Inferenční statistika - úvod

•	z-skóry
•	normální rozdělení
•	pravděpodobnost
•	rozdělení výběrových průměrů

Pravděpodobnost
•	postupy induktivní statistiky vycházejí z  teorie pravděpodobnosti
•	pravděpodobnost, že nastane určitý výsledek, definujeme jako podíl 
			   počet pokusů, kdy nastal jev A
delěno
			       celkový počet jevů

•	pravděpodobnost bývá uváděna nejčastěji jako podíl (0,33), zlomek (1/3) nebo procento (33,3%)
•	pravděpodobnost určitého jevu nebo třídy jevů můžeme odhadnout z rozdělení hodnot (četností)

Pravděpodobnost - příklady
•	představme si, že máme krabici se 40 očíslovanými žetony s čísly 1 – 5
•	v tabulce jsou uvedeny absolutní i relativní četnosti jednotlivých čísel žetonů

•	hodnoty jsou v pořadí: číslo žetonu, absolutní četnost, relativní četnost
Tabulka:
•	1	4	0,10
•	2	8	0,20
•	3	16	0,40
•	4	10	0,25
•	5	2 0,05
•	vaším úkolem je vytáhnout 1 žeton
•	jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem 3?
•	p (3) = f/N = 16/40 =0,40 
	nebo 2/5 či 40%

•	Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem vyšším než 2?
	p(X > 2) = ?
	0,05 + 0,25 + 0,40 = 0,70 
tj. 70%

•	Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 5?
	p(X < 5) = ?
	0,10 + 0,20 + 0,40 + 0,25 = 0,95 
tj. 95%

Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnete žeton s číslem nižším než 4 a vyšším než 1?
	p(4 > X > 1) = ?
	0,20 + 0,40 = 0,60 
tj. 60%

Pravděpodobnost
•	pravděpodobnost odpovídá hustotě oblasti pod křivkou pro daný interval

Z-skóry
•	transformace hodnot proměnné
•	umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot
•	a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných stupnicích 
•	hrubé skóry jsou převedeny na standardizovanou stupnici (jednotkou je směrodatná odchylka)

Z-skóry - příklad
•	např. skóry ze dvou testů – biologie a psychologie 
•	v testu z biologie byl průměr celého ročníku m=18 (sd=6)
•	v testu z psychologie byl průměr celého ročníku m=500 (sd=100)
•	student získal 26 bodů z biologie a 620 z psychologie. Ve kterém předmětu byl lepší?
•	přímé porovnání není snadné – skóry z obou testů mají rozdílné průměry i směrodatné odchylky
•	z skór =odchylka skóru od průměru vzhledem k velikosti směrodatné odchylky
•	z = odch. od průměru/směr. odch.
•	skór z biologie: (26-18)/6 = 1,33
•	skór psychologie: (620-500)/100=1,2
•	v biologii byl student lepší: 1,33 směrodatné odchylky nad průměrem

Z-skóry
•	z-skór přesně udává pozici každé hodnoty vzhledem k ostatním hodnotám
•	znaménko (+ nebo -) ukazuje, zda je hodnota nad nebo pod průměrem rozdělení 
•	hodnota z-skóru upřesňuje, kolik směrodatných odchylek byla hodnota od průměru vzdálena
•	průměr rozdělení z-skórů je vždy 0
•	směrodatná odchylka je 1

Z-skóry
vzorec pro výpočet z-skóru hodnoty X 

•	u populace: z = (Xi – μ) /σ 
                               
•	u vzorku: z = (Xi – m) / s

Z-skóry
•	podobně můžeme i z-skór převést na hrubý skór, známe-li průměr a směrodatnou odchylku 
•	např. u stupnice IQ 
•	m = 100, s = 15
•	pro osobu se z=-3 (3 směrodatné odchylky pod průměrem) bude IQ ? 
     
