PSY117 2019
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 3
Transformace skórů a kvantily normálního rozložení

Shrnutí z minula
oPrvním cílem analýzy je zjistit, jaké hodnoty proměnné se v datech vyskytují, jaké jsou jejich
četnosti a jak jsou četnosti rozložené.
oRozložení pak můžeme popsat jednotlivými četnostmi a/nebo ukazateli centrální tendence a
variability.
nČetnosti, ukazatele centrální tendence a variability jsou popisné statistiky – popisují rozložení
oRozložení zobrazujeme sloupcovými diagramy, histogramem, boxplotem

oKódování proměnných je do značné míry arbitrární.
oJak ovlivňují různá nakódování tvar rozložení?
oMůžeme překódováním proměnné – TRANSFORMACÍ – tvar rozložení záměrně měnit?
oMůžeme TRANSFORMACÍ usnadnit porozumění hodnotám a statistikám?

Transformace skórů (dat)
oPro usnadnění porozumění a možnost dalších analýz často přepočítáváme hodnoty proměnných, aby měly
lepší vlastnosti
oUsnadnění interpretace – lineární transformace
nnapř. vynásobení 10 nebo 100 pro odstranění desetinných míst
ntvar rozložení zůstává zachován
nmožnost sjednocení různých proměnných na stejnou škálu, měřítko ... Standardizace
oZměna tvaru rozložení – nelineární transformace
nlog/exp fce, (od)mocniny, Tukey: „ladder of powers“ Hendl kap. o EDA.
nTéž „normalizace“ rozložení – normalizované skóry
oZměna úrovně měření – pořadová transformace (ranking)
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oAJ: data transformations, standard scores, z-scores

Lineární transformace 1
oNapř. počtu psychologů z jednotek na tisíce
o
nTvar rozložení zachován
nPopisné statistiky se předpověditelně změní
nM, SD, Md, IQR, min, max jsou tisíckrát menší
ns2 (VAR)?
o
oAJ: raw score
HRUBÝ SKÓR




Lineární transformace 2
oDeviační skóry xi - odečtení průměru
nTvar rozložení zůstává zachován
nPopisné statistiky – CT jsou o průměr menší, variabilita beze změn
nSnadnější interpretace jednotlivých skórů
n                                         ≈CENTROVÁNÍ

Lineární transformace - standardizace
z-skóry, standardizované skóry
oNejobvyklejší lineární transformace - standardizace
ntransformace sady skórů, aby m = 0, s = 1
njednotkou měření se stává s, možnost srovnávání různých škál (ale pozor rozdíly v rozložení
zůstávají!)
n
nzi = (Xi – m) / s
n
ns. je zajímavá zvláště u normálně rozložených dat, protože známe řadu jeho percentilů zpaměti
ou přibližně normálně rozložených dat o lidech je většina (přes 90%) lidí mezi -3 a 3
o
o
o
oAJ: data transformations, standard(ized) scores, z-scores, normalized scores




Skóry odvozené ze z-skórů
nPoužívané primárně v psychodiagnostických metodách
n
oIQ skóry (m=100, s=15)
oT skóry (m=50, s=10)
n
oPro transformaci vynásobíme z-skóry s a přičteme m.
nnapř. IQ = 15z + 100
o
o Standardní skóry mají pořád stejné rozložení jako hrubé skóry!

Nelineární transformace 1
oZměna rozložení (obv. směrem k normálnímu)
nPro smysluplnější využití momentových statistik
nPro možnost využití analytických technik, které nějakou podobu rozložení vyžadují
oPopisné statistiky se mění složitěji
oPř. logaritmus počtu psychologů
n

Nelineární transformace 2
oTransformace na pořadí – ranking
nEliminace odlehlých hodnot, odhlédnutí od velikosti rozdílů mezi lidmi
nObvykle vzestupně (nejnižší hodnota má pořadí 1)
nStejné hodnoty dostávají průměrné pořadí (=RANK.AVG)
nVýsledné rozložení je (přibližně) uniformní

Transformace na percentily
oZvláštní (standardizovaná) podoba transformace na pořadí
oPoužívá se při tvorbě norem psychodiagnostických metod a ve výběrových testech
o

Psychodiagnostická kalkulačka
oPřevody různých skórů online.
oNástroj vyvíjí Hynek Cígler a Martin Šmíra
ohttp://kalkulacka.testforum.cz/transformace-skoru

