize platí sýstem multiplikativníčh vztahu: V1 < i < j < n : P(Ai n Aj) = P(Ai)P(Aj), V1 < i < j < k < n : P (Ai n Aj n Afc) = P (A*)P (Aj )P (Afc). P (A1 n •••n An) = P (A1) ...P (An). Jevý A1, A2, • • • G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize pro vsečhna prirozena n jsou stočhastičký nezavisle jevý A1,..., An G A. (Upozornení: pri overovaní stočhastičke nezavislosti jevu musíme prozkoumat platnost vsečh multiplikativníčh vztahu.) 6.2. Veta a) Nemozná jev je stočhastičký nezavislý s kazdám jevem. b) Jistá jev je stočhastičký nezavislý s kazdým jevem. č) Stočhastička nezavislost se neporusí, jestlize nektere (nebo i vsečhný) jevý nahradíme jevý opačnámi. d) Neslučitelne jevý nemohou bát stočhastičký nezavisle (pokud nemají vsečhný nulovou pravdepodobnost). 66 6.3. Příklad Nezavisle opakůjeme týz nýhodný pokůs. Necht' jev Aj znamený ůspech v item pokůsů, pricemz P (Aj) = v, i =1, 2,... Výpoďtejte pravdepodobnost, dze a) prvmniů ůspechů predchazý z neůspechů, z = 0,1, 2,..., b) v prvm'ch n pokůsech nastane prave y ůspechů, y = 0,1,..., n. Řešení: ad a) p(ä[ n-nín az+1) = p(a[)... p(a~z)p(az+l) = (1 (geometrickýe rozlodzený pravddepodobnostý) ad b) P((Ain- • -nA^nA^n- • -nAra)u-■ -u^n- • -nAn_ynAn_y+ln- ■ -nAra)) = pía,) ... p(Ay)p(Ä^r1)... p(än) + ■■■ + + p(a1)... p{an_y)p{an_y+l)... p{an) vy(1 - v)n-y + • • • + (1 - v)n-yvy ny vy (1 - v)n-y (binomickýe rozlodzený pravddepodobnostý) Nýný zavedeme podmýndenoů pravddepodobnost na zýakladde analogie s podmý-ndenoů relativný dcetnostý. Shrneme vlastnosti podmýndenýe pravddepodobnosti a naůďme se poůzrvat vzorec pro výpocet ýplne pravdepodobnosti a Baýesův vzorec. I 6.4. Definice Necht' (Q, A, P) je pravdepodobnostný prostor a dale H G A jev s nenůlovoů pravdepodobnost!. Podmíněnou pravděpodobností za podmmký H rozůmfme fůnkci P(.|H) : A ^ R danoů vzorcem: A G A : P(A|H) P(An P(H) H) . (Vysvětlení: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v tech pokusech, v nichž nastoupil jev H. Podmínenou relativní Četnost A za podmínky H jsme v definici 1.4 zavedli vztahem • Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusu ustaluje kolem konstanty P(A|H), kterou považujeme za podmínenou pravdepodobnost jevu A za podmínky H.) p(A|H) 6.5. Veta T Pro podmínénou pravdépodobnost platí: N^ísl a) P (ai n a2) = P (ai)p (a2|a!) pro p (ai) = 0. £ b) p(ai n a2) = p(a2)p(ai|a2) pro p(a2) = 0. c) p(a:na2n- • -na„) = p(Ai)p(A2|Ai)p(As|Aina2)... p(a„|ain- • -n ara_i) pro p(ain- • -nara_i) = 0. (Véta o násobení pravdepodobností) 67 6. Stochasticky nezavisle jevy a podmínena pravdepodobnost d) Jevy Ai, A2 jsou stochasticky nezívisle, príve kdyz P(Ai|A2) = P(Ai) nebo P(A2) = 0 a príve kdyz P(A2|A1) = P(A2) nebo P(A1) = 0. 6.6. Příklad Ze skupiny 100 vyrobku, ktera obsahuje 10 zmetku, vybereme níhodne bez vracení 3 vírobky. Vypoctete pravdepodobnost jevu, ze první dva vyrobky budou kvalitníí a t retíí bude zmetek. Řešení: Jev Ai znamena, ze i-tí vybraní vírobek je kvalitní, i = 1, 2, 3. Pocítíme P(A, ni2n5) = P(A1)P(A2\A1)P(Ä3\A1 n A2) = ^ • § • f = 0,083. I 6.7. Veta Necht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor, H1,..., Hn G A takove jevy, n ze P(Hj) > 0, U Hi = Q, Hi n Hj = 0 pro i = j (ríkame, ze jevy H1,..., Hn i=1 tvorí uplní system hypotez). a) Pro libovolní jev A G A platí vzorec uplne pravdepodobnosti: n P(A) = P(Hi)P(A| Hi). i=1 b) Pro libovolnou hypotezu Hk, k = 1,..., n a jev A G A s nenulovou pravdepodobností platí Bayesuv vzorec: (P(Hk |A) se nazíva aposteriorní pravděpodobnost hypotezy Hk, P(Hk) je apriorní pravděpodobnost.) 6.8. Příklad Je znamo, ze 90% vírobku odpovída standardu. Byla vypracovína zjed-nodusena kontrolní zkouska, ktera u standardního vírobku da kladny vy-sledek s pravdepodobností 0,95, zatímco u vyrobku nestandardního s pravdepodobností 0,2. Jakí je pravdepodobnost, ze a) zkouska u níhodne vybraneho vyrobku dopadla kladne, b) vírobek, u nehoz zkouska dopadla kladne, je standardní? Řešení: Jev A znamena, ze zkouska u níhodne vybraneho vírobku dopadla kladne, jev H1 znamena, ze vyrobek je standardní, jev H2 znamení, ze vírobek není standardní, P(H1) = 0,9, P(H2) = 0,1, P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,2. ad a) P (A) = P (H^P (A|H^+P (H2)P (AH2) = 0,9-0,95+0,1-0,2 = 0,875 adb) P(HM) = P{Hí^l) = °-f§^ = ^- 68 Shrnutí kapitoly Stochasticky nezávisle jevy jsoů protipólem determinističky zavislíčh jevů: informače o nastoůpení jednoho jevů nijak nemení sanče, s nimiz očekí-vame nastoůpení drůheho jevů. Formalne zavadíme stočhastičkoů nezavislost jevů pomočí můltiplikativníčh vztahů na zaklade analogie s četnostní nezí-vislostí mnozin. Pomočí stočhastičky nezavislyčh jevů lze odvodit geomet-ricke a binomicke rozloZen á pravdepodobnost I. Obe tato rozlození se často poůzívají v praxi. Podmínena relativní četnost motivůje zavedení podmn Inene pravdepodobnosti - zkoůmame pravdepodobnost nastoůpení nejakeho jevů za pod-míínky, ze nastal jinyí jev. Podmíín enía pravd epodobnost se vyskytůje v n eko-lika důlezitíčh vzorčíčh, ktere ůmoznůjí resit radů príkladů. Jedna se o vetu o n ásoben I pravdepodobnost I , vzorec pro vypocet Upln e pravdepodobnosti a BayesUv vzorec. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad stočhastičky nezavislíčh jevů 2 Nečht' P (A) = p, P (B) = q. Pomočí čísel p, q vyjadrete pravdepodobnost nastoůpení aspon jednoho z jevů A, B, jsoů-li tyto jevy a) stočhastičky nezíavislíe, b) neslů čitelníe. 3 Co lze ríči o jevečh A, B, ktere nejsoů nemozne a platí pro ne: I P (A U B) [1 - P (A)][1 - P (B)]? 1 4 Je pravdepodobnej sí vyhrat se stejne silním soůperem tri partie ze čtyr nebo pet z osmi, kdyz nerozhodní vísledek je vyloůčen a vysledky jsoů nezíavislíe? 5 První delník vyrobí denne 60 vírobků, z toho 10% zmetků. Drůhy delník vyrobí denne 40 vyrobků, z toho 5% zmetků. Jakí je pravdepodobnost, ze nahodne vybrany vírobek z denní prodůkče je zmetek a počhazí od prvního delníka? 6 Ze sesti vaječ jsoů dve praskla. Nahodne vybereme dve vejče. Jaka je pravdepodobnost, ze bůdoů a) obe praskla, b) prave jedno praskle, č) obe dobra? 7 Doplňte chybějící člen x v rovnici P(B) = P(B\A)P(A) + xP(A). 8 Pro jake jevy A, B, B = 0 platí P (A|B) = P (A)? 9 Co lze ríči o jevečh A1,..., An s nenůlovymi pravdepodobnostmi, ktere jsoů neslůčitelne a jejičh sjednočením je čelí zakladní prostor? 10 Pojist'ovačí společnost rozlisůje pri pojist'ovaní tri skůpiny ridičů - A, B a C. Pravdepodobnost toho, ze ridič patríčí do skůpiny A bůde mít b ehem roků nehodů, je 0, 03, zatíímčo ů ridi če skůpiny B je to 0,06 a ů 69 6. Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost ridice skupiny C 0,1. Podle dlouhodobích zíznamu spolecnosti je 70% pojistnych smluv uzavreno s ridici skupiny A, 20% s ridici skupiny B a 10% s r idici skupiny C. Jestli ze do slo k nehode ridi ce poji st eneho u tíeto spole cnosti, jakía je pravd epodobnost, ze pat ril do skupiny C? 11 U jisteho druhu elektrickeho spot rebi ce se s pravdepodobností 0,01 vyskytuje vírobní vada. U spotrebice s touto vírobní vadou dochazí v zarucní lhute k poruse s pravdepodobností 0,5. Vírobky, ktere tuto vadu nemají, se v zarucní lhute porouchají s pravdepodobností 0,01. Jakía je pravd epodobnost, ze a) u nahodne vybraneho vyrobku nastane v zarucní lhute porucha, b) vyrobek, ktery se v zírucní lhut e porouchí, bude mít dotycnou víyrobníí vadu? I 70 I 7 Nahodna veliCina a její distribůCní fůnkce 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce Cíl kapitoly Po prostudovíaníí tíeto kapitolý budete umŠet: ŠcííselnŠe popsat výísledký níahodníeho pokusu pomocíí naíhodnýích veliŠcina a nahodných vektoru, najíít distribuŠcníí funkci níahodníe veliŠciný Šci níahodníeho vektoru, rozliŠsit diskríetníí a spojitíe níahodníe veliŠciný a níahodníe vektorý a najíít jejich funkcioníalníí charakteristiký, ovŠeŠrit stochastickou nezíavislost níahodnýích veliŠcin. Casova zatez Na prostudovaní teto kapitolý budete potrebovat asi 8 hodin studia. NauŠcííme se, jak popisovat víýsledký níahodníeho pokusu pomocíí níahodníe veliŠciný, tj. zobrazeníí, kteríe moŠzníemu výísledku pŠriŠradíí Šcííslo Šci nŠekolik Šcíísel. Existuje zretelní analogie mezi znakem, který zname z 1. kapitolý, a nahod-nou veliŠcinou. V nŠekterýích situacíích potŠrebujeme níahodnou veliŠcinu transformovat. Zíískíame sloŠzenou funkci zvanou transformovanaí níahodnaí veliŠcina. Statistika casto zajíma pravdepodobnost jevu, ze hodnota nahodne veliciný nep resíahne n ejakou mez. Pomocíí tíeto pravd epodobnosti zavedeme distribu c-níí funkci, ktería je zidealizovaníým" prot ej skem empirickíe distribu cníí funkce, s níí z jsme se setkali ve 2. kapitole. Sezníamííme se s vlastnostmi distribu cníí funkce a výresíme nekolik príkladu. 7.1. Definice Libovolní funkce X : Q — R, kterí kazdemu moznemu výsledku u G Q prirazuje realne císlo X (u), se nazýva náhodná veličina a císlo X (u) je (číselná realizace náhodne veličiny X příslušná moznemu výsledku u. Usporadana posloupnost nahodních velicin (Xi,..., Xn) se nazýva náhodná vektor a znací se X. Je-li g : R — R (resp. ... , gm) : Rn — Rm) funkce, pak slozena funkce Y = g(X) (resp. Y = (Yi,..., Ym) = (gi(xi,.. .,Xn),... ,gm(xi,.. .,Xn))) se nazýva tránsformováná náhodná veliciná (resp. tránsformováná náhodný vektor). Výsvetlení: Níhodna velicina i nahodný vektor popisují výsledký níhodneho pokusu pomocíí reíalnýích Šcíísel. Musíí pŠritom splnŠovat podmíínku tzv. mŠeŠritel-nosti, kterou se zde nebudeme zabýívat. Níahodnaí veliŠcina v poŠctu pravdŠe-podobnosti a znak v popisne statistice - viz definice 1.8 - jsou sice pojmý blíízkíe, nikoli vŠsak totoŠzníe. Znak lze povaŠzovat za naíhodnou veliŠcinu, pokud jeho hodnotu zjiŠst'ujeme na objektu, kteríý býl výbrían ze zaíkladníího souboru níahodnŠe. UpozornŠeníí: V dalŠsíím textu se omezííme na dvourozmŠerníe níahodníe vektorý. Poznatký lze jednoduse zobecnit i na n-rozmerne níhodne vektorý. 7.2. Oznacení Necht' B C R. Jev {u G Q; X (u) G B} zkracene zapisujeme {X G B} a cteme: nahodna velicina X se realizovala v mnozine B. ■ 72 7.3. Definice Pravdepodobnostní čhovaní nahodne veličiny X (resp. nahodneho vektoru X = (Xi,X2)) popisujeme distribuční funkcí $ : R — R, ktera je dana vztahem: Vx G R : $(x) = P (X < x) (resp. simultánní distribuční funkcí $ : R2 — R, kterí je definovína vztahem: V(x1 ,x2) G R2 : $(x1 ,x2) = P(Xi < Xi,X2 < X2)). Vysvetlení: Distribuční funkče $(x) je zidealizovanym protejskem empiričke distribuční funkče F (x) zavedene v definiči 2.4 či 2.14: Vx G R : F (x) = N. S rostoucím rozsahem výběrového souboru se budou hodnoty F(x) ustalovat kolem hodnot $(x). 7.4. Príklad Najdete distribuční funkči nahodne veličiny X, ktera udaví, jake číslo padlo pri hodu kostkou a nakreslete graf teto distribuční funkče. Řešení: Nahodní veličina X muze nabívat hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Číselnou osu tedy rozdelíme na 7 intervalu. x G (-oo, 1) : $(x) = P (X < x) = 0 x G (1,2) : $(x) = P (X — 00 x—>00 ■ Va, 6 G E, a < b platí: P(a < x < b) = $(&) - $(a). ■ pro libovolné, ale pevně dané x0 G E : p (X = x0) = $(x0)— lim b) Vektorový pfípád: Simultánni' distribučná funkče $(£1,£2) náhodneho vektoru X = (X1,X2) má následujká vlástnosti: ■ $(x1,x2) je neklesájáá vzhledem ke kázde jednotlive promenne, ■ $(x1,x2) je zprává spojitá vzhledem ke kázde jednotlive promenne, ■ $(x1,x2) je normováná v tom smýslu, ze lim ,x2) = 1, x1—>00,x2—>oo ,x2)= lim ,x2) = 0, lim x1 ——0 V(x1 ,x2) G R2,h1 > 0,h2 > 0 : P(x1 < X1 < x1 + h A X2 < X2 < X2 + ) = + h1 ,X2 + ^2) — + h1,X2) —,X2 + ^2) + $(x1 ,£2) (táto vlástnost výjádruje právdepodobnost, ze náhodná vektor se reálizuje v obdelníku + h1) x (x2, £2 + h2)), lim $(x1,X2) = $1(^1), lim $(x1,X2) = $2(£2), kde $^£1), $2(^2) x2 —0 x1 —0 jsou distribučná funkče náhodnýčh veličin X1, X2. Názývájá se már- ginálná distribučná funkče. 7.6. Příklad Náhodný vektor (X1,X2) má distribučná funkči $(X1,£2) 1 V2 árčtgx1 + |) (arctS - -„í.j-___ t- £2 + Výpočtete právdepodobnost, ze náhodná vektor (X1,X2) se bude reálizo-vát v jednotkovem čtverči (0,1) x (0,1). Nájdete obe márginální distribuční funkče $2(x2). Řešení: Podle 4. vlástnosti v vetý 7.5(b), kde x1 dostáávááme 0, £2 = 0, h = 1, h; P(0 < X1 < 1 A 0 < X2 < 1) = $(1,1) — $(1, 0) — $(0,1) + $(0, 0) 1 /n n V2 V4 + 2 $1(2:1) $2(^2) lim — X2—00 n2 lim \ X1—00 n2 4 + 2 1 /n n ^2 U + 2 0+ 1 / n árčtgx1 + árčtgx1 + 4 + 2 1 / n |) (arctg |) (arctg £2 + £2 + 1 n 1 n 0+ 1 16' árčtg£1 + árčtg £2 + 7T 0 74 Nyní se budeme zabyvat dvema speciílními typy nahodnych velicin, a to diskretními a spojitymi níhodnymi velicinami. Diskretní nahodna velicina nabyva nejvíse spocetne mnoha izolovaních hodnot, zatímco spojita velicina nabyví vsech hodnot z nejakeho intervalu. Pravdepodobnostní chovaní diskretní (resp. spojite) nahodne veliciny popíseme pomocí pravdepodobnostní funkce (resp. pomocí hustoty pravdepodobnosti). Uvidíme, ze vlastnosti pravdepodobnostní funkce jsou podobne jako vlastnosti cetnostní funkce a vlastnosti hustoty pravdepodobnosti jsou analogicke vlastnostem hustoty cetnosti. 7.7. Definice a) Skalírní prípad: Níhodní velicina X se nazyva diskrětni, jestlize její distribucní funkci lze vyjadrit pomocí nezaporne funkce n(x) v souctovem tvaru: Vx G R : $(x) = Funkce n(x) se nazyva pravděpodobnostní funkce diskrětně náhodně veličiny X. b) Vektoroví prípad: Nahodny vektor (X1,X2) se nazyva diskretní,, jestlize jeho simultanní distribucní funkci lze vyjídrit pomocí nezaporne funkce n(x1,x2) v souctovem tvaru: V(xi,X2)R2 : $(xi,X2) = Y, n(*i,*2). Í1 0 (nezapornost), oo ■ n (x) = 1 (normovanost), x= 75 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce G R I Vx VB C R : vr(x) = P (X = z). P{X G B) = E vr(x). b) Vektorový případ: Je-li 7r(xi, z2) simultánní pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodněho vektoru (X1,X2), pak platí: ■ V(z1 , x2) G R2 : n(z1,z2) > 0 (nezípornost), oo oo ■ n(x1,x2) = 1 (normovanost). ici=—oo X2=—oc ■ V(xi, x2) G R2 : vr(xi, x2) = P{Xi = xi A X2 = x2), m \/B C R2 : P((X!,X2) G B) = E 7r(x!,x2), (xi,x2)es oo ■ E tt(xi,x2) = 7Ti(xi), E tt(xi,x2) = 7r2(x2), přičemž 7Ti(xi), X2=—o £i=—oc n2(x2) jsou marginílní pravdepodobnostní funkce nahodných veličin 7.9. Příklad Pravdepodobnost poruchy každe ze trí nezavisle pracujících vírobních linek je 0,5. Nahodní velicina X udava pocet výrobních linek, ktere mají poruchu. Najdete pravdepodobnostní funkci nahodne veliciný X. Řešení: Nahodna velicina X nabýva hodnot 0,1, 2, 3. n(0) = P (X = 0) = 0,53 = 0,125, = P(X = 1) = 3 • 0,53 = 0,375, n(2) = P(X = 2) = 3 • 0,53 = 0,375, n(3) n(x) P (X = 3) 0 jinak. 0,53 0,125, 7.10. Příklad Je dan systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje, je Vj, i = 1, 2, a pravdepodobnost, že správne fungují oba bloky, je v12. Necht' náhodna veličina Xj je ukazatel fungovaní i-teho bloku, tj. 1 , pokud i-týy blok funguje, 0, pokud i-tý blok nefunguje, { i 1, 2. Najdete simultánní pravdepodobnostní funkci n(x1,x2) náhodneho vektoru (X1,X2) a obe marginalní pravdepodobnostní funkce n1 (x1) a n2(x2). Řešení: Hodnoty pravdepodobnostních funkcí zapíseme do kontingenční tabulky. x% x2 VTl(Xi) 0 1 X\ 0 1 — 1/1 — U2 + V\2 V2 ~ V\2 1-Pl 1 V\ ~ V\2 vr2(x2) 1 — V2 V2 1 76 7r(0, 0) = P(X1 = 0 A X2 = 0) = 1 - P(X1 = 1 V X2 = 1) = 1 - (Vl + V2 - V12) = 1 - Vi - V2 + Vi2, n(0,1) = P(Xi = 0 A X2 = 1) = P(X2 = 1) - P(Xi = 1 A X2 = 1) = = V2 - Vi2, 0) = P (Xi = 1 A X2 = 0) = P (Xi = 1) - P (Xi = 1 A X2 = 1) = = Vi - Vi2, 1) = P (Xi = 1 A X2 = 1) = Vi2, , x2) = 0 jinak. 7.11. Definice a) Skalární případ: Nahodna veličina X se nazývá spojitá, jestliže její distribuční funkci lze výjadřit pomocí nezaporne funkce <^(x) v integrainím tvaru : Vx G R : $(x) Funkce <^(x) se nazýva hustota pravdepodobnosti spojité náhodné veličiny X. b) Vektoroví prípad: Nahodní vektor (Xi,X2) se nazýva spojitá, jestlize jeho simultanní distribucní funkci je mozne výjadrit pomocí nezaporne funkce ^(xi,x2) v integrílním tvaru: X1 X2 V(xi,X2) G R2 : $(xi,X2) J J ^(íi,Í2) dŕidÍ2. I Funkce ^(xi,x2) se nazýva simultánní hustota pravdepodobnosti spojitého náhodného vektoru (Xi,X2). Výsvetlení: Hustota pravdepodobnosti <^(x) je zidealizovaným protejskem hustotý cetnosti f (x) zavedene v definici 2.14. S rostoucím rozsahem víbero-veho souboru a klesající sirkou trídicích intervalu se hodnotý hustotý cetnosti ustalují kolem hodnot hustotý pravdepodobnosti. Spojita nahodna velicina nabýví vsech hodnot z nejakeho intervalu. Její distribucní funkce je vsude spojita. Simultanní hustota pravdepodobnosti je zidealizovaním protejskem simultanní hustotý cetnosti zavedene v definici 2.17. S rostoucím rozsahem vý-beroveho souboru a klesající plochou dvourozmerných trídicích intervalu se hodnotý simultanní hustotý pravdepodobnosti a ustalují kolem hodnot simultanní hustotý cetnosti. 7.12. Veta a) Skalarní prípad: Je-li <^(x) hustota pravdepodobnosti spojite níhodne veliciný X, pak platí: 77 7. Nahodna veliccina a její distribucní funkce I Vx G R : <^(x) > 0 (nezapornost) oc / <^(x) dx =1 (normovanost) Vx G R : P (X = x) = VB C R : P (X G B) 0 j t/?(x) dx ■ ip(x) = ve všech bodech spojitosti funkce 0 (nezípornost) oo oc ■ J J ^(x1,x2) dx1dx2 = 1 (normovanost) V(x1 ,x2) G R2 : P((X1 = x1) A(X2 B G R2 : P((X1,X2) G B)= // (xi,x2)eB x2)) = 0 ^(x1, x2) dx1dx2 ■ J <^(x1,x2) dx2 = ^1(x1)^ ^(x1,x2) dx1 = <£2(x2), pricemz ^1(x1). — oo —oc ¥?2(x2) jsou marginalní hustoty pravdepodobnosti nahodnych velicin X1 , X2. 7.13. Příklad Na automaticke lince se plní líhve mlekem. Kazdí lahev ma obsahovat presne 1000 ml mleka, ale v dusledku pusobení nahodnych vlivu mnozství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde mnozství mleka v tomto intervalu povazujeme za stejne mozne. Nahodna velicina X udava mnozství mleka v nahodne vybrane lahvi. Najdete její hustotu pravdepodobnosti <^(x) a distribucní funkci $(x). ! Řešení: k pro x G (980, 1020), 0 jinak. 1020 Z normovanosti hustoty plyne: 1 = J kdx = 40k, tedy k = ^. Pro dis- 980 tribucní funkci platí: 0 $(x) pro x < 980, x"980 pro 980 < x < 1020; 980 1 40 pro x > 1020. 7.14. Příklad Spojity nahodní vektor (X1,X2) ma simultínní hustotu pravdepodobnosti ¥>(x1,x2) 1 n2(1+ x2)(1+ x2)2' 78 Najdete obe marginalní distribůcní fůnkce ^i(xi), <^2(x2). Řešení: oo oc 1 n2(1+ xl) [arctg X2 ] 1 n2(1 + xl) V2 1 + x22 n(1 + xl) Analogický dostavame ^2(X2) x2)" V popisne statistice, konkretne ve 2. kapitole, jsme se setkali s cetnostní nezavislostí znaků v danem výberovem soůborů. V poctů pravdepodobnosti ma tento pojem svoů analogii ve stochasticke nezývislosti nahodných velicin. Spocítame nekolik príkladů, v nichz se výskýtůjí stochastický nezývisle velici-ný, a ůkazeme si, ze transformovaným se stochasticka nezavislost nýhodných velicin neporůsí. 