PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 5
ZOBRAZENÍ DVOUROZMĚRNÝCH DAT
KORELAČNÍ KOEFICIENT
Všichni žijeme v matrixu.
V minulých dílech jsme viděli/y:
Frekvence = četnosti
Procenta = relativní četnosti
Údaje o střední hodnotě:
Modus, median, průměr
Údaje o variabilitě:
minimum, maximum, rozpětí
rozptyl, směrodatná ochylka
A mnohé další...
...popisné statistiky.
Popisné statistiky jsou tzv. jednorozměrné
Cílem výzkumu je často odhalit vzájemné vztahy dvou
proměnných. Metodou je analýza dvourozměrného
rozložení.
Analýza vztahů mezi dvěma proměnnými
Souvisí nějak...?
Výška a váha
Známky u jednotlivých předmětů
Známky a intelekt
Úzkost a depresivita
Roste úroveň proměnné x s proměnnou y?
Je intelekt dobrým prediktorem školního úspěchu? (=Jak
dobře můžeme ze znalosti IQ odhadnout známky?)
Čím je x vyšší/nižší, tím má y tendenci být vyšší/nižší...
Na pořadové a vyšší úrovni
Terminologická pozn.
,,Úroveň" (level) proměnné je
zde použita ve významu
,,hodnota". Např. proměnná
,,pohlaví" má 2 úrovně ­
mužské a ženské. ...
... a zde je termín ,,úroveň"
použit ve významu ,,úroveň
měření"
AJ: relationship between 2 variables; the higher/lower are the values of X, the higher/lower the values of y tend to
be; level of a variable, level of measurement, predictor
Kontingenční tabulka
známka z matematiky
celkem
1 2 3 4 5
1 82 40 8 1 0 131
2 71 200 73 17 0 361
3 4 75 109 25 0 213
4 1 7 23 24 1 56
5 0 0 2 1 2 5
celkem 158 322 215 68 3 766
známka z čj
Kontingenční tabulka...
Hodnoty je třeba přehledně uspořádat (stejně jako u tabulky četností)
Pro data všech úrovní měření, nejvhodnější pro diskrétní prom. s málo hodnotami
Buňky mohou obsahovat absolutní četnosti, rel. četnosti (řádkové, sloupcové, celkové)
Poslední sloupec/řádek obsahuje tzv. sloupcové/řádkové marginální (relativní) četnosti
Její grafickou podobou je trojrozměrný sloupcový diagram či histogram
Lineární vztah se projevuje vysokými četnostmi na jedné z diagonál (zde červená elipsa)
AJ: contingency table, crosstabulation, cells, row/column marginal frequencies, linear realtionship (vs. curvilinear (non-linear) realtionship), 3D barchart, 3D
histogram
Fuj: Tab.7.2(s239) je správně kontingenční tabulka, korelační tabulka je něco jiného
Bodový graf - scatterplot
Bodový graf ­ scatterplot
Nahrazuje kontingenční
tabulku, jsou-li obě proměnné
spojité
Každá osa reprezentuje jednu
proměnnou, každý bod je jedna
zkoumaná osoba (jednotka)
Poskytuje tím lepší evidenci o
vztahu dvou proměnných...
...čím více měření jsme
provedli
...čím přesnější jednotlivá
měření byla
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Různé podoby/druhy vztahu
Pouze takto vypadající scattery zobrazují vztah mezi 2 proměnnými, který
je lineární a dobře (=smysluplně, výstižně) popsatelný pomocí Pearsonova
korelačního koeficientu. U ostatních jde buď o vztahy nelineární, nebo je
problém v heterogenitě, outlierech...
Lineární souvislost, vztah
Lineární vztah je to, co se
obvykle míní slovem
korelace.
Je to monotónní vztah, který
se dá popsat slovy čím více
X, tím více/méně Y.
Projevuje se tak, že
scatterplot se dá proložit
,,ideální" přímkou
y = ax + b
Tato funkce/přímka popisuje
strmost vztahu.
Korelace popisuje těsnost
vztahu.
AJ: linear association, correlation, monotonous relationship
Těsnost vztahu
Čím těsnější (=intenzivnější, silnější) vztah 2
proměnných je, tím jsou body více
nahuštěny okolo nějaké přímky
Těsnost nesouvisí se sklonem té
přímky, ale pouze s tím, jak moc se
scatterplot podobá přímce.
