http://www.newyorker.com/images/2010/12/06/cartoons/101206_cartoon_059_a15439_p465.gif
PSY117
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 5 2016
VZTAHY MEZI PROMĚNNÝMI
KORELAČNÍ KOEFICIENT

(c) Stanislav Ježek, Jan Širůček
Sloupcový diagram s tříděním
- vztah mezi dvěma kategorickými proměnnými

Histogramy pro dvě skupiny – vztah mezi kategorickou a metrickou proměnnou












Vztah mezi proměnnými
oProměnné jsou ve vztahu…
n… když z hodnot jedné proměnné lze usuzovat na    možné hodnoty druhé proměnné
PRAVDĚPODOBNOST
n… když se rozložení (statistiky) jedné proměnné liší          ve skupinách vymezených hodnotami
proměnné   druhé                                                        PODMÍNĚNOST
n… když se určité kombinace hodnot první a druhé proměnné vyskytují častěji, než bychom čekali
(=součin pravděpodobností kombinovaných hodnot)
n
oAJ: association

Výzkumné otázky…
oHypotézy o vzájemné souvislosti jevů:
nPredikuje intelekt akademický úspěch?
nMají dobří češtináři i dobré známky z matematiky?
nExistuje souvislost mezi mírou depresivní a anxiózní symptomatiky?
nJsou měsíční příjem a délka pracovní doby dobrými prediktory životní spokojenosti?
nJsou různá umělecká nadání specifická, nebo vycházejí ze stejného „všeobecného“ talentu?

Vztahy vs. kauzální vztahy
oPozorujeme zvýšenou pravděpodobnost společného výskytu 2 jevů (hodnot)
oÚsudek na příčinu je problematický – založen na teorii a výzkumném designu, který vyprodukoval
data
oÚsudek na příčinu je potřebný
ntvorba teorie, úsudek o stabilitě v čase
nrozlišování mezi náhodou a pravidelnostmi
n

Lampy

Statistické zachycení vztahu
o… závisí na úrovni měření vztahovaných proměnných – kategorické X metrické
Kategorická
Metrická
Kategorická
Kontingenční tabulka
Složený sloupcový diagram
Chí-kvadrát
Metrická
Složené podoby jednorozměrných zobrazení
Rozdíl popisných statistik
Bodový diagram
Korelace

Klasifikace proměnných z hlediska funkce v problému
oCílem výzkumu je obvykle prověřovat kauzální vztahy
n…na úrovni humanitních věd velmi ambiciózní J
nStatistická analýza nemá potenciál ke zjištění nebo testování kauzality. To je úlohou designu
výzkumu a teoretického zpracování.
nŠpatně sebraná data (nevhodný design) nelze zachránit sebelepší analýzou.
oKlasifikace proměnných:
nZávislé, nezávislé, intervenující
nExogenní, endogenní, moderátory, mediátory
nObvykle není možné identifikovat  všechny intervenující proměnné…
Přímý efekt
mediace
Intervenující proměnná s přímým efektem

Kontingenční tabulka


známka z matematiky
celkem
1
2
3
4
5
známka z čj
1
82
40
8
1
0
131
2
71
200
73
17
0
361
3
4
75
109
25
0
213
4
1
7
23
24
1
56
5
0
0
2
1
2
5
celkem
158
322
215
68
3
766
oKontingenční tabulka…
nHodnoty je třeba přehledně uspořádat (stejně jako u tabulky četností)
nPro data všech úrovní měření, nejvhodnější pro diskrétní prom. s málo hodnotami
nBuňky mohou obsahovat absolutní četnosti, rel. četnosti (řádkové, sloupcové, celkové)
nPoslední sloupec/řádek obsahuje tzv. sloupcové/řádkové marginální (relativní) četnosti
nJe grafickou podobou je trojrozměrného sloupcový diagramu či histogramu (může obsahovat i
intervaly)
nRelativně vysoké četnosti v jedné z diagonál naznačují lineární provázanost proměnných
o
AJ: contingency table, crosstabulation, cells, row/column marginal frequencies, linear relationship
(vs. curvilinear (non-linear) relationship),


Pohlaví
Celkem
1 muž
2 žena
Kterou z nabízených nadpřirozených schopností byste nejvíc chtěli?
1 neviditelnost
n
6
16
22
%
35,3%
48,5%
44,0%
2 super rychlost
n
0
5
5
%
0,0%
15,2%
10,0%
3 super inteligenci
n
11
12
23
%
64,7%
36,4%
46,0%
Celkem
n
17
33
50
%
100,0%
100,0%
100,0%