7.15. Definice a) Obecný pfípad: Řekneme, ze nahodne veliciný X1,... , Xn s margi-nalními distribůcními fůnkcemi $1(x1),... , $ra(xra) a simůltanní distribůcní fůnkcý $(x1,... ,xn) jsoů stochasticky nezávislé, jestlize pro V(x1,... ,xn) G Rn : $(x!,...,x„) = $1 (x1)(xra). b) Diskretný prýpad: Řekneme, ze diskretný nahodne veliciný X1,... , Xn s marginýlnfmi pravdepodobnostnfmi fůnkcemi n1 (x1),..., nn(xn) a simůl-tanný pravdepodobnostný fůnkcý n(x1,...,xn) jsoů stochastický nezývisle, jestlize pro V(x1,... ,xn) G Rn : n(x1,... ,xn) = n1(x1)nn(xn). c) Spojitý prýpad: Řekneme, ze spojite nahodne veliciný X1,... , Xn s marginýlnfmi hůstotami pravdepodobnosti ^1 (x1),..., (xn) a simůltýnný prav-depodobnostní fůnkcí ^(x1,... ,xn) jsoů stochastický nezývisle, jestlize pro V(x1,... , x„) G Rn : ^(x1,..., x„) = <^1(x1)^n(x„) s prípadnoů výjimkoů na mnozine bodů neovlivňůjýcých integraci. Řekneme, ze posloůpnost {Xra}°o;=1 je posloůpnostý stochastický nezavislých nýahodnýých veliňcin, jestliňze pro vňsechna pňrirozenýa n jsoů stochastický nezýa-visle nýhodne veliciný X1,..., Xn. Výsvetlení: Jsoů-li nahodne veliciný X1,... ,Xn stochastický nezývisle, pak to znamenaý, ňze informace o realizaci jednýe nýahodnýe veliňciný nijak neovlivnýí sance, s nimiz ocekavame realizace ostatních nahodných velicin. Stochas-tickýa nezýavislost nýahodnýých veliňcin je zidealizovanýým protňejňskem ňcetnostnýí nezavislosti znaků v danem výberovem soůborů — viz definice 2.7 a 2.17. I 1 1 79 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I 7.16. Příklad Na výrobcích měříme délku s přesností ±0,5 mm a šířku s přesností ±0,2 mm. Nahodna veličina X1 udava chýbu při měření délký a náhodná veličina X2 udíva chýbu při meření sířký. Předpokladame, ze simultanní hustota pravdepodobnosti ^(xi,x2) je uvnitř mezí chýb konstantní, tj. ¥>(£l,£2) { k přo - 0,5 < x1 < 0,5; -0,2 < x2 < 0,2, 0 jinak. Určete konstantu k, najděte marginální hustoty pravděpodobnosti Lpi(x\). <£2(x2), simultánní distribuční funkči $(xi,x2), obě marginální distribuční funkče $2(x2), vypočítejte pravděpodobnost P((—0,1 < X1 < 0,1) A (—0,1 < X2 < 0,1)) a zjistete, zda níhodne veličiny X1, X2 jsou stočhastičky nezavisie. Rešení: Z normovanosti simultínní hustoty pravdepodobnosti plyne: 0,5 0,2 1= j j kdx1dx2 = = k • 1 • 0,4 == k = 2,5. -0,5 -0,2 Mařginílní hustotý přavdepodobnosti pomocí vetý 7.12 (b): 0,2 = j 2,5dx2 = 2,5[x2]-02 = 1 přo — 0,5 < x1 < 0,5, 0,2 = 0 jinak. Podobne 0 5 - 0,5 ^2(^2) = 0 jinak. Z definice 7.11 (vektořový případ) plýne: X1 X2 $(x ,X2)^ j 2,5«2 = 2,5[Í1]-10,5[Í2]-20,2 = 2,5(x1 + 0,5)(x2 + 0,2) 0,5 0,2 přo —0,5 < x1 < 0,5, —0,2 < x2 < 0,2, ,x2) = 0 přo x1 < —0,5 nebo x2 < —0, 2, $(x1,x2) = 1 přo x1 > 0,5 a x2 > 0,2. Z definice 7.11 (skalařní případ) dostaneme: X1 $1(^1) 0,5 0,5 1 dt1 = [t1 ]X10 5 = X1 + 0,5 80 pro —0,5 < x\ < 0,5, $i(xi) = 1 pro x\ > 0,5, $i(xi) = 0 pro x\ < —0,5. Dále -0,2 1 dt2 = [t X2 2J- 0,2 2,5(x2 + 0,2) pro —0,2 < x2 < 0,2, $2(x2) = 1 pro x2 > 0,2, $2(x2) = 0 pro x2 < —0,2. Stochastickou nezávislost náhodných veličin X1,X2 overíme pomocí definice 7.15 (c): V(x1,x2) G R2 : ^(x1,x2) = ^1(x1)^2(x2), tedy nýhodne veliciny X1,X2 jsou stochasticky nezávisle. 7.17. Příklad Diskrétní náhodný vektor (X1, X2) mý simultýnní právdepodobnostní funkci n(x1,x2) dánou hodnotámi: n(—1, 2) = n(—1, 3) = n(0, 3) = 0) = 1) = 0, n(—1,0) = n(0,1) = 2) = 2c, n(—1,1) = n(0,0) = n(0, 2) = 3) = c. Urcete konstántu c, hodnotu simultýnní distribucní funkce $(0, 2), obe márginální právdepodobnostní funkce n1(x1), n2(x2) á hodnotu márginální distribucní funkce Zjistete, zdá náhodne veliciny X1 , X2 jsou stochásticky nezíávislíe. Řešení: Hodnoty simultánní právdepodobnostní funkce n(x1, x2) usporídíme do kon-tingencní tábulky, kterou jeste doplníme o sloupec s hodnotámi n1 (x1) á rádek s hodnotámi n2(x2). Tyto hodnoty získíme pomocí vety 7.8 (vektorový prípád). x2 VTl(Xi) 0 1 2 3 -1 2c c 0 0 3c X\ 0 c 2c c 0 4c 1 0 0 2c c 3c 7T2(X2) 3c 3c 3c c 1 Z normovánosti právdepodobnostní funkce diskrétního náhodneho vektoru (viz vetá 7.8, vektoroví prípád) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. Z definice diskrétního náhodneho vektoru (definice 7.7, vektorovy prípád) plyne $(0, 2) = n(—1, 0) + n(—1,1) + n(—1, 2) + n(—1, 3) + n(0, 0) + + n(0,1) + n(0, 2) = 0,2 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,6. Z definice diskrétní náhodne veliciny (definice 7.7, skálírní prípád) plyne $1(1) = 7n(—1) + 7n(0) + n (1) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1. Pokud by náhodné veličiny Xi,X2 byly stochasticky nezávislé, musel by pro všechna V(x1 ,x2) G R2 platit multiplikativní vztah: ,x2) = n1(x1)n2(x2) (viz definice 7.15 (b)). Avšak jiZ pro x1 = —1, x2 = 0 dostáíváíme dy, vztáh splnen není á náhodne veliciny X1 ,X2 nejsou stochásticky nezívisle. n(—1,0) = 0,2, n1 (—1) = 0,3, n2(0) = 0,3. Vidíme tedy, ze multiplikátivní ^rzfnVi Qnl x 2 81 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce I 7.18. Veta Jsou-li níhodne veliciny X1,...,Xn stochasticky nezavisle, pak jsou stochasticky nezavisle take transformovane níhodne veliciny Y1 = g1(X1),... , Shrnutí kapitoly Nahodna velicina se zavadí jako zobrazení, ktere kazdemu vysledku nahod-neho pokusu prirazuje císlo (pak se jedna o skal arn í n ahodnou veličinu) nebo více císel (v tomto prípade jde o n ahodný vektor). Nahodnou velicinu lze pomocí libovolne funkce transformovat a získat tak transformovanou n ahodnou veličinu. Pravdepodobnostní chovíní nahodne veliciny popisuje distribučn í funkce, jejíz zavedení je motivovano empirickou distribucní funkcí znamou z popisne statistiky. Vlastnosti techto dvou funkcí jsou ana-logickíe. Prakticky vyznam mají dva specialní druhy nahodních velicin. Diskretn I n ahodn á veličina muze nabívat pouze spocetne mnoha hodnot a její pravdepodobnostní chovaní je popsíno pravdepodobnostn I funkc I , coz je „zi-dealizovany" protejsek cetnostní funkce. Diskr etn í n áhodný vektor je tvoren diskretními nahodními velicinami. Zabyvali jsme se nahodnymi vektory se dvema slozkami. V souvislosti s diskretním níhodnym vektorem zavadíme simultánn I pravdepodobnostn I funkci. Margin áln í pravdepodobnostn I funkce se vztahují k jednotlivym slozkím níhodneho vektoru. Spojit a n ahodn á velicina nabíva vsech hodnot z nejakeho intervalu. Její pravdepodobnostní chovaní je popsano hustotou pravdepodobnosti, coz je „zidealizovany" protejsek hustoty cetnosti. Spojitý n ahodný vektor je tvoren spojitími nahodními velicinami. Jeho pravdepodobnostní chovaní je popsano simult ann á hustotou pravdepodobnosti. Margin aln I hustoty pravdepodobnosti se vztahují k jednotlivím slozkam níhodneho vektoru. Pomocí multiplikativního vztahu, v nemz vystupují simultanní a marginalní distribucní funkce (resp. pravdepodobnostní funkce v diskretním prípade resp. hustoty pravdepodobnosti ve spojitem prípade), zavedeme pojem sto-chasticke nezavislosti nahodných velicin. Kontrolní otázky a Úkoly 1 Uved'te príklad nahodne veliciny a nahodneho vektoru z ekonomicke praxe. 2 Najdete distribucní funkci nahodne veliciny, kterí udava pocet lícu pri hodu tremi mince-mi a nakreslete její graf. 3 Rozhodnete, ktere z uvedeních nahodních velicin jsou diskretní a ktere jsou spojitíe: a) pocet clenu domacnosti b) vek cloveka v letech c) nahodne vybrane realne císlo d) pocet zakazníku ve fronte 82 e) cena vyírobku f) pocet zmetku z celkove denní produkce g) delka urciteho predmetu h) zivotnost televizoru v letech 4 Ktere funkcionalní charakteristiky popisují pravdepodobnostní chovaní diskretní nahodne veliciny a ktere diskretního níhodneho vektoru? 5 Ktere funkcionalní charakteristiky popisují pravdepodobnostní chovaní spojite nahodne veliciny a ktere spojiteho nahodneho vektoru? 6 Je-li X diskretní nahodní velicina s pravdepodobnostní funkcí n (x), muze byt n (x) > 1? 7 Je-li X spojita nahodna velicina s hustotou pravdepodobnosti <^(x). muze byt <^(x) > 1? 8 Nahodna velicina udaví prumerní pocet ok pri hodu dvema kostkami. Nakreslete graf její pravdepodobnostní funkce. 9 Diskretní nahodny vektor (X1;X2) ma simultínní pravdepodobnostní funkci n(x1,x2) danou hodnotami: n(0, 0) = n(0, 2) = 1) = n(2, 0) = n(2, 2) = 0, n(0,1) = 2)= n(2,1) = 0,25. Jsou níhodne veliciny X1, X2 stochasticky nezívisle? 10 Necht' spojití vektor (X1, X2) ma simultínní hustotu pravdepodobnosti , s f 24x1x2(1 — x1) pro 0 < x1 < 1,0 < x2 < 1, ^(xi ,x2)^0 jinak. ■ Dokazte, ze nahodne veliciny X1, X2 jsou stochasticky nezavisle. 83 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce 84 I Vybraná rozloZení diskrétních a spojitých náhodných veiiccin 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ rozlisovat dulezité typy diskrétních a spojitých rozložení ■ využívat vlastností techto rozložení pri yýpoCtu pravdepodobností různých jevU ■ hledat v tabulkach hodnot distribucní funkce standardizovaneho nor-malního rozlození (Časová zátéž Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 5 hodin studia. Nyní se seznamíme s préhledem dulezitych pravdepodobnostních funkcí a hustot pravdepodobnosti. Uvedeme nejenom analyticke vyjadrení techto funkcí, ale tez grafy. Vysvetlíme rovnez, vjakych situacích se lze s uvedenými rozlozeními pravdepodobnosti setkat. Zvlastním pozornost budeme venovat normalnímu rozlození, které hraje velkou roli v cele rade praktickích aplikací poctu pravdepodobnosti a, jak uvidíme pozdeji, i v matematicke statistice. I 8.1. Označení Zname-li distribucní funkci $(x) nahodne veliciny X (resp. pravdepodobnost-ní funkci n(x) v diskrétním prípade resp. hustotu pravdepodobnosti <^(x) ve spojitém prípade), pak rekneme, ze zname rozlození pravdepodobností (zkrícene rozlození) nahodne veliciny X. Toto rozlození zavisí na nejakem parametru v, coz nejcasteji bíva reílne císlo nebo reílní vektor. Zípis X ~ L(v) cteme: nahodna velicina X ma rozlození L s parametrem v. 8.2. Definice Nejprve se sezníamííme s vybraníymi rozlo zeníími diskríetníích níahodníych veli-cin. a) Degenerované rozložení: X ~ Dg(p) Tato níhodna velicina nabyva pouze konstantní hodnotu p. n(x) { 1 pro x = p, 0 jinak. -1 0.5 1 1.5 Pravd epodobnostníí funkce Dg(1). 2 1 0 0 2 86 b) Alternativní rozloženi: X ~ A(v) Nahodní velicina X udaví pocet uspechu v jednom pokusu, pricemž pravdepodobnost uspechu je v. 1 — v pro z = 0, = ^ v pro z =1, 0 jinak. 0.5- -0.5- -1 Pravdepodobnostní funkce A(0,75). c) Binomické rozložení: X ~ £>i(n, v) Nahodní velicina X udava pocet íspechu v posloupnosti n nezavislích opakovanych pokusu, pricemz pravdepodobnost íspechu je v kazdem pokusu v. n(x) 0.6- ! x vx(1 — v)n x pro x jinak. 0.40.20 0.2 1 0, 1,...,n I Pravdepodobnostní funkce Bi(5; 0,5). (Odvození - viz pr. 6.3 (b).) Alternativní rozložení je speciílním prípa-dem binomickeho rozlození pro n =1. Jsou-li X1,... ,Xn stochastický nezívis^ nahodne veliciný, Xj ~ A(v), i = 1,..., n, pak X j=1 1 0 0 1 2 0 0 1 6 87 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin d) Geometrické rozloZené: X ~ Ge(v) Nahodný velicina X ůdava pocet neůspechů v posloůpnosti opakovaných nezavislých pokůsů predchýzejýcých prvnýmů ůspechů, pricemz pravdepodobnost ýspechů je v kazdem pokůsů v. n(x) { (1 0 v)xv pro x = 0,1,... jinak. 0.30.20.10-0.1- -1 11 I Pravdepodobnostný fůnkce Ge(0,25). (Odvozený - viz pň 6.3 (a).) e) Hypergeometricke rozloZené: X ~ Hg(N, M, n) V soůborů N prvků je M prvků oznaceno. Nahodne výbereme n prvků bez vracený. Nahodna velicina X ůdava pocet výbraných oznacených prvků. n(x) { (M) (N-M) V x ) V. n — x ) (?) 0 0.50.40.30.20.1 pro x = max{0, M jinak. N + n},... min{M, n}, 0 0.1 1 Pravdepodobnostný fůnkce Hg(10, 7, 5). f) Rovnomerne diskrétne rozloZeni: X ~ Rd(G) Necht' G je konecna mnozina o n prvcých. Nahodna velicina X nabýva se stejnoů pravdepodobnostý kazde hodnotý z mnoziný G. n(x) ! - pro x G G. 0 jinak. 88 o 1 0 1 6 (Týpickím príkladem je nahodna velicina udavající pocet ok pri hodu kostkou.) 0.18 0.14 0.1 0.060.02-0.02 10 Pravdepodobnostní funkce Rd({1, 2,..., 10}). g) Poissonovo rozložení: X ~ Po(A) Níahodnaí veli cina X udíavaí po cet udíalostíí, kteríe nastanou v jednot-kovem casovem intervalu, pricemz udalosti nastívají nahodne, jednot-live a vzíjemne nezavisle. Parametr A > 0 je strední pocet techto udalostí. ^e"A pro x = 0,1,.... 0 jinak. n(x) ! 0.22 0.180.140.1 0.060.020.02 • • • • I I I I I I I I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Pravdepodobnostní funkce Po(5). 0 8.3. Příklad V rodine je 10 detí. Za predpokladu, ze chlapci i dívký se rodí s pravdepodobností 0,5 a pohlaví se formuje nezavisle na sobe, urcete pravdepodobnost, ze v teto rodine jsou nejmene 3 a nejvíse 8 chlapcu. Řešení: X - pocet chlapcu v teto rodine, X ~ Bi(10; 0,5), ™»*-t(í)(i)'('-ir 957 0,935. 89 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin 8.4. Příklad Jaká je pravděpodobnost, ze při hře „Člověče, nezlob se!" nasadíme nejpozději při třetím hodu? Řešení: X - počet neúspěchů před první šestkou, X ~ Ge(|), P(X < 2) = EÍ1- ^)1 = 0'4213- 8.5. Příklad Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozloZením Po(2). Jaka je pravděpodobnost, Ze během směny dojde aspon k jedně poruse? Řešení: X - poCet poruch během směny, X ~ Po(2), P{X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - — e"2 = 0,8647. I 8.6. Definice Nyní uvedeme vybraně typy spojitých rozloZení. a) Rovnoměrné spojité rozložení: X ~ Rs(a, b) Nahodná velicina X nabává se stejnou pravděpodobností kazdě hodnoty z intervalu (a,b). ! i b—a 0 pro x G (a, b), jinak. 0.4- 0.3 H 0.2 0.1 0 -0.1 -2 1 0 b) Exponenciálne, rozložené: X ~ Ex (A) 3 Hustota Rs(-1, 2). A) Náhodna velicina X udáva dobu cekaní na príchod nějakě udalosti, 90 která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom j vyjadřuje střední dobu čekání. I Ae Ax pro x > 0, 0 jinak. 2.2 1.81.41 0.6 0.2 -0.2 1 Hustota Ex(2). c) Normálni rozložení: X ~ N(ß, a2) Tato nahodna veliCina vznika napr. tak, že ke konstante ß se priCíta velké množství nezavislých náhodných vlivU mírne kolísajících kolem 0. Promenlivost techto vlivU je výjídrena konstantou a > 0. 1 e z*'2 Pro // = 0, a2 = 1 se jedná o standardizovane normální rozložení, píšeme U ~ N(0,1). Hustota pravdepodobnosti ma v tomto prípade tvar 1 v7^ e 2 . Distribumí funkce standardizovaneho normalního rozložení I $(u) 77 2n _= , je tabelovana pro u > 0, pro u < 0 se pouzíva prepoctový vzorec $(-«) = 1 - $(«). Má-li X ~ iV(ß, a2), pak [/ = ^ ~ iV(0,1). 0.5 0.4 0.3-1 0.2 0.1 0 32 T 1 Hustota N(0,1) 1 0.8 0.6-1 0.4 0.2 0 1 -3 -2 -10 1 2 Distribucní funkce N(0,1) 91 0 1 6 u 0 3 3 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.60.5 H 0.4 0.3 0.2 H 0.1 0 21 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 21 Hustota N(1; 0,5) Distribuční funkce N(1; 0,5) (Normální rozložení hraje Ústrední roli v počtu pravdepodobnosti i matematické statistice. Jeho význam spočívá jednak v tom, že normalním rozložením se rídí pravdepodobnostní chovaní mnoha níhodních veličin a jednak v tom, že za urcitích podmínek konverguje k normílnímu rozložení soucet nezavislích nahodních velicin s týmž rozložením.) d) Dvourozměrné normální rozložení. S) ~ *( (::) •Gl t)) Nahodný vektor J vznika ve dvourozmerních situacích podobne jako skalarní níhodní velicina v bode (e). ¥>(xi,£2) 1 e 2 kde q(xi,X2) 1 - p2 £íi X2 — P2 + 0"i 0"2 ^2 - ß2^2 Pro pi = 0, p2 = 0, a2 = 1, ^2 = 1, p = 0 se jedna o standardizovane dvourozmerne normalní rozložení. Vrstevnice a graf hustoty standardizovaneho dvourozmerneho normal-ního rozložení. r 4 T 2 4 2 0 ■ —2 4 24 92 0 1 4 0 1 4 1 Vrstevnice a graf hustoty dvourozměrného normálního rozložení s parametry ni = 0, n2 = 0, a2 = 1, a"2 = 1, p = —0,75 Následující tri rozložení - Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedeco-rovo - jsou odvozena ze standardizovaneho normalního rozložení. Mají velky význam predevsím v matematicke statistice pri konstrukci intervalu spolehlivosti a testovaní hypotez. Vyjadrení hustot techto rozlození neuvídíme, je prílis slozite - viz napr. [3].) e) Pearsonovo rozložení chí-kvadrát s n stupni volnosti: X ~ x2(n) Nechť Xi,...,Xra jsou sťochasťicky nezávisle náhodné veliCiny, Xj ~ N(0,1), i = 1,..., n. Pak náhodná veliCina X = Xf + • • • + ~ x2(n). 0.25 0.2 H 0.15 0.1 0.05 H 0 I Husťoťa x2 (3). f) Studentovo rozložení s n stupni volnosti: X ~ t(n) Nechť' X1, X2 jsou sťochasťicky nezávisle nahodne veliCiny a nechť' dále X1 ~ N(0,1), X2 ~ x2(n). Pak nahodná velicina X X2 n t(n). 93 0 8 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.6 0.4 H 0.2 H -0.2 -3 T -2 T -1 Hustota í(3). g) Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n1 a n2 stupni volnosti: X ~ F(ni,n2) Necht' Xi,...,Xn jsou stochasticky nezávisle náhodne veličiny, Xj ~ X2 (n), i = 1, 2. Pak náhodná veličina X ni X2 n2 F(n , n2). 0.8 0.6 H 0.4 0.2 0 0.2 1 Hustota F(5, 8). 8.7. Příklad Na automaticke lince se plní lahve mlekem. Působením nahodnách vlivu množství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde množství mleka v tomto intervalu považujeme za stejne možne. Jaka je pravdepodobnost, že v náhodne vybrane láhvi bude aspon 1000 ml mleka? RŘešení: X - množství mleka v náhodne vybrane láhvi, X ~ Rs(980,1020), { ^ pro x G (980,1020), 0 jinak. 1020 P(X > 1000) = j 40 dx 40' lx 020 000 0,5. 000 0 0 1 3 0 1 6 1 1 94 8.8. Příklad Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex(^). Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebna k obsloužení náhodne vybraneho zákazníka v teto prodejne bude v rozmezí od 3 do 6 minut? Řešení: X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka, X ~ Ex(^). ^(x) [i e 3 pro x > 0, 0 jinak. 6 P(3 < X < 6) = / \e~^ d 3 f \e~^ dx = \(-3) [e_t]g = -e-2 + e"1 = 0,233. 33 8.9. Příklad Výsledky u prijímacích zkoušek na jistou VS jsou normílne rozlozeny s parametry // = 550 bodu, a = 100 bodu. S jakou pravdepodobností bude mít níhodne vybraní uchazeč aspon 600 bodu? Řešení: X - vísledek nahodne vybraneho uchazece, X ~ N(550,1002), P (X > 600) = 1 - P (X < 600) + P (X = 600) = 1 - P (X < 600) 1 - P X a H 600 a 1 - p (u < 1 - $(0,5) = 600 - 550\ m ) 100 1 - 0,69146 = 0,31. 8.10. Příklad Necht' Xi,X2,X3,X4 jsou stochasticky nezívisle níhodne veliciny, Xj N(0,1), i = 1, 2, 3, 4. Jake rozlození mí transformovaní nahodní velicina X xVš VW+xf+x. ? I Řešení: X ~ t(3), protoze Xi ~ N(0,1) a X22 + X2 + X42 ~ x2(3). Shrnutí kapitoly Degeneřovane rozložení popisuje pravdepodobnostní chovaní konstanty, coz je nepochybne patologickí prípad. Zajímavejsí je alternativní, geo-metřicke a zvlaste binomicke rozložení. Vsechna tato rozlození souvisejí 95 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin s pocty úspěchů ci neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů. Hypergeometrické rozložení se vyskytuje v situacích, kdy provádíme výběr bez vracení ze souboru, ktery obsahuje oznacene prvky. Rovnomerne rozložení na dane mnozine je charakteristicke tím, ze nahodný velicina, ktera se jím rídý nabyvý kazde hodnoty z teto množiny se stejnou pravdepodobností. Podle Poissonova rozložení se chova napr. nahodný velicina udavající pocet udalostí, ktere nastanou v jednotkovem case. Za spojitych rozlození je nejjednodussí rovnomerne spojit e rozložen í. Jeho hustota je na danem intervalu konstantní a jinde nulova. Nahodna velicina s exponenci aln ím rozlozen ím udava dobu cekaní na príchod neja-ke udalosti, pricemz toto cekíní probíha „bez pameti". Vubec nejdulezitejsím rozlozením je normáln í rozlozen í, ktere vznika napr. tak, ze k nejake konstante se pricíta velke mnozství nezavislych nahodních vlivu mírne kolísajících kolem nuly. Tím se z konstanty stane nahodní velicina. Grafem normalní hustoty pravdepodobnosti je znama Gaussova krivka. Pomocí stan-dardizovaneho rozlození lze zavest dalsí tri typy specialních rozlození, a to Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedecorovo. Nachazejí uplatnení predevsím v matematicke statistice. I Kontrolní otázky a úkoly 1 (S) Pomocí systému STATISTICA nakreslete grafy hustot a distribučních funkcí uvedených spojitých rozložení. Sledujte vliv parametrU na tvar hustot a distribucních funkcí. Navod: viz príloha B. 2 (S) Pojist'ovna zjistila, že 12% pojistních udílostí je zpusobeno vlou-paním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 nahodne vybranými pojistnými udalostmi bude zpusobeno vloupaním nejvíse 6? 3 Doba (v hodinach), kterí uplyne mezi dvema nalehavými príjmy v jiste nemocnici, se rídí rozlozením Ex(0,5). Jaka je pravdepodobnost, ze uplyne více nez 5 hodin bez nalehaveho príjmu? 4 Jaka je pravdepodobnost, ze níhodní velicina X ~ N(20,16) nabude hodnotu mensi nez 12 nebo vetsí nez 28? 5 Necht' X ~ Rs(a,b), pricemz $(x) 0 pro x < a pro a < x < b 1 pro x > b Urcete a, b. Necht' X\, X? jsou stochasticky nezavisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(0,1), i = 1, 2. Jake rozlození mí transformovana níhodní veli cina X = xr 6 96 Číselne charakteristiky nahodnych veličin I 9. Číselne charakteristiky nahodnych veličin Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ spocítat kvantily spojitych nahodnych velicin ■ hledat kvantily nekterích spojitích nahodních velicin ve statistickych tabulkíach ■ urcit strední hodnotu a rozptyl nahodne veliciny ■ spocítat kovarianci a koeficient korelace dvou nahodních velicin ■ vyuzívat vlastností císelnych charakteristik nahodnych velicin pri kon-kretních vypoctech Časova zatez Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 10 hodin studia. 