	  X = Z * s + m
      X = -3 * 15 + 100
	   X =  55

Rozdělení z-skórů
•	tvar rozdělení z-skórů je stejný jako tvar původního rozdělení hrubých skórů
•	průměr je 0, směrodatná odchylka 1
•	transformace změní jen označení hodnot na ose X

Normální rozdělení

•	normální rozdělení je symetrické, unimodální, zvonovitého tvaru
•	označuje se i jako Gaussova křivka 

•	34.13% skórů spadá mezi průměr a 1 směr. odchylku
•	13.59% hodnot spadá mezi 1. a 2. směr. odchylku
•	2.28% hodnot spadá mezi 2. a 3. směr. odchylku

Normální rozdělení
•	tabulka normálního rozdělení (z rozdělení)
•	důležitý nástroj, obvykle jako apendix v učebnicích statistiky (spolu s dalšími tabulkami)
•	umožňuje zjistit hustotu oblasti pod křivkou (tj. pravděpodobnost) pro jednotlivé z-skóry

Normální rozdělení - příklady
•	postup při zjišťování pravděpodobnosti z tabulky:
•	načrtnout si normální rozdělení, s hodnotou průměru a směr. odch. 
•	zakreslit hledanou hodnotu (v přibližné vzdálenosti od průměru), vystínovat hledanou oblast
•	převést hodnotu X na z-skór
•	najít v tabulce pravděpodobnost

Normální rozdělení - příklady
•	Kolik procent osob z populace má IQ 130 nebo vyšší? (m = 100, s =15) 

otázku je možno formulovat i jako:
•	Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 130 nebo vyšší? (m = 100, s =15) 
•	z = (130 – 100)/15 
•	z = 2

•	z tabulky z-rozdělení plyne, že p = 0.0228 tj. 2,3%

Normální rozdělení - příklady
•	Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba z populace bude mít IQ 85 nebo nižší?
z = (100-85)/15 
z = -1
•	p = 0.5 – 0.3413 = 0.1587  
•	tj. 15,9%

Normální rozdělení - příklady
•	postup při zjišťování z-skóru z tabulky:
•	načrtnout si normální rozdělení
•	vystínovat oblast odpovídající zadané pravděpodobnosti
•	v tabulce vyhledat příslušný z-skór
•	vypočítat z něj hrubý skór

Normální rozdělení - příklady
•	Jakou minimální hodnotu IQ musí člověk mít, aby patřil mezi 5% osob s nejvyššími hodnotami IQ? 
•	p = 0.05 
Normální rozdělení
•	z tabulky: z = 1.645
•	X = (1.645)*(15) + 100 = 124.675 
•	musí mít IQ 124 bodů

Normální rozdělení - příklady
•	pomocí tabulky normálního rozdělení je možno nalézt také hodnotu percentilu
•	příklad: kolik procent osob má nižší hodnoty IQ než člověk s IQ 130?
•	z=  2
•	z tabulky: pro z = 2
p = 0.4772 (+ 50% pod průměrem)
97.72% osob má nižší skór než IQ 130

Rozdělení výběrových průměrů
•	cílem induktivní statistiky je odhadnout parametry populace z charakteristik vzorku (výběrového souboru)
•	např. odhadem průměru populace bude průměr vzorku 
•	odhad je vždy zatížen určitou výběrovou chybou 

Rozdělení výběrových průměrů
•	předpokládejme, že z jedné populace vybereme 3 různé vzorky
•	budou se nejspíš navzájem lišit ve tvaru rozdělení hodnot, průměru i variabilitě
•	jak se rozhodneme, který z nich zvolit pro odhad průměru populace ??

