PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 11
TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ
PROMĚNNÉ ­ NEPARAMETRICKÉ METODY
... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky.
Smrť
Analýza četností hodnot nominální proměnné
Výzkumné otázky...
Liší se významně preference nějakých politických stran?
Liší se poměrné zastoupení kuřáků mezi ženami a muži?
Souvisí nějak preference politické strany s odhadem měsíčního příjmu
respondenta?
Otázky směřují
buď k rozdílu četností různých jevů v rámci jedné proměnné (četnost různých jevů v
jedné populaci),
k rozdílu četností jevu mezi různými proměnnými (četnost jevu v různých
populacích),
Nebo k pravděpodobnosti výskytu dvou (či více) jevů současně.
Nominální proměnná
Též kategoriální, alternativní
Zařazení jevu do určité kategorie
Jednotlivé kategorie musí být disjunktní ­ validita
Kategorie mohou vzniknout i transformací z proměnné vyššího řádu ­ kategorizace
pořadí, známek ve škole, ,,nižší úzkost x vyšší úzkost" atd.
Klíčová slova
Četnost, relativní četnost, očekávaná četnost, rezidua, 2 (Chi-kvadrát)
AJ: frequency, relative frequency, expected frequency, residuals, Chi-square
2 ­ test dobré shody
Liší se empirické četnosti nějakých jevů od teoreticky očekávaných četností?
Házení kostkou ­ kolikrát padne 1,2,...
Preference stran
H0: F(x) = F0(x) vs. H1: F(x)  F0(x)
kde k je počet kategorií, ni pozorovaná četnost v kat. i, pi je očekávaná
četnost
Rozdělení 2; stupně volnosti df = k-1
Překoná-li hodnota 2 kritickou mez, H0 zamítáme.
Pro získání pravděpodobnosti 2 CHIDIST(x,volnost); CHIINV(prst, volnost)
Očekávané četnosti... při uniformním rozložení 1:1:1...; nebo libovolně
teoretické (10:24:32...)
! N empirických = N očekávaných
=
-
=
k
i i
ii
np
npn
1
2
2 )(

AJ: Chi-square goodness-of-fit test, observed (empirical) frequency vs. expected frequency
Závislost kategoriálních proměnných
Jaká je souvislost preference politické strany a úrovně hrubého příjmu voliče?
Jaká je pravděpodobnost společného výskytu dvou jevů z x a y možných?
Podmínka disjunkce!
Kontingenční tabulka ... řádky x sloupce = r x s
Ve těle tabulky jsou četnosti jednotlivých kombinací, v okrajích tzv. marginální
četnosti ­ sumy sloupců nebo řádků. Tedy n12 znamená počet osob ve druhém
sloupci prvního řádku; počet osob, u nichž nastal jev A1 a současně B2.
B1 B2 ... Bx Řádkové součty
A1 n11 n12 ... n1s n1.
A2 n21 n22 ... n2s n2.
... ... ... ... ... ...
Ax nr1 nr2 ... nrs nr.
Sloupcové součty n.1 n.2 ... n.s n
AJ: contingency table (crosstabulation, ctosstab)
Závislost kategoriálních proměnných
Postup analogický, jako u jednorozměrné verze testu 2
Očekávané četnosti: mij
2
Stupně volnosti: df = (r-1)*(s-1)
B1 B2 ... Bx Řádkové součty
A1 n11 n12 ... n1s n1.
A2 n21 n22 ... n2s n2.
... ... ... ... ... ...
Ax nr1 nr2 ... nrs nr.
Sloupcové součty n.1 n.2 ... n.s n
n
nn
m
ji
ij
..
= = =
-
=
r
i
s
j ij
ijij
m
mn
1 1
2
2
)(

Síla vztahu v kontingenční tabulce
Koeficient kontingence (Pearson) Ckor
Cramerovo V
Ckor se interpretuje jako Pearsonova korelace, V jako R 2. Tedy Ckor
2  V.
Oba koeficienty v intervalu (0;1) Neindikují ovšem žádným způsobem ,,směr" vztahu.
Směrů je v kontingenční tabulce mnoho :-)
A proto... jsou kontingenční tabulky mnohdy účelné i tehdy, máme-li k dispozici data
na vyšší úrovni měření.
Nelineární vztahy
Možnost výpočtu reziduí: nij ­ mij = resi
Součet residuí v tabulce vždy nula
Umožňují zjistit, kde jsou lokalizovány největší odchylky od náhodného rozložení četností v
tabulce....
V SPSS: Standardizovaná rezidua (Pearsonova): rozdělení reziduí je normální s odchylkou 1;
tedy standardizovaná rezidua s hodnotou +- 1,96 jsou ,,zajímavá".
Hendl str. 297 ­ 313.
AJ: strength of association, contingency coefficient, standardized residuals
Testy středních hodnot pro ordinální
proměnné ­ neparametrické metody
Metody užívající parametrů normálního rozložení nejsou dobře
použitelné v případech, kdy
Data nepochází z normálního rozložení
Data mají ordinální charakter; nebo se jedná o krátké intervalové
škály
Jsou malé výběry
Obecně parametry m, s nedávají dobrou informaci
Neparametrické metody problém překonávají, jsou robustní
vůči rozložení dat.
Pro jeden výběr: znaménkový, ...
Pro párové srovnání: Wilcoxon, ...
Pro 2 nezávislé výběry: Mann-Whitney U, Kolmogorov-Smirnov Z
a mnoho dalších...
na velkém vzorku je ale koneckonců robustní i t-test ­ platnost
centrální limitní věty
Non-parametric, robust, data assumptions, sign test, sample distribution etc.
Příklad I
Jeden výběr, znaménkový test
Liší se hodnota medianu od stanovené?
H0: Md = Md0; H1: Md  Md0 ... =>
H0: 2 = 2
0; H1: 2  2
0
Asymptotický test pomocí normálního rozdělení:
di = xi ­ Md0; Z+ je počet kladných rozdílů, analogicky
Z-; di = 0 ignorujeme.
Platí-li H0, Z+= Z-. Z+ + Z- = n.
z = (2Z+ - n)/n
Padne-li statistika z do intervalu z/2, H0 nezamítáme.
Přesný test by využil binomického rozdělení.
Silnější alternativou je Wilcoxonův test pro jeden
výběr; zohledňuje absolutní velikost rozdílů od Md0.
Pro závislé výběry di = xi ­ yi; znaménkovým nebo W-
testem zkoumáme, zda pro H0 střední hodnota d = 0.
Neparametrické testy pro nezávislé
výběry
Mediánový test
Je­li medián dvou výběrů shodný, leží na jedné straně Md 50%
každého výběru.
Určíme Md pro celý soubor; četnosti hodnot ležících nad i pod Md
by měly být stejné pro x i y.
V asymptotické verzi testu je možné použít kvantily normálního
rozložení pro:
))()()((
)(
dccadbba
nbcad
z
++++
-
=
))()()((
)(
dccadbba
nbcad
z
++++
-
=
x y 
<Md a
>Md c d c+d
a+c
b a+b
 b+d n
Silnější alternativou je Wilcoxonův test pro nezávislé výběry nebo
Mann-Whitney U, popřípadě další...