9.1. Motivace V 7. kapitole jsme se seznamili s funkcionalními charakteristikami níhodnych velicin (napr. distribucní funkce, pravdepodobnostní funkce, hustota pravdepodobnosti), ktere plne popisují pravdepodobnostní chovaní nahodne veliciny. Číselne charakteristiky vystihují pouze nektere rysy tohoto chovaní, napr. popisují polohu realizací nahodne veliciny na císelne ose ci jejich promenlivost (variabilitu). Jsou jednodussí nez císelne charakteristiky, ale nesou jen caste cnou informaci. I 9.2. Definice Necht' X je spojitía níahodnía veli cina aspon ordiníalníího charakteru (viz definici 3.2) s distribucní funkcí $(x) a necht' a G (0,1). Číslo Ka(X), ktere splnuje podmíínku Ka(X) a = $(K« (X)) J se nazyví a-kvantil níhodne veliciny X. Kvantil K0;50(X) se nazyva median, Ko,25(X) dolní kvartil, K0;75(X) horní kvartil, K0;10(X),..., K0;90(X) jsou decily, K001 (X),..., K0)99 (X) jsou percentily. Kterykoliv a-kvantil je charakteristikou polohy cííselnyích realizacíí níahodníe veli ciny na cííselníe ose. Jako charakteristika variability slouzí kvartiloví odchylka q = K0;75(X)—K0;25 (X). (Lze samozrejme definovat i kvantily diskretních nahodnych velicin, ale zde se zabíyvaíme jenom kvantily spojitíych níahodnyích veli cin, kteríe se v praxi nej cast eji pou zíívajíí.) 98 Význam a-kvantilu spojité náhodné veličiny ilustruje následující obrázek. Ka(X) 9.3. Označení X ~ N(0, 1) K«(X)= Ua, X X ~ t(n) ^ K«(X)= ía(n), X X2 (n) =► K«(X ) = Xa(n); F(ni,n2) K«(X) = Fa(ni,n2). Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách. PouZíváme vztahy: ua u1—a; ta(n) = -ti—a(n); 1 Fa(ni,n2) Fi—a(n2,ni)" 9.4. Příklad a) Necht' U ~ N(0,1). Najdete mediýn a horní a dolní kvartil. b) Urfete x2)Q25(25). c) Urcete to,99(30) a to,o5(24). _ d) Urcete Fo,975(5, 20) a Fo,o5(2,10). Řešení: ad a) Mo>5o = 0, mo>25 = —0,67449, mo>75 = 0,67449 adb) xo',o25(25) =13,12 ad c) to,99(30) = 2,4573, ro,o5(24) = —1,7109 ad d) Fo,975(5, 20) = 3,2891, Fo,o5(2,10) = 0,05156 9.5. Veta Necht' X je spojití náhodná velicina, Y = g(X) transformovaná náhodná velicina, a G (0,1). a) Je-li g vsude rostoucí funkce, pak Ka(Y) = g(Ka(X)). b) Je-li g vsude klesající funkce, pak Ka(Y) = g(Ki—a(X)). 9.6. Příklad Necht' U ~ N(0,1). Najdete devátí decil transformovane náhodne veliciny Y = 3 + 2U. Řešení: Funkce y = 3 + 2u je vsude rostoucí funkce, tedy Ko>9o(Y) 3 + 2 • 1,28155 = 5,5631. I 3 + 2uo,9o 99 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin Nyní budeme věnovat pozornost číselným charakteristikám polohy a variability náhodné veličiny intervaloveho či pomeroveho charakteru. Jak uvidíme, teoretickým protejSkem aritmetickeho prumeru m je strední hodnota E(X) a empirickeho rozptylu s2 teoretický rozptyl D (X). Empiricky rozptyl s2 jsme zavedli jako aritmetický prumer kvadratu centrovaných hodnot. Není tedy prekvapive, ze teoretický rozptyl D(X) je strední hodnotou kvadrýtu centrovaných hodnot. Naucíme se pocítat strední hodnotu a rozptyl transformovaných nahodnych velicin a nahodnych vektoru. Uvedeme strední hodnoty a rozptyly vybraných typu diskrétmch a spojitých rozloženi', který jsme poznali v 8. kapitole. 9.7. Definice Necht' X je náhodná velicina aspoň intervaloveho charakteru (viz definici 3.2). Její střední hodnotou nazyváme císlo E(X), ktere je v diskretním prípade zavedeno vztahem oc E(X)= Y xn(x) ÍE= — OC a ve spojitíem pňrípadňe vztahem OC ľ E (X) = J x<^(x) dx I za predpokladu, ze prípadná nekonecná suma ci integríl vpravo absolutne konverguje. Není-li tato podmínka splnená, pak rekneme, ze strední hodnota neexistuje. Transformovaní níhodní velicina X — E(X) se nazyvá centrovaná náhodná veličina. (Strední hodnota je císlo, ktere charakterizuje polohu realizací náhodne veli-ciny na císelne ose s prihlednutím k jejich pravdepodobnostem. V diskretním prípade predstavuje strední hodnota teziste soustavy hmotnych bodu, jejichz hmotnost je popsána pravdepodobnostní funkcí n (x) a ve spojitem prípade je stňrední hodnota tňeňziňstňem hmotníe pňrímky, na níňz je rozprostňrení hmoty popsáno hustotou pravdepodobnosti 0 je konstanta. Vypočtěte E(Y). Řěšění: { Ae Ax pro x > 0. 0 jinak. oc ľ E(Y)= e YXAe Ax dx A A + 7 I 9.11. Děfinicě Rozptylem nahodne veliciný X, která ma strední hodnotu E(X), rozumíme císlo D(X) = E([X — E(X)]2), pokud strední hodnota vpravo existuje. Císlo 101 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin \JD(X) se nazývá směrodatná odchylka. Transformovaná náhodná veličina se nazývá standardizovaná náhodná veličina. Z vety 9.9 (a) plyne, ze v diskrétním případě je rozptyl dán vzorcem I D(X) = Y, [x - E (X )]2n(x) x=—oc a ve spojitem případe vzorcem oc D(X) = j [x - E (X )]2^(x) dx x=—oo (pokud suma ci integral vpravo absolútne konvergují). (Rozptyl je číslo, ktere charakterizuje promenlivost realizací náhodne veličiny kolem její strední hodnoty s prihlednutím k jejich pravdepodobnostem. Je teoretickám protejskem vázeneho rozptylu zavedeneho v definici 3.20.) 9.12. Příklad Nahodná velicina X udavá pocet ok pri hodu kostkou. Vypoctete její rozptyl. Řešení: n (x) D(X) ! pro x = 1, 2,..., 6, jinak, 6 H x=l (x - 3,5)2 1 35 12 E(X) = 3,5 (viz pr. 9.8), 2,92. 9.13. Veta Uveďme strední hodnoty a rozptyly vybranách typu diskretních a spojitách rozlození. a) X ~ Dg(ii) == E (X) = ^, D (X) = 0, b) X ~ A(v) == E (X) = v, D (X) = v(1 - v), c) X ~ Bi(n, v) == E(X) = nv, D (X) = nv(1 - v), l-v D(X) l-v d) X ~ Ge{v) E{X) e) X~Hg{N,M,n) E(X) = f a, D(X) = ^(1 f) X ~ Rd(G) E{X) = ^, D{X) = g) X ~ Po(A) == E(X) = A, D (X) = A2, h) X ~ Rs(a,b) E (X) = ^, D(X) = ^=§^ M \ N—n N > N-l ■ i) X ~ Ex(X) E(X) = {, D (X) A2 : 102 0 6 j) X ~ N(^ a2) E(X) = ^ D(X) = a2, k) X ~ x2(n) E (X) = n, D (X) = 2n, l) X ~ t(n) =/- E(X) = 0 pro n > 2, pro n =1 E (X) neexistuje, D(X) = pro n > 3, pro n = 1, 2 -D(X) neexistuje, m) X ~ F(m,n2) £(X) = ^ pro n2 > 3, pro n2 = 1,2 E(X) neexistuje, D (X) = ^"^^"-i) Pro ™2 - 5' Pro «2 = 1, 2, 3, 4 Ľ(X) neexistuje. Venujme se nyní dvema nahodnym velicinam. Budou nís zajímat charakteristiky jejich spolecne variability a síly tesnosti linearního vztahu mezi nimi. Jako motivace pro zavedení techto charakteristik nam poslouzí empiricka ko-variance si2 a empiricky koeficient korelace ri2. Empiricka kovariance si2 byla definovana jako aritmetickí pramer soucinu centrovanych hodnot a empiricky koeficient korelace r12 jako aritmetickí prumer soucinu standar-dizovanych hodnot. Lze tedy ocekavat, ze teoreticka kovariance C(X1,X2) bude strední hodnotou soucinu centrovaních hodnot a teoretickí rozptyl R(X1,X2) bude strední hodnotou soucinu standardizovaních velicin. Podrobne se seznamíme s radou vlastností vsech víse uvedenych císelních charakteristik a vyuzijeme jich pri resení nekolika príkladu. Pokud nezníame rozlo zeníí pravd epodobnosti níahodníe veli ciny, ale jenom jejíí strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme pomocí tzv. Cebysevovy nerovnosti aspon odhadnout pravd epodobnost, ze tato níahodnaí veli cina se od svíe st red-ní hodnoty odchílí o více nez t-nísobek sve smerodatne odchylky. V zaveru kapitoly se soustredíme na vlastnosti strední hodnoty a rozptylu níahodníe veli ciny s normíalníím rozlo zeníím. 9.14. Definice Kovariancí nahodnych velicin X1,X2, ktere mají strední hodnoty E(X1), E(X2), rozumííme cííslo C(X1,X2) = E([X1 - E(X1)][X2 - E(X2)]) (pokud strední hodnoty vpravo existují). Z vety 9.9 (b) plyne, ze v diskrétním p ríípad e je kovariance díana vzorcem 00 oc C(X1,X2)= - E(X1)][x2 - E(X2)]n(x1 ,^2) Xl = — 0C X2 =—oc a ve spojitíem p ríípad e vzorcem 00 oc C(X1 ,X2)^^ J [X1 - E(X1)][X2 - E(X2)]^(X1,X2) dX1dX2 —o —o (pokud dvojnía suma ci dvojníy integraíl vpravo absolutn e konvergujíí). I 103 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin (Kovariance je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodných veličin X^X2 kolem jejich stredních hodnot s prihlednutím k jejich prav-depodobnostem. Je-li kovariance kladna (záporna), pak to svedcá o existenci jisteho stupne príme (neprime) linearní závislosti mezi realizacemi nahodných velicin Xi,X2. Je-li kovariance nulová, pak ríkáme, ze nahodne veliciný Xi, X2 jsou nekorelovane a znamená to, ze mezi jejich realizacemi nená zádný linearní vztah. Pozor - z nekorelovanosti nevyplýva stochasticka nezávislost, zatáímco ze stochastickáe nezáavislosti plýne nekorelovanost. Kovariance je teoretickým protejskem vázene kovariance z definice 3.20.) 9.15. Příklad Diskretní nahodná vektor (X1, X2) ma simultanní pravdepodobnostní funkci s hodnotami: n(0,-1) = c, n(0, 0) = n(0,1) = -1) = n(2,-1) = 0, 0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c, n(2, 0) = 3c, n(x1,x2) = 0 jinak. Urcete konstantu c a výpoctete C(X1,X2). Řešení: Hodnotý simultanní pravdepodobnostní funkce a obou marginalních pravde-podobnostních funkcí usporadáme do kontingencní tabulký. x2 vri(zi) -1 0 1 0 c 0 0 c 1 0 2c 2c 4c 2 0 3c 2c 5c 7T2(Z2) c 5c 4c 1 Z normovanosti pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (viz věta 7.8, vektorový prípad) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. I E(Xi) = xini(xi) = 0 • 0,1 + 1 • 0,4 + 2 • 0,5 = 1,4 xi=0 i E(X2) = Y. X2n2(x2) = -1 • 0,1 + 0 • 0,5 + 1 • 0,4 = 0,3 X2 =— i 2i C(Xi,X2) = Y Yl [xi - E(Xi)][x2 - E(X2)]n(xi,X2) = xi=0 X2=— i = (0 - 1,4) • (-1 - 0,3) • 0,1 + • • • + (2 - 1,4) • (1 - 0,3) • 0,2 = 0,18. 2 9.16. Definice Koeficientem korelace nahodných velicin Xi, X2 rozumáme cáslo R{X1,X2) = { V. VD(xi) ^d(x2) 0 jinak. 104 (Koeficient korelace je číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti realizací náhodnách veličin X2. Cím blizsí je 1, tím tesnejsí je prímá lineárni zavislost, cím blizsí je -1, tím tesnejsí je nepríma lineárni zavislost.) 9.17. Veta Necht b, bi, 62 jsou realna císla, X, Xi,..., X„, Yi,..., Ym jsou nahodne veliciny definovane na temz pravdepodobnostním prostoru. V na-sledujících vzorcích vzdy z existence císelných charakteristik na prave strane vyplýva existence vírazu na leve strane. Vlastnosti strední hodnoty a) E (a) = a, b) E (a + 6X) = a + 6E(X), c) E(X - E(X)) 0, d) E (£X) = £ E(X), \i=i / i=i e) Jsou-li nahodne veliciny Xi.. , Xn stochasticky nezívisle, pak platí nn E Xi = E(Xi). i=i i=i Vlastnosti kovariance a) C(ai,X2) = C(Xi,a2) = C(ai,02) = 0, b) C (ai + 6i Xi, a2 + 62X2) = 6i 62C (Xi, X2), c) C (X, X) = D (X), d) C(Xi,X2) = C(X2,Xi), e) C (Xi,X2) = E (Xi X2) - E (Xi)E (X2), (n m \ f) c EXí,ey- ^EC(Xi,Yj). Vlastnosti rozptylu a) D(a) = 0, b) D(a + 6X) = b2 D (X), c) D (X) = E (X2) - [E (X )]2, I (Ž Xi) n n_i n d) Dl^Xi) = E D(Xi) + 2 Y, E C(Xi,Xj) (Jsou-li níhodne veli- i=i i=i j=i+i ciny Xi,... , Xn nekorelovane, pak D nn Xi = i= i= D(Xi).) Vlastnosti koeicientu korelace a) R(ai,X2) = R(Xi,a2) = R(ai,a2) = 0, b) R(ai + bi Xi, a2 + 62X2) = sgn(&i&2 )R(Xi, X2), c) R(X, X) = 1 pro D (X) = 0, R(X, X) = 0 jinak, d) R(Xi,X2) = R(X2,Xi) nm 105 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin e) R(X 1,X2) E C(XltX2) g^y) pro v^XT) v^X^ > 0; 0 jinak, f) |R(X1,X2)| < 1a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, kdyz mezi veličinami Xi,X2 existuje s pravdepodobností 1 úplná lineárni zavislost, tj. existují konstanty a1,a2 tak, že P(X2 = a1 + a2X1) = 1. (Uvedená nerovnost se nazáva Cauchyova-Sčhwarzova-Bunakovskeho nerovnost.) 9.18. Příklad Vypočtete koeficient korelace nahodních veličin X1,X2 z príkladu 9.15. Řešení: V príkladu 9.15 byla vypočtena kovariance C(X1,X2) vypočítat smerodatne odchylky veličin X1 ,X2. 0,18. Stačí tedy D(X1)= - E(X1)]2n1 xi=0 = (0 - 1,4)2 • 0,1 + (1 - 1,4)2 • 0,4 + (2 - 1,4)2 • 0,5 = 0,44 2 D(X2) = J][x2 - E(X2)]2n1 (x2) = X2=0 (-1 - 0,3)2 • 0,1 + (0 - 0,3)2 • 0,5 + (1 - 0,3)2 • 0,4 = 0,41 R(X1,X2) C (X1 ,X2) 0,18 v^xôv^xä) VPVP 0,42. I 9.19. Příklad Náhodná veličina X má strední hodnotu p a rozptyl a2. Vypočtete strední hodnotu a rozptyl centrovane náhodne veličiny Y = X - p a stredná hodnotu a rozptyl standardizovane nahodne veličiny U X-ji Řešení: E(Y) D (Y) E(U) E(X D (X E D (^) (^) E (X) - E(p) D (X ) = a2, 1 p - p = 0, = -E{X a p) = - • 0 a 0, 1 V2 D (X - p) 1 V2 a2 = 1. 9.20. Příklad Nahodne veličiny X, Y jsou nahodne chyby, které vznikajá na vstupnám zarázená Majá stredná hodnoty E(X) = -2, E (Y) = 4 a rozptyly D (X) = 4, 106 D(Y) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = —0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X2 — 2XY + Y2 — 3. Najdete střední hodnotu chyby na výstupu. Řešení: E (Z) = E(3X2 — 2XY + Y2 — 3) = 3E(X2) — 2E(XY) + E (Y2) — E(3) = = 3 {D(X) + [E(X )]2} — 2 [C (X, Y) + E(X )E(Y)] + D (Y) + [E(Y )]2 — 3 = = 3[D(X) + [E(X)]2] - 2[R(X, Y)y/D(X)y/D(Y) + E(X)E(Y)] + D(Y)+ + [E(Y)]2 — 3 = 3(4 + 4) — 2[—0,5 • 2 • 3 + (—2) • 4] + 9 + 16 — 3 = = 24 + 22 + 25 — 3 = 68. 9.21. Veta Necht' nýhodný velicina X mý střední hodnotu p a rozptyl a2. Pak platí Cebysevova nerovnost Ve > 0 : P(|X — p| > e) < <ŕ_ e2' Oznaďme-li e = ta, pak pro Vt > 0 : P(|X — p| > ta) < t2 (Vyznam Cebysevovy nerovnosti spocíva v tom, ze pokud nezname rozlození nýhodne veliciny, ale zname její strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme odhadnout pravdepodobnost, s jakou se od sve strední hodnoty odchýlí o více nez t-nasobek sve smerodatne odchylky.) y>(x) =? ✓ / / / / / / \ \ n 1 ~ -i \ E(X) — VD(X) | 1 > E(X) + VD(X) I 1 9.22. Príklad Necht' E (X) = p, D (X) = a2. a) Odhadnete P(|X — p > 3a). b) Jestlize X ~ N (p, a2), vypoctete P (|X — p| > 3a). Řešení: ad a) P{\X - p| > 3a) < ^ = | = 0,1. (Tento vísledek je znam jako pravidlo 3a a ríkí, ze nejvíse 11,1% realizací 107 9. (Číselné charakteristiky náhodných veličin níhodne veliciny lezí vne intervalu (/x — 3a, /x + 3a).) = i—p -3 < ^ < 3J adb) P{\X-fi\ > 3a) = l-P(-3a < X-/i < 3a) = 1 — $(3) + $(—3) = 2[1 — $(3)] = 2(1 — 0,99865) = 0,0027. (Má-li níhodná velicina normální rozdelení, pak pouze 0,27% realizací lezí vne intervalu — 3a,(i + 3a).) 9.23. Věta a) Jestliže X ~ N(u, a2), pak E(X) = D(X) = a2. b) Jestliže X ~ N(u, a2) a Y = a + 6X, pak Y ~ N(a + 6^, 62a2). c) Jestliže Xi,..., Xn jsou stochasticky nežavisie náhodne veličiny a necht n Xi ~ N(ui,a2), i = Y Y ~ N YjXí, pak i=1 i=1 i=1 / I 9.24. Příklad Necht' X1, X2 jsou stochasticky nezívisle náhodne veliciny, Xj ~ N(0,1), i = 1,2. Zjistete, jake rozlození mí transformovaná níhodná velicina Y = 3 + X1 — 2X2, urcete jeho parametry a najdete dolní kvartil náhodne veliňciny Y. Řešení: Y ~ N (E (Y ),D(Y)), pricemz E(Y) E (3 + X1 — 2X2) = 3 + E (X1) — 2E(X2) = D(3 + X1 — 2X2) = D(X1) + (—2)2D(X2) 3 + 0 — 2 • 0 = 3, = 1 + 4 • 1 = 5, tedy Y ~ N(3, 5). Nyní vypočítáme dolní kvartil. Využijeme toho, že U = ^ ~ N(0,1), tedy K0í25(Y) = 3 + V5u0,25 = 3-^-0,67449 = 1,4918. Shrnutí kapitoly Pri zavádení císelnych charakteristik náhodnych velicin nís motivují císelne charakteristiky znaku, jak jsme je poznali ve 3. kapitole. Jako charakteristika polohy cííselnyích realizacíí spojitíe níahodníe veli ciny aspon ordinálního typu slouzí a-kvantil a jeho speciální prípady: median, dolní a horní kvartil. Variabilitu charakterizujeme kvartilovou odchylkou. Vy- pocet kvantilu není prílis jednoduchá zálezitost, proto jsou kvantily nekolika typu rozlození tabelovány nebo je lze získat pomocí speciálního statistickeho software. Pro níahodníe veliňciny intervalovíeho a pomňerovíeho typu pouňzíívíame jako charakteristiku polohy střední hodnotu - teoretickí protejsek aritmetickeho prumeru. Pomocí strední hodnoty pak definujeme dalsí císelne charaketris-tiky: řozptyl a jeho druhou odmocninu - šmeřodatnou odchylku, kova-řianci a koeficient kořelace. 108 Resená konkrétních príkladu velmi usnadnují vzorce, ktere popisují vlastnosti číselných charakteristik. Kontrolní otázky a úkoly i 5 6 Pomocí statistickách tabulek vypoctete nasledující kvantily: «0,95, «o,10; Xo,975 (10) , Xo,025 (9), to,9o(8), to,05(6), Fo,975(5, 7), Fo,055(8 , 6). 2 Necht' X ~ N(-1, 4). Najdete Ko,o25(X). 3 Necht' X1,X2 jsou stochasticky nezávisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(2, 4), X2 ~ N(-1, 9). Vypoctete 99% kvantil transformovane nahodne veliciny Y = 2X1 - 3X2 + 5. 4 V zasilce 15 výrobku je 5 nekvalitních. Náhodná velicina X udáva pocet nekvalitních várobku mezi ctyrmi nahodne vybranámi vyrobky. Vypoctete její strední hodnotu a rozptyl, jestlize vyber byl proveden a) s vracením, b) bez vracení. (Navod: v bode (a) má X binomicke rozlození, v bode (b) hypergeometricke.) Sledovaná zeleznicní trasa vykazuje velke nerovnosti, takze zatízení jed-notlive vozove nápravy nahodne kolísá, teoreticky spojitym zpusobem. Prakticky jsou známy jen castecne informace, takze uvazujeme o diskrétní nahodne velicine X (nahodne zatízení v tunach) s pravdepo-dobnostní funkcí n(x) = 0,15 pro x = 6, n (x) = 0,65 pro x = 30, n (x) = 0,2 pro x = 70, n (x) = 0 jinak. Pri kalkulaci nakladu se ekonom zajímá o strední opotrebení náprav dane vzorcem Y = 1,15X2. Vypoctete strední hodnotu opotrebení. Pocet ruznych druhu zbozí, ktere zákazník nakoupí pri jedne navsteve obchodu, je nahodna velicina X. Dlouhodobám sledovaním bylo zjis-teno, ze X nabyva hodnot 0,1, 2, 3, 4 s pravdepodobnostmi 0,25, 0,55, 0,11, 0,07 a 0,02. a) Najdete distribucní funkci náhodne veliciny X a nakreslete její graf. b) Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny X. c) Vypoctete rozptyl nahodne veliciny X. Strelec strílí 3x nezavisle na sobe do terce. Pri kazdem vystrelu se trefí s pravděpodobností |. Za zásah získá 2 body, jinak ztratí 2 body. Vypoctete strední hodnotu a rozptyl poctu získanách bodu. Uvazme rodinu se tremi detmi. Predpokladame, ze pravdepodobnost narození chlapce i dívky je stejna. Náhodná velicina X udava pocet dívek v teto rodine (ma binomicke rozlození) , transformovana náhodna velicina Y = - 100X2 + 300X + 500 udavá rocní náklady (v dolarech) na osacení detí. Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny Y. Nahodna velicina X udava príjem manzela (v tisících dolaru) a nahodna velicina Y udava príjem manzelky (v tisících dolaru). Je známa si-multanní pravdepodobnostní funkce n(x,y) diskretního nahodneho vektoru (X, Y): n(10,10) = 0,2, n(10, 20) = 0,04, n(10, 30) = 0,01, n(10,40) = 0, n(20,10) = 0,1, n(20,20) = 0,36, n(20,30) = 0,09, n(20,40) = 0, n(30,10) = 0, n(30,20) = 0,05, n(30,30) = 0,1, 7 109 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin n(30, 40) = 0, n(40,10) = 0, n(40, 20) = 0, n(40, 30) = 0, n(40, 40) = 0,05, n(x,y) = 0 jinak. a) Výpoctete korelacní koeficient náhodných velicin X, Y. b) Výpo ct ete st rednáí hodnotu a sm erodatnou odchýlku náahodnáe veli-ciný Z = 0,1X + 0,2Y, ktera výjadruje príspevek obou manželu na duchod. (Nahodna veli cina Z výjadruje, že príspevek na duchod ciní 10% manželova platu a 20% manželcina platu.) 10 Náhodne veli ciný X1 ,X2 mají kovarianci 12. Výpo ct ete kovarianci náhodných veli cin Y1 = —8 + 11X1, Y2 = 6 — 4X2. 11 Náahodnáa veli cina X udáaváa výá sku v metrech a náahodnáa veli cina Y udáva hmotnost v gramech. Jak se zmení kovariance a koeficient korelace, jestli ž e vý s ku výjadríme v cm a hmotnost v kg? 12 Nahodna veli cina X ma st rední hodnotu (i a smerodatnou odchýlku a. Kolik procent realižací teto nahodne veli ciný se bude nachažet v intervalu — 2a, (i + 2a)? 