N psychologů v ČR



o
http://www.statsdirect.com/help/content/image/stat0108_wmf.gif


Normální rozložení
Gaussovo, bell-curve
oRozložení…
n…náhodných chyb
n…jevů v přírodě ovlivněných mnoha nezávislými faktory, jejichž efekty se sčítají
oDlouhá historie – od 17. stol.
nDeMoivre – sázení
nLaplace a Gauss – chyby v astronomických pozorováních
nQuetelet – lidi, ideál l'homme moyen, BMI
n
n

http://inductivebias.com/Blog/wp-content/uploads/2013/09/normalpdf.jpg



o



K čemu/proč normální rozložení?
oMnoho proměnných je takto rozloženo
nMůžeme pak hádat, kolik jakých hodnot v populaci je
oMnoho statistických postupů s normálním rozložením pracuje, předpokládá ho
nv různých modifikacích a rolích
o

Vlastnosti normálního rozložení
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
oSymetrické, unimodální
oPrůměr=medián=modus
oV hodnotách M+-SD se mění prohnutí
o
oZešikmení (skewness) je 0
oStrmost (kurtosis) je 3
nčastěji se prezentuje hodnota K-3
oForma, od níž odrážíme popis pozorovaných rozložení
n
o
o
https://tazawhyphi.files.wordpress.com/2011/04/skewness-formula-from-latexit.jpg
https://tazawhyphi.files.wordpress.com/2011/04/kurtosis-formula-from-latexit.jpg

Mnohost normálních rozložení
oJeden tvar, ale různé umístění na různých škálách (M) a různé roztažení (SD)
nhttp://www.intmath.com/counting-probability/normal-distribution-graph-interactive.php
oStandardní normální rozložení: N(0,1)
ntj. převedení normálně rozložené proměnné na z-skóry
n

Kvantily standardního normálního rozložení N(0;1)
alias oblasti pod křivkou normálního rozložení
normalcurveLQ
upraveno dle Glass, Hopkins, s. 88

Kvantily přesněji v MS Excel
oNORM.S.DIST(z;1) – udává percentil odpovídající zadanému z-skóru, tj. kolik lidí má z-skór roven z
nebo menší
nProcento lidí v rozmezí z-skórů = NORM.S.DIST(vyšší z;1) – NORM.S.DIST(nižší z;1)
oNORM.S.INV(p) – udává z-skór odpovídající zadanému percentilu
o
oBez toho S. poskytují funkce tutéž informaci pro normální rozložení s jiným M a SD
Starší a napříč tabulkovými kalkulátory kompatibilní funkce jsou NORMSDIST(z) a NORMSINV(p).

9781118533871-tbbapp01.eps
Kvantily přesněji postaru


Jak usoudíme, že naše pozorované rozložení je (přibližně) normální?
1.TVAR
nsymetrická zvonovitost – histogram, Q-Q plot
nzešikmení – přibližně 0 (ne víc než +-1)
nstrmost – přibližně 0 (ne víc než +-1)
n
2.SPOJITOST
nmusí být smysluplné předpokládat, že i když máme v datech diskrétní hodnoty, měřená veličina je
spojitá

Q-Q plot
oVynesení kvantilů pozorovaného rozložené proti kvantilům normálního rozložení se stejným M a SD.


Jak usoudíme, že naše pozorované rozložení je (přibližně) normální?
1.TVAR
nsymetrická zvonovitost – histogram, Q-Q plot
nzešikmení – přibližně 0 (ne víc než +-1)
nstrmost – přibližně 0 (ne víc než +-1)
n
2.SPOJITOST
nmusí být smysluplné předpokládat, že i když máme v datech diskrétní hodnoty, měřená veličina je
spojitá

Transformační koda - normalizace
oTransformace skórů tak, aby měly normální rozložení
1.Transformujeme hrubé skóry na percentily
2.Percentily transformujeme na z-skóry, jakoby rozložení bylo normální
3.Transformujeme z-skóry na „pohodlné“ standardní skóry
nstaniny, staninové skóry (standard nine) (m=5, s= 2) + kategorizace zaokrouhlením na celá čísla …
od 1 do 9
nsteny, stenové skóry (standard ten) (m=5,5, s= 2) + kategorizace zaokrouhlením na celá čísla … od
1 do 10*
o

Statistické zkratky a značky