PSY117 2016
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 4
Počet pravděpodobnosti
Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen
o 50%.
anonym

oPravděpodobnost je matematickým vyjádřením, modelem nejistoty
o
oNejistota je subjektivní nedostatek informací
nMůžeme hledat chybějící informace
nNěkdy to neumíme, nechceme, nemůžeme – a začneme uvažovat pomocí pravděpodobností, tj. použijeme
matematický model.

Mince vs. pád vlády. Obojí je spojenou s nějakou pravděpodobností, ale způsob usuzování o té
pravděpodobnosti se bude člověk od člověka lišit.
Alt.: Ublíží si klient, který tím vyhrožuje? Uspěje vybraný uchazeč o zaměstnání? Má člověk, který
uspěl v IQ testu skutečně vysoce nadprůměrný intelekt?

Pravděpodobnost jevu
oPravděpodobnost, že nastane jev A
njistý jev: P = 1
nnemožný jev: P = 0
njisté a nemožné jevy se vyskytují pouze v teorii
o2 pojetí pravděpodobnosti
nčetnostní (statistické): z n náhodných pokusů nastal jev A n(A)-krát
oP(A) = n(A)/n   , blíží-li se počet pokusů ∞ (populaci)
nsubjektivní jistota, zejm. p-nost jednotlivých událostí, relativní četnosti jsou informací, která
je součástí p-nostního úsudku
o
oAJ: probability, event, random trial, subjectivist vs. frequentist probability

P=1: Jaká je pravděpodobnost, že čtverec o straně dlouhé 1m má obsah 1m2?
P=0: Platí-li, že každý medvěd je živočich a že Brumík je medvěd, jaká je pravděpodobnost, že
Brumík není medvěd?
Empirické: Jaká je pravděpodobnost, že náhodný respondent získá v IQ testu výsledek 145? (alespoň
145?).
From Applebaum 2008:
p.1: …to demonstrate that these two concepts of ‘chance’ and ‘information’ are more closely related
than you might think.
p.2: Formally, this means that we are regarding ‘chance’ as a relation between individuals and
their environment. So long as the
outcome of the experience cannot be predicted in advance by the person experiencing it (even if
somebody else can), then chance is at work. This means that we are regarding chance as
‘subjective’.
p4. probability is a mathematical term which we use to investigate properties of mathematical
models of chance phenomema (usually
called probabilistic models). So ‘probability’ does not exist out in the real world.

Jevy a náhodné pokusy
oJevy
n≈ hodnoty proměnných – např. Petr má IQ = 150, Petr má dyslexii
nvzorek 15 IQ (lidí) – 15 jevů
n…a jejich kombinace (složené jevy)
nnáhodné vs. deterministické, 2: neslučitelné(disjunktní), ekvivalentní
ndoplňkový jev (A’, not A)
oPole jevů
nmnožina hodnot, kterých může proměnná/é nabývat
oNáhodný pokus
nsituace, kdy z pole jevů může nastat jeden nebo více jevů. Náhodným pokusem získáváme z pole jevů
jev.
n≈ výběr a změření člověka, hod kostkou
nnelze určit, který jev nastane & lze opakovat bez vzájemného ovlivňování
oNáhodná proměnná vzniká opakováním náhodného pokusu.
o
oAJ: event (outcome), sample space, random trial, random vs. deterministic events, mutally
exclusive events, equivalent events

Konkrétní data (sloupeček/sloupečky) jsou pak „složený jev“ a můžeme se ptát, jaká je
pravděpodobnost, že realizací výzkumu (výzkum je pak náhodným pokusem) získáme právě data, která
jsme získali …. maximum likelihood postupy.
Důležité je uvědomit si, co je v našem konkrétním případě „jev“.

Počítání s pravděpodobnostmi
o„NEBO“ – součet jevů - nastane jev A nebo jev B [nebo oba, nejsou-li disjunktní]
nP(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
opř. disj. náhodně vybraný člověk má základní vz. nebo je vyučen .
o„A“ – součin jevů - nastane jev A a zároveň nastane jev B
nP(A∩B) = P(A) . P(B)                 P(A∩B) = P(A&B)
opř. náhodně vybraný člověk je psycholožka (pohlaví=žena, povolání=psychologie)
oKombinatorika – velikost pole jevů
npermutace n prvků
nvariace a kombinace r prvků z n-prvkové množiny
oŠance – odds - častý způsob vyjádření pravděpodobnosti
npř. šance Komety na vítězství jsou 1:10
nO(A) = P(A) / P(A’) = P(A) / (1−P(A))
nPoměr šancí (OR): obvyklý způsob srovnání šancí ve 2 skupinách: OR12=O1/O2
o
oAJ: and, or, addition, multiplication, probability calculus, permutations, combinations, odds,
odds ratio

Demonstrovat u sjednocení Lindu a heuristiku reprezentativnosti.