13 Použ ijte Cebý s evovu nerovnost k odhadu pravde podobnosti, ž e p ri 600 hodech kostkou padne sestka aspon 75x a nejvýse 125x. I 110 10 Zákon velkých čísel a centrální limitní veta I 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní véta Číl kapitoly Po prostudovaná teto kapitolý budete umet: ■ odhadnout pravdepodobnost, s náz se nahodna velicina realizuje v urcite vzdálenosti od sve stredná hodnotý ■ odhadnout pravdepodobnost uspechu v posloupnosti opakovaných ne-zavislách pokusu relativná cetnostá tohoto uspechu ■ aproximovat distribucm funkci binomickeho rozlozená distribucm funkci' standardizovaneho normalnáho rozlozená Časova zatež Na prostudovaná teto kapitolý budete potrebovat asi 5 hodin studia. V 5. kapitole, konkretne v definici 5.6, jsme se seznamili s empirickým zako-nem velkách cásel, která tvrdil, ze pri mnohonasobnem nezávislem opakovaná tehoz náhodneho pokusu se relativná cetnost jevu blázzá pravdepodobnosti tohoto jevu. Jak uvidíme, je empirická zakon velkách císel specialním prípadem obecnej sáho zakona velkých cásel. Tento dusledek uvedeme jako Bernoulliovu vetu. I 10.1. Motivace Zakon velkách cásel výjadruje skutecnost, ze s rostoucám poctem nezávislých opakováaná náahodnáeho pokusu se empirickáe charakteristiký, kteráe popisujá vásledký techto pokusu, blázžá teoretickým charakteristikám, napr. relativná cetnost uspechu se blázá pravdepodobnosti áspechu, cetnostná funkce se blázi' pravd epodobnostnáí funkci, hustota cetnosti se bláí záí hustot e pravd epodobnosti apod. Centralní limitní veta tvrdí, ze za jistách podmínek nm soucet nezávislých nahodnách velicin s týmz rozlozením priblizne normalní rozlození. Normální rozlozená je tedý rozlozenám limitnám, k nemuz se blázá vsechna rozlozená. proto hraje velmi dulezitou roli v poctu pravdepodobnosti a matematicke statistice. 10.2. Veta Necht' {Xra}^c=i je posloupnost stochastický nezavislých nahodnách velicin, ktere majá stredná hodnotý (i a rozptýlý a2. Pak pro posloupnost aritme- n tických průměrů {- E xí}í*Ů platí: Ve > 0 : P 1n n -) < e > 1 ne2 neboli Ve > 0 : lim P n 1n n > e = 0. 112 (Uvedená veta se nažává žákon velkách císel nebo tež Cebýsevova veta. Její tvržení ríká, že posloupnost aritmetickách prumeru konverguje podle pravdepodobnosti ke st rední hodnot e Tedý p ri dostate cne velkem po ctu pokusu lže st rední hodnotu odhadnout prumerem vásledku jednotlivých pokusu.) 10.3. Důslěděk Necht' náhodná veli cina Yn udavá pocet uspechu v posloupnosti n opakovaných nežavislých pokusu, p ricemž v kaž dem pokusu nastava uspe ch s pravdepodobností v. (Podle definice 8.2 (c) Yn ~ Bi(n, v)). Pak pro posloupnost relativních četností { — }™=1 platí: Ve > 0 : P Y ů ) < e > 1 ů(1 — ů) ne2 neboli Ve > 0 : lim P n—>oc Y n n ů >e >1 0. 4ne2 (Tento dusledek Cebýsevový vetý se nažáva Bernoulliova veta. Výjadruje skute cnost, že posloupnost relativnáích cetnostáí konverguje podle pravd epo-dobnosti k pravd epodobnosti uásp echu v. Tedý p ri dostate cn e velkáem po ctu pokusu lže pravde podobnost ásp e chu odhadnout relativní c etností usp e chu.) 10.4. Příklad P ri výástupnáí kontrole býlo žji st eno, že meži 3000 kontrolovanáými výárobký je 12 žmetku. Jaka je pravdepodobnost, že relativní cetnost váskýtu žmetku se od pravdepodobnosti váskýtu žmetku neli s í o více ne ž 0, 01? RěSění: Y3000 - pocet žmetku meži kontrolovanými várobký, Y30oo ~ Bi(3000, v), áavaáme: v ř« j^Q. Podle Bernoulliovy věty dostává e>0:P Y ů < e > 1 ů(1 — ů) >1 1 ne2 4ne2 V našem případě e = 0,01, n = 3000, v ř« tedy P Y 3000 3000 ů < 0,01 > 1 ) 12 2988 3000 3000 3000 • 0,0001 0,872. I Ji ž nekolikrat jsme se žmínili o tom, ž e normální rožlo ž ení je vubec nejdule-ž it ej sí týp rožlož ení. Centrální limitní veta nám dá odpoved' na otažku, pro c tomu tak je. P ri praktickách vápo ctech se c asto použ ívá dusledek centralní limitní vetý, a to Moivreova-Laplaceova veta, ktera ža urcitých podmínek umož ní nahradit slo žitáý výápo cet distribu cnáí funkce binomickáeho rožlo ženáí jednoduchýám 1 113 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta hledáním v tabulkách hodnot distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení. Pokud vSak máme k dispozici statistický software, dáme přednost presnemu vípočtu pred aproximativním. 10.5. Veta Necht' (Xra}°0=1 je posloupnost stochasticky nezávislích nahodních velicin, ktere mají vsechny totez rozlození se strední hodnotou p a rozptylem a2. Pak pro posloupnost standardizovaních souctu Un EX, i=1 np n 1, 2,... platí: Vx G R : lim P(Un < x) = $(x), kde $(x) je distribucní funkce x—oo rozlození N(0,1). (Lindebergova-Levyova centralní limitní veta ríka, ze pro dostatecne velkí n (praktickz stací n > 30) lze rozlození souctu stochasticky nezavislych a stejne rozlozenych níhodních velicin aproximovat normílním rozlozením N(np, na2).) I 10.6. Důsledek Necht' (Yn}°0=1 je posloupnost stochasticky nezavislích níhodnych velicin, Yn ~ Bi(n, v), n = 1, 2,... Pak platí: Vy G R : lim P(Yn < y) = lim P ( Yn-rvd < y - ra9 n /1 ^nů{l - ů) ^nů{l - ů) )■ (y — nů \ y/nů(l-ů)) kde $(x) je distribuční funkce rozložení N(0,1). (Moivreova-Laplaceova veta tvrdí, že za urcitých podmínek lze binomicke rozložení aproximovat standardizovaním normalním rozlozením. Aproximace se považuje za vyhovující, když jsou splněny podmínky ^j-j- < v < nv(l - v) > 9.) n+1 10.7. Př íklad V urcite skupine zamestnancu je 10% s prijmem, kterí prekracuje celostatní prumer. Kolik zamestnancu z teto skupiny je treba vybrat, aby s pravdepodobností aspon 0,95 bylo mezi nimi 8% az 12% zamestnancu s nadprumernym príjmem? ReSen í: X - pocet zamestnancu s nadprumerním príjmem, Yn Bi(n;0,1), E(X) 114 0,1n, D (X) = 0,09n, X 0,95 < P ( 0,08 < — < 0,12 ) = P(0,08n 0,975 tedy ^ > ^0,975 = 1,96 =>• > 29,4 ^ n> 865. Pro splnění podmínek je zapotrebí vybrat aspon 865 zamestnancu. Shrnutí kapitoly V teto kapitole jsme ukazali, ze jiz dríve vysloveny empiricky zíkon velkích císel je specialním prípadem obecnejsího zakona velkých cíšel, ktery popisuje pravdepodobnostní chovaní posloupností aritmetickych prumeru stochasticky nezavislych nahodních velicin s touz strední hodnotou a rozptylem. Dusledek tohoto zakona (zvaneho tez Cebýševova veta) jsme uvedli jako Bernoulliovu vetu. Seznímili jsme se tez s Lindebergovou-Levýovou centrální vetou, ktera tvrdí, ze za urcitích podmínek lze rozlození souctu nahodních velicin s ja-kymkoliv rozlozením aproximovat normalním rozlozením. Toto tvrzení tedy vysvetluje dulezitost normílního rozlození. Historicky starsí nez tato veta je její dusledek uvídení jako Moivreova-Laplaceova veta, ktera umoznuje aproximovat binomicke rozlození normalním rozlozením. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Pravdepodobnost, ze vírobek nm 1. jakost, je v = 0,9. Kolik vírobku je treba zkontrolovat, aby s pravdepodobností aspoň 0,99 bylo zaruceno, ze rozdíl relativní cetnosti poctu vírobku 1. jakosti a pravdepodobnosti v = 0,9 byl v absolutní hodnote mensí nez 0,03? K vypoctu pouzijte jak Bernoulliovu vetu, tak Moivreovu-Laplaceovu vetu a vysledky porovnejte. 2 Pravdepodobnost narození chlapce je 0,515. Jaka je pravdepodobnost, ňze mezi 10 000 novorozenci bude a) více devcat nez chlapcu, b) chlapcu od 5 000 do 5 300, c) relativní cetnost chlapcu v mezích od 0,515 do 0,517? 3 Pravdepodobnost zasahu terce jedním vístrelem je 0,4. Kolikrat je tňreba vystňrelit, aby absolutní hodnota odchylky relativní ňcetnosti zaísa-Irů od uvedene pravdepodobnosti byla mensí nez 0,02 s pravdepodobností asponň 0,95? I 115 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní véta 116 11! Základní pojmy matematické statistiky I 11. Základní pojmy matematické statistiky (íl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ definovat náhodne víbery z jednorozmerneho i vícerozmerneho rozlo-zení pravdepodobností ■ stanovit dulezite statistiky pro náhodny víber z jednorozmerneho a dvourozmerneho rozlození pravdepodobností ■ popsat vlastnosti techto statistik ■ vyuzít vlastností statistik odvozeních z náhodneho vyberu z normálního rozlození pri vípoctu konkretních pravdepodobností Časova zatež Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 7 hodin studia. Nejprve zavedeme pojem náhodneho vyberu a vysvetlíme jeho souvislost s da-tovym souborem. Musíme si vsak uvedomit následující skutecnost: datovy soubor obsahuje konstantní hodnoty znaku, zatímco slozkami náhodneho víberu jsou níhodne veliciny spojene s nejakím níhodnym pokusem. I 11.1. Definice a) Necht' X1 ,...,Xn jsou stochasticky nezávisle náhodne veliciny, ktere mají vsechny stejne rozlození L(v). Řekneme, ze X1,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozlození L(v). (Císelne realizace x1,..., xn náhodneho víberu X1,..., Xn usporádane do sloupcoveho vektoru predstavují datovy soubor zavedení v popisne statistice v definici 1.9) b) Necht' (X1, Y1),..., (Xn, Yn) jsou stochasticky nezívisle dvourozmerne náhodne vektory, ktere mají vsechny stejne dvourozmerne rozlození L2 (v). Řekneme, ze (X1 ,Y1),..., (Xn, Yn) je dvourozměrný nýhodný výběr rozsahu n z dvourozmerneho rozlození L2(v). (Císelne realizace (x1, ..., (xn, yn) náhodneho vyberu (X1, Y1),..., (Xn, Yn) usporí-dane do matice typu 2 x n predstavují dvourozmerny datoví soubor zavedenyí v popisníe statistice.) (Analogicky lze definovat p-rozmerny náhodní víber rozsahu n z p-rozmer-neho rozlození Lp(v).) V matematicke statistice velmi casto pracujeme s transformacemi náhodneho víberu. Temto transformovanym náhodnym velicinám ríkáme statistiky. Zavedeme nekolik dulezitích statistik a upozorníme na jejich souvislost s cí-selnymi charakteristikami znaku, ktere jsme poznali ve 3. kapitole v popisne statistice. Protoze statistiky jsou náhodními velicinami, lze pocítat jejich strední hodnotu a rozptyl. Ukázeme, jak se chovají tyto císelne charakteristiky nekterích statistik. 118 11.2. Definice Libovolná funkce T = T(Xi,... ,Xn) náhodného výběru Xi,... ,Xn (resp. T = T(Xi,Yi,..., Xn, Yn) náhodného výběru (Xi,Yi),..., (Xn, Yn)) se nazývá (výběrová) statistika. Statistika se nazýva výběrový průměr, i n M= - VX i=1 i n s2 = ^rUx< - M>2 i=1 výběrový rozptyl, s = ^fš2 výběrová směrodatná odchýlka, n Sn = ——r V(X - MJiYi - M2) n — ±—' ni i=l výběrová kovariance (přitom M\ = ^ Y Xi, M2 = \ Y Yí) a n i=l n i=l 1 V- Xj-Mi Yj-M2 ^rn r. o / n Ä12 = <( ™~\~í^--Pr0lbl'^2^U; 0 jinak, se nazývá výběrový koeficient korelace. (Číselne realizace m, s2, s, s12, r12 statistik M, S2, S, S12, R12 odpovídají číselnám charakteristikami znaků v popisne statistice zavedeným definicích 3.6, 3.10 a 3.12, ale ů rozptylů, smerodatne odchýlký, kovariance a koeficientů korelace je multiplikativní konstanta ^-j-, nikoli ^, jak tomu bylo v popisné statistice.) 11.3. Věta a) Necht' X1,..., Xn je nahodná výber z rozlození se strední hodnotou p a rozptylem a2. Pak E(M) = p, D(M) = ^, E(S2) = a2, ať jsou hodnotý parametrů p, a2 jakekoli. b) Necht' (X1,Y1),... , (Xn,Yn) je níhodný víber z dvoůrozmerneho rozlození s kovariancí a12 a koeficientem korelace p. Pak E(S12) = a12, at' je hodnota parametrů a12 jakíkoli, avsak E(R12) je rovno p poůze priblizne (shoda je výhovůjící pro n > 30), at' je hodnota parametrů p jakakoli. Nýní se bůdeme zabívat nahodným vaberem z normalního rozlození. Zavedeme nekolik statistik vzniklích transformací víberoveho průmerů a výbero-veho rozptýlů (jsoů to tzv. pivotove statistiký) a ůkazeme, jakým způsobem I 119 11. Základní pojmy matematické statistiky se tyto statistiky řídí. V příští kapitole využijeme těchto pivotových statistik při konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. V teto kapitole nam uvedene vlastnosti poslouží pri vypoctu rUžnách pravdepodobností. 11.4. Věta Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(//, a2). Pak platí a) Výběrový průměr M a výběrový rozptyl S2 jsou stochastický nezávisle. b) M ~N(fji,?L), tedy U M-a N(0,1). (Statistika U slouží ke kon- strukci intervalu spolehlivosti pro když a2 žname.) c) K = (n — 1)S2a2 ~ x2(n — 1). (Statistika K slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // nežname.) n = (Xi-a)2 d) 1-1 2- ~ x2(n)- (Tato statistika, která nemá speciální označení, slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // žname.) e) T = ^jF^ ~ t(n — 1). (Statistika T slouží ke konstrukci intervalu spo- s lehlivosti pro když a2 nežname.) 11.5. Příklad Hmotnost jedne porce kívy považujeme ža nahodnou velicinu s normalním rožložením X ~ N(7g, 0,25 g2). Jaka je pravdepodobnost, že k príprave 28 porcí kavy postací dva 100 g balícky? Resení: Xi,..., X28 je níhodny víber ž N(7, 0,25). Pocítame P I _0v5_ — OJ^ I V y/28 y/28 J P M < 200 ~28 P (U < 1,51) = $(1,51) = 0,9345. I S pravdepodobností 93,45% mužeme predpokladat, že k príprave 28 porcí kívy postací dva 100 g balícky. 11.6. Příklad Odberatel provede kontrolu stejnorodosti dodavky vyrobku tak, že žmerí sledovaní rožmer u 25 nahodne vybranych vyrobku. Dodavku prijme, jestliže víberova smerodatna odchylka se bude realižovat hodnotou mensí nebo rovnou 0,2 mm. Je žnamo, že sledovany rožmer vírobku ma normalní rožložení N(50 mm, 0,2632 mm2). Jaka je pravdepodobnost prijetí dodavky? 120 Řešení: Xi,..., X25 je náhodný výběr z N(50, 0,2632). Počítáme P (S < 0,2) = P (S2 < 0,04) = P < (n-l)S2 (n_ o2 1)0,04\ ?2 ) P K < 24-0,04 0,2632 o2 P (K < 13,879), tedý číslo 13,879 je a-kvántil Pearsonova rozložení x2(24). V tabulkách kvan-tilú Pearsonová rozložení nájdeme, že a = 0,05. S pravdepodobností pouhých 5% lze očekývát, že odberátel prijme dodávku. Prejdeme nýní ke dvemá nezávislým náhodným výberum z normálního ro-zlození. I v teto situáci nás zájímá rozlození pivotovýčh státistik vzniklých tránsformáčý výberových průmerů á výberových rozptylu. 11.7. Veta Necht' Xii,... , Xnii je nýhodný výber z rozlozený Noj2) á Xi2,..., Xni2 je ná nem nezávislý náhodný výber rozlozený N(^2,o^^, pricemz ni > 2 á n2 > 2. Oznácme Mi, M2 výberove prumerý á S2, S| výberove rozptýlý. Pák plátý: á) Státistiký Mi — M2 (rozdfl výberových prumeru) á (n S2 = l)Sf + (n2 - 1)S22 ni + n2 — 2 (vázený prumer výberových rozptýlu) jsou stochástický nezývisle. b) Mi — M2 ~ N a1 i °"2 ™2' ni ni ) , tedý U (M1-M2)-(m-H2) N(0,1). (Státistiká U slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro rozdfl stredných hodnot ^i — kdýz rozptýlý oj2, o2 známe.) c) Jestliže o\ = o\ = a2, pak K = (rai+"2~2)g* ~ x2(ni+n2-2). (Statistika K slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro spolecný rozptýl o2, kdýz stredný hodnotý ^i — ^2 neznáme.) d) Jestliže o\ = o\ = a2, pak T = (Mi-m^)-^) _ ^ + ri2_2). V ni ni e) F F(ni — 1,n2 — 1). (Státistiká F slouzý ke konstrukci inter- ní o (ji valu spolehlivosti pro podii rozptylu když střední hodnoty a2 (2 neznáýme.) 11.8. Příklad Necht' jsou dáný dvá nezávisle náhodne výberý, prvný pochází' z rozlozem N(2; 1,5) á mý rozsáh 10, druhý pochýzí z rozlozem N(3, 4) á má rozsáh 5. Jáký je právdepodobnost, ze výberový prumer 1. výberu bude mensý nez výberový prumer 2. výberu? I 121 11. Základní pojmy matematické statistiky Řešení: P (Mi < M2) = P (Mi - M2 < 0) P (Mi - M2) P U < ,M + ^ y ni n -2 + 3 10 5 (^1 ~ ^2) o_ Til T12 P (U < 1,05) = $(1,05) = 0,85314. S pravděpodobností 85,3% je výběrový průměr 1. výběru menší nez výběrový průměr 2. výběru. Shrnutí kapitoly Ustredním pojměm matěmatickě statistiky jě pojěm náhodného výberu, a to jědnorozměrněho i vícěrozměrněho. Transformací jědnoho něbo vícě nahodných výběrů vznika nahodna věliCina zvana (výberová) štátištiká. K nějdůlězitějsím statistikam patrí výberový prUmér, výberový rozptyl, výberová šmérodátná odchýlka, výberová kovariánce, výberový koeficient koreláce. Jělikoz statistika jě nahodný věliCina, ma smýsl poCítat jějí strědní hodnotu a rozptyl. Ukazali jsmě si vláštnošti strední hodnotý a rozptýlu výberoveho prUmeru a štrední hodnotý výberoveho rozptýlu, vý-berove kováriánce a výberoveho koeficientu koreláce. Zabývali jsmě sě rovněz rozloZením výberových štátištik pro náhodne výberý z normálních rozlození, tzv. pivotových statistik. Jak uvidímě v dalsých kapitolých, lzě pomoci' těchto pivotových statistik konstruovat in-těrvalý spolěhlivosti pro paramětrý normýlmch rozlozěný a těstovat hýpotězý o těchto rozlozěných. I Kontrolní otazky a Úkoly 1 Kdý lzě posloupnost nahodných vělicin Xi,..., Xn povazovat za nahodný výběr? 2 Uvěd'tě nejdůleZitejší statistiký odvozěně z nýhodněho výběru, ktěrý pochazý a) z jědnorozměrněho rozlozěný, b) z dvourozměrněho rozlozěný. 3 Jaký je vztah mezi výběrovým rozptýleni a rozptýleni v popisně statis-ticě? 4 Necht' Xi,... ,Xi0 je nahodný výběr z N(100,100). Jakě rozlození ma výběrový průměr? 5 Predpokladame. ze velký rocník na výsokě skole mý výsledký ze statistiký normalně rozlozěný kolem strední hodnotý 72 bodů se směrodatnou odchýlkou 9 bodů. Výpoctěte pravděpodobnost, ze a) nahodně výbraný student bude mít výsledek nad 80 bodů b) průměr výsledků nýhodně výbraných 10 studentů bude nad 80 bodů. 6 Necht' Xi,... ,X20 je nahodný výběr z N(^,a2). Najděte císla ki, k2 tak, aby platilo P(4 < h) = 0,05 a P(^ > k2) = 0,05. 122 12! Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí I 12. Bodově a intervalově odhadý parametrů a parametrických funkcí Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ posoudit nestrannost a asymptotickou nestrannost bodovích odhadu parametrickíe funkce a pomocíí rozptylu ohodnotit jejich kvalitu sestrojit intervaly spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normíal-ních rozlození ■ stanovit rozsah nahodneho víberu tak, aby sírka intervalu spolehlivosti nepresahla dane císlo Casova zatež Pro zvladnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 8 hodin studia. Jak jsme poznali v predesle kapitole, nahodní vyber je posloupnost stochasticky nezavislích nahodních velicin se stejnym rozlozením. Kazde rozlození zívisí na nejakem parametru nebo i více parametrech. Napr. alternativní rozlození zívisí na parametru v, exponencialní rozlození na parametru A. normalní rozlození na parametrech p a a2 apod. Tyto parametry nezname, zníme jenom nahodny víber. Ukazeme si, jak lze na zaklade znalosti nahodneho vyberu odhadnout neznamy parametr ci jeho funkci, tzv. parametrickou funkci. Je-li odhadem statistika, hovoríme o bodovem odhadu parametricke funkce. Existují ruzne typy bodovych odhadu, nas budou zajímat odhady nestranne, asymptoticky nestranníe a konzistentní. Je-li odhadem interval, jehoz meze jsou statistiky a kterí s dostatecne velkou pravdepodobností pokryva neznamou hodnotu parametricke funkce, jedna se o interval spolehlivosti. 12.1. Motivace Vychazíme z nahodneho víberu X1,..., Xn z rozlození L(v), ktere zívisí na parametru v. Mnozinu vsech prípustnych hodnot tohoto parametru oznacíme S. Parametr v nezname a chceme ho odhadnout pomocí daneho nahodneho víberu (prípadne chceme odhadnout nejakou parametrickou funkci h(v)). Bodovym odhadem parametricke funkce h(v) budeme rozumet statistiku Tn = T(X1,... ,Xn), ktera nabíví hodnot blízkych h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Existují ruzne metody, jak konstruovat bodove odhady (napr. metoda momentu ci metoda maximílní verohodnosti, ale temi se zde zabyvat nebudeme) a take ruzne typy bodovych odhadu. Omezíme se na odhady nestranníe a asymptoticky nestranníe. Intervalovym odhadem parametricke funkce h(v) rozumíme interval (D, H), jehoz meze jsou statistiky D = D(X1,..., Xn), H = H(X1,..., Xn) a ktery s dostatecne velkou pravdepodobností pobýva h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Zameríme se na intervalove odhady parametru a parametrickych funkcí normalního rozlození. 124 Bodový odhad parametrické funkce by měl mít určité vhodné vlastnosti. Takovou vlastností mUze byt pro jeden odhad nestrannost a pro posloupnost odhadU asymptoticka nestrannost či konzistence. Kvalitu nestranneho bodoveho odhadu lze posoudit pomocí rozptylu tohoto odhadu: čím mensí rozptyl, tím kvalitnejsí odhad. 