Rozdělení výběrových průměrů
•	pokud bychom spočítali průměry ze všech možných výběrů o určité velikosti n, budou tvořit tzv. rozdělení výběrových průměrů (sampling distribution) 

Rozdělení výběrových průměrů
•	příklad: populace hodnot 2, 4, 6, 8
•	průměr m = 5 
•	předpokládejme, že průměr neznáme a pokoušíme se ho odhadnout ze vzorku n=2
•	v tabulce jsou uvedeny všechny možné výběrové soubory (v pořadí výběr,	první skór, druhý skór, průměr vzorku)
Tabulka:
1	2	2	2
2	2	4	3
3	2	6	4
4	2	8	5
5	4	2	3
6	4	4	4
7	4	6	5
8	4	8	6
9	6	2	4
10	6	4	5
11	6	6	6
12	6	8	7
13	8	2	5
14	8	4	6
15	8	6	7
16	8	8	8

•	jaká je pravděpodobnost, že z této populace vybereme vzorek s průměrem vyšším než 7? 
•	v rozdělení výběrových průměrů je takový vzorek jen 1 ze 16 – tj. pravděpodobnost takového vzorku je 1/16 = 0.0625, tj. 6%
•	jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný vzorek 2 čísel z této populace bude mít průměr roven průměru populace, tj. 5? 
•	tato pravděpodobnost je 4/16, tj. 25% 

Rozdělení výběrových průměrů
•	většina populací i vzorků je mnohem větší 
•	ale existují určité základní vlastnosti rozdělení výběrových průměrů (RVP)
•	tvar – RVP se při dostatečně velkém vzorku (30 a více) blíží normálnímu rozdělení
•	průměr tohoto rozdělení (=průměr průměrů všech teoretických výběrů) je roven průměru populace
•	označuje se také jako očekávaná hodnota průměru vzorku
•	variabilita – směrodatná odchylka RVP se označuje jako výběrová nebo standardní chyba průměru (standard error) 
•	jde o směrodatnou odchylku výběrových průměrů od průměru populace
•	ukazuje, jak spolehlivý je odhad populačního průměru z průměru vzorku – tj. jak velkou chybou je odhad zatížen
•	velikost výběrové chyby je dána dvěma charakteristikami: variabilitou v populaci a velikostí výběru
•	variabilita znaku v populaci: čím je vyšší, tím je vyšší i variabilita výběrových průměrů   
•	velikost výběru – čím větší výběr (n), tím méně průměrů výběrů se odchyluje od průměru populace (= výběrová chyba je menší)
•	vzorec pro výpočet směrodatné chyby:
 			sx = s/√n
tj. směrodatná odchylka populace děleno odmocninou z velikosti vzorku

Rozdělení výběrových průměrů
•	platí zjednodušení tzv. centrálního limitního teorému – pro každou populaci o průměru m a směrodatné odchylce s se bude rozdělení výběrových průměrů výběrů (pro rozsah výběru jdoucí do nekonečna) blížit normálnímu rozdělení s průměrem m a směrodatnou odchylkou sx = s/√n 

Rozdělení výběrových průměrů
•	příklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich průměrné IQ bude větší nebo rovno 112?
•	ptáme se vlastně: jaká je pravděpodobnost, že vzorek 9 osob z populace o průměru 100 bude mít průměr 112 nebo vyšší? Kolik % je takových vzorků ze všech možných vzorků o této velikosti?
•	musíme zjistit charakteristiku rozdělení výběrových průměrů pro tuto velikost vzorku (N=9) 
u populace s m = 100, s= 15
•	průměr RVP = 100
•	směrodatná odchylka = standardní chyba:
sx = s/√n = 15/3 = 5
•	známe průměr a směrodatnou odchylku rozdělení, převedeme tedy skór 112 na z-skór
•	m = 100, sx = 5

•	z = (112-100)/ sx = 12/5 = 2.4
•	pak najdeme v tabulce z-rozdělení pravděpodobnost pro z=2.4
•	z tabulky P(Z > 2.4) = 0.4918
•	odečteme od 50% (celá jedna strana z-rozdělení) a vyjde nám pravděpodobnost:
•	p = 0.5000 – 0.4918 = 0.0082

Kontrolní otázky
•	výpočet a především interpretace z-skórů
•	normální rozdělení – charakteristiky
•	rozdělení výběrových průměrů
•	výpočet směrodatné chyby

Literatura
•	Hendl: kapitoly 4 a 5