Popisná statistika
•	úvod
•	rozdělení hodnot
•	míry centrální tendence
•	míry variability
•	míry šikmosti a špičatosti
•	grafy

Úvod
•	užívá se k popisu základních vlastností dat
•	poskytuje jednoduché shrnutí hodnot proměnných ve výběrovém souboru
•	předchází induktivní statistiku (která odvozuje zjištění ze vzorku na populaci)
•	techniky deskriptivní statistiky pomáhají redukovat větší množství dat do zvládnutelné podoby – grafické, tabulkové, do jednoho ukazatele
•	touto redukcí např. údajů o rychlosti čtení u 200 žáků na jeden ukazatel, např. na hodnotu průměru samozřejmě část informací ztratíme
•	pro každou proměnnou obvykle popisujeme 3 charakteristiky
•	rozdělení hodnot (i graficky), středovou hodnotu a míru rozptýlení hodnot kolem tohoto středu

Rozdělení hodnot
•	rozdělení (distribuce) hodnot - souhrn četností jednotlivých kategorií nebo intervalů hodnot proměnné
•	jednou z možností, jak zobrazit rozložení hodnot proměnné je tabulka četností – seznam kategorií proměnné a u nich počet osob, které do každé kategorie spadají  
•	vždy je třeba uvést celkový počet osob (N)
•	relativní četnosti mohou být uvedeny buď jako procenta (8%) nebo podíly (0.08)
•	může jít rovněž o poměr (ratio) dvou kategorií (např. poměr dívek a chlapců s ADHD 1:4 (nebo 0,25))
•	jako míra (rate) se označuje počet výskytů nějakého jevu dělený počtem možných výskytů v nějakém čase
•	např. míra úmrtnosti = počet mrtvých za rok / počet obyvatel x 1000 
•	získáme hrubou míru úmrtnosti na 1000 obyvatel

Rozdělení hodnot
•	stejná data je možno zobrazit i graficky (v příkladu sloupcový diagram – barchart)
•	pokud proměnná nabývá mnoha hodnot, je vhodnější je sloučit do kategorií (intervalů)
•	počet intervalů by měl být přiměřený počtu hodnot 
•	někdy se používá tzv. Sturgesovo pravidlo  k = 1 + 3,3 log10(n) 
•	podle něj by pro 200 hodnot byl vhodný počet intervalů 9
•	záleží i na počtu osob – pro menší výběry raději histogram s menším počtem sloupců

Míry centrální tendence
•	míry centrální tendence (středu, polohy) jsou výsledkem snahy najít typickou hodnotu pro daný znak
•	nejčastěji používané modus, medián, aritmetický průměr, méně často např. harmonický a geometrický průměr 

Míry centrální tendence
•	modus – nejčastěji se vyskytující hodnota (např. u příkladu s temperamentem to byl cholerik)
•	jediná použitelná charakteristika polohy pro nominální data; u pořadových a kardinálních jsou většinou více typickými charakteristikami medián nebo průměr
•	pokud je v rozdělení více modů, jde o rozdělení vícevrcholové (obvykle bimodální) – může odhalit nehomogenitu výběru
•	např. rozdělení hodnot tělesné výšky může mít dva mody – pro muže a pro ženy 
•	modus není užitečnou statistikou pro zobecňování ze vzorku na populaci – dá se očekávat, že různé vzorky z téže populace budou mít různé mody

Míry centrální tendence
•	medián - prostřední hodnota v řadě hodnot uspořádaných podle  velikosti (50% percentil)
•	je jen pro data, která je možno podle velikosti uspořádat, tj. pořadová a kardinální
•	dělí soubor na dvě poloviny (pro sudý počet hodnot je medián průměrem dvou prostředních pozorování)
•	vzorec pro výběr s lichým počtem hodnot:
Me = x(n+1)/2
•	vzorec pro výběr se sudým počtem hodnot:
Me = (xn/2 + xn/2+1 )/2
•	používá se především, pokud chceme eliminovat vliv extrémních hodnot
•	příklad – průměrný plat 20 tisíc může u 10 osob znamenat, že 9 z nich má 10 tisíc a jeden 110 tisíc; použijeme-li medián – 10 tisíc, získáme více typickou hodnotu  
•	můžeme ho vyčíst z tabulky četností, pokud jsou uvedeny kumulativní četnosti