12.2. Definice Necht' Xi,... ,Xn je nahodný vyber z rozložení L(v), h(v) je parametrický funkce, T, Tl, T2, .. .jsou statistiky. a) Řekneme, ze statistika T je nestranným odhadem parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : E (T) = h(v). (Vyznam nestrannosti spocíva v tom, ze odhad T nesmí parametrickou funkci h(v) systematicky nadhodnocovat ani podhodnocovat. Není-li tato podmínka splnena, jde o vychylený odhad.) b) Jsou-li Tl, T2 nestranne odhady teze parametricke funkce h(v), pak rekneme, ze Tl je lepsí odhad nez T2, jestlize V? G S : D(Tl) < D(T2). c) Posloupnost se nazýva posloupnost asymptoticky nestranných odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : lim E(Tn) = h(v). n—>oo (Výyznam asymptotickýe nestrannosti spo cýívaý v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesýa vychýylenýí odhadu. Je z rejmýe, ze z nestrannosti okam zit e vyplyývýa asymptotickýa nestrannost.) c) Posloupnost se nazýva posloupnost konzistentních odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S, Ve > 0 : lim P(|Tn - h(v)| > e) = 0. n—oo (Výyznam konzistence spo cýívýa v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesa pravdepodobnost, ze se odhad bude realizovat „daleko" od sku-tecne hodnoty parametricke funkce. Lze ukýzat, ze z asymptoticke nestrannosti vyplyvý konzistence, pokud posloupnost rozptylu konverguje k 0.) 12.3. Příklad Nezavisle opakovana merení urcite konstanty u, jsou charakterizovana ný-hodným výberem Xl,...,Xn z rozlození se strední hodnotou E(Xj) = // n a rozptylem D (Xi) = a2, i = 1,... ,n. Uvažme statistiky M = -^Xj a L 2 i=1 a) Dokazte, ze M a L jsou nestranne odhady strední hodnoty b) Zjistete, ktery z techto dvou odhadu je lepsí. Resení: ad a) e{m) = e l - Vi,] = -Y t \ n / n n n i=i i=i i=i E(L) n (^4^) = \E{Xl+Xn) = +E(Xn)} 2 ) 2 I 125 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí ad b) D(M) = D n n i=1 i=1 1 2 a2 —na = — a2 n D(L) = D (^4^) = \D(X1+Xn) = llDiXJ + D(Xn)] _a2 + a2 _a2 4 2 Vidíme tedy, ze M je lepsí odhad nez L pro n > 3. 12.4. Poznamka Ve vete 11.3, tvrzení (a), bylo uvedeno, ze E (S*2) = a2, tedy víberovy rozptyl S2 je nestrannym odhadem rozptylu a2. (Odtud je take videt, ze ve vzorci pro výběrový rozptyl musí být konstanta nikoli ^, aby platilo E(S2) = a2.) Víberova smerodatna odchylka S vsak není nestrannym odhadem smerodatne odchylky a. Pak by totiz platilo E (S) = a, ovsem E (S2) = a2, tedy D(S) = E(S2) - [E(S)]2 = a2 - a2 = 0, coz je mozne jen tak, ze S by byla konstanta. Nyní budeme definovat interval spolehlivosti pro parametrickou funkci, a to jak oboustranní, tak levostranny ci pravostranní. Uvedeme doporuceny postup pri konstrukci intervalu spolehlivosti a ukazeme si, jaky vliv na sírku intervalu spolehlivosti mía riziko a rozsah víyb eru. 12.5. Definice Necht' Xi,... ,Xn je nahodní víber z rozlození L(v), h(v) je parametricka funkce, a G (0,1), D = D(X1,... ,Xn), H = H(X1,... ,Xn) jsou statistiky. a) Interval (D,H) se nazyví 100(1 — a)% (oboustranny) interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v), jestlize: V? G S : P (D < h(v) < H) > 1 — a. b) Interval (D, to) se nazyví 100(1—a)% levostranní interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v), jestlize: V? G S : P (D < h(v)) > 1 — a. I c) Interval (—to, H) se nazyví 100(1 — a)% pravostranní interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v), jestlize: V? G S : P(h(v) < H) > 1 — a. d) Císlo a se nazyva riziko (zpravidla a = 0,05, mene casto 0,1 ci 0,01), cííslo 1 — a se nazíyvaí spolehlivost. 126 12.6. Poznámká Doporucený postup pri konstrukci intervalů spolehlivosti: a) b) c) Výjdeme ze statistiký V, ktera je nestranným bodovým odhadem pa-rametrickě funkce h(v). Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, ktera vznikne transformaci' statistiký V, je monotónní funkcí h(v) a pritom její rozlození je znamě a na h(v) nezavisľ. (Pri konstrukci intervalů spolehlivosti pro parametrý jednoho a dvou normalných rozlozený pouzívame jako pivotově statistiký statistiký M, K, T, F z vět 11.4 a 11.7.) Pomocí znaměho rozlozený pivotově statistiký W najdeme kvantilý wa/2, wi-a/2, takze platí: W? G S : P(Wa/2 < W < Wi_a/2) > 1 a. d) Nerovnost wa/2 < W < wi-a/2 prevedeme ekvivalentními ůpravami na nerovnost D < h(v) < H. e) Statistiký D, H nahradíme jejich císelnými realizacemi d, h a získame tak 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti, o němz prohlasíme, ze pokrýva h(v) s pravděpodobnost! aspoň 1 — a. (Tvrzený, ze (d, h) pokrývý h(v) s pravděpodobností aspon 1 — a je treba chapat takto: jestlize mnohonasobně nezavisle získame realizace xi,... ,xn nahodně-ho výběru Xi,... ,Xn z rozlozený L(v) a pomocí kazdě těto realizace sestrojíme 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti pro h(v), pak podíl poctu těch intervalů, kterě pokrývají h(v) k poctu vsech sestrojených intervalů bude priblizně 1 — a.) 12.7. Vetá Necht' (d, h) je 100(1 —a)% empirický interval spolehlivosti pro h(v) zkonstruovaný pomocý císelných realizací xi,... ,xn nahodněho výběru Xi,... ,Xn z rozlození L(v). a) Pri konstantním riziku klesý síňka h — d s rostoucím rozsahem nahodněho výběru. b) Pri konstantním rozsahu nahodněho výběru klesý síňka h—d s rostouďm rizikem. Nadale se budeme zabývat konstrukcí intervalů spolehlivosti pro parametrý normalných rozlozený. Vzdý pro jednu konkrétný situaci podrobně odvodíme meze intervalů spolehlivosti a pro ostatný situace jen uvedeme préhled vzorců. Těm z vas, který mají hlubsí zajem o statistiku, lze doporucit, abýste se pokusili uvedeně vzorce odvodit a s výuzitím vlastností príslůsných pivotových statistik, jak býlý uvedený ve větach 11.4 a 11.7. 12.8. Príklád Necht' Xi,... ,Xn je nahodný výběr z rozlození N(^,a2), pricemz n > 2 a parametrý a2 nezname. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro strední hodnotu n a to a) oboustranný, I 127 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí b) levostranný, c) pravostranný. ta/2 (n - 1) T = ^ ~ t{n - 1) (viz věta 11.4. y/ň -tl-a/2 (n - 1), Wi_a/2 = tl-a/2 (n - 1) Řešení: = p, V tvrzení (e)), wa/2 ad a) Vi? G S : 1 - a < P (-ti_a/2(n - 1) 06 °<2011 1,92 2,20 m 1,8331 = 1,94 1,94 < p s pravdepodobností aspoň 0,95. adc)/i = m+ ^h-a(n - 1) = 2,06 + ^1,8 p < 2,18 s pravdňepodobnostáí asponň 0,95. 2,18 n 128 12.9. Věta Přehled vzorců pro meze 100(1 — a)% empirických intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho normálního rozloZení. Necht' Xí}... ,Xn je nýhodný výber z rozloZení N(/i,a2), pricemZ n > 2. a) Interval spolehlivosti pro n, kdyz a2 známe Oboustranný: (d,h) = (m - -^Ui_a/2,m + ^tti_a/2) Levostranný: (d, oo) = (m — -^U\-a, ooj Pravostranný: (—oo,h) = (^—oo,m+ ^tíi_aj b) Interval spolehlivosti pro n, kdyZ a2 neznáme c) d) /n ti-a/2(n - l),m+ -^ti_a/2{n - l)j /n ti-a(n — 1), OC Oboustranný: (d, h) = Levostranný: (d, oo) = Pravostranný: (—oo,h) = ^—oo,m+ -^ti-a(n — l)j Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ n neznáme Oboustranný: (d, h) Levostranný: (d, oo) (n-l)s2 i™"1)' X2a/2(n-l) (n-l)s2 \ Í/2("-l) J (n-l)s2 Pravostranný: (—oo,h) = ( — oo, ^ Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ n zname n n Oboustranný: (d,h) = | ^—^ > Levostrannýý: (d, o ) = Pravostrannýý: (—o , h) i=l_ Xl_aW oc o, ,E (xi-M)2\ X2(") I 12.10. Příklad Necht' Xi,..., Xn je nahodný výber z rozlození N(//, 0,04). Jaký můsí být mi-nimalní rozsah výberů, abý sírka 95% intervalů spolehlivosti pro (i nepresahla císlo 0,16? Rěšění: Podle 12.9 (a) dostíavíame: 0,16 > h — d = m + a ~]=Ul-a/2 n aa nn 4 • 0,04 • 1,962 a 4a2ui a/2 ^ 1—a/2 0,162 24,01 == n > 25. I 129 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí 12.11. Příklad Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích ni > 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení N(^i,a2), druhy z rozloZení N(/í2, 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení Ni,a2), druhý z rozloZení N(n,2,a2), kde parametry fj,i, u,2, af, a| neznáme. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů Řešení: 4 h(u) = V = f|, H/ = F = || ~ - l,n2 - 1) (viz věta 11.7, A tvrzení (e)), wa/2 = F«/2 (ni — 1,n2 — 1), wi_a/2 = F-«/2 (ni — 1,n2 — 1). Vi9 G H : 1 — a < P(Fa/2(n1 — 1, n2 — 1) < F < F1_a/2(ni — 1,n2 — 1)) = = P ^Fa/2(n1-í,n2-í) < || < í1l-a/2(«l " b«2 " 1)^ = (si sl \ = P _^_<^i<_£1_ \ F1-a/2 (n1 — 1,n2 — 1) ^2 Fa/2(n1 — 1,n2 — 1) Konkrétní aplikace: V predeSlem príklade nyní predpokladame, ze dane dva níhodne vybery pochazejí z rozlození Ni, 2 a n2 > 2. a) Interval spolehlivosti pro ^1 — u,2, kdyZ a2, of známe Oboustranny: (d, h) = | m1 — m2 ^ + ^«i-«/2,m1 m2 ri2 ^1—ot/2 Levostranní: (d, oo) = ( m1 — m2 I y n H--Ui_a, OC ) ) I d 131 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Pravostranný: (-00, h) = ^-oo,TOi - to2 - + 1^1-«^) b) Interval spolehlivosti pro u,1 — u,2, kdyZ af, af neznáme, ale vime, Ze jsou shodné Oboustranný: (nii - m2 - s*^J^ + ^1-0/2(^1 + ^2 - 2). mi - m2 + + ^íi_a/2(ni + n2 - 2) Levostranný: (d, 00) = (mi - m2 - s*-^/^ + ^íi-«/2(^i + n2 - 2), oc Pravostranný: (-00, h) = (-00, mi-m2 + s*yJ^ + Mi_a/2{ni + n2 - 2) j c) Interval spolehlivosti pro společní) neznámý rozptyl a2 Oboustranný: (<*,/>) = (^^3),^^) Levostranný: (d, 00) = (^gg^,oo) Pravostranný: (-00, fr) = (-00, gg^gf) 2 d) Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů Oboustranný: (d, h) ( ?2__^ ) 1 ^i-a/2(™l-!»ra2-1) ' Fa/2(n1-l,n2-l) J Levostranný: (d, 00) = ^1_a(rai^1>ra2_1), 00 j Pravostranný: (-00, h) = (^-00, ^J^^ 12.14. Poznámka Není-li v bode (b) vety 12.13 splněn predpoklad o shodě rozptylU, lze sestrojit aspon pribliZný 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro u,1 — //2. V tomto prípade ma statistika T pribliZne rozloZení t(v), kde pocet stupnU volnosti v = "1 i "2 ni ' n2 ni — 1 + n2 — 1 I Není-li v cele Číslo, pouZijeme v tabulkých kvantilU Studentova rozloZení lineýrní interpolaci. Predpoklad o shode rozptylu lze overit tak, Ze sestrojíme 100(1 —a)% interval 2 spolehlivosti pro íj. Pokud tento interval bude obsahovat 1, lze s pravděpodobností 1 — a povaZovat rozptyly za shodne. 132 12.15. Veta Necht' XY11 XYnn je nahodní vyber z rozlození N((p2) • (Ol 3)), pricemz n > 2. Oznacíme p = p1 - p2 a zavedeme rozdíloví nahodny víber Z = X1 - Y1, . . . , Zn = Xn - Yn. Necht' M 1 n S2 1 i=1 n1 i=1 Pak statistika T = ~ t(n — 1), tudíž meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro u, jsou M ± ^í1_a/2(n — 1). 12.16. Př íklad Bylo vybrano sest novích automobilu teze znacky a po urcite dobe bylo zjisteno, o kolik mm se sjely jejich prave a leve prední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika se sjela o: 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika se sjela o: 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Za predpokladu, ze namierene dvojice hodnot predstavují císelne realizace nahodneho vyberu rozsahu 6 z dvourozmerneho normalního rozlození N2 p1 , a12 a12 p2 , a12 a22 sestrojte 95% empirickyí interval spolehlivosti pro rozdííl st redníích hodnot p1 - p2. ReSen í : z1 = 0,3, z2 = -0,1, z3 = 0,2, z4 = -0,2, z5 = 0,1, z6 = 0,2, m = 0,0833, s = 0,1941, a = 0,05. d = m--i=ti-a/2{n n 1) = 0,0833 0,1941 6 0,0833 t0,975(5) = 0,1941 6 2,5706 = -0,12 , . . . ; s , 0,1941 h = m + —=ti_a/2(n - l) = 0,0833 + "'""^0,975(5) n 0,1941 0,0833 + ' ^ 2,5706 = 0,29. I -0,12 mm < p1 - p2 < 0,29 mm s pravdepodobností aspon 0,95. 133 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Shrnutí kapitoly Na zaklade znalosti náhodneho výberu aproximujeme neznamou hodnotu parametru Či parametricke funkce bodovám odhadem parametricke funkce. Zpravidla pozadujeme, abý tento odhad mel jiste zadoucí vlastnosti. K tem pat ráí nestrannost, resp. asýmptotickaá nestrannost ci konzistence, pokud pracujeme s posloupností bodových odhadu teze parametricke funkce. Bodove odhadý vsak mají jednu znacnou neváhodu - nevíme, s jakou pravde-podobnostáí odhadujáí hodnotu neznáamáe parametrickáe funkce. Tuto neváýhodu odtranňujáí intervalováe odhadý parametrickáe funkce: jsou to intervalý, jejichňz meze jsou statistiký a kteráe s pňredem danou dostateňcnňe velkou pravdňepodob-ností pokrývají hodnotu nezname parametricke funkce. Pokud do vzorcu pro meze 100(1 - a)% intervalu spolehlivosti pro danou parametrickou funkci dosadáíme ňcáíselnáe realizace náahodnáeho výábňeru, dostaneme 100(1 - a)% empi-rickáý interval spolehlivosti. V praxi se nejňcastňeji pouňzáívajáí intervalý spolehlivosti pro parametrý normaál-ní ch rozlození. Proto jsme si uvedlý predhled vzorcu pro meze 100(1 - a)% empirickách intervalu spolehlivosti pro parametrý jednoho a dvou normalních rozloňzená. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Definujte nestranný odhad a asýmptotický nestranná odhad paramet-rickáe funkce. V ňcem spoňcáváa váýznam nestrannosti a asýmptotickáe nestrannosti? 2 (S) Pnrustký cen akciá na burze v New Yorku u 10 náhodne výbranách spoleňcnostá dosáahlý tňechto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Najdňete nestranne bodove odhadý stredná hodnotý a rozptýlu pňriistku cen akciá. 3 Necht' Xi,..., Xn je nahodná výber z rozlozená Rs(0, b), kde b > 0 je neznámý parametr. Jsou definovány statistiky 7\ = Xx + |X2 + |X3 + |X4 a T2 = \{X\ + X2 + X3 + X4). Ukažte, že 7\, T2 jsou nestranné odhadý parametru b a urňcete, kterýá odhad je lepňsá. 4 Definujte 100(1 - a)% interval spolehlivosti pro parametrickou funkci, a to jak oboustrannýá, tak jednostrannáe intervalý spolehlivosti. 5 Jaký vliv na sárku intervalu spolehlivosti nm zvásená rizika pri kon-stantnáím rozsahu váýbňeru? 6 Jaký vliv na sírku intervalu spolehlivosti má zvetsení rozsahu výberu p ri konstantnáím riziku? 7 Hloubka more se merí prástrojem, jehoz sýstematická chýba je nulova a naáhodnáe chýbý m e renáí majáí normáalnáí rozlo zenáí se sm erodatnou odchýlkou a = 1 m. Kolik merení je nutno provest, abý se hloubka more stanovila s chýbou nejváse ±0,25 m pri riziku 0,05? 8 U jisteho mericího zarízení ma bát posouzena jeho presnost. Proto na nňem býla nezáavisle zmňeňrena dáelka táehoňz výárobku. Výásledký mňeňrenáv cm 134 býlý: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22. Predpokladame, ze týto výsledký jsoů císelne realizace nýhodneho výberů rozsahů 5 z rozlození N(//, a2). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozptýl a2. 9 Sponzor televizních poradů pro deti chce vedet, kolik casů strýví deti sledovaním televize, protoze na techto informacích zývisí týpý a poctý programů. Nahodným výberem 100 detí se zjistilo, ze sledovaní televize venůjí týdne průmerne 27,5 h se smerodatnoů odchýlkoů 8 h. Za predpokladů, ze pocet hodin stravený za týden sledovaním televize se rídí normalním rozlozením, sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro strední hodnotů poctů hodin strývených týdne sledovaním televize. 10 (S) Na jiste velke americke ůniverzite býlo v r. 1969 nahodne výbrano 5 profesorů a nezývisle na tom 5 profesorek a býl zjisten jejich rocní príjem (v tisících dolarů). Muzi: 16, 19, 12, 11, 22, zený: 9, 12, 8, 10, 16. Predpokladíme, ze ůvedene ýdaje tvorí realizace dvoů nezavislých nahodných výberů z rozlození N(/x^a2) a N(ii2,a2). a) Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptýlů príjmů můzů a zen. b) Pokůd bůde ůvedeníý interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot príjmů můzů a zen. V opacnem prípade sestrojte aspon priblizný interval spolehlivosti. 11 (S) Pet můzů se rozhodlo, ze bůdoů hůbnoůt. Zjistili svoů hmotnost pred zahajením dietý a po ůkoncení dietý. Číslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Za predpokladů, ze ůvedene ůdaje jsoů císelne realizace nahodneho výberů rozsahů 5 z dvoůrozmerneho normýlního rozlození N2 \\^2j \a12 a2 J J sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro stredních hodnotů íůbýtků hmotnosti. I 135 12. Bodove a intervalová odhady parametrů a parametrických funkcí 13 Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozloZení I 13. Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Cíl kapitola Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ formulovat nulovou a alternativní hypotezu stanovit testovíe kritíerium a kritickíy obor pro test nulovíe hypotíezy proti oboustranne alternative i proti jednostrannym alternativam posoudit síílu testu pomocíí grafu silofunkce ■ provadet testy hypotez o parametrech normalního rozlození tremi ruz-nymi zpusoby CCasova zatez Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 8 hodin studia. V tíeto kapitole se budeme zabyívat problíemem, jak pomocí statistiky vzniklíe transformací daneho níhodneho víberu rozhodnout, zda nase domnenka o parametru rozlození, z nehoz nahodní vyber pochízí, je spravna. Napríklad zname prumernou hmotnost automaticky baleních potravinarskích vírobku urciteho druhu zjistenou pred a po serízení balícího automatu. S pravdepodobností 95% mame prokazat, ze strední hodnota hmotnosti balícku se serízením automatu zmenila. Statisticke postupy, ktere resí podobne proble-my, se nazíyvajíí testy hypotíez. Nejprve objasníme pojmy nulova hypoteza a alternativní hypoteza a vysvetlíme, kdy dojde k chybe 1. druhu ci 2. druhu. 13.1. Motivace Testovaní hypotez patrí k nejdulezitejsím metodam matematicke statistiky. Na zaklade znalosti níhodneho vyberu umozní s predem danou pravdepodobností overovat domnenky o parametrech rozlození, z nehoz dany nahodny víber pochazí. 13.2. Definice Necht' Xi,... , Xn je níhodny vyber z rozlození L(v), kde parametr ů G S nezname. Necht' h(v) je parametricka funkce a c daní realní konstanta. Tvrzení H0 : h(v) = c se nazyví nulová hypotéza, tvrzení Hi : h(v) = c se nazyva oboustranná alternativní hypotéza, tvrzení Hi : h(v) < c se nazyví lévostranna altérnativná hypotéza, tvrzení Hi : h(v) > c se nazyví pra-vostranna alternativní hypotéza. Testovaním H0 proti Hi rozumíme rozhodovací postup zalozeny na nahodnem víberu Xi,...,Xn, s jehoz pomocí zamítneme ci nezamítneme platnost nulove hypotezy. I 13.3. Poznamka Volba alternativníí hypotíezy neníí libovolnía, ale vyplyívía z konkríetníí situace. Napr. pri soucasne technologii je pravdepodobnost vyrobení zmetku v = 0,01. a) Po rekonstrukci vírobní linky byla obnovena vyroba, pricemz technologie zustala stejna. Chceme overit, zda se zmenila kvalita vyrobku. Testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v = 0,01. 138 b) Býlý provedený změný v technologii výrobý s cílem zvýsit kvalitu. V tomto prípadě tedý testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v < 0,01. c) Býlý provedený zmňený v technologii výýrobý s cýlem snýňzit nýakladý. V těto situaci testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v > 0,01. 13.4. Definice Pri testovaní H0 proti Hi se můzeme dopustit jedně ze dvou chýb: chýba 1. druhu spoňcývýa v tom, ňze H0 zamýtneme, aňc ve skuteňcnosti platý a chýba 2. druhu spoňcývaý v tom, ňze H0 nezamýtneme, aňc ve skuteňcnosti neplatý. Situaci pňrehlednňe znýazornňuje tabulka: skutečnost rozhodnutí Ho nezamítáme Ho zamítáme H0 platí správné rozhodnutí chyba 1. druhu H0 neplatí chyba 2. druhu správné rozhodnutí Pravdňepodobnost chýbý 1. druhu se znaňcýa a nazýývýa se hladina výýznamnosti (větsinou býva a = 0,05, měně casto 0,1 ci 0,01). Pravděpodobnost chýbý 2. druhu se znací //. Císlo 1 — // se nazýva síla testu a výjadruje pravděpodobnost, s jakou test výpový, ňze H0 neplatý. Pňri danýem rozsahu výýbňeru vede snizovýní a ke růstu /// a obrýceně. Nýní si ukýzeme tri způsobý, jimiz lze prověst test nulově hýpotězý proti alternativní hýpotěze. Klasický způsob spocívý v nalezení kritickěho oboru. Testovaýný pomocý intervalu spolehlivosti navazuje na poznatký zýskanýe ve 12. kapitole. Moderní způsob zalozenýý na p-hodnotě je vhodný predevsírn tehdý, mame-li k dispozici statistický software. Vsechný tri způsobý pouzijeme pri ňreňsený konkrýetnho pňrýkladu. 