Podmíněná pravděpodobnost
oPravděpodobnost jevu A, pokud nastal jev B(=podmínka)
o
nP(A|B) = P(A∩B) / P(B)
nP(A∩B) = P(B) . P(A|B)
n
o
oPř. Kuřáků je v populaci 30%, tedy P (Kou+) = 0,3.
n12% lidí má jak rakovinu, tak návyk na kouření:  P (Rak+ ∩ Kou+)=0,12
nJsem-li kuřák, jaká je pro mě pravděpodobnost onemocnění rakovinou?
n
nKouří-li člověk (nastalý jev B), je riziko onemocnění rakovinou (P jevu A)
n P (Rak+ |Kou+) = P (Rak+ ∩ Kou+) / P (Kou+) = 0,12/0,3=0,4
o
o
oAJ: conditional probability, likelihood, Bayes’s theorem

Podmíněné pravděpodobnosti
ve čtyřpolní tabulce
A
B
Celkem
Jev B nastal
B nebo B+
Jev B nenastal
B’  nebo B−
Jev A nastal
A   nebo A+
P(A∩B)
P(A∩B’)
P(A)
Jev A nenastal
A’  nebo A−
P(A’∩B)
P(A’∩B’)
P(A’)
Celkem
P(B)
P(B’)
1
Tabulka funguje stejně, když místo pravděpodobností obsahuje četnosti či relativní četnosti   GERD
GIGERENZER

Podmíněné p-nosti a teroristé
oFBI chtělo možnost neomezených odposlechů. Automatický analyzátor hovorů dokáže s 99% přesností
identifikovat po hlase teroristu: P(I+|T+) = P(I-|T-) = 0,99.
oJaká je P, že člověk, kterého začne FBI vyšetřovat, je ve skutečnosti nevinný?
oJe-li člověk identifikován systémem (I+), jaká je p-nost neviny (T−):  P(T−|I+)?
oV populaci terorista 1 z 100 000 (3000 z 300 000 000 v USA), P(T+)=0,00001.
n99% z teroristů je identifikováno: P(I+∩T+)=0,99x0,00001=0,0000099
n1% teroristů není identifikováno: P(I−∩T+)=0,01x0,00001= 0,0000001
oNeteroristů je 99999 z 100 000 (299 997t z 300 000t v USA), P(T−)=0,99999.
n99% z neteroristů je OK: P(I−∩T−)=0,99x0,99999=0,9899901
n1% neteroristů je identifikováno: P(I+∩T−)=0,01x0,99999= 0,0099999
oP(I+) = P(I+∩T+) + P(I+∩T−) = 0,0100098 , tj. 300294 lidí
oP(T− |I+) = P(I+∩T−)/P(I+) = 0,0099999 / 0,0100098 = 0,999  ... 999 z 1000
o
Savage, Wainer (2008)

U teroristy demosntrovat, že P(I+|T+) je 99% - udaná chybovost. Otázka ale zní na P(T-|I+).

Detekce teroristů
Předpoklady: P(I+|T+)=P(I-|T-)=0,99;   P(T+)=0,00001   a   N=300M
Výsledek identifikace
Je terorista?
Celkem
ANO
T+
NE
T-
I+
2970
2 999 970
3 002 940
I-
30
296 997 030
296 997 060
Celkem
3000
299 997 000
300M

BAYESŮV TEORÉM
Přepočet mezi P (A|B) a P (B|A)
n
n
n
o
o
o
o
§P(A) – apriorní p-nost, prior, prevalence
§vyjadřuje P jevu A, když ještě nevíme nic o jevu B
§bez další info. je P, že náhodný telefonista je terorista, 0,00001
§P(B|A) – likelihood
§vyjadřuje P jevu B, pokud nastal jev A
§vyjadřuje P pozitivní identifikace teroristy: 0,99
§P(B) – marginální likelihood
§prevalence/pravděpodobnost jevu B bez ohledu na jev A
§P zazvonění u naší detekční mašinky P(I+): cca 0,01
§P(A|B) – posteriorní p-nost, posterior
§P jevu B se zohledněním znalosti jevu A
§Zazní-li signál mašinky, P stoupne na 0,001
§
§

Příklad s teroristy bayesovsky
oPředpoklady:
nPrior: P(T+)=0,00001
nLikelihood: P(I+|T+) =0,99
nMarginální likelihood =P(I+)=
n = P(T+)P(I+|T+)+P(T-)P(I+|T-)= 0,00001*0,99+0,99999*0,01 = =0,0100098  [víme-li, že
P(I-|T-)=0,99, pak P(I+|T-)=1-0,99=0,01]
nP(T+|I+)=?
o
o
oP(T+|I+)=(0,00001*0,99)/0,0100098= 9,89e-4 = 0,001
o

oPřepočet mezi P (A|B) a P (B|A)
oAktualizace pravděpodobnosti události pomocí nové informace
oPorovnání P dvou hypotéz – Bayes factor
o
o
o
oposterior odds     prior odds   BF
BAYESŮV TEORÉM

opř. Test na LMD má 15% chybovost: P (T-|L+)=0,15 ; P (T+|L-)=0,15
n
nPrevalence LMD je 5%: P (L+)=0,05
nPrior odds: P(L+)/P(L-)=0,05/0,95=0,52
nBF= P (T+|L+)/P (T+|L-)=0,85/0,15=5,67
n
nPosterior odds: prior x BF = 0,52 x 5,67 = 0,29:1
nI po testu je cca 3x menší pravděpodobnost, že dítě LMD má, než že ho nemá
n
nJaká je P, že má LMD?  P (L+|T+)=?
nP (L+|T+) = P (L+).P (T+|L+) / [P (L+).P (T+|L+) + P (L-).P (T+|L-)] =
n = 0,05 . 0,85 / (0,05 . 0,85 + 0,95 . 0,15) = 0,23
o