Bodový graf - scatterplot
oBodový graf – scatterplot(scattergram)
oNahrazuje kontingenční tabulku, jsou-li obě proměnné spojité; pro proměnné s málo body měření nemá
smysl
oKaždá osa reprezentuje jednu proměnnou, každý bod je jedna zkoumaná osoba (jednotka)
oPoskytuje tím lepší evidenci o vztahu dvou proměnných…
n…čím více měření jsme provedli
n…čím přesnější jednotlivá měření byla
oPočet stejných měření může reprezentovat např. velikost bodu
nFrequency scatterplot

Ukazováček [cm]
14
12
10
8
6
4
2
14
12
10
8
6
4
2
Žena
Muž

Různé podoby/druhy vztahu
Corr-example


Lineární souvislost, vztah
oLineární vztah je to, co se obvykle míní slovem korelace.
oJe to monotónní vztah, který se dá popsat slovy čím více X, tím více/méně Y.
oProjevuje se tak, že scatterplot se dá proložit „ideální“ přímkou
ny = ax + b
nTato funkce/přímka popisuje strmost vztahu.
nKorelace popisuje těsnost vztahu.
AJ: linear association, correlation, monotonous relationship

Těsnost vztahu
oČím těsnější (=intenzivnější, silnější) vztah 2 proměnných je, tím jsou body více nahuštěny okolo
nějaké přímky
oTěsnost nesouvisí se sklonem té přímky, ale pouze s tím, jak moc se scatterplot podobá přímce.
oTěsnost se udává bezrozměrným číslem od 0 do 1, kde 0=žádný vztah(těsnost) a 1= maximální vztah
(data na diagonále v obrázku napravo)
oZnaménko udává, zda jde o vztah čím víc, tím víc (+) nebo o vztah čím víc, tím míň (-)
oRozsah je tedy od -1 do 1
oTěsnost -> kovariance
Corr-example
AJ: strength of association/relationship/correlation, positive relationship, negative(inverse)
relationship

6. Odhadněte, jaká je korelace mezi níže uvedenými dvojicemi proměnných – pozitivní, negativní,
nebo nulová?
   a) výška v cm, váha v kg
   b) věk v měsících, čas v běhu na 50 metrů
   c) známka z matematiky, známka ze čtení
   e) známka z matematiky, počet zameškaných hodin za rok
   f) IQ, rodné číslo
   g) zájem o sport, zájem o politiku
   h) počet km na tachometru auta, rok výroby auta
   i) maximální denní teplota, množství vody spotřebované za den domácnostmi
7. Pokud by ve skutečnosti byla odpověď na variantu h) předchozí otázky -0,8, jak by se korelace
změnila, kdybychom místo proměnné „rok výroby auta“ použili proměnnou „stáří auta“?

Kovariance (=sdílený rozptyl)
oMíru těsnosti lineárního vztahu dvou proměnných lze vyjádřit číselně
oKovariance vypovídá o míře „sdíleného rozptylu“
o
o
o
o
o
okde x, y   jsou deviační skóry, tj. odchylky od průměru
oKovariance je stejně jako rozptyl nepraktická – výsledek je v jakýchsi „jednotkách na druhou“
Vzpomeňte si na výpočet rozptylu. Ten byl Sx2 / (n – 1). Tohle je Sxy / (n – 1). Místo x*x je tu
x*y, proto je to ko-variance
Tato suma je tím vyšší čím máme v sadě dat více dvojic xy, u nichž je hodnota x i y nadprůměrná
nebo podprůměrná. Sumu naopak snižují dvojice, kde je jedna hodnota nadprůměrná a druhá
podprůměrná.
AJ: covariance, shared variance

. Jsou-li směrodatné odchylky dvou korelovaných proměnných s[X ]= 3 a s[Y ]= 15, jaká je maximální
možná kovariance těchto proměnných? (r[XY] = c[XY]/s[X]s[Y]).