13.5. Poznámká Testovýaný H0 proti Hi na hladinňe výýznamnosti a je moňzno provaýdňet tňremi různými způsobý: a) pomocý kritickýeho oboru b) pomocí intervalů spolehlivosti c) pomocý p-hodnotý. ad a) Najdeme statistiku T0 = T0(Xi,... ,Xn), kterou nazveme testovým kriteriem. Mnozina hodnot, jichz můze testově kriterium nabýt, se rozpadý na dva neslucitelně oborý: obor nezamítnutí nulově hýpotězý (znací se V) a obor zamítnutí nulově hýpotězý (znací se W a nazýva se těz kriticky obor). Týto dva oborý jsou oddělený krýtickými hodnotami (pro danou hladinu výýznamnosti a je lze najýt ve statistickýých tabulkýach). Jestlize císelna realizace t0 testověho krýtěria T0 padne do kritickěho oboru W, pak nulovou hýpotýezu zamýtýame na hladinňe výýznamnosti a a znamenýa to skutecně vývrýcení testovaně hýpotězý. Jestlize t0 padne do oboru ne-zamýtnutý V, pak jde o pouhýe mlňcený, kterýe platnost nulovýe hýpotýezý jenom pňripouňstý. I 139 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Pravdepodobnosti chýb 1. a 2. drůhů nýní zapíseme takto: P(t0 G W|H0 platí) = a, P(t0 G V|H1 platí) = Stanovení kritickeho oborů pro danoů hladinů významnosti a: Oznacme ŕmin (resp. tmax) nejmensí (resp. nejvetsí) hodnotů testoveho kriteria. Kritický obor v prípade oboůstranne alternativý ma tvar W = (ímin,K«/2(T)) U (K1_«/2(T),rmax); kde Ka/2(T) a K1-a/2(T) jsoů kvantilý rozlození, jímz se rídí testove kriteri-ům T0, je-li testový hýpoteza pravdivý. Kritický obor v prípade levostranne alternativý mía tvar: W =(ímin,K«/2(T)), v prípade pravdostranne alternativý ma kritický obor tvar W = (K1_a/2(T ),tmax). ad b) Sestrojíme 100(1 — a)% empirický interval spolehlivosti pro parame-trickoů fůnkci h(v). Pokrýje-li tento interval hodnotů c, pak H0 nezamítýme na hladine významnosti a, v opacnem prípade H0 zamítýme na hladine výíznamnosti a. Pro test H0 proti oboůstranne alternative sestrojíme oboůstranný interval spolehlivosti. Pro test H0 proti levostranne alternative sestrojíme pravostranný interval spolehlivosti. Pro test H0 proti pravostranne alternative sestrojíme levostrannýí interval spolehlivosti. ad c) p-hodnota ůdava nejnizsí moznoů hladinů významnosti pro zamítnůtí nůlove hýpotezý. Je-li p-hodnota < a, pak H0 zamítýme na hladine významnosti a, je-li p-hodnota > a, pak H0 nezamítame na hladine významnosti a. Způsob výpoctů p-hodnotý: Pro oboůstrannoů alternativů: p = 2min{P(T0 < t0),P(T0 > t0)}. Pro levostrannoů alternativů: p = P(T0 < t0), pro pravostrannoů alternativů: p = P (T) > Í0). p-hodnota výjadrůje pravdepodobnost, s jakoů císelne realizace x 1,..., xn nahodneho výberů X1,... ,Xn podporůjí H0, je-li pravdiva. Statisticke pro-gramove sýstemý poskýtůjí ve svých výstůpech p-hodnotů. Její výpocet vý-zadůje znalost distribůcní fůnkce rozlození, kterým se rídí testove kriteriům T0, je-li H0 pravdivý. Vzhledem k tomů, ze v bezných statistických tabůlkach jsoů ůvedený poůze hodnotý distribů cníí fůnkce standardizovaníeho normíalníího rozlo zeníí, bez po-ůzití specialního software jsme schopni výpoďtat p-hodnotů poůze pro test hýpotezý o strední hodnote normalního rozlození pri znamem rozptýlů. 140 Ilustrace významu p-hodnoty pro test nulové hypotéza proti oboustranné, levostranné a pravostranné alternativé: -p-hodnota - p-hodnota p-hodnota t -to t to t to t to (Zvonovita krivka réprézéntujé hustotu rozloZéní, ktérým sé rídí téstové kritérium, jé-li nulova hypotéza pravdiva.) 13.6. Poznámka Provadímé-li tést nulové hypotézy proti altérnativní hypotézé pomocí kritického oboru, doporuCujé sé dodrzét naslédující postup: 1. Stanovímé nulovou hypotézu a altérnativní hypotézu. Pritom jé vhodné zvolit jako altérnativní hypotézu tén prédpoklad, jéhoz prijétí znaména zavazné opatréní a mélo by k nému dojít jén s malym rizikém omylu. 2. Zvolímé hladinu vyznamnosti a. Zpravidla volímé a = 0,05, méné Casto 0,1 nébo 0,01. 3. Najdémé vhodné téstové kritérium a na zakladé zjisténych dat vypoCí-tíamé jého réalizaci. 4. Stanovímé kritický obor. 5. Jéstlizé réalizacé téstového kritéria padla do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítamé na hladiné víznamnosti a. V opacném prípadé nulovou hypotézu nézamítamé na hladiné vyznamnosti a. 13.7. Příklad 10 x nézavislé na sobé byla zméréna jista konstanta p. Vyslédky méréní byly: 2; 1,8; 2,1; 2,4; 1,9; 2,1; 2; 1,8; 2,3; 2,2. Tyto víslédky povazujémé za císélné réalizacé nahodného vybéru X\,..., Xw z rozlozéní N (p, 0,04). Néjakí téorié tvrdí, zé p = 1,95. Proti nulové hypotézé H0 : p = 1,95 postavímé oboustrannou altérnativu H1 : p = 1,95. Na hladiné víznamnosti 0,05 téstujté H0 proti H1. Řešení: m = 10 (2 + • • • + 2,2) = 2,06, a2 = 0,04, n =10, a = 0,05, c = 1,95 a) Tést provédémé pomocí kritickíého oboru. Pro ulohy o strédní hodnoté normalního rozlozéní pri znamém rozptylu používáme pivotovou statistiku U = ~ N(0,1) (viz věta 11.4 (a)). Testové kritérium tédy budé T0 M-c a V"' a budé mít rozlozéní N(0,1), pokud jé H0 pravdiva. Vypocítamé réalizaci téstového kritéria: t0 novímé kritickyí obor: W : 2,06-1,95 0,2 v4ô 1,74. Sta- ^min, Ka/2(T )) U (Ki_a/2(T),tmax) = (-^,«a/2) U («i_a/2, 0o) (-00, -Mi_a/2) U (Ul-a/2, 0o) = (-00, -«0,975) U («0,975, 0o) = (-00,-1,96) U (1,96, 00) I 141 0 0 0 1 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Protože 1,74 G W, Ho nezamítáme na hladině významnosti 0,05. b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti. Meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro strední hodnotu p pri znamem rozptylu a2 jsou (viz věta 12.9 (a)): (d, h)= (m- -^Ui_a/2,m + -^tti_a/2) • V našem případě d = 2,06 - ^=«0,975 = 2,06 - ^§1,96 = 1,936, h = 2,184. Protoze 1,95 G (1,936; 2,184), H0 nezamítame na hladine významnosti 0,05. c) Test provedeme pomocí p-hodnoty. Protoze proti nulove hypoteze stavíme oboustrannou alternativu, pouzijeme vzorec p = 2min{P (To < to), P (To > to)} = 2min{P (To < 1,74), P (To > 1,74)} = = 2 min{$(1,74), 1 — $(1,74)} = 2 min{0,95907,1 — 0,95907} = 0,08186 Jelikoz 0,08186 > 0,05, Ho nezamítame na hladine víznamnosti 0,05. Nadíle se budeme zabívat tastovaním hypotez o parametrech normalního rozlození. Ukazeme si ruzne typy testu a naučíme se je provadet pomocí kritickíeho oboru. I 13.8. Definice a) b) c) d) e) a2 zname. Necht' p = c se nazyva Necht' X1,...,Xn je nahodny víber N (p, a2), kde n > 2 a c je konstanta. Test Ho : p = c proti H1 : z-test. Necht' X1,..., Xn je nahodní vyber N (p, a2), kde a2 nezname. Necht n > 2 a c je konstanta. Test Ho : p = c proti H1 : p = c se nazyva jednovýberovy t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození N(p1, a2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní víber rozlození N(p2,a2), pricemz n1 > 2 a n2 > 2 a a2 nezname. Necht' c je konstanta. Test Ho : p1 —p2 = c proti H1 : p1 — p2 = c se nazyva dvouvyberovy t-test. ( X ) je nahodny víber z rozlození (í) --{Z) N2 p1 , a12 a12 p2 , a12 a22 pricemz n > 2 a zídní parametr nezníme. Necht' c je konstanta. Test Ho : p1 — p2 = c proti H1 : p1 — p2 = c se nazyva párový t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození N(p1, a2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní vyber rozlození N(p2,a|), pricemz 22 íii > 2 a ií2 > 2. Test H0 : ^| = 1 proti P\ : ^| 7^ 1 se nazývá F-test. Necht' X1,... ,Xn je nahodny vyber N (p, a2), kde p nezname. Necht' n > 2 a c je konstanta. Test Ho : a2 = c proti H1 : a2 = c se nazyví test o rozptylu. 142 13.9. Véta Navody na provedení vyse popsaních sesti typu testu pomocí kritickeho oboru. a) Provedení z-testu Hypotezu H0 : // = c proti H1 : u, = c (resp. H1 : f < c resp. H1 : f > c) zamítame na hladine víznamnosti a, jestlize < Ui_a resp. ^ > tíi-a). > U1-a/2 (resp. b) Provedení jednovíberoveho t-testu Hypotezu H0 : u, = c proti H1 : u, = c (resp. H1 : f < c resp. H1 : f > c) zamítíme na hladine víznamnosti a, jestlize (resp. ^Vr < t\-a{n - 1) resp. > íi_a(n 1)). > Í1-a/2 (n - 1) c) Provedení dvouvíberoveho t-testu Hypotezu H0 : ^1 -^2 = c proti H1 : ^1 -^2 = c (resp. H1 : ^1 -^2 < c resp. H1 : ^1 - ^2 > c) zamítame na hladine víznamnosti a, jestlize m1 - m2 - c j_ ,1 n > t1-a/2 (n1 + n2 - 2) (resp. m\—TO2— c V n1 n2 f < íi-a(ni + n2-2) resp. roi- TO2-V n1 n2 r > íl-a(rai+n2-2)). Od níhodneho vyberu z dvourozmerneho normílní- d) Provedení píroveho t-testu ho rozlození prejdeme k rozdílovemu níhodnemu vyberu Z1 = X1 -Y1,... , Zn = Xn - Yn. Oznacíme // = ^1 - //2. Pak jde o test hypotezy H0 : // = c proti H1 : // = c a uloha je prevedna na jednovíberovy t-test. e) Provedení F-testu 2 2 2 Hypotézu H0 : ^ = 1 proti Zři : ^ 1 (resp. Hi : < 1 resp. °2 °2 °2 2 iíi : ^ > 1) zamítáme na hladině významnosti a, jestliže s \ < Fa/2(ni + n2-2) nebo -| > Fi_a/2{rii + n2 - 2) (resp. ^ < Fa(ni + n2 - 2) resp. % > Fi-«(^i + n2 - 2)). f) Provedení testu o rozptylu Hypotezu H0 : a2 = c proti H1 : a2 = c (resp. H1 : a2 < c resp. H1 : a2 > c) zamítíme na hladine víznamnosti a, jestlize (n - 1)s2 < Xa/2(n - 1) nebo (n - 1)s2 > Xl-a/2 (n - 1) (resp. {n 1}'2 < xl(n - 1) resp. ÍILJlf! > x\_a(n - 1)). I c c 143 13. Úvod do testovaní hypotez a testy o parametrech normalního rozloZení I 13.10. Pr íklad Je-li u automatického obráběcího stroje rozptyl délky obráběných součístek větší nez 380 pm2, je treba stroj znova nastavit. Náhodné jsme vybrali 15 součástek a zmerili jejich delku. Výberový rozptyl zjistenych 15-ti delek činil 680 pm2. Za predpokladu, ze delky se rídí normálním rozložením testujte na hladin e vyýznamnosti 0,05 hypotýezu, ze stroj je t reba znova nastavit. Resen í: Xi,... ,X15 je nahodný vyber z rozlození N (p, a2), pricemz s2 = 680 pm2. Testujeme H0 : a2 = 380 pm2 proti pravostranne alternative, která má tvar H1 : a2 > 380 pm2, na hladine významnosti 0,05. Podle bodu (f) vety 13.9 dostavame: realizace testoveho kriteria (n - 1)s2 14 • 680 380 25,05. Pritom x2-«(n - 1) = x0)95(14) = 23,685. Protoze 25,05 > 23,685, H0 zamítame na hladine významnosti 0,05. Zjistena data nas tedy opravnují k tomu, abycho stroj znovu sendili (s rizikem 5%, ze budeme provadet zbytecnou praci). Shrnutí kapitoly Tvrzený o parametrech rozlození, z nehoz pochazí daný nýhodný výber, nazývame nulovou hypot ezou. Proti nulove hypoteze stavíme alternativn í hypot e zu, ktera ríký, co platí, kdyz neplatí nulový hypoteza. Pri testovaný nulove hypotezy proti alternativní hypoteze se muzeme dopustit bud' chyby 1. druhu (nulovou hypotezu zamítneme, ac ve skutecnosti platí) nebo chyby 2. druhu (nulovou hypotezu nezamítneme, ac ve skutecnosti neplatí'). Prav-depodobnost chyby 1. druhu se znací a a nazyva se hladina významnosti testu. Klasicky prístup k testovaní hypotez spocíva v nalezení vhodneho testove ho krit e ria. Mnozina hodnot, jichz muze testove kriterium nabyt, se rozpada na obor nezam ítnut í nulov e hypot ezy a na kriticky obor. Tyto dva neslucitelne obory jsou oddeleny kritickymi hodnotami. Pokud se testove kritíerium realizuje v kritickíem oboru, nulovou hypotíezu zamítíame na hladine vyznamnosti a a prijímýme alternativní hypotezu. V opacnem prípade nulovou hypotezu nezamítame na hladine významnosti a. Tím jsme ovsem neprokazali její pravdivost, muzeme pouze ríci, ze nase data nejsou natolik prukazna, abychom mohli nulovou hypotezu zamítnout. Test nulove hypotezy proti alternativní hypoteze lze tez provest pomocí intervalu spolehlivosti a s vyuzitím metod popsaných ve 12. kapitole. Mame-li k dispozici statisticky software, muzeme vypocítat p-hodnotu jako nejmensí moznou hladinu významnosti pro zamítnutí nulove hypotezy. V praxi se nejcasteji setkavame s testy hypot ez o parametrech nor-máln ího rozlozen í. K temto testum patrí napríklad z-test, jednovyberový, parovy ci dvouvyberový t-test apod. c 144 Kontrolní otazky a úkoly Vysvětlete pojem „nulová hypotéza" a „alternativní hypotéza". 2 V cem spočíva testovaní nulove hypotezy proti alternativní hypoteze? 3 Kdy se dopustíme chyby 1. druhu (2. druhu)? 4 Co rozumíme testovým kriteriem a kritickým oborem? 6 Jake znáte testy o parametrech normalního rozlození? 7 Podle údajů na obalu čokolady by její cista hmotnost mela byt 125 g. Vyrobce dostal nekolik stízností od kupujících, ve kterych tvrdili, ze hmotnost cokolad je nizsí nez deklarovanych 125 g. Z tohoto duvodu oddelení kontroly nahodne vybralo 50 cokolíd a zjistilo, ze jejich pru-merna hmotnost je 122 g a smerodatna odchylka 8,6 g. Za predpokladu, ze hmotnost cokolad se rídí normílním rozlozením, muzeme na hladine vyznamnosti 0,01 povazovat stíznosti kupujících za opravnene? 8 (S) V restauraci „U bíleho konícka" merili ve 20 prípadech cas obsluhy zakazníka. Vysledky v minutach: 6, 8, 11, 4, 7, 6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5. V restauraci „Zlaty lev" bylo dane pozorovíní uskutecneno v 15 prípadech s temito vysledky: 9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8, 7. Na hladine víznamnosti 0,05 testujte hypotezu, ze strední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích stejne. 9 (S) Na 10 automobilech stejneho typu se testovaly dva druhy benzínu lisící se oktanovym císlem. U kazdeho automobilu se pri prumerne rychlosti 90 km/h meril dojezd (tj. dríha, kterou ujede na dane mnozství benzínu) pri pouzití kazdeho z obou druhu benzínu. Vísledky: CcLLltcL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 benzín A 17,5 20,0 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 benzín B 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6 Za predpokladu, ze dojezd se rídí normalním rozlozením, testujte na hladine víznamnosti 0,05 hypotezu, ze rozdíl stredních hodnot dojezdu pri dvou druzích benzínu se nelisí. 10 Pevnost vlakna bavlnene príze lze pokladat za nahodnou velicinu s rozlozením N(/i,a2). Je-li a2 > 0,36kg2, vznikají potíze pri tkaní. Pri zkousce 11 nahodne vybranych vlaken byly zjisteny hodnoty jejich pevnosti a vypocten empirickí rozptyl s2 = 0,92 kg2. Na hladine víznamnosti 0,05 je treba zjistit, zda je príze vyhovující. 11 Normalne rozlozena nahodne veliciny predstavují vísledek merení teze konstanty dvema ruznymi metodami a jejich nezname smerodatne odchylky ai, a2 charakterizují nespolehlivost techto metod zpusobenou nahodnymi chybami. Pri realizaci dvou nezavislích níhodních víberu rozsahu n1 = 25, n2 = 31 jsme získali empiricke smerodatne odchylky s1 = 0,523, s2 = 0,363. Je mozno na hladine víznamnosti 0,05 povazovat obe metody za stejne spolehlive? I 5 Popiste tri zpusoby testovaní hypotez. 145 13. Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Príloha A - Statistické tabulky Príloha A - Statisticke tabulky DistribuCn í funkce standardizován e ho normáln ího rozložen í u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 0,00 0,50000 0,50 0,69146 1,00 0,84134 1,50 0,93319 0,01 0,50399 0,51 0,69497 1,01 0,84375 1,51 0,93448 0,02 0,50798 0,52 0,69847 1,02 0,84614 1,52 0,93574 0,03 0,51197 0,53 0,70194 1,03 0,84850 1,53 0,93699 0,04 0,51595 0,54 0,70540 1,04 0,85083 1,54 0,93822 0,05 0,51994 0,55 0,70884 1,05 0,85314 1,55 0,93943 0,06 0,52392 0,56 0,71226 1,06 0,85543 1,56 0,94062 0,07 0,52790 0,57 0,71566 1,07 0,85769 1,57 0,94179 0,08 0,53188 0,58 0,71904 1,08 0,85993 1,58 0,94295 0,09 0,53586 0,59 0,72240 1,09 0,86214 1,59 0,94408 0,10 0,53983 0,60 0,72575 1,10 0,86433 1,60 0,94520 0,11 0,54380 0,61 0,72907 1,11 0,86650 1,61 0,94630 0,12 0,54776 0,62 0,73237 1,12 0,86864 1,62 0,94738 0,13 0,55172 0,63 0,73565 1,13 0,87076 1,63 0,94845 0,14 0,55567 0,64 0,73891 1,14 0,87286 1,64 0,94950 0,15 0,55962 0,65 0,74215 1,15 0,87493 1,65 0,95053 0,16 0,56356 0,66 0,74537 1,16 0,87698 1,66 0,95154 0,17 0,56749 0,67 0,74857 1,17 0,87900 1,67 0,95254 0,18 0,57142 0,68 0,75175 1,18 0,88100 1,68 0,95352 0,19 0,57535 0,69 0,75490 1,19 0,88298 1,69 0,95449 0,20 0,57926 0,70 0,75804 1,20 0,88493 1,70 0,95543 0,21 0,58317 0,71 0,76115 1,21 0,88686 1,71 0,95637 0,22 0,58706 0,72 0,76424 1,22 0,88877 1,72 0,95728 0,23 0,59095 0,73 0,76730 1,23 0,89065 1,73 0,95818 0,24 0,59483 0,74 0,77035 1,24 0,89251 1,74 0,95907 0,25 0,59871 0,75 0,77337 1,25 0,89435 1,75 0,95994 0,26 0,60257 0,76 0,77637 1,26 0,89617 1,76 0,96080 0,27 0,60642 0,77 0,77935 1,27 0,89796 1,77 0,96164 0,28 0,61026 0,78 0,78230 1,28 0,89973 1,78 0,96246 0,29 0,61409 0,79 0,78524 1,29 0,90147 1,79 0,96327 0,30 0,61791 0,80 0,78814 1,30 0,90320 1,80 0,96407 0,31 0,62172 0,81 0,79103 1,31 0,90490 1,81 0,96485 0,32 0,62552 0,82 0,79389 1,32 0,90658 1,82 0,96562 0,33 0,62930 0,83 0,79673 1,33 0,90824 1,83 0,96638 0,34 0,63307 0,84 0,79955 1,34 0,90988 1,84 0,96712 0,35 0,63683 0,85 0,80234 1,35 0,91149 1,85 0,96784 0,36 0,64058 0,86 0,80511 1,36 0,91309 1,86 0,96856 0,37 0,64431 0,87 0,80785 1,37 0,91466 1,87 0,96926 0,38 0,64803 0,88 0,81057 1,38 0,91621 1,88 0,96995 0,39 0,65173 0,89 0,81327 1,39 0,91774 1,89 0,97062 0,40 0,65542 0,90 0,81594 1,40 0,91924 1,90 0,97128 0,41 0,65910 0,91 0,81859 1,41 0,92073 1,91 0,97193 0,42 0,66276 0,92 0,82121 1,42 0,92220 1,92 0,97257 0,43 0,66640 0,93 0,82381 1,43 0,92364 1,93 0,97320 0,44 0,67003 0,94 0,82639 1,44 0,92507 1,94 0,97381 0,45 0,67364 0,95 0,82894 1,45 0,92647 1,95 0,97441 0,46 0,67724 0,96 0,83147 1,46 0,92785 1,96 0,97500 0,47 0,68082 0,97 0,83398 1,47 0,92922 1,97 0,97558 0,48 0,68439 0,98 0,83646 1,48 0,93056 1,98 0,97615 0,49 0,68793 0,99 0,83891 1,49 0,93189 1,99 0,97670 $(—u) = 1 — $(«) 148 Distribučn í funkce standardizovaného normáln ího rozložen í u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 2,00 0,97725 2,50 0,99379 3,00 0,99865 3,50 0,99977 2,01 0,97778 2,51 0,99396 3,01 0,99869 3,51 0,99978 2,02 0,97831 2,52 0,99413 3,02 0,99874 3,52 0,99978 2,03 0,97882 2,53 0,99430 3,03 0,99878 3,53 0,99979 2,04 0,97932 2,54 0,99446 3,04 0,99882 3,54 0,99980 2,05 0,97982 2,55 0,99461 3,05 0,99886 3,55 0,99981 2,06 0,98030 2,56 0,99477 3,06 0,99889 3,56 0,99981 2,07 0,98077 2,57 0,99492 3,07 0,99893 3,57 0,99982 2,08 0,98124 2,58 0,99506 3,08 0,99897 3,58 0,99983 2,09 0,98169 2,59 0,99520 3,09 0,99900 3,59 0,99983 2,10 0,98214 2,60 0,99534 3,10 0,99903 3,60 0,99984 2,11 0,98257 2,61 0,99547 3,11 0,99906 3,61 0,99985 2,12 0,98300 2,62 0,99560 3,12 0,99910 3,62 0,99985 2,13 0,98341 2,63 0,99573 3,13 0,99913 3,63 0,99986 2,14 0,98382 2,64 0,99585 3,14 0,99916 3,64 0,99986 2,15 0,98422 2,65 0,99598 3,15 0,99918 3,65 0,99987 2,16 0,98461 2,66 0,99609 3,16 0,99921 3,66 0,99987 2,17 0,98500 2,67 0,99621 3,17 0,99924 3,67 0,99988 2,18 0,98537 2,68 0,99632 3,18 0,99926 3,68 0,99988 2,19 0,98574 2,69 0,99643 3,19 0,99929 3,69 0,99989 2,20 0,98610 2,70 0,99653 3,20 0,99931 3,70 0,99989 2,21 0,98645 2,71 0,99664 3,21 0,99934 3,71 0,99990 2,22 0,98679 2,72 0,99674 3,22 0,99936 3,72 0,99990 2,23 0,98713 2,73 0,99683 3,23 0,99938 3,73 0,99990 2,24 0,98745 2,74 0,99693 3,24 0,99940 3,74 0,99991 2,25 0,98778 2,75 0,99702 3,25 0,99942 3,75 0,99991 2,26 0,98809 2,76 0,99711 3,26 0,99944 3,76 0,99992 2,27 0,98840 2,77 0,99720 3,27 0,99946 3,77 0,99992 2,28 0,98870 2,78 0,99728 3,28 0,99948 3,78 0,99992 2,29 0,98899 2,79 0,99736 3,29 0,99950 3,79 0,99992 2,30 0,98928 2,80 0,99744 3,30 0,99952 3,80 0,99993 2,31 0,98956 2,81 0,99752 3,31 0,99953 3,81 0,99993 2,32 0,98983 2,82 0,99760 3,32 0,99955 3,82 0,99993 2,33 0,99010 2,83 0,99767 3,33 0,99957 3,83 0,99994 2,34 0,99036 2,84 0,99774 3,34 0,99958 3,84 0,99994 2,35 0,99061 2,85 0,99781 3,35 0,99960 3,85 0,99994 2,36 0,99086 2,86 0,99788 3,36 0,99961 3,86 0,99994 2,37 0,99111 2,87 0,99795 3,37 0,99962 3,87 0,99995 2,38 0,99134 2,88 0,99801 3,38 0,99964 3,88 0,99995 2,39 0,99158 2,89 0,99807 3,39 0,99965 3,89 0,99995 2,40 0,99180 2,90 0,99813 3,40 0,99966 3,90 0,99995 2,41 0,99202 2,91 0,99819 3,41 0,99968 3,91 0,99995 2,42 0,99224 2,92 0,99825 3,42 0,99969 3,92 0,99996 2,43 0,99245 2,93 0,99831 3,43 0,99970 3,93 0,99996 2,44 0,99266 2,94 0,99836 3,44 0,99971 3,94 0,99996 2,45 0,99286 2,95 0,99841 3,45 0,99972 3,95 0,99996 2,46 0,99305 2,96 0,99846 3,46 0,99973 3,96 0,99996 2,47 0,99324 2,97 0,99851 3,47 0,99974 3,97 0,99996 2,48 0,99343 2,98 0,99856 3,48 0,99975 3,98 0,99997 2,49 0,99361 2,99 0,99861 3,49 0,99976 3,99 0,99997 149 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily standardizovaného normálního rozložení a a a a 0,500 0,00000 0,850 1,03643 0,930 1,47579 0,965 1,81191 0,510 0,02507 0,860 1,08032 0,931 1,48328 0,966 1,82501 0,520 0,05015 0,870 1,12639 0,932 1,49085 0,967 1,83842 0,530 0,07527 0,880 1,17499 0,933 1,49851 