Odpovědi (téma 8)


1.1 ne


1.2 ano


1.3 ano


2.1 otázka se jinými slovy ptá na směrodatnou chybu, její hodnota se rovná σ / √n = 15 / 3 = 5


2.2 z = (105-100) / 5 = 1 … 16%

pro 110 je to 2,3%


2.3 cca 68%; 95%


2.4 přibližně ano


2.5 25


2.6 1


2.7 cca 68%


2.8 ano


3.1 ano


3.2 ne, σ^2/n = σ[m]^2 a ne σ[m]


3.3 ano


3.4 ano


3.5 ne


3.6 ne, to druhé je m


3.7 ne, suma odchylek od průměru je 0


3.8 ano


4.1 95%


4.2 a)


4.3 intervalový


4.4 d)


4.5 n = 1


4.6 vyšší hladina spolehlivosti znamená širší interval


4.7 centrální limitní teorém


4.8 ano, ale hodnota σ[m ]se pro různá n liší


4.9 ne, protože v obou případech budeme interval spolehlivosti konstruovat okolo jiného výběrového
průměru


4.10 n = 100


5.1 m[IQ]=98; s[IQ]11; n=30

·                     pokud bychom chtěli využít receptář Oseckých, pak budeme hledat sekci Ii (I
výběr, intervalová proměnná) a v ní recept na proceduru I μ S (μ-průměr, interval Spolehlivosti)

·                     hledáme interval spolehlivosti se středem v m a takovou šířkou, aby s 95%
pravděpodobností zahrnoval μ.

·                     α = 0,05 ... 95% interval spolehlivosti

·                     průměr má výběrové rozložení t  s průměrem m a výběrovou chybou s[0 ]= s/√n =
11/5,5 = 2

·                     interval tedy bude mít podobu [m-X.s[0] ; m+X.s[0]], kde X je hodnota
t-rozložení odpovídající 2,5. a 97,5. percentilu (kvantil 0,025 a 0,975; tj. α/2 a 1-α/2), mezi
nimiž se nalézá 95% rozložení výběrových průměrů

·                     naše t-rozložení má ν = n – 1 = 29 stupňů volnosti

·                     kvantily nalezneme nejsnáze pomocí Excelu nebo v tabulkách t-rozložení –
protože t-rozložení je symetrické [α/2]t(ν) = –[1-][α][/2]t(ν); Excel umí hledat jen [α][/2]t(ν)

·                     (X) = [α][/2]t(ν) = TINV(α;ν) = TINV(0,05;29) = 2,05 (ta α místo α/2 je ve
vzorci proto, že Excel si z nějakého důvodu dodanou hodnotu v tomto vzorci sám vydělí dvěma)

·                     zkonstruujeme interval spolehlivosti: [m-X.s[0] ; m+X.s[0]] = [98-2.05*2;
98+2.05*2] = [93,9; 102,1]


5.2 r = -0,1; n = 30

·                     pro tohle recept u Oseckých nenaleznete, ale zkuste to porovnat s receptem I
ρ H na str. 19

·                     postup je stejný jako v předchozím případě, pouze s jedním krokem navíc –
z-transformací

·                     α = 0,05 … 95% interval spolehlivosti

·                     výběrové rozložení korelace neznáme (Hendl 252); když se ale korelační koef.
urč. způsobem přetransformuje, pak výběrové rozložení této transformované statistiky známe – jde o
normální rozložení s s[0]=1/√(n-3)

·                     jde o Fisherovu z-transformaci: z = 0,5 ln((1+r)/(1-r)) – to je totéž, co
funkce hyperbolický arkustangtens (arctgh), není nutné to počítat, v Excelu to počítá funkce
FISHER(r))

·                     takže v našem případě: z = FISHER(-0,1) = -0,10034 (čím dále od nuly, tím
více se bude z a r lišit, maximem z je nekonečno)

·                     interval tedy bude mít podobu [z-X*s[0] ; z+X*s[0]], kde X je hodnota
normálního rozložení odpovídající 2,5. a 97,5. percentilu (kvantil 0,025 a 0,975; tj. α/2 a 1-α/2),
mezi nimiž se nalézá 95% rozložení výběrových z-transformovaných korelací

