1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1.1 Úvodní pojmy
Většina exaktních věd zobrazuje své výsledky rigorózně tj. výsledky jsou získávány
na základě přesných formulí a jsou jejich interpretací. Příkladem je většina výsledků klasické
fyziky ( výpočet hmotnosti, rychlosti, teploty ), chemie( stavové rovnice). Přesto se v procesu
vývoje lidské společnosti postupně objevovaly jevy, jejichž přesný výsledek nebylo možno
určit – jako první jsou uváděny klasické hazardní hry již v raném středověku ( vrhcáby neboli
hod kostkou nebo kostkami, karetní hry ). Takovýchto případů stále přibývalo dokonce i
v exaktních vědách. Začalo mít proto smysl se jimi důkladněji zabývat. Matematickou
interpretací takovýchto jevů se zabývá obor teorie pravděpodobnosti.
Jedním ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti je náhodný pokus. Je to děj,
který je možno libovolněkrát opakovat ( alespoň hypoteticky ), přičemž výsledky takovýchto
dějů nejsou jednoznačně určeny vstupními podmínkami. Podle takovéhoto popisu jsou dříve
uvedené příklady hodu kostkou, hraní karet jednoduchými případy náhodných pokusů. Nás
nebude zajímat vlastní provádění náhodných pokusů, ale především výsledky takovýchto
dějů. To nás samozřejmě vede k pojmu náhodného jevu. Náhodným jevem budeme rozumět
libovolný výrok (tvrzení )o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze po provedení
náhodného pokusu prohlásit za je či není pravdivé.
V tomto textu budeme náhodné jevy označovat zásadně velkými písmeny abecedy.
Příklady takovýchto náhodných jevů může být padnutí čísla 3 při hodu kostkou, vylosování
čísle při tahu sportky, pohlaví narozeného dítěte, přítomnost elementární částice na daném
místě, odpověď na otázku v dotazníku atd. Všechny možné výsledky náhodného pokusu
( např. hodu kostkou ) budeme dále označovat symbolem Ω a nazývat základní množinou.
Jestliže provádíme hod kostkou je základní množinou Ω ={1,2,3,4,5,6}. V případě, že
množina Ω je konečná nebo spočetná mluvíme o tzv. klasické teorii pravděpodobnosti (
podrobnosti jsou uvedeny v poznámce I. a II. na konci této kapitoly )..
Představme si, že budeme postupně zkoumat produkci určitého výrobku přímo na
konci výrobní linky. Symbolem A označíme náhodný jev výrobek je kvalitní, symbolem ¬A
výrobek je nekvalitní. Budeme s delší časovou perspektivou zaznamenávat postupně náhodné
jevy A a ¬A tak jak budou výrobky vyráběny. O povaze náhodného jevu A nebude vypovídat
počet realizací A , ale bude mít smysl zjišťovat jaký je podíl kvalitních výrobků na celé
výrobě. Celkový objem kvalitních výrobků označujeme v teorii pravděpodobnosti a statistice
jako absolutní četnost kvalitních výrobků a podíl kvalitních výrobků na celkovém množství
výrobků jako relativní četnost kvalitních výrobků
V dále uvedeném grafu můžeme pozorovat přibližování hodnoty relativní četnosti
náhodného jevu A při zvětšování počtu náhodných pokusů k určitému číslu. Toto číslo
můžeme za daných podmínek skutečně tomuto jevu jednoznačně přiřadit a nazýváme ho
pravděpodobností náhodného jevu A . Způsob zavedení pojmu pravděpodobnosti je
v tomto případě netradiční jde o tzv. statistický přístup.
Na základě obrázku 1.1 provedeme tedy konstrukci pravděpodobnosti náhodného jevu
A ( dále P(A) ), zároveň uveďme jaké jsou základní vlastnosti takovéhoto pojmu
pravděpodobnost :
1. Pravděpodobnost P(A) nabývá hodnot mezi 0 a 1. Náhodný jev , pro který je P(A)
= 0 nazýváme jev nemožný ; jestliže P(A) = 1 nazýváme náhodný jev jako jev
jistý.