0,968 1,85218 0,540 0,10043 0,890 1,22653 0,934 1,50626 0,969 1,86630 0,550 0,12566 0,900 1,28155 0,935 1,51410 0,970 1,88079 0,560 0,15097 0,901 1,28727 0,936 1,52204 0,971 1,89570 0,570 0,17637 0,902 1,29303 0,937 1,53007 0,972 1,91104 0,580 0,20189 0,903 1,29884 0,938 1,53820 0,973 1,92684 0,590 0,22754 0,904 1,30469 0,939 1,54643 0,974 1,94313 0,600 0,25335 0,905 1,31058 0,940 1,55477 0,975 1,95996 0,610 0,27932 0,906 1,31652 0,941 1,56322 0,976 1,97737 0,620 0,30548 0,907 1,32251 0,942 1,57179 0,977 1,99539 0,630 0,33185 0,908 1,32854 0,943 1,58047 0,978 2,01409 0,640 0,35846 0,909 1,33462 0,944 1,58927 0,979 2,03352 0,650 0,38532 0,910 1,34076 0,945 1,59819 0,980 2,05375 0,660 0,41246 0,911 1,34694 0,946 1,60725 0,981 2,07485 0,670 0,43991 0,912 1,35317 0,947 1,61644 0,982 2,09693 0,680 0,46770 0,913 1,35946 0,948 1,62576 0,983 2,12007 0,690 0,49585 0,914 1,36581 0,949 1,63523 0,984 2,14441 0,700 0,52440 0,915 1,37220 0,950 1,64485 0,985 2,17009 0,710 0,55338 0,916 1,37866 0,951 1,65463 0,986 2,19729 0,720 0,58284 0,917 1,38517 0,952 1,66456 0,987 2,22621 0,730 0,61281 0,918 1,39174 0,953 1,67466 0,988 2,25713 0,740 0,64335 0,919 1,39838 0,954 1,68494 0,989 2,29037 0,750 0,67449 0,920 1,40507 0,955 1,69540 0,990 2,32635 0,760 0,70630 0,921 1,41183 0,956 1,70604 0,991 2,36562 0,770 0,73885 0,922 1,41865 0,957 1,71689 0,992 2,40892 0,780 0,77219 0,923 1,42554 0,958 1,72793 0,993 2,45726 0,790 0,80642 0,924 1,43250 0,959 1,73920 0,994 2,51214 0,800 0,84162 0,925 1,43953 0,960 1,75069 0,995 2,57583 0,810 0,87790 0,926 1,44663 0,961 1,76241 0,996 2,65207 0,820 0,91537 0,927 1,45381 0,962 1,77438 0,997 2,74778 0,830 0,95417 0,928 1,46106 0,963 1,78661 0,998 2,87816 0,840 0,99446 0,929 1,46838 0,964 1,79912 0,999 3,09023 150 Kvantily Pearsonova rozložení n 0,001 0,005 a 0,010 0,025 0,050 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 2 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 3 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 4 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 5 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 6 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 7 0,598 0,989 1,239 1,690 2,167 8 0,857 1,344 1,646 2,180 2,733 9 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 10 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 11 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 12 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 13 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 14 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 15 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 16 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 17 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 18 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 19 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 20 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 22 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 23 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 24 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 25 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 26 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 27 9,803 11,808 12,879 14,573 16,151 28 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 29 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 30 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 35 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 40 17,916 20,707 22,164 24,433 26,509 45 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 50 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 55 28,173 31,735 33,570 36,398 38,958 60 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 65 35,362 39,383 41,444 44,603 47,450 70 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 75 42,757 47,206 49,475 52,942 56,054 80 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 85 50,320 55,170 57,634 61,389 64,749 90 54,155 59,196 61,754 65,647 69,126 95 58,022 63,250 65,898 69,925 73,520 100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 151 Příloha A - Statistické tabulky Kvántily Peársonová rozlození n 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828 2 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816 3 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 4 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467 5 11,070 12,833 15,086 16,750 20,515 6 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458 7 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322 8 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 9 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 10 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 11 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 12 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909 13 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528 14 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123 15 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697 16 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 17 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790 18 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 19 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820 20 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315 21 32,671 35,479 38,932 41,401 46,797 22 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 23 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 24 36,415 39,364 42,980 45,559 51,179 25 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620 26 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052 27 40,113 43,195 46,963 49,645 55,476 28 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892 29 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301 30 43,773 46,979 50,892 53,672 59,703 35 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 40 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402 45 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077 50 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 55 73,311 77,380 82,292 85,749 93,168 60 79,082 83,298 88,379 91,952 99,607 65 84,821 89,177 94,422 98,105 105,988 70 90,531 95,023 100,425 104,215 112,317 75 96,217 100,839 106,393 110,286 118,599 80 101,879 106,629 112,329 116,321 124,839 85 107,522 112,393 118,236 122,325 131,041 90 113,145 118,136 124,116 128,299 137,208 95 118,752 123,858 129,973 134,247 143,344 100 124,342 129,561 135,807 140,169 149,449 152 Kvantily Studentova rozlozen í n 0,900 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 318,3088 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 22,3271 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 10,2145 4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 7,1732 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5,8934 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,2076 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,7853 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 4,5008 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,2968 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,1437 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,0247 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,9296 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,8520 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,7874 15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,7328 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,6862 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,6458 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,6105 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,5794 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,5518 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,5272 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,5050 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,4850 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,4668 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,4502 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,4350 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,4210 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,4082 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,3962 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,3852 oo 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0000 153 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 161,4500 199,5000 215,7074 224,5832 230,1619 233,9860 236,7684 2 18,5128 19,0000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 19 4,3807 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 23 4,2793 3,4221 3,0280 2,7955 2,6400 2,5277 2,4422 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,6030 2,4904 2,4047 26 4,2252 3,3690 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 27 4,2100 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 28 4,1960 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 29 4,1830 3,3277 2,9340 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 80 3,9604 3,1108 2,7188 2,4859 2,3287 2,2142 2,1263 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,1750 2,0868 oo 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 154 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 238,8827 240,5433 241,8818 242,9835 243,9060 244,6899 245,3640 2 19,3710 19,3848 19,3959 19,4050 19,4125 19,4189 19,4244 3 8,8452 8,8123 8,7855 8,7633 8,7446 8,7287 8,7149 4 6,0410 5,9988 5,9644 5,9358 5,9117 5,8911 5,8733 5 4,8183 4,7725 4,7351 4,7040 4,6777 4,6552 4,6358 6 4,1468 4,0990 4,0600 4,0274 3,9999 3,9764 3,9559 7 3,7257 3,6767 3,6365 3,6030 3,5747 3,5503 3,5292 8 3,4381 3,3881 3,3472 3,3130 3,2839 3,2590 3,2374 9 3,2296 3,1789 3,1373 3,1025 3,0729 3,0475 3,0255 10 3,0717 3,0204 2,9782 2,9430 2,9130 2,8872 2,8647 11 2,9480 2,8962 2,8536 2,8179 2,7876 2,7614 2,7386 12 2,8486 2,7964 2,7534 2,7173 2,6866 2,6602 2,6371 13 2,7669 2,7144 2,6710 2,6347 2,6037 2,5769 2,5536 14 2,6987 2,6458 2,6022 2,5655 2,5342 2,5073 2,4837 15 2,6408 2,5876 2,5437 2,5068 2,4753 2,4481 2,4244 16 2,5911 2,5377 2,4935 2,4564 2,4247 2,3973 2,3733 17 2,5480 2,4943 2,4499 2,4126 2,3807 2,3531 2,3290 18 2,5102 2,4563 2,4117 2,3742 2,3421 2,3143 2,2900 19 2,4768 2,4227 2,3779 2,3402 2,3080 2,2800 2,2556 20 2,4471 2,3928 2,3479 2,3100 2,2776 2,2495 2,2250 21 2,4205 2,3660 2,3210 2,2829 2,2504 2,2222 2,1975 22 2,3965 2,3419 2,2967 2,2585 2,2258 2,1975 2,1727 23 2,3748 2,3201 2,2747 2,2364 2,2036 2,1752 2,1502 24 2,3551 2,3002 2,2547 2,2163 2,1834 2,1548 2,1298 25 2,3371 2,2821 2,2365 2,1979 2,1649 2,1362 2,1111 26 2,3205 2,2655 2,2197 2,1811 2,1479 2,1192 2,0939 27 2,3053 2,2501 2,2043 2,1655 2,1323 2,1035 2,0781 28 2,2913 2,2360 2,1900 2,1512 2,1179 2,0889 2,0635 29 2,2783 2,2229 2,1768 2,1379 2,1045 2,0755 2,0500 30 2,2662 2,2107 2,1646 2,1256 2,0921 2,0630 2,0374 40 2,1802 2,1240 2,0772 2,0376 2,0035 1,9738 1,9476 60 2,0970 2,0401 1,9926 1,9522 1,9174 1,8870 1,8602 80 2,0564 1,9991 1,9512 1,9105 1,8753 1,8445 1,8174 120 2,0164 1,9588 1,9105 1,8693 1,8337 1,8026 1,7750 oo 1,9384 1,8799 1,8307 1,7886 1,7522 1,7202 1,6918 155 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 245,9499 246,4639 246,9184 247,3232 247,6861 248,0131 249,2601 2 19,4291 19,4333 19,4370 19,4402 19,4431 19,4458 19,4558 3 8,7029 8,6923 8,6829 8,6745 8,6670 8,6602 8,6341 4 5,8578 5,8441 5,8320 5,8211 5,8114 5,8025 5,7687 5 4,6188 4,6038 4,5904 4,5785 4,5678 4,5581 4,5209 6 3,9381 3,9223 3,9083 3,8957 3,8844 3,8742 3,8348 7 3,5107 3,4944 3,4799 3,4669 3,4551 3,4445 3,4036 8 3,2184 3,2016 3,1867 3,1733 3,1613 3,1503 3,1081 9 3,0061 2,9890 2,9737 2,9600 2,9477 2,9365 2,8932 10 2,8450 2,8276 2,8120 2,7980 2,7854 2,7740 2,7298 11 2,7186 2,7009 2,6851 2,6709 2,6581 2,6464 2,6014 12 2,6169 2,5989 2,5828 2,5684 2,5554 2,5436 2,4977 13 2,5331 2,5149 2,4987 2,4841 2,4709 2,4589 2,4123 14 2,4630 2,4446 2,4282 2,4134 2,4000 2,3879 2,3407 15 2,4034 2,3849 2,3683 2,3533 2,3398 2,3275 2,2797 16 2,3522 2,3335 2,3167 2,3016 2,2880 2,2756 2,2272 17 2,3077 2,2888 2,2719 2,2567 2,2429 2,2304 2,1815 18 2,2686 2,2496 2,2325 2,2172 2,2033 2,1906 2,1413 19 2,2341 2,2149 2,1977 2,1823 2,1683 2,1555 2,1057 20 2,2033 2,1840 2,1667 2,1511 2,1370 2,1242 2,0739 21 2,1757 2,1563 2,1389 2,1232 2,1090 2,0960 2,0454 22 2,1508 2,1313 2,1138 2,0980 2,0837 2,0707 2,0196 23 2,1282 2,1086 2,0910 2,0751 2,0608 2,0476 1,9963 24 2,1077 2,0880 2,0703 2,0543 2,0399 2,0267 1,9750 25 2,0889 2,0691 2,0513 2,0353 2,0207 2,0075 1,9554 26 2,0716 2,0518 2,0339 2,0178 2,0032 1,9898 1,9375 27 2,0558 2,0358 2,0179 2,0017 1,9870 1,9736 1,9210 28 2,0411 2,0210 2,0030 1,9868 1,9720 1,9586 1,9057 29 2,0275 2,0073 1,9893 1,9730 1,9581 1,9446 1,8915 30 2,0148 1,9946 1,9765 1,9601 1,9452 1,9317 1,8782 40 1,9245 1,9037 1,8851 1,8682 1,8529 1,8389 1,7835 60 1,8364 1,8151 1,7959 1,7784 1,7625 1,7480 1,6902 80 1,7932 1,7716 1,7520 1,7342 1,7180 1,7032 1,6440 120 1,7505 1,7285 1,7085 1,6904 1,6739 1,6587 1,5980 oo 1,6640 1,6435 1,6228 1,6038 1,5865 1,5705 1,5061 156 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 250,0952 251,1432 252,1957 252,7237 253,2529 254,3100 2 19,4624 19,4707 19,4791 19,4832 19,4874 19,4960 3 8,6166 8,5944 8,5720 8,5607 8,5494 8,5264 4 5,7459 5,7170 5,6877 5,6730 5,6581 5,6281 5 4,4957 4,4638 4,4314 4,4150 4,3985 4,3650 6 3,8082 3,7743 3,7398 3,7223 3,7047 3,6689 7 3,3758 3,3404 3,3043 3,2860 3,2674 3,2298 8 3,0794 3,0428 3,0053 2,9862 2,9669 2,9276 9 2,8637 2,8259 2,7872 2,7675 2,7475 2,7067 10 2,6996 2,6609 2,6211 2,6008 2,5801 2,5379 11 2,5705 2,5309 2,4901 2,4692 2,4480 2,4045 12 2,4663 2,4259 2,3842 2,3628 2,3410 2,2962 13 2,3803 2,3392 2,2966 2,2747 2,2524 2,2064 14 2,3082 2,2664 2,2229 2,2006 2,1778 2,1307 15 2,2468 2,2043 2,1601 2,1373 2,1141 2,0658 16 2,1938 2,1507 2,1058 2,0826 2,0589 2,0096 17 2,1477 2,1040 2,0584 2,0348 2,0107 1,9604 18 2,1071 2,0629 2,0166 1,9927 1,9681 1,9168 19 2,0712 2,0264 1,9795 1,9552 1,9302 1,8780 20 2,0391 1,9938 1,9464 1,9217 1,8963 1,8432 21 2,0102 1,9645 1,9165 1,8915 1,8657 1,8117 22 1,9842 1,9380 1,8894 1,8641 1,8380 1,7831 23 1,9605 1,9139 1,8648 1,8392 1,8128 1,7570 24 1,9390 1,8920 1,8424 1,8164 1,7896 1,7330 25 1,9192 1,8718 1,8217 1,7955 1,7684 1,7110 26 1,9010 1,8533 1,8027 1,7762 1,7488 1,6906 27 1,8842 1,8361 1,7851 1,7584 1,7306 1,6717 28 1,8687 1,8203 1,7689 1,7418 1,7138 1,6541 29 1,8543 1,8055 1,7537 1,7264 1,6981 1,6376 30 1,8409 1,7918 1,7396 1,7121 1,6835 1,6223 40 1,7444 1,6928 1,6373 1,6077 1,5766 1,5089 60 1,6491 1,5943 1,5343 1,5019 1,4673 1,3893 80 1,6017 1,5449 1,4821 1,4477 1,4107 1,3247 120 1,5543 1,4952 1,4290 1,3922 1,3519 1,2539 oo 1,4591 1,3940 1,3180 1,2735 1,2214 1,0000 157 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 647,7890 799,5000 864,1630 899,5833 921,8479 937,1111 948,2169 2 38,5063 39,0000 39,1655 39,2484 39,2982 39,3315 39,3552 3 17,4434 16,0441 15,4392 15,1010 14,8848 14,7347 14,6244 4 12,2179 10,6491 9,9792 9,6045 9,3645 9,1973 9,0741 5 10,0070 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6 8,8131 7,2599 6,5988 6,2272 5,9876 5,8198 5,6955 7 8,0727 6,5415 5,8898 5,5226 5,2852 5,1186 4,9949 8 7,5709 6,0595 5,4160 5,0526 4,8173 4,6517 4,5286 9 7,2093 5,7147 5,0781 4,7181 4,4844 4,3197 4,1970 10 6,9367 5,4564 4,8256 4,4683 4,2361 4,0721 3,9498 11 6,7241 5,2559 4,6300 4,2751 4,0440 3,8807 3,7586 12 6,5538 5,0959 4,4742 4,1212 3,8911 3,7283 3,6065 13 6,4143 4,9653 4,3472 3,9959 3,7667 3,6043 3,4827 14 6,2979 4,8567 4,2417 3,8919 3,6634 3,5014 3,3799 15 6,1995 4,7650 4,1528 3,8043 3,5764 3,4147 3,2934 16 6,1151 4,6867 4,0768 3,7294 3,5021 3,3406 3,2194 17 6,0420 4,6189 4,0112 3,6648 3,4379 3,2767 3,1556 18 5,9781 4,5597 3,9539 3,6083 3,3820 3,2209 3,0999 19 5,9216 4,5075 3,9034 3,5587 3,3327 3,1718 3,0509 20 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,2891 3,1283 3,0074 21 5,8266 4,4199 3,8188 3,4754 3,2501 3,0895 2,9686 22 5,7863 4,3828 3,7829 3,4401 3,2151 3,0546 2,9338 23 5,7498 4,3492 3,7505 3,4083 3,1835 3,0232 2,9023 24 5,7166 4,3187 3,7211 3,3794 3,1548 2,9946 2,8738 25 5,6864 4,2909 3,6943 3,3530 3,1287 2,9685 2,8478 26 5,6586 4,2655 3,6697 3,3289 3,1048 2,9447 2,8240 27 5,6331 4,2421 3,6472 3,3067 3,0828 2,9228 2,8021 28 5,6096 4,2205 3,6264 3,2863 3,0626 2,9027 2,7820 29 5,5878 4,2006 3,6072 3,2674 3,0438 2,8840 2,7633 30 5,5675 4,1821 3,5894 3,2499 3,0265 2,8667 2,7460 40 5,4239 4,0510 3,4633 3,1261 2,9037 2,7444 2,6238 60 5,2856 3,9253 3,3425 3,0077 2,7863 2,6274 2,5068 80 5,2184 3,8643 3,2841 2,9504 2,7295 2,5708 2,4502 120 5,1523 3,8046 3,2269 2,8943 2,6740 2,5154 2,3948 oo 5,0239 3,6889 3,1161 2,7858 2,5665 2,4082 2,2875 158 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 956,6562 963,2846 968,6274 973,0252 976,7080 979,8368 982,5278 2 39,3730 39,3869 39,3980 39,4071 39,4146 39,4210 39,4265 3 14,5399 14,4731 14,4189 14,3742 14,3366 14,3045 14,2768 4 8,9796 8,9047 8,8439 8,7935 8,7512 8,7150 8,6838 5 6,7572 6,6811 6,6192 6,5678 6,5245 6,4876 6,4556 6 5,5996 5,5234 5,4613 5,4098 5,3662 5,3290 5,2968 7 4,8993 4,8232 4,7611 4,7095 4,6658 4,6285 4,5961 8 4,4333 4,3572 4,2951 4,2434 4,1997 4,1622 4,1297 9 4,1020 4,0260 3,9639 3,9121 3,8682 3,8306 3,7980 10 3,8549 3,7790 3,7168 3,6649 3,6209 3,5832 3,5504 11 3,6638 3,5879 3,5257 3,4737 3,4296 3,3917 3,3588 12 3,5118 3,4358 3,3736 3,3215 3,2773 3,2393 3,2062 13 3,3880 3,3120 3,2497 3,1975 3,1532 3,1150 3,0819 14 3,2853 3,2093 3,1469 3,0946 3,0502 3,0119 2,9786 15 3,1987 3,1227 3,0602 3,0078 2,9633 2,9249 2,8915 16 3,1248 3,0488 2,9862 2,9337 2,8890 2,8506 2,8170 17 3,0610 2,9849 2,9222 2,8696 2,8249 2,7863 2,7526 18 3,0053 2,9291 2,8664 2,8137 2,7689 2,7302 2,6964 19 2,9563 2,8801 2,8172 2,7645 2,7196 2,6808 2,6469 20 2,9128 2,8365 2,7737 2,7209 2,6758 2,6369 2,6030 21 2,8740 2,7977 2,7348 2,6819 2,6368 2,5978 2,5638 22 2,8392 2,7628 2,6998 2,6469 2,6017 2,5626 2,5285 23 2,8077 2,7313 2,6682 2,6152 2,5699 2,5308 2,4966 24 2,7791 2,7027 2,6396 2,5865 2,5411 2,5019 2,4677 25 2,7531 2,6766 2,6135 2,5603 2,5149 2,4756 2,4413 26 2,7293 2,6528 2,5896 2,5363 2,4908 2,4515 2,4171 27 2,7074 2,6309 2,5676 2,5143 2,4688 2,4293 2,3949 28 2,6872 2,6106 2,5473 2,4940 2,4484 2,4089 2,3743 29 2,6686 2,5919 2,5286 2,4752 2,4295 2,3900 2,3554 30 2,6513 2,5746 2,5112 2,4577 2,4120 2,3724 2,3378 40 2,5289 2,4519 2,3882 2,3343 2,2882 2,2481 2,2130 60 2,4117 2,3344 2,2702 2,2159 2,1692 2,1286 2,0929 80 2,3549 2,2775 2,2130 2,1584 2,1115 2,0706 2,0346 120 2,2994 2,2217 2,1570 2,1021 2,0548 2,0136 1,9773 oo 2,1918 2,1136 2,0483 1,9927 1,9447 1,9027 1,8656 159 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 984,8668 986,9187 988,7331 990,3490 991,7973 993,1028 998,0808 2 39,4313 39,4354 39,4391 39,4424 39,4453 39,4479 39,4579 3 14,2527 14,2315 14,2127 14,1960 14,1810 14,1674 14,1155 4 8,6565 8,6326 8,6113 8,5924 8,5753 8,5599 8,5010 5 6,4277 6,4032 6,3814 6,3619 6,3444 6,3286 6,2679 6 5,2687 5,2439 5,2218 5,2021 5,1844 5,1684 5,1069 7 4,5678 4,5428 4,5206 4,5008 4,4829 4,4667 4,4045 8 4,1012 4,0761 4,0538 4,0338 4,0158 3,9995 3,9367 9 3,7694 3,7441 3,7216 3,7015 3,6833 3,6669 3,6035 10 3,5217 3,4963 3,4737 3,4534 3,4351 3,4185 3,3546 11 3,3299 3,3044 3,2816 3,2612 3,2428 3,2261 3,1616 12 3,1772 3,1515 3,1286 3,1081 3,0896 3,0728 3,0077 13 3,0527 3,0269 3,0039 2,9832 2,9646 2,9477 2,8821 14 2,9493 2,9234 2,9003 2,8795 2,8607 2,8437 2,7777 15 2,8621 2,8360 2,8128 2,7919 2,7730 2,7559 2,6894 16 2,7875 2,7614 2,7380 2,7170 2,6980 2,6808 2,6138 17 2,7230 2,6968 2,6733 2,6522 2,6331 2,6158 2,5484 18 2,6667 2,6404 2,6168 2,5956 2,5764 2,5590 2,4912 19 2,6171 2,5907 2,5670 2,5457 2,5265 2,5089 2,4408 20 2,5731 2,5465 2,5228 2,5014 2,4821 2,4645 2,3959 21 2,5338 2,5071 2,4833 2,4618 2,4424 2,4247 2,3558 22 2,4984 2,4717 2,4478 2,4262 2,4067 2,3890 2,3198 23 2,4665 2,4396 2,4157 2,3940 2,3745 2,3567 2,2871 24 2,4374 2,4105 2,3865 2,3648 2,3452 2,3273 2,2574 25 2,4110 2,3840 2,3599 2,3381 2,3184 2,3005 2,2303 26 2,3867 2,3597 2,3355 