Míry centrální tendence
•	aritmetický průměr – součet všech hodnot znaku  dělený jejich počtem 
•	jen pro proměnné, u nichž je možno hodnoty smysluplně dělit (kardinální)
•	vzorec: 
•	m = SiXi/N (pro populaci) 
•	m = Sixi/n (pro výběr)
•	součet odchylek od průměru =0
•	průměr zahrnuje každou hodnotu znaku – což je jak výhoda, tak nevýhoda (citlivý na extrémní hodnoty)
•	to je možno vyřešit použitím tzv. seříznutého průměru (trimmed mean), který se počítá tak, že se vynechá určité % hodnot z obou stran rozdělení, např. 5% nejnižších a 5% nejvyšších 
•	průměr špatně reprezentuje nehomogenní skupiny 
•	příklad – 30 osob v parku, průměrný věk 12.5 roku, průměrná výška 130 cm: nemusí jít o školní děti, ale o 15 matek se 4-letými dětmi
•	pro znaky s normálním rozdělením hodnot je průměr nejúčinnější charakteristikou (tj. nejvíce stabilní pro různé výběrové soubory) – dá se nejlépe použít pro odhad parametru populace z charakteristik výběru
•	je nejčastěji užívanou mírou polohy

Míry centrální tendence
•	kterou statistiku použít a uvádět?
•	průměr – pokud může být spočítán a pokud není rozdělení příliš šikmé
•	modus – pokud je rozdělení multimodální (neexistuje jediná typická hodnota)
•	medián – pokud je rozdělení šikmé a unimodální, pokud obsahuje odlehlé hodnoty

Míry centrální tendence
•	příklad – spočítejte modus, medián a aritmetický průměr následujícího rozdělení hodnot 
	
	18  5  128	2   14   87   50   87   70	  

Míry variability
•	míry variability popisují kolísání 
v rozdělení hodnot 
•	označují se i jako míry rozptýlenosti
•	užívá se rozpětí, mezikvartilové rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient

Míry variability
•	rozpětí (variační šíře, variační rozpětí) – rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou
•	značně ovlivněno extrémními hodnotami, není dobrým odhadem parametru populace
•	používá se zřídka

Míry variability
•	mezikvartilové rozpětí (interkvartilová odchylka) – rozdíl mezi hodnotou horního kvartilu a dolního kvartilu
•	kvartily – dělí soubor na 4 stejné části; horní kvartil odděluje 25% nejvyšších hodnot, dolní 25% nejnižších
•	mezikvartilové rozpětí udává rozpětí pro středních 50% hodnot (=délka obdélníku v krabicovém diagramu)
•	není (podobně jako medián) citlivé na extrémní hodnoty

Míry variability
•	rozptyl (střední kvadratická odchylka průměru) - ukazuje, jak jsou hodnoty rozptýleny kolem průměru
•	v populaci          n             
            s2 =  (1/(N))  (xi - m)2  
                           i = 1	
•	výběr          n             
s2 =  (1/(n-1))  (xi - m)2  
                      i = 1	

•	více než rozptyl se používá jeho odmocnina – směrodatná odchylka průměru (je ve stejném měřítku jako původní hodnoty)
•	oba ukazatele slouží jako vhodné doplnění průměru – získáme představu o jeho věrohodnosti, jak dobře reprezentuje všechny hodnoty

Míry variability
•	příklad – porovnejte variabilitu u těchto dvou rozložení hodnot (jde např. o počet správně vyřešených úloh v didaktickém testu ve 2 třídách)

a)	4	  5	4	3	5	5	3	4	3

b) 8	  2	12	1	4	3	5	0	1

•	řešení příkladu
•	ma = 4, sa = 0.87
•	mb = 4, sb = 3.87
•	u prvního rozdělení je průměr lepší reprezentací hodnot; u druhého jsou hodnoty kolem průměru hodně rozptýleny 