·                     s[0]=1 / √(30-3) = 0,19

·                     kvantily nalezneme nejsnáze pomocí Excelu nebo v tabulkách normálního
rozložení (nebo si vzpomeneme na 1,96

·                     protože normální rozložení je symetrické [α][/2]u = –[1-][α][/2]u

·                     (X)=[α][/2]u = NORMSINV(α/2) = NORMSINV(0,025) = -1,96 (nás zajímá jen abs.
hodnota)

·                     zkonstruujeme interval spolehlivosti: [z-X*s[0] ; z+X*s[0]] =
[-0,10037-1,96*0,19 ; -0,10037+1,96*0,19] = [-0,47 ; 0,27]

·                     tohle je ale interval v z-transformovaných hodnotách, musíme tedy ještě jeho
meze transformovat zpět na koeficient r; k tomu slouží v Excelu FISHERINV (neboli TGH

·                     [fisherinv(-0,47) ; fisherinv(0,27)] = [-0,51 ; 0,28]


6.1 Průměr je M = 366,67 a směrodatná odchylka s = 149,35.


6.2 Použije se t-rozdělení, neboť neznáme populační rozptyl rychlosti čtení. Kdybychom ho znali,
pak můžeme použít normální rozdělení.


6.3 Směrodatná chyba odhadu průměru je s[m] = s / √n = 60,97. Příslušné t-rozdělení bude mít 5
stupňů volnosti (n-1), kvantil [0,975]t(5) = 2,571 (v excelu lze využít funkce TINV(0,05; 5)).
Příslušný konfidenční interval bude mít meze M – [0,975]t(5) * s[m] = 209,93 a M + [0,975]t(5) *
s[m] = 523,40.

95% interval spolehlivosti je (209,93; 523,40).


6.4 99% interval spolehlivosti bude širší. Kdybychom daný pokus a výpočet zopakovali stokrát, pak
v případě 95% intervalu by skutečná hodnota průměru ležela v 95 případech v nalezeném intervalu. V
99% intervalu by skutečná hodnota měla ležet v 99 případech, je tedy logické, že tyto intervaly
musí být širší. Analogickým postupem k minulému dospějeme k intervalu (120,81; 612,52).


6.5 Intervaly spolehlivosti budou výrazně užší, odhad průměru tedy bude přesnější. Změní se
směrodatná chyba odhadu průměru (s[m] = s / √n = 35,20) a t-rozdělení – bude mít 17 stupňů
volnosti, vyjdou tedy nižší kvantily – [0,975]t(17) = 2,110.

95% interval spolehlivosti je (292,39; 440,94).


7.1 Časy z jednotlivých měření není třeba brát v úvahu, stačí počítat pouze s rozdíly časů; průměr
rozdílů je M = 20,7, směrodatná odchylka s = 10,53, směrodatná chyba odhadu průměru s[m] = 3,33 a
příslušný kvantil [0,975]t(9) = 2,26 (v excelu TINV(0,05; 9)).

95% interval spolehlivosti je (13,17; 28,23).

7.2 Směrodatná chyba odhadu průměru je s[m] = 1,090, kvantil [0,975]t(46) = 2,013.

95% interval spolehlivosti je (14,17; 18,56).


8. Průměr je M = 0,4845, směrodatná odchylka s = 0,0191, směrodatná chyba odhadu průměru s[m] =
0,0068 a kvantil [0,975]t(7) = 2,365.

95% interval spolehlivosti je (0,4685; 0,5005); neboli, na 95% hladině spolehlivosti nemohou
prohlásit, že je výčepní okrádá (hodnota 0,5 spadá do intervalu).


9.1 Znalost populační směrodatné odchylky ovlivní rozdělení, které použijeme – místo t-rozdělení
vezmeme normální rozdělení. Průměr je M = 125, směrodatnou chybu odhadu průměru je 4,74 (vypočítáme
ji pomocí populační směrodatné odchylky). Příslušný kvantil normálního rozdělení je u[0,975] =
1,96.