2. Při provádění náhodného pokusu mnohokrát ( 1000x , 10000x atd. ) je určité, že
relativní četnost výskytu náhodného jevu se nemusí rovnat ( a většinou také
nerovná ) hodnotě P(A), bude se od ní však jen nepatrně lišit.
3. Jestliže tedy budeme chtít ověřit , zda náhodný jev je či není jistý je možné
opakovat mnohokrát náhodný pokus, pokud je výsledek jen nepatrně odlišný od
jedné ( menší než jedna ) je prakticky zřejmé, že při jediném náhodném pokusu
náhodný jev nastane. Podobné tvrzení lze uvést i o jevu nemožném.
4. Takovýto přístup k tvorbě pravděpodobnosti je možný jen tam, kde můžeme
skutečně reálně opakovat náhodné pokusy a výsledky interpretovat jako
pravděpodobnosti, selže tam, kde by opakování bylo možné, ale z určitých důvodů
nemožné. Proto se teorie pravděpodobnosti většinou jako matematická teorie
buduje axiomaticky viz [1] nebo poznámka I. na konci této kapitoly.
Relativní četnost kvalitních výrobků
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
1 10 100 1000 10000
počet výrobků
Pokud bychom se zabývali naším konkrétním případem dále a prováděli šetření
několik dní mohli bychom získat například výsledek uvedený v tabulce 1.1. Údaje, které jsou
v tabulce uvedeny podporují grafické výsledky, lze z nich tedy usuzovat, že pravděpodobnost
vyrobeného výrobku se nemění a je rovna přibližně 0,957.
Den Počet vyrobených výrobků Relativní četnost kvalitních výrobků
1.2. 12563 0,961
2.2. 13056 0,955
3.2. 12489 0,958
4.2. 12783 0,957
5.2. 12986 0,959
6.2. 12302 0,961
7.2. 12685 0,951
8.2. 12548 0,957
Celkem 101412 0,957352019
1.2 Zákony pro práci s náhodnými jevy a pravděpodobnostmi
Při praktické práci se většinou setkáváme s úkoly, které závisí často na více než
na jednom náhodném jevu. Například při určité odpovědi v dotazníku sledujete zároveň tuto
odpověď , ale zároveň ji konfrontujete s faktem pohlaví respondenta. Proto je důležité se
zabývat aritmetikou zákonů teorie pravděpodobnosti. Budeme tedy dále uvádět jisté definice
základních pojmů.
Jev opačný k náhodnému jevu A je náhodný jev B takový , že nastává právě tehdy,
když náhodný jev A nenastává.Příklad : A – při hodu kostkou padne 6; jev B při hodu kostkou
padnou buď 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5.
Jevy A a B se nazývají neslučitelné , jestliže nemohou oba nastat součastně . Bude – li
náhodným jevem A např. padnutí 6 , B může být např. náhodný jev padnutí lichého čísla.
Důležité je , že pro dva náhodné jevy A a B platí, že sjednocení ( sečtení ) náhodných
jevů A a B je také náhodný jev C = A U B . Tento náhodný jev tedy nastává právě tehdy,
když nastává aspoň jeden z náhodných jevů A , B. Podle poznámky I. na konci této kapitoly
je náhodným jevem dokonce libovolné konečné nebo spočetné sjednocení náhodných jevů.
Podobně pro dva náhodné jevy A a B platí, že průnik náhodných jevů A,B je opět
náhodný jev C = A … B .Tento náhodný jev nastává právě tehdy , když nastávají oba náhodné
jevy A , B součastně. Podobně jako u předchozího případu platí, že konečné nebo spočetné
průniky náhodných jevů jsou opět náhodné jevy.
Příklad 1.2.1:
Náhodný jev A nastává při hodu kostkou, jestliže padne 3 nebo 6. Náhodný jev B
nastane , jestliže padne sudé číslo.
Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A … B = {6}.
