2
SOC108/708
LEKCE 11: ZÁKLADY LINEÁRNÍ REGRESE - VZTAH SPOJITÝCH
PROMĚNNÝCH
(c) Petr Mareš a Ladislav Rabušic 2002
                            LEKCE11
     ZÁKLADY LINEÁRNÍ REGRESE - VZTAH SPOJITÝCH PROMĚNNÝCH

                               
Velmi často nás zajímá jaký je VZTAH SPOJITÉ VELIČINY k
ostatním veličinám, neboli to, co se ve statistice nazývá
REGRESE.

Cílem REGRESE je vyjádřit VZTAH SPOJITÉ VELIČINY k ostatním
veličinám prostřednictvím:
?   REGRESNÍ ROVNICE (nějaké funkce), která by umožnila
  predikovat hodnotu určité proměnné na základě znalosti hodnoty
  jiné proměnné.
?   REGRESNÍ ČÁRY, která je grafickým vyjádřením regresního
  vztahu (regresní rovnice) ve formě:
  -   Regresní KŘIVKY (jako vyjádření nelineárního vztahu).
  -   Regresní PŘÍMKY (jako vyjádření lineárního vztahu -
     lineární regrese).


GRAPHS            SCATTERPLOT         SIMPLE
pro osu x "Average female life expectancy"
pro osu x "Females who read"




GRAPHS           SCATTERPLOT               SIMPLE
pro osu x "Average female life expectancy"
pro osu x "Females who read"

EDITOVAT GRAF:
?   SCATTERPLOT OPTIONS (změnit CASE LABELS OFF na CASE LABELS
  ON)
?   FIT LINE TOTAL (zadat)

  



         REGRESNÍ MODEL V JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ REGRESI

Základní informace, o kterou usilujeme je rovnice regresní
(predikční) přímky. V případě JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ REGRESE je
její obecný tvar:

y  = b0  +  b1x

    Ve složitějším případě bychom mohli uvažovat i o  tzv.
náhodné chybě (random error) e, protože ne všechny body leží
přímo na přímce:

y  = b0  +  b1x  + e

y    =   ZÁVISLE PROMĚNNÁ - závisle proměnná neboli výsledek
     (outcome). Je to ta proměnná, jejíž hodnotu chceme
     predikovat.
x 1 =     NEZÁVISLE PROMĚNNÁ - neboli prediktor. Je to ta
     proměnná, jejíž hodnota slouží k predikci hodnoty y.

b0   =   Konstanta neboli INTERCEPT, bod ve kterém přímka
     protne osu y (hodnota y pro xi = 0).
b1   =   SMĚRNICE (sklon) přímky neboli SLOPE, která určuje o
     kolik jednotek se změní hodnota y, když se hodnota x
     změní o 1 jednotku

e    =   náhodná chyba (variance nevysvětlitelné regresní
     rovnicí -- zahrnutými nezávislými proměnnými).


Může jít nejen o:
?   JEDNODUCHOU LINEÁRNÍ REGRESI, kdy jde o vliv jediné
  nezávisle proměnné na sledovanou závislou proměnnou.

  Příklad:
  Souvislost mezi velikostí inflace (vyjádřené mírou inflace)
  a velikostí nezaměstnanosti (vyjádřené mírou
  nezaměstnanosti).
  
  míra nezaměstnanosti = a + b . míra inflace

ale též o:

?   MNOHONÁSOBNOU LINEÁRNÍ REGRESI, kdy jde o současný
  kombinovaný vliv více nezávisle proměnných na sledovanou
  závislou proměnnou

  Příklad:
  Subjektivní hranice chudoby jako vyjádření
  
  SPL =  a + b1 . příjem rodiny + b2 . počet dospělých v
           rodině + b3 . počet dětí v rodině



                     CÍL REGRESNÍ ANALÝZY

Najít koeficienty, které pomohou
?   odhadnout hodnotu predikované proměnné
?   za pomoci hodnoty predikátoru pro nové případy.
Těmito koeficienty jsou již zmíněné:
?   Konstanta (intercept) b0 což je bod,
?   ve kterém přímka protíná osu y (x=0).
?   Sklon (směrnice) přímky (slope) b1 (respektive b) což je
  poměr mezi vertikální změnou a horizontální změnou podél
  přímky. Jinak řečeno je to změna y, která je způsobena změnou
  x o jednotku.
                               
                               
                PŘÍMKA JE MODELEM ROZLOŽENÍ DAT

V sociální realitě se nesetkáváme s případy ideální lineární
regrese. Data jsou více či méně rozptýlena a linearita vztahu
je vyjádřena tím, že přímka je jen vhodným modelem pro
proložení daty (vyjadřuje tendenci v datech).
   y

                                    *         *
                                              *
                                     *           *
                         *                *       *
                *                *      *
                          *

                       *


                             x

Daty lze proložit řadu přímek. Nejjednodušší způsob jak
stanovit regresní přímku je metoda nejmenších čtverců odchylek
(residuálů). Jen u jedné z přímek je totiž suma čtverců
odchylek minimální.

    y

                                    *         *
                                              *
                                     *           *
                         *                *       *
                *                *      *
                          *

                       *


                             x

                 IDENTIFIKACE REGRESNÍ PŘÍMKY

Nejjednodušší způsob identifikace regresní respektive
predikční přímky představuje
METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

Predikované a pozorované hodnoty se liší (predikční přímka je
pozorovanými hodnotami proložena) o tzv. RESIDUÁLY.

                    y   pozorovaná hodnota

                                               odchylka
(residuál)


                                           predikovaná hodnota


odchylka (residuál)
                                                 *
pozorovaná hodnota

                         predikční přímka




                                                  x

Součet čtverců všech residuálu musí být nejmenší možný.


PŘÍMKA NENÍ JEN MODELEM ROZLOŽENÍ DAT má též PREDIKČNÍ HODNOTU
(predikční přímka). Z každé hodnoty x odvodíme příslušnou
hodnotu y.

     y

                  odpovídá dosažení
*
         určité hodnoty y
                       *     *   *
          yi                                                **
*    *
                                                 *   *
                           *     **         *    *
                                      *    *


                                      x
                                                      xi
                        odpovídá dosažení
                        určité hodnoty x


                               
                               
                               
                               
                               
                               
                               
                            PŘÍKLAD

                       VÝPOČET KONSTANT


                        intercept           směrnice (slope)

URČENÍ ROVNICE:

                 y  =  89,985  -  0,697 . x