2,3137 2,2939 2,2759 2,2054 27 2,3644 2,3373 2,3131 2,2912 2,2713 2,2533 2,1826 28 2,3438 2,3167 2,2924 2,2704 2,2505 2,2324 2,1615 29 2,3248 2,2976 2,2732 2,2512 2,2313 2,2131 2,1419 30 2,3072 2,2799 2,2554 2,2334 2,2134 2,1952 2,1237 40 2,1819 2,1542 2,1293 2,1068 2,0864 2,0677 1,9943 60 2,0613 2,0330 2,0076 1,9846 1,9636 1,9445 1,8687 80 2,0026 1,9741 1,9483 1,9250 1,9037 1,8843 1,8071 120 1,9450 1,9161 1,8900 1,8663 1,8447 1,8249 1,7462 oo 1,8326 1,8028 1,7759 1,7515 1,7291 1,7085 1,6259 160 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 1001,4140 1005,5980 1009,8000 1011,9080 1014,0200 1018,3000 2 39,4646 39,4729 39,4812 39,4854 39,4896 39,4980 3 14,0805 14,0365 13,9921 13,9697 13,9473 13,9020 4 8,4613 8,4111 8,3604 8,3349 8,3092 8,2573 5 6,2269 6,1750 6,1225 6,0960 6,0693 6,0153 6 5,0652 5,0125 4,9589 4,9318 4,9044 4,8491 7 4,3624 4,3089 4,2544 4,2268 4,1989 4,1423 8 3,8940 3,8398 3,7844 3,7563 3,7279 3,6702 9 3,5604 3,5055 3,4493 3,4207 3,3918 3,3329 10 3,3110 3,2554 3,1984 3,1694 3,1399 3,0798 11 3,1176 3,0613 3,0035 2,9740 2,9441 2,8828 12 2,9633 2,9063 2,8478 2,8178 2,7874 2,7249 13 2,8372 2,7797 2,7204 2,6900 2,6590 2,5955 14 2,7324 2,6742 2,6142 2,5833 2,5519 2,4872 15 2,6437 2,5850 2,5242 2,4930 2,4611 2,3953 16 2,5678 2,5085 2,4471 2,4154 2,3831 2,3163 17 2,5020 2,4422 2,3801 2,3481 2,3153 2,2474 18 2,4445 2,3842 2,3214 2,2890 2,2558 2,1869 19 2,3937 2,3329 2,2696 2,2368 2,2032 2,1333 20 2,3486 2,2873 2,2234 2,1902 2,1562 2,0853 21 2,3082 2,2465 2,1819 2,1485 2,1141 2,0422 22 2,2718 2,2097 2,1446 2,1108 2,0760 2,0032 23 2,2389 2,1763 2,1107 2,0766 2,0415 1,9677 24 2,2090 2,1460 2,0799 2,0454 2,0099 1,9353 25 2,1816 2,1183 2,0516 2,0169 1,9811 1,9055 26 2,1565 2,0928 2,0257 1,9907 1,9545 1,8781 27 2,1334 2,0693 2,0018 1,9665 1,9299 1,8527 28 2,1121 2,0477 1,9797 1,9441 1,9072 1,8291 29 2,0923 2,0276 1,9591 1,9232 1,8861 1,8072 30 2,0739 2,0089 1,9400 1,9039 1,8664 1,7867 40 1,9429 1,8752 1,8028 1,7644 1,7242 1,6371 60 1,8152 1,7440 1,6668 1,6252 1,5810 1,4821 80 1,7523 1,6790 1,5987 1,5549 1,5079 1,3997 120 1,6899 1,6141 1,5299 1,4834 1,4327 1,3104 oo 1,5660 1,4835 1,3883 1,3329 1,2684 1,0000 161 Príloha A - Statisticke tabulky 162 Příloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA G Príloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 System mí modulární stavbu. V multilicenci pro Masarykovu univerzitu jsou k dispozici moduly: Basic Statistics/Tables, Multiple Regression, ANOVA, Nonpara-metrics, Distribution Fitting, Advanced Linear / Nonlinear Models, Multivariate Explorartory Techniques, Industrial Statistics & Six Sigma. Velká mnoZství informací o systemu STATISTICA lze najít na webove strance spolecnosti StatSoft, která je jejím distributorem v Ceske republice (internetova adresa je www.statsoft.cz). Z teto strínky vede rovnez odkaz na elektronickou ucebnici statistiky. STATISTICA 6 ma nekolik typu oken: ■ spreadsheet (datove okno, ma príponu sta, jeho obsah vsak lze exportovat i v jiních formatech). Do datoveho okna lze načítat datove soubory nejruznejsích typu (napr. z tabulkovích procesoru, databazove soubory, ASCII soubory). ■ workbook (ma príponu stw). Do workbooku uklídají vístupy, tj. tabulky a grafy. Sklaídía se ze dvou oken, v levíem oknče je znaízornčena stromovía struktura vístupu, v pravem jsou samotne vístupy. V levem okne se lze pohybovat myčsí nebo kurzorem, mazat, pčresouvat, editovat apod. Vyístupy mohou sloučzit jako vstupy pro dalčsí analyízy a grafy. ■ report (ma príponu str, lze ho ulozit i ve formatu rtf, txt ci htm). Pokud počzadujeme, aby se vyístupy uklíadaly nejen do workbooku, ale i do reportu, postupujeme takto: Tools - Options - Output Manager - začskrtneme Also send to Report Window - OK. Report se podobne jako workbook sklada ze dvou oken. Do reportu muzeme vkladat vlastní text, vysvetlující komentare, pozníamky apod. Tabulky a grafy lze v reportu i workbooku díale upravovat. ■ okno grafu (prípona stg, lze ho ulozit i jako bmp, jpg, png a wmf). Získí se tak, čze ve workbooku klikneme pravyím tlačcítkem na graf a vybereme Clone Graph. ■ programovací okno (prípona svb). Slouzí pro zapis programu v jazyku STATISTICA Visual Basic. Mezi jednotlivyími typy oken se pčrepíníame pomocí poločzky Window v hlavním menu. 164 B.1. Bodové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat znýmky z matematiky, angličtiny a ýdaje o pohlaví dvaceti studentu (viz príklad 1.10). Navod: File - New - Number of variables 3, Number of cases 20, OK. 2. Znaky nazvete X, Y, Z, vytvorte jim nývestí (X - znamka z matematiky, Y - znamka z angličtiny, Z - pohlaví studenta) a popiste, co znamenají jed-notlive varianty (u znaku X a Y: 1 - víborne, 2 - velmi dobre, 3 - dobre, 4 - neprospel, u znaku Z: 0 - zena, 1 - muz). Soubor ulozte pod nízvem znamky.sta. Nívod: Kurzor nastavíme na Var1 - 2x klikneme mysí - Name X - Long Name znamka z matematiky, Text label - 1 víborně, 2 velmi dobre, 3 dobre, 4 neprospel, OK. U promenne Y lze text label okopírovat z promenne X -v Text Labels Editor zvolíme Copy from variable X. Prepínaní mezi číselními hodnotami a jejich textovím popisem se deje pomocí tlačítka s obrázkem stítku. 3. U znaku X a Y vypoctete absolutní cetnosti, relativní cetnosti a relativní kumulativní cetnosti. Nívod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Summary. Vsechny tri tabulky se ulozí do workbooku a listovat v nich muzeme pomocí stromove struktury v levem okne. 4. Vytvorte sloupkoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - Histograms - Variables X, Y - OK - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Breaks between Columns, OK. Vytvorte vísecoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - 2D Graphs - Pie Charts - Variables X, Y - OK - Advanced - Pie legend Text and Percent (nebo Text and Value) - OK. Vytvorte polygon absolutních cetností znaku X a Y. Navod: ve workbooku vstoupíme do tabulky rozlození cetností promenne X. Pomocí Edit - Delete - Cases vymazeme radek oznacení Missing. Nastavíme se kurzorem na Count - Graphs - Graphs of Block Data - Line Plot:Entire Columns. Vykreslí se polygon cetností. 5. Vytvorte graf empiricke distribucní funkce znaku X. Navod: Pri tvorbe histogramu zadame v Advanced volbu Showing Type Cumulative, Y axis % - 2 x klikneme mysí na pozadí grafu - otevre se okno All Options - vybereme Plot: Bars - Type Rectangles. V tomto grafu jsou vsak svisle cary az k vodorovne ose. Lze pouzít i jiní typ grafu: vytvoríme noví datoví soubor, kterí bude mít dve promenne a prípadu o dva víc nez je pocet variant znaku X. Do 1. promenne zapíseme do 1. radku hodnotu o 1 mensí nez je 1. varianta znaku X, pak varianty znaku X a nakonec hodnotu o 1 vetsí nez je poslední varianta znaku X. Do 2. promenne zapíseme 0, pak relativní kumulativní cetnosti znaku X (v procentech) a nakonec 100. Graphs - Scatterplots -Variables V1, V2 - OK - vypneme Linear fit - OK -2x klikneme na pozadí grafu - Plot:General - vypneme Markers, zaskrtneme Line - Line Type: Step - OK. 165 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Vytvořte graf četnostní funkce znaku X. Návod: Při tvorbe histogramu zadáme v Advanced Y axis % - 2x klikneme mysí na pozadí grafu - vybereme Plot General - zaškrtneme Markers -vybereme Plot:Bars - Type Lines. 6. Z datoveho souboru vyberte pouze zeny (pouze muze) a ukol 3 proveďte pro zeny (pro muze). Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Select Cases - zaskrtneme Selection Conditions - Include cases - zaskrtneme Specific, selected by Z = 0, OK. 7. Nadale pracujte s celym datovým souborem. Vytvorte kontingencní tabulku absolutních cetností znaku X a Y a graf simultanní cetností funkce. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Tables and banners - OK -Select cases - All - OK - Specify tables - List 1 X, List 2 Y, OK, Summary. Vytvorení grafu simultanní cetnostní funkce: Navrat do Crosstabulation Tables Result - 3D histograms - vybereme Axis Scaling - Mode Manual - Minimum 0 (a totez provedeme pro Axis Y) - dale vybereme Graph Layout - Type - Spikes - OK. Graf lze natacet pomocí Point of View. Vytvorte kontingencní tabulku sloupcove a radkove podmínenych relativních cetností znaku X a Y. Navod: Navrat do Crosstabulation Tables Result - Options - zaskrtneme ve sloupci Compute tables volbu Percentages of column counts (resp. Percentages of row counts). 166 B.2. Intervalové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat ýdaje o mezi plasticity oceli a mezi pevnosti (viz príklad 2.13). Promenným X a Y vytvorte nývestí „mez plasticity" a „mez pevnosti". Soubor pak ulozte pod nazvem ocel.sta. Navod: viz 1. cvicem, bod 1. 2. Pro X a Y pouzijeme intervalove zpracovaný cetnostý Pro aplikaci Sturger-sova pravidla potrebujeme znat pocet variant promenne X a Y. Navod: Zjistený absolutných cetnostý - viz 1. cvicený bod 3. Zjistený poctu variant: ve workbooku se nastavýme kurzorem na sloupec Count - 2 x klikneme mysý - vybereme Values/Stats - ve výstupný tabulce se objeví' mj. N. Pocet variant je N—1. (X ma 50 variant, Y ma 52 variant, v obou pffpadech voh'me 7 tn'diďch intervalu.) Dale musýme zjistit minimum a maximum, abychom vhodne stanovili tn'diď intervaly. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive statistics - Variables X, Y - zaskrtneme Minimum & maximum - Summary. (Pro X je minimum 33 a maximum 160, tedy vhodný volba trýdicých intervalu je (30, 50), 50, 70),. .., (150,170) - viz pnklad 2.13, pro Y je minimum 52 a maximum 189, tedy tn'diď intervaly zvoh'me (50, 70), 70, 90, ... 170,190) - viz poklad 2.19.) 3. Vytvorte histogram pro X a pro Y. Nývod: Graphs - Histograms - Variables X - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Boundaries - Specify Boundaries - 50 70 90 110 130 150 170 OK - Y Axis %. 2 x klikneme na pozadý grafu a ve volbe All Options muzeme menit räzne vlastnosti grafu. Upozornený: STATISTICA v histogramu znýzorňuje relativný cetnost výskou obdelm'ku, nikoliv jeho plochou, coz nem v souladu s definic! 2.14. 4. Proveďte zakódovým hodnot promenných X a Y do pnslusných trýdicých intervalu. Navod: Insert - Add Variables - 2 - After Y - OK - prejmenujeme je na RX a RY. Nastavýme se kurzorem na RX - Data - Recode - vyplníme podmmky pro vsech 7 kategorh'. (Pozor - podmýnky se musý psýt ve tvaru X>30 and X<=50 atd.). Pak klepneme na OK. Analogicky pro Y. 5. Vytvorte graf intervalove empiricke distribucný funkce pro X. Nývod: Vytvon'me Frequency table pro RX. Pred 1. pn'pad vlozýme radek, kde do Category napýíseme 0 a do Cumulative Count take 0. Nastavýme se kurzorem na Cumulative Percent - Graphs - Graphs of Block Data - Custom Graph from Block by Column - Line Plots (Variables) - OK. 2 x klikneme na pozadý grafu - Plot: General - vypneme Markers - Axis: Scaling - Mode Manual - Minimum 1, Maximum 9 - Axis: Custom Units - Position 1, Text 30 atd az Position 9, Text 190 - OK. 6. Sestavte kontingencm tabulky absolutných cetnostý (relativných cetnostr sloupcove a radkove podmmených relativných cetnostý) dvourozmerných tn-dících intervalu pro (X,Y). Navod: Viz ukol c. 6 ve cvicení 1, kde budeme pracovat s pramennými RX a RY. 167 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.3. VýpoCet Číselných charakteristik jednorozmerného a dvourozmerneho souboru, regresní přímka 1. Načtěte soubor znamky.sta. Pro známky z matematiky a angličtiny vypočtěte medián, dolní a horní kvartil a kvartilovou odchylku. Výsledky porovnejte s príkladem 3.5. Navod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK -Variables X, Y, OK - zaskrtneme Median, Lower & upper quartiles, Quartile range - Summary. 2. Nactete soubor ocel.sta. Pro mez plasticity a mez pevnosti vypoctete aritme-ticke prumery, směrodatne odchylky a rozptyly. Výsledky porovnejte s príkladem 3.17. Níavod: Níavod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK - zaěskrtneme Mean, Standard Deviation, Variance - Summary. Vysvetlení: Rozptyl a smerodatný odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak nez v príklad 3.17, protoze STATISTICA ve vzorci pro vípocet rozptylu nepouzíví 1/n, ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji v matematicke statistice. 3. Nakreslete dvourozměernyí teěckovyí diagram pro (X,Y). Navod: Graphs - Scatterplots - Variables X,Y - OK - vypneme Linear fit - OK. 4. Vypoctete kovarianci a koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Vyísledky porovnejte s pěríkladem 3.17. Naívod: Statistics - Multiple Regression - Variables Independent X, Dependent Y - OK - OK - Residuals/assumption-prediction - Descriptive statistics - Covariances. Pro získaní korelacního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances. Vysvěetlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak neěz v pěríkladu 3.17, protoze ve STATISTICE se ve vzorci pro vípocet kovariance nepouzíva ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji. 5. Urcete koeficienty regresní prímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Urcete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. Níavod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y - OK - Summary:Regression results. Ve vyístupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na rídku oznacenem Intercept, koeficient b\ ve sloupci B na radku oznacenem X, index determinace pod oznacením R2. Pro vípocet predikovane hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict dependent variable X:110 - OK. Ve vístupní tabulce je hledana hodnota oznaěcena jako Predictd. Nakreslení regresní pěrímky: Níavrat do Multiple Regression - Residuals / assumption / prediction - Perform residuals analysis - Scatterplots - Bivariate correlation - X, Y - OK. Jiní zpusob: Do dvourozmerneho teckoveho diagramu nakreslíme regresní pěrímku tak, ěze v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK. 168 B.4. Výpočty pravděpodobností s využitím distribuční funkce binomickěho rozložení Označme X náhodnou veličinu. Její distribuční funkci zavedeme vztahem $(x) = P(X < x). Pokud náhodná veličina X nabývá pouze konečne nebo spočetne mnoha hodnot, lze pomočí $(x) vyjadrit nasledujíčí pravdepodobnosti: a) P (X = x) = P (X < x) - P (X < x - 1) = $(x) - $(x - 1); b) P (x > x) = 1 - P (X < x) = 1 - P (X < x - 1) = 1 - $(x - 1); č) P(xi < X < x2) = P(xi - 1 < X < x2) = $(x2) - $(xi - 1). STATISTICA poskytuje hodnoty distribučníčh funkčí mnoha rozlození. Omezíme se na binomické rozložení (funkče IBinom(x, p, n), kde x ... počet íspečhu, p ... pravdepodobnost íspečhu v jednom pokusu, n ... čelkoví počet pokusu). Vzorový príklad na binomické rozložení: Pojistovna zjistila, ze 12% po-jistníčh udalostí je zpusobeno vloupaním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 níhodne vybraními pojistními udalostmi bude zpusobeno vloupaním a) nejvíse 6, b) aspoň 6, č) prave 6, d) od dvou do peti? Resení: X ... počet pojistníčh udalostí zpusobeníčh vloupaním , n = 30, p = 0,12. ad a) P (X < 6) = $(6) = 0,9393, ad b) P (x > 6) = 1 - P (X < 5) = 1 - $(5) = 0,1431, ad č) P (X = 6) = $(6) - $(5) = 0,0825, ad d) P(2 < X < 5) = $(5) - $(1) = 0,7469. Postup ve STATISTICE: Otevreme noví datoví soubor se čtyrmi promenními a o jednom prípadu. Řešení: Do Long Name 1. promenne napíseme =IBinom(6;0,12;30). Do Long Name 2. promňenníe napíňseme =1-IBinom(5:0,12:30). Do Long Name 3. promňenníe napíňseme =IBinom(6:0,12:30)-IBinom(5:0,12:30). Do Long Name 4. promňenníe napíňseme =IBinom(5:0,12:30)-IBinom(1:0,12:30). (Do Lange Name promňenníe vstoupíme tak, ňze v datovíem oknňe 2x klikneme mýňsí na níazev promňenníe.) Kreslení grafu distribucní funkce a pravdepodobnostní funkce bino-mickeho rozlození Vzoroví príklad: Nakreslete graf distribuční funkče a pravdepodobnostní funkče níhodne veličiný X ~ Bi(12; 0,3). Postup ve STATISTICE: Výtvoňríme novýí datovýí soubor o 3 promňennýíčh a 13 pňrípadečh. První promňennou nazveme X a uloňzíme do ní hodnotý 0, 1,. . . , 12 (do Long Name napíňseme =v0-1). Druhou promňennou nazveme DF a uloňzíme do ní hodnotý distribuční funkče (do Long Name napíseme príkaz =IBinom(x;0,3;12)). Tňretí promňennou nazveme PF a uloňzíme do ní hodnotý pravdňepodobnostní funkče (do Long Name napíňseme pňríkaz =Binom(x;0,3;12)). Graf distribucní funkce: Graphs - Sčatterplots - Variables X, DF - OK - vý-pneme Linear fit - OK - 2 x klikneme na pozadí grafu - Plot: General - zaskrtneme Line - Line Týpe: Step - OK. 169 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Graf pravděpodobnostní funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, PF -OK - vypneme Linear fit - OK. Podle tohoto navodu nakreslete grafy distribučních a pravdepodobnostních funkcí binomickeho rozložení pro ruzna n a p, napr. n = 5, p = 0,5 (resp. 0,75) apod. Sledujte vliv parametru na vzhled grafu. 170 B.5. Grafy hustot a distribučních funkcí, výpočet kvan-tilů STATISTICA umí kreslit grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení a počítat kvantily techto rozložení. Slouží k tomu Probability Calculator v menu Statistics. Zameríme se na rozložení uvedena definici 8.6. 1. Rovnoměrné spojité rozloženi Rs (0,1) Statistics - Probability Calculator - Distributions - Beta - shape 1 - napíse-me 1, shape 2 - napíseme 1. STATISTICA vykreslí graf hustoty a distribucní funkce. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Beta objeví hodnota tohoto kvantilu. 2. Exponenciélné rozložené Ex (A) Ve volbe Distributions vybereme Exponential a do okenka lambda napíseme patricnou hodnotu. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku exp objeví hodnota tohoto kvantilu. 3. Normélné rozložené N (/x, a2) Ve volbe Distributions vybereme Z (Normal), do okenka mean napíseme hodnotu / a do okenka st. dev. napíseme hodnotu a. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku X objeví hodnota tohoto kvantilu. 4. Pearsonovo rozloženi ché-kvadrat s n stupni volnosti x2(n) Ve volbe Distributions vybereme Chi 2 a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Chi 2 ob jeví hodnota tohoto kvantilu. 5. Studentovo rozložené s n stupni volnosti t(n) Ve volbe Distributions vybereme t (Student) a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku t objeví hodnota tohoto kvantilu. 6. Fisherovo-Snedecorovo rozložené s n\ a n2 stupni volnosti F(n\,n2) Ve volbe Distributions vybereme F (Fisher) a do okenek df1 a df2 napíseme pocet stupňu volnosti citatele a jmenovatele. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku F objeví hodnota tohoto kvantilu. 171 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA 6 B.6. Intervaly spolehlivosti pro parametry normalního rozložení 1. Interval spolehlivosti pro strední hodnotu, kdyz nezname rozptyl: pro tuto situaci umí STATISTICA vypočcítat meze intervalu spolehlivosti sama. Príklad: Pri kontrole peti balíčku cukru o deklarovane hmotnosti 1000 g byly zjisteny tyto odchylky: —3, 2, —2, 0, 1. Odchylky povazujeme za realizace níhodneho víberu rozsahu 5 z rozlození N(/x,<72). Sestrojte 90% interval spolehlivosti pro Níavod: Vytvočríme novyí datovyí soubor o jedníe promčenníe a pčeti pčrípadech. Zapíseme do nej uvedene odchylky. Statistics - Basic Statistics/Tables -Descriptive statistics - OK - Advanced - Variables vl, OK, zaskrtnete Conf. limits for mean - Interval 90%, Summary. 2. Ve vsech ostatních prípadech postupujeme podle vzorcu uvedeních ve vetích 12.9 a 12.13. Uved'me postup pro situaci, kdy hledame interval spolehlivosti pro rozdíl stčredních hodnot dvou nezíavislyích normaílnče rozločzenyích nahodních víberu, kdyz nezníme rozptyly, ale víme, ze jsou shodne. Pčríklad: Na jistíe velkíe americkíe univerzitče bylo v r. 1969 níahodnče vybríano 5 profesorek a nezavisle na tom 5 profesoru a byl zjisten jejich rocní príjem v tisících dolaru. Zeny: 9 12 8 10 16, muzi: 16 19 12 11 22. Predpokladíme, ze uvedene hodnoty jsou realizace dvou nezívislích nahodních víberu, první z rozlození N(/1,a2), druhí z rozlození N(/t2,