Pro vlastní výpočty pravděpodobností jistých situací je důležité se naučit pracovat
s hodnotou pravděpodobnosti náhodného jevu jako s určitou mírou , která má jisté vlastnosti :
I. Vlastnost doplňku . Nechť A je náhodný jev a B je jev opačný k náhodnému jevu
A . Potom platí
P( B ) = 1 – P( A ) (1.1)
II. Vlastnost sjednocování. Jestliže náhodné jevy A, B jsou neslučitelné , potom platí
P(A U B ) = P( A ) + P( B ) (1.2)
Přesné informace nalezne čtenář buď v poznámce I. na konci této kapitoly nebo v [1].
Z těchto vlastností můžeme odvodit jednu velmi důležitou informaci o obecné hodnotě
pravděpodobnosti sjednocení či průniku dvou náhodných veličin.
Tvrzení 1.2.1
Nechť A, B jsou náhodné jevy potom platí
P(A U B ) = P( A ) + P( B ) – P(A … B ) (1.3)
Důkaz:
Provedeme obrázkem 1.2
Z obrázku je zřejmé, že sjednocení náhodných jevů A a B je možno upravit na
sjednocení tří neslučitelných náhodných jevů. Pokud tedy sečteme pravděpodobnosti
náhodných jevů A a B je výsledek nutně větší o pravděpodobnost průniku těchto náhodných
jevů, neboť ten se vyskytuje v obou náhodných jevech součastně, počítali bychom ho tedy
dvakrát.
Příklad 1.2.1 pokračování
Řešení:
Počítáme pravděpodobnosti nyní nikoli pomocí statistické definice pravděpodobnosti,
ale pomocí definic uvedených v poznámce I. na konci této kapitoly.
P( A ) = 2 / 6 = 0,33 ; P( B ) = 3 / 6 = 0,5.
P( A … B ) = 1 / 6 = 0,167 ; P( A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 nebo podle (1.3)
P(A U B ) = 0,33 + 0,5 -0,167 = 0,67
Při řešení některých konkrétních situací nás nezajímá přímo otázka pravděpodobnosti
určitého náhodného jevu A , ale řešíme situaci výskytu náhodného jevu A za podmínky, že
zároveň nastal určitý náhodný jev B ( předpokládáme, že jev B není nemožný ) . Například
nás mohou zajímat odpovědi na určitou otázku v dotazníku za předpokladu, že respondent byl
muž . Pro řešení takovýchto situací byl vymyšlen celý matematický aparát tzv. podmíněných
pravděpodobností. Principiální myšlenkou je zahrnout do výpočtu pravděpodobnosti
( podmíněné ) jevu A jen tu část, která je společná oběma náhodným jevům.
Proto nás nepřekvapí následující definice podmíněné pravděpodobnosti jevu A
vzhledem k náhodnému jevu B( opět ne nemožnému ) jako
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP
∩
= (1.4).
Z výrazu (1.4) můžeme odvodit pravděpodobnost průniku dvou náhodných jevů A a B
pomocí podmíněné pravděpodobnosti jako
)()./()( BPBAPBAP =∩ (1.5)
( ) ( / ). ( )P A B P B A P A=∩ (1.5’)
Příklad 1.2.2
Zjistěte hodnotu podmíněné pravděpodobnosti náhodného jevu A vzhledem
k náhodnému jevu B z příkladu 1.2.1.
Řešení:
Hodnotu podmíněné pravděpodobnosti zjistíme pomocí výsledků příkladu 1.2.1. Tedy
33,0
5,0
167,0
)(
)(
)/( ===
BP
BAP
BAP
∩
.
Toto číslo vyjadřuje relativní četnost náhodného jevu A mezi případy, kdy zároveň
nastal i náhodný jev B.
Pro vlastní práci s pojmem pravděpodobnost náhodného jevu je velmi důležitý pojem
nezávislosti náhodných jevů ( dvojice náhodných jevů ). Intuitivně cítíme, že jevy A a B
A A » B B
A U B
21 3
jsou nezávislé, jestliže výskyt jednoho náhodného jevu neovlivňuje výskyt druhého
náhodného jevu. Bude tedy podstatné pro zkoumání této vlastnosti chování pravděpodobnosti
průniku náhodných jevů A a B .