95% interval spolehlivosti vychází (115,70; 134,30).


9.2 Nyní tedy použijeme t-rozdělení. Průměr je stejný M = 125, směrodatná odchylka vychází 14,99,
směrodatná chyba odhadu průměru 4,74, kvantil [0,975]t(9) = 2,26.

95% interval spolehlivosti odhadu průměru je (114,27; 135,72). Při použití t-rozdělení je interval
širší, ačkoli výběrová směrodatná odchylka se prakticky shoduje s populační. Příslušné kvantily
t-rozdělení jsou vyšší než normálního, nejvýraznější jsou tyto rozdíly u nízkých stupňů volnosti.


9.3 Výběrový rozptyl je 224,67, rozptyl po transformaci má rozdělení chí-kvadrát, příslušné
kvantily pro 9 stupňů volnosti a pro pravděpodobnosti 2,5% a 97,5% jsou 2,70 a 19,02 (lze je
vypočítat v excelu pomocí CHIINV(0,025; 9) a CHIINV(0,975; 9)). Meze intervalu spolehlivosti
vypočítáme jako (n – 1) * s^2 / 19,02 a (n – 1) * s^2 / 2,70.

95% interval spolehlivosti pro rozptyl je (106,29; 748,78). Pokud by nás zajímal interval
spolehlivosti pro směrodatnou odchylku, získáme jej odmocněním: (10,31; 27,36).


9.4 Rozdíl je jenom v kvantilech, pro 0,5% a 99,5% jsou 1,73 a 23,59.

99% interval spolehlivosti pro rozptyl je (85,72; 1165,48), pro směrodatnou odchylku (9,26; 34,14).


10. Příslušné kvantily chí-kvadrát rozdělení jsou 140,169 a 67,328. Tedy:

99% interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku tedy je (1,419; 2,047).


11. Směrodatná chyba odhadu průměru 0,748, kvantil t-rozdělení je 2,064.

95% interval spolehlivosti pro odhad průměru je (5,466; 8,554).

Příslušné kvantily chí-kvadrát rozdělení jsou 39,364 a 12,401, tedy:

95% interval spolehlivosti pro odhad směrodatné odchylky tedy je (2,92; 5,203).


12. Známe populační směrodatnou odchylku, použijeme normální rozdělení. Směrodatná chyba odhadu
průměru je s[m] = 1,652, kvantil u[0,975] = 1,96.

95% interval spolehlivosti je 135,89 < m < 142,37.


13. Nejprve se použije Fisherova transformace (tzv. z-transformace):

z = 0,5 * ln ((1 + r) / (1 – r))   (ekvivalentní je funkce  arctanh(r), hyperbolický arkustangens,
kterou umí kalkulačky)

Rozdělení z je pro n > 10 přibližně normální s průměrem a rozptylem:


Po této transformaci dostaneme z = 0,4847 a s[z] = 0,2425. Příslušný kvantil normálního rozdělení
je 1,96, netransformovaný interval spolehlivosti je (0,0093; 0,9601) – ten se ale týká z, nikoli
samotné korelace. Musíme provést inverzní transformaci:

r = ( e^2z – 1 ) / ( e^2z + 1 ) (ekvivalentní je funkce  tanh(z), hyperbolický tangens, kterou umí
kalkulačky)

Po transformaci mezí intervalu vychází 95% interval spolehlivosti pro Pearsonův korelační
koeficient (0,0093; 0,7443).


14. Nie je možné nulovú hypotézu zamietnuť, pretože interval spoľahlivosti ukazuje, že hodnota 20
je pravdepodobná hodnota parametra populácie.


15. a, d – štúdia testuje rozdiel medzi priemermi a signifikantný rozdiel by mal byť väčší alebo
menší ako 0. Potom intervaly spoľahlivosti, ktoré neobsahujú nulu reprezentujú štatisticky významné
zistenia.


16. interval spoľahlivosti 99% obsahuje všetky hodnoty ktoré má interval spoľahlivosti 95% a
zároveň ho rozširuje. Ak nie je niečo významné na hladine 0,05, nebude to významné ani na hladine
0,01.