PSY117/454 Statistická analýza
dat v psychologii ­ přednáška 6
Vztahy mezi dvěma proměnnými II
Statistická predikce
Lineární regrese
Statistická predikce
Předpovídání nejpravděpodobnější hodnoty proměnné ze statistických
údajů, které již známe.
Jaký výsledek v inteligenčním testu lze nejspíše očekávat od náhodně
přišedšího, víme-li, že test má přibližně normální rozložení s průměrem m
a směrodatnou odchylkou s ?
Jaká informace by nám pomohla zpřesnit náš odhad?
jeho/její pohlaví
vzdělání
výsledek v testu paměti
výsledek v jiném inteligenčním testu
Korelace nám přímo neumožňuje určit predikovanou hodnotu (je třeba učinit
přepočet přes z-skóry), protože udává pouze těsnost vztahu (těsnost nakupení bodů kolem
nějaké přímky) nikoliv však sklon té přímky. Korelace není funkce.
AJ: statistical prediction, estimate, predicted value, line slope
K predikci je třeba funkce
Y = f (X )
funkce je ,,návod", jak ze známé hodnoty (X ) vypočítat tu neznámou (Y )
jsou různé funkce...
stanovené výčtem
trigonometrické, exponenciální a logaritmické ...
polynomické
lineární: Y = bX +a (rovná čára)
kvadratické: Y = cX2+bX +a (jedna zatáčka)
ve statistice...
tuto funkci odhadujeme (modelujeme)
Jak dobře dokážeme vyjádřit (=predikovat) proměnnou Y, pomocí proměnné X
a funkce f?
říkáme výsledku výpočtu odhad (Y ') a stanovení té funkce říkáme regrese
regrese Y na X: Y ' = f (X ) + e ,kde e = Y ­Y ' (1)
e je reziduální hodnota (reziduum), Y je závislá p., X je prediktor (nezáv.)
e představuje všechny ostatní zdroje variability vyjma X
AJ: function, polynomial, linear, quadratic, estimation, modelling, estimate n., regression, residual n., predictor, sources
of variablity(variance), dependent and independent variable
Lineární regrese I. - odhad
Y ' = a +bX + e
b ­ směrnice
a ­ průsečík
metoda nejmenších
čtverců
b = rxy(sy/sx)
a = my ­ bmx
jsou-li X a Y vyjádřeny v z-skórech, pak b = rxy
AJ: slope, intercept, least squares (estimation), regression coefficents (a,b)
Lineární regrese II. ­ úspěšnost predikce
sy
2 = sreg
2 + sres
2 (ssy=ssres+ssreg)
R 2 = sreg
2 / sy
2
Koeficient determinace (R 2)
Podíl vysvětleného rozptylu
Je ukazatelem kvality, úspěšnosti regrese
Vyjadřuje shodu modelu s daty
Pro jednoduchou lin. regr. platí R2 = r2
AJ: regression and residual variance (sum of squares), explained variance, model fit with the data, coefficient of
determination (R square)
1
)( 2
2
-
-
=

n
YY
sreg
1
)( 2
2
-
-
=

n
YY
sres
1
)( 2
2
-
-
=

n
YY
sy
Lineární regrese III. ­ příklad z Hendla
Regrese váhy na výšku (s. 239 a 268)
váha (kg) = 0,912 * výška (cm) ­ 93,24
r = 0,878 R 2 = 0,77
Lineární regrese IV. ­ předpoklady, platnost
Předpoklady oprávněnosti použití lineárně-regresního modelu
konceptuální předpoklad: vztah je ve skutečnosti lineární
rezidua mají normální rozložení
s průměrem 0
homoskedascita
=rozptyl reziduí (chyb odhadu)
se s rostoucím X nemění
Platnost modelu je omezena daty, z nichž byl získán, a teorií.
Extrapolace, neoprávněná extrapolace (jako generalizace nad rámec empirických dat)
Pozor na odlehlé hodnoty ­ jako u všech ostatních momentových statistik
AJ: assumptions of the linear regression model, residuals normally distributed, homoscedascity,
Další druhy regrese
Zde je prezentovaná pouze jednoduchá lineární regrese, tj. s jednou závislou
a jednou nezávislou proměnnou. Potřeb a možností je více.
mnohočetná (mnohonásobná) lineární regrese
Y = a +b1X1 + b2X2 + ... + bmXm
komplikují ji vztahy mezi nezávislými proměnnými
logistická regrese
pokud je závislá dichotomie, nominální proměnná
predikuje se tak pravděpodobnost jednotlivých hodnot závislé
Není-li vztah lineární, snažíme se transformovat proměnné tak, aby byl
lineární.
nelineární regrese je velmi obtížná
AJ: multiple regression, logistic regression, nonlinear regression
Hendl
kapitoly 7.3 ­ 7.3.2, 7.3.6
pro absolventy metodologie i 7.4