Matematickým vyjádřením této myšlenky je to, že hodnota podmíněné
pravděpodobnosti jednoho náhodného jevu vůči druhému musí být rovna nepodmíněné
pravděpodobnosti. Tedy P(A / B ) = P( A ) nebo velmi podobně P( B / A ) = P( B ). Odsud
můžeme odvodit i jiný způsob definice nezávislosti náhodných jevů A a B :
Definice 1.1
Náhodné jevy A , B ( ani jeden není nemožný ) nazveme nezávislé právě tehdy , když
)().()( BPAPBAP =∩ (1.6)
Definici 1.1 o nezávislosti náhodných jevů lze rozšířit na libovolný počet nezávislých
jevů A1, A2, …,Ak. Označíme-li C jev, který spočívá v současném výskytu těchto jevů,
tj. C= A1∩ A2, ∩…∩Ak, potom pravidlo o násobení pravděpodobností má tvar
P( C ) = P(A1∩ A2, ∩…∩Ak) = P(A1) … P(Ak) (1.7)
Příklad 1.2.3
V daném ročníku na gymnáziu, který má 240 žáků bylo hodnoceno v matematické
kompozici známkou výborně 30 žáků, v kompozici z českého jazyka celkem 40 žáků. 5 žáků
bylo hodnoceno známkou výborně z obou kompozic. Zjistěte, zda náhodný jev být výborný
z matematiky je nezávislý na výborném hodnocení z českého jazyka.
Řešení:
Podle vzorce (1.6) nejdříve zjistíme příslušné odhady pravděpodobností jednotlivých
náhodných jevů. Pravděpodobnost být výborný v matematice je tedy rovna 30 / 240 = 0,125 ;
pravděpodobnost být výborný v českém jazyce je rovna 40 / 240 = 0,167; podle uvedených
údajů je pravděpodobnost být zároveň výborný v obou předmětech rovno 5 / 240 = 0,021.
Zjistíme , zda platí vztah (1.6): 0,125 . 0,167 = 0,021 . Oba náhodné jsou tedy nezávislé.
Příklad 1.2.4
Po provedení průzkumu názorů občanů ve vzorku 1500 lidí odpovědělo 820
respondentů kladně na otázku zda se jejich celková situace zlepšila . Celkový počet mužů ve
vzorku byl 710. Na otázku záporně odpovědělo 600 lidí , z toho 300 mužů. Nechť A je
náhodný jev celková situace se zlepšila, B je náhodný jev celková situace se nezlepšila, C je
náhodný jev respondent je muž, D je náhodný jev respondent je žena. Určete odhad
podmíněné pravděpodobnosti P(A / C) a P( B / D ).
Řešení:
Abychom získali odhad podmíněné pravděpodobnosti P(A / C) je nutné podle vzorce
(1.4) postupně zjisti hodnoty P(A ∩C) a P(C).Náhodný jev A∩C obsahuje muže ,u nichž se
situace zlepšila. Celkový počet takovýchto mužů podle zadání je roven 410 , celkový počet
mužů je roven 710, proto P(A ∩C) = 410 / 1500 = 0,273; P(C).= 710 / 1500 = 0,473.
Použijeme – li vzorec (1.4) je P(A/C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Pokud budeme počítat přímo,
tak počet mužů splňující naše podmínky je roven 410 a celkový počet mužů je 710 , tedy
počítejme ještě jednou podmíněná pravděpodobnost P(A ∩C) = 410 / 710 = 0,577.
Obdobně budeme postupovat i v případě výpočtu P( B / D ). Nejdříve určíme počet
prvků množiny D ( žen ) – ten je roven 1500 – 710 = 790 žen. Pro výpočet je podstatné
zjištění počtu prvků B ∩D tedy žen,které nejsou spokojeny. Tento počet je roven 300. Tedy
počítejme P(B ∩D)=300/1500 = 0,2; P(D) = 790 / 1500 = 0,523, pro je P(B/D) = 0,2 / 0,523 =
0,382. Budeme – li počítat přímo získáme tuto hodnotu jako podíl 300 a 790.
Příklad 1.2.5
Zjistěte za předchozích podmínek, zda náhodné jevy A a C resp.B a D jsou nezávislé.