Těsnost se udává bezrozměrným
číslem od 0 do 1, kde 0=žádný
vztah(těsnost) a 1= maximální vztah
(data na diagonále v obrázku napravo)
Znaménko udává, zda jde o vztah
čím víc, tím víc (+) nebo o vztah čím
víc, tím míň (-)
Rozsah je tedy od -1 do 1
Těsnost -> kovariance
AJ: strength of association/relationship/correlation, positive relationship, negative(inverse) relationship
Kovariance (=sdílený rozptyl)
Míru těsnosti lineárního vztahu dvou proměnných lze vyjádřit
číselně
Kovariance vypovídá o míře ,,sdíleného rozptylu"
kde x, y jsou deviační skóry, tj. odchylky od průměru
Kovariance je stejně jako rozptyl nepraktická ­ výsledek je v
jakýchsi ,,jednotkách na druhou"
i
n
i
ixy yx
n
c =-
=
11
1 Vzpomeňte si na výpočet rozptylu. Ten byl
x2
/ (n ­ 1). Tohle je xy / (n ­ 1). Místo
x*x je tu x*y, proto je to ko-variance
Tato suma je tím vyšší čím máme v sadě dat více dvojic xy, u
nichž je hodnota x i y nadprůměrná nebo podprůměrná.
Sumu naopak snižují dvojice, kde je jedna hodnota
nadprůměrná a druhá podprůměrná.
AJ: covariance, shared variance
Korelace (=standardizovaný sdílený rozptyl)
Chceme-li se zbavit obtížně interpretovatelných jednotek u kovariance,
dosáhneme toho podobně jako při výrobě z-skórů ­ podělením deviačního
skóru příslušnou směrodatnou odchylkou (=standardizace)
Zakroužkovanou část vzorce už ale známe ­ to je transformace na z-skór.
Korelace jednodušeji je tedy:
))((
1
1 1
1
1
y
y
n
i x
x
xy
s
my
s
mx
n
r
--
-
= =
1-
=

n
zz
r
yx
xy
AJ: correlation
Vlastnosti popsaného koeficientu korelace I.
Jde o tzv. Pearsonův součinový, momentový koeficient korelace
patří tedy do kategorie momentových ukazatelů (viz předchozí
přednáška) a platí pro něj podobné věci:
nutná intervalová a vyšší úroveň měření
velký vliv odlehlých hodnot na výsledek
je vhodný pro popis normálně rozložených proměnných
vyjadřuje pouze sílu(těsnost) lineárního vztahu
Nabývá hodnot v rozmezí -1 až 1
0 = žádný vztah
1(-1) = dokonalý kladný (záporný) vztah; identita
proměnných
Korelace nepopisuje funkční vztah dvou proměnných, ale pouze
jeho směr a těsnost
AJ: Pearson's product-moment correlation
Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace II.
Je vázán na homogenitu
souboru
Není aditivní
r2 = R2 = koeficient
determinace (někdy D )
= proporce sdíleného rozptylu
r = 0 neznamená, že mezi
proměnnými není žádný vztah,
znamená, že mezi nimi není
lineární vztah (viz obr.)
AJ: sample/population homogeneity, additivity, coefficient of determination
Korelační koeficienty pro pořadová data
vhodné nejen pro pořadová data, ale i pro intervalová, která mají
rozložení výrazně odlišné od normálního
zachycují i nelineární monotónní vztahy (viz Hendl, s260)
ukazatele toho, nakolik jsou pořadí podle korelovaných dvou
proměnných stejná
Spearmanův koeficient rhó ­ , rs
založený na velikosti rozdílů v pořadí
ekvivalentem Pearsonova koeficientu na pořadových datech
lze interpretovat r 2
Kendallův koeficient tau ­  (s variantami ,,b" nebo ,,c")
založený na počtu hodnot mimo pořadí
vyjadřuje spíše pravděpodobnost, že se podle obou proměnný
uspořádají do stejného pořadí
AJ: Spearman (rank correlation) rho, Kendall tau (-b,-c), rank
Korelační koeficienty další
korelačních koeficientů existuje velké
množství
specifická užití ­ např. 
zjednodušení ručních výpočtů ­ např. rpb
ještě budeme mluvit o vztazích mezi
nominálními proměnnými...
!! Korelace neznamená kauzalitu, jde spíše o koincidenci !!
AJ: phi, point-biserial correlation