Míry variability
•	variační koeficient – pro porovnání míry variability u různých souborů
•	pokud se u různých souborů měřené hodnoty výrazně liší svou úrovní anebo jsou dokonce v různých jednotkách, nelze podle rozptylu či standardní odchylky porovnávat přímo, který ze souborů má větší variabilitu - je třeba srovnávat relativní variabilitu 
•	jde o podíl směrodatné odchylky a průměru
•	většinou se udává v procentech
•	VK = ( s / m ) *100%
•	příklad – porovnejte variabilitu průměrného platu v ČR (v korunách) a v GB (v librách) (fiktivní data)
•	mGB=1000 liber, sGB=600 
•	mCZ=10 000 Kč, sCZ= 3000 
•	řešení příkladu – větší variabilita je v britských platech (60%) než v českých (30%)

Míry šikmosti a špičatosti 
•	hodnotíme, jak se rozdělení dat podobá normálnímu (Gaussovu) rozdělení
•	šikmost (skewness) měří nesymetrii vzhledem k podélné ose 
•	pro symetrické rozdělení se koeficient šikmosti = 0
•	pokud je > 0, je rozdělení s prodlouženým pravým koncem (doprava, kladně šikmé)
•	pokud je < 0, je rozdělení s prodlouženým levým koncem (doleva, záporně šikmé)
•	i porovnáním hodnoty průměru a mediánu získáme představu o šikmosti rozdělení hodnot
•	pokud je průměr větší než medián – kladně zešikmeno 
•	průměr menší než medián – záporně zešikmeno
•	průměr = medián – symetrické rozdělení
•	Pearsonův vzorec pro koeficient šikmosti na základě srovnání hodnot průměru a mediánu
•	SK = 3* (m – Me) / s

Míry šikmosti a špičatosti 
•	koeficient špičatosti (kurtosis)
•	pro normální rozdělení = 0
•	pokud je > 0, je rozdělení tzv. leptokurtické (více špičaté než normální)
•	pokud je < 0, je rozdělení tzv. platykurtické (plošší než normální)

Grafy
•	pouze základní typy
•	pro kategoriální data - sloupcový diagram, výsečový graf
•	pro spojitá data – histogram, frekvenční polygon, krabicový diagram, stromový diagram
•	grafy je možno znázornit v kategorizované formě – pro jednotlivé kategorie další proměnné (např. pro muže a ženy)
Grafy
•	výsečový graf (koláčový diagram, pie chart) – užívá se více v populárních publikacích než v odborných
•	histogram – podobný sloupcovému diagramu, ale je pro spojitá data
•	jednotlivé sloupce reprezentují nikoliv jednotlivé kategorie, ale intervaly hodnot
•	tvar histogramu závisí do jisté míry na šířce intervalů
•	frekvenční polygon – konstruován podobně jako histogram, jen místo sloupců jsou tečky spojené čarou
•	krabicový diagram (boxplot, vousatá krabička) – poskytuje bohaté zobrazení důležitých aspektů rozdělení hodnot
•	délka krabice odpovídá interkvartilové odchylce; uvnitř krabice je vyznačen medián
•	„vousy“ nebo „anténami“ je ohraničeno rozmezí hodnot bez odlehlých hodnot (outliers) a extrémních hodnot (více než 3x délky krabice od jejího konce)
•	stromkový diagram (stem-and-leaf plot; stonek a list) – podobný histogramu (naležato), ale obsahuje informace o každém případu
•	konstrukce diagramu – hodnoty jsou rozděleny např. na desítky (stonek) a jednotky (list)
•	např. hodnota 85 = 8x10 + 5x1
•	pokud je hodnot pro některé desítky více, rozdělí se na další listy
•	čeho si v grafu všímat?
•	tvaru rozdělení
•	míst s největší četností hodnot (zhuštění, shluky)
•	mezer
•	odlehlých hodnot

Kontrolní otázky
•	rozdíly mezi absolutními a relativními četnostmi, poměrem a mírou; kumulativní četnosti
•	3 základní míry centrální tendence (+ u jakých dat použijeme průměr, modus či medián)
•	základní míry variability, výpočet rozptylu
•	typy grafů

Literatura
•	Hendl – kapitola 3
•	doplňující (v IS):
•	Wainer, H., & Velleman, PF (2001). Statistical graphics: Mapping the pathways of science. Annual Review of Psychology, 52, 305-335.