Podmíněné pravděpodobnosti
v diagnostické praxi
Skutečný stav
Výsledek testu
Celkem
Pozitivní T+
Negativní T−
Má, co hledáme Dg+
Úspěch (a)
Neúspěch (b)
false negatives
% Lidí s Dg (a+b)
 Prevalence
Nemá, co hledáme Dg−
Neúspěch (c)
false positives
Úspěch (d)
Lidí bez Dg (c+d)
Celkem
 % T+ testů (a+c)
% T-testů (b+d)
Př. Z manuálu Addenbrookského kognitivního testu
Význam testu pro záchyt syndromu demence
Skóruje-li pacient 88 bodů a méně, je senzitivita pro demenci 94 % a specificita 89 %.
Zvolíme-li přísnější kritérium (hranici 82 bodů a méně), je senzitivita 84% a specificita 100%.

Podmíněné šance a další statistiky
oMyšlenku „podmíněnosti“ aplikujeme na všechny statistiky, netýká se jen p-ností
oVždy jde o hodnotu dané statistiky pro skupinu lidí (populaci) definovanou nějakou podmínkou
oPodmíněné šance
oPodmíněné průměry, rozptyly…

ROC analýza (Receiver Operating Curve)
oPočítání specificity a senzitivity pro různá kritéria (cut-off scores) s cílem identifikovat
optimální poměr specificity a senzitivity
oRučně pracné
nSPSS
o

PRAVDĚPODOBNOSTNÍ ROZLOŽENÍ
o


Pravděpodobnost různých hodnot proměnné X
oJe-li proměnná náhodná (tj. její hodnoty lze považovat za výsledek náhodných pokusů) …jaká je P
výskytu jednotlivých hodnot?
nVzpomeňme si, že  P(A) = n / m   , blíží-li se počet pokusů ∞ (populaci)
o
oMáme-li tedy dost velký, náhodně vybraný vzorek, pak P výskytu jednotlivých hodnot → jejich
relativní četnost
o
oKdybychom z populace(vzorku) náhodně vylosovali jednu hodnotu(jedince), jaká je pravděpodobnost,
že bude mít hodnotu X=k?
oJak pravděpodobné jsou různé hodnoty?
o
o
o
o
o
o
o
o

Pravděpodobnostní rozložení náhodné proměnné
oPravděpodobnostní rozložení = teoretické rozložení rel. četností
nU diskrétních proměnných uvažujeme o P  výskytu jednotlivých hodnot.
o
o
o
o
o
o

U spojitých proměnných neuvažujeme o P výskytu jednotlivých hodnot (∞), ale spíše o p výskytu
hodnot v intervalech – hustota pravděpodobnosti


Distribuční funkce
oP-nostní rozložení je častěji popsáno (kumulativní) distribuční funkcí (CDF)
oCDF(k) =  P (X≤k)  tj. P  výskytu hodnot ≤ k
oNabývá hodnot od 0 do 1
oNeklesá
oP  je rovna „ploše oblasti pod křivkou hustoty pravděpodobnosti“ od -∞ do k
o„jako“ percentily
n
n
n
n
AJ: random variable, probability distribution, (cumulative) distribution function (CDF),
probability density

Empirické vs. teoretické distribuční funkce
oEmpirická rozložení
nzískaná z dat
n„hrbolatá“
oTeoretická rozložení
npředpokládaná, odvozená z teorie
n„hladká“, jednoduchá

Důležitá p-nostní rozložení
oNormální
oPoissonovo
oStudentovo t-rozložení
oFisherovo F-rozložení
oc2-rozložení (chí-kvadrát)
oBinomické
o
oVyjma binomického se všechna uvedená rozložení používají jako přibližné (asymptotické) ideály,
jimž by se rozložení našich proměnných (nebo statistik) blížilo, kdybychom měli obrovský a
reprezentativní vzorek.
o

Standardizované normální rozložení N(0; 1)



oKolik lidí má ukazováček dlouhý 5 až 6cm?
oPředpokládáme, že rozložení délek ukazováčků je normální s M=7cm a SD=1cm.
o
o

Kvantily standardního normálního rozložení N(0;1)
alias oblasti pod křivkou normálního rozložení
normalcurveLQ
upraveno dle Glass, Hopkins, s. 88

o