Korelace (=standardizovaný sdílený rozptyl)
oChceme-li se zbavit obtížně interpretovatelných jednotek u kovariance, dosáhneme toho podobně jako
při výrobě z-skórů – podělením deviačního skóru příslušnou směrodatnou odchylkou (=standardizace)
o
o
o
o
o
oZakroužkovanou část vzorce už ale známe – to je transformace na z-skór. Korelace jednodušeji je
tedy:
o
o
o
o
AJ: correlation

Pokud r=1 a z[x] =-0,5, kolik je z[y]? A pokud r=-1 a z[x] = 0,8, kolik je z[y]?
Předpokládejme, že bychom udělali odhad výšky a váhy každého studenta psychologie, který si letos
zapsal PSY117. Potom bychom spočítali r[OVáhaOVýška]. Jaká by byla vypočtená korelace v porovnání
s korelací spočítanou na výškách a váhách změřených metrem a váhou?
18. Studie 280 studentů učitelství udává téměř nulovou korelaci (r = 0,1) mezi studijními výsledky
(průměr známek) a schopností vyučovat (hodnocení zkušeným učitelem při cvičné hodině). Studie dále
udává, že korelace mezi hodnoceními těchto 280 studentů dvěma nezávislými zkušenými učiteli je
0,21. Jak tato druhá informace ovlivní vaši interpretaci korelace mezi studijními výsledky a
schopností vyučovat?

Vlastnosti popsaného koeficientu korelace I.
oJde o tzv. Pearsonův součinový, momentový koeficient korelace
npatří tedy do kategorie momentových ukazatelů (viz předchozí přednáška) a platí pro něj podobné
věci:
onutná intervalová a vyšší úroveň měření
ovelký vliv odlehlých hodnot na výsledek
oje vhodný pro popis normálně rozložených proměnných
ovyjadřuje pouze sílu(těsnost) lineárního vztahu
oNabývá hodnot v rozmezí -1 až 1
n0 = žádný vztah
n1(-1) = dokonalý kladný (záporný) vztah = identita proměnných = přímá úměra
oKorelace nepopisuje funkční vztah dvou proměnných, ale pouze jeho těsnost.
AJ: Pearson’s product-moment correlation

Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace II.
or2 = koeficient determinace (někdy D, R2 )
n= proporce sdíleného rozptylu
nV důsledku toho:
o0,3-0,1 ≠ 0,7-0,5
or = 0 neznamená, že mezi rozděleními proměnných není žádná souvislost, znamená pouze, že mezi nimi
není lineární vztah.
AJ: sample/population homogeneity, additivity, coefficient of determination

Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace III.
oKdy nemá korelace smysl?
nV1: Kolik hodin denně sledujete televizi?
nV2: Kolik hodin denně sledujete televizní zpravodajství?
nProč? J
oKorelace proměnných se společnou příčinnou:
nSwoboda: platy kněžích a ceny vodky v průběhu doby korelují!
nIQ dětí a velikost a jejich výška prý také…
n… kovariance proměnných se společnou příčinnou je základem dalších metod analýzy dat v
psychologii: analýzy reliability a faktorové analýzy.

Další příklad – věk a počet narozenin, počet nemocí, počet partnerů…
Jedna studie o infarktech uvádí, že lidem, kteří chodí pravidelně do kostela, hrozí nižší riziko
infarktu, než lidem, kteří do kostela nechodí. Který z následujících výroků je pravdivý?
a) Když začnete chodit pravidelně do kostela, vaše riziko, že dostanete infarkt se určitě sníží.
b) Mezi těmito proměnnými určitě není žádný kauzální vztah.
c) Pokud pravidelně chodíte do kostela, je méně pravděpodobné, že dostanete infarkt, než kdybyste
do kostela nechodil(a).
d) Tato korelace jednoznačně ukazuje na kauzální vztah

Korelační koeficienty pro pořadová data (podrobněji přednáška 7)
ovhodné nejen pro pořadová data, ale i pro intervalová, která mají rozložení výrazně odlišné od
normálního
ozachycují i nelineární monotónní vztahy (viz Hendl, s260)
oukazatele toho, nakolik jsou pořadí podle korelovaných dvou proměnných stejná
oSpearmanův koeficient rhó – r, rs
nzaložený na velikosti rozdílů v pořadí
nekvivalentem Pearsonova koeficientu na pořadových datech
nlze interpretovat r 2
oKendallův koeficient tau – t (s variantami „b“ nebo „c“)
nzaložený na počtu hodnot (prvků výběrového souboru) mimo pořadí
nvyjadřuje spíše pravděpodobnost, že se prvky výběrového souboru uspořádají podle obou proměnných
do stejného pořadí
AJ: Spearman (rank correlation) rho, Kendall tau (-b,-c), rank

Korelační koeficienty další
okorelačních koeficientů existuje velké množství
ospecifická užití – např. f
ozjednodušení ručních výpočtů – např. rpb
oještě budeme mluvit o vztazích mezi nominálními proměnnými…
!! Korelace neznamená kauzalitu, jde spíše o koincidenci !!
AJ: phi, point-biserial correlation