Řešení:
Použijeme rovnost (1.6) pro nezávislé náhodné jevy A a C platí
P(A ∩C) = P(A) . P(C). V našem případě je P(A ∩C) = 410 / 710 = 0,577 , P(A) = 820 / 1500
= 0,547; P(C) = 710/1500 = 0,473. Pokud by měli být náhodné jevy nezávislé musí platit (1.6)
, ale P(A).P(C) = 0,259. Náhodné jevy A a C nejsou tedy nezávislé.
Postupujme obdobně u náhodných jevů B a D. P(B ∩D)=300/1500 = 0,2; P(D) = 790 /
1500 = 0,523 ; P(B) = 680 / 1500 = 0,453. Zjistěme tedy hodnotu P(B) . P(D) = 0,523 . 0,453
=0,237. Náhodné jevy B a D nejsou nezávislé.
1.3 Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
Vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost sami o sobě nemají velký význam, jejich
využití při výpočtech je velmi důležité právě pro existenci tvrzení typu Bayesova vzorce resp.
Věty o úplné pravděpodobnosti.
Věta o úplné pravděpodobnosti
Nechť náhodné jevy {Bi}, kde i=1,…,n jsou navzájem neslučitelné a dále je P(Bi)>0.
Nechť dále pro náhodný jev A platí, že ∪
n
i
iBA
1=
⊂ .Potom
∑=
=
n
i
ii BPBAPAP
1
)()./()( (1.8)
Důkaz:
Protože platí ∪
n
i
iBA
1=
⊂ , platí tato inkluze ABAA i
n
i
⊂⊂
=
)(
1
∪ ∩ .
Pravděpodobnost je podle poznámky II. na konci této kapitoly monotóní tedy platí
∑ ∑= =
==
n
i
n
i
iii BPBAPBAPAP
1 1
)()./()()( ∩ .
Q.E.D.
Pro platnost tohoto tvrzení je podstatné, že systém náhodných jevů Bi je vzhledem
k náhodnému jevu A úplný tj. každý prvek množiny A se nachází v právě jedné množině Bi.
Příklad
Nechť A je náhodný jev nutnost jisté opravy určitého typu automobilu.
Pravděpodobnost opravy tohoto typu automobilu za předpokladu stáří automobilu do dvou let
( náhodný jev B1) je rovna 0,1; pravděpodobnost opravy tohoto typu automobilu
za předpokladu stáří automobilu od 2 do 7 let ( náhodný jev B2) je rovna 0,5; v ostatních
případech ( náhodný jev B3 ) je rovna 0,75. Pravděpodobnosti, že automobil tohoto typu bude
patřit do těchto skupin jsou P(B1) = 0,3 ; P(B2) = 0,5 ; P(B3) = 0,2. Zjistěte pravděpodobnost
této opravy tohoto typu automobilu.
Řešení:
Náhodné jevy B1 , B2 ,B3 jsou navzájem neslučitelné a vždy nastává jen právě jeden
z nich. Pro využití předchozího tvrzení je ještě třeba znát podmíněné pravděpodobnosti oprav
v jednotlivých kategoriích stáří automobilu, protože je ale známe můžeme přímo dosazovat
do vzorce (1.8)
P(A) = P(A/B1) .P(B1) + P(A/B2) .P(B2)+ P(A/B3) .P(B3) =
= 0,1 . 0,3 + 0,5 . 0,5 + 0,75 . 0,2 = 0,43
Pravděpodobnost opravy je tedy 43 %.
Příklad
V průzkumovém dotazníku byla položena jistá otázka a zkoumala se kladná odpověď
na ni ( náhodný jev A ). Pravděpodobnost kladné odpovědi u respondenta ve věku maximálně
do 18 let ( náhodný jev B1) je rovna 0,1 ; pravděpodobnost kladné odpovědi u osoby
v reprodukčním věku ( náhodný jev B2) je rovna 0,3 ; pravděpodobnost u osoby
v postreprodukčním věku ( náhodný jev B3) je rovna 0,4. Pravděpodobnosti jednotlivých
náhodných jevů Bi jsou rovny P(B1) = 0,25 ; P(B2) = 0,60 ;P(B3) = 0,15. Zjistěte
pravděpodobnost kladné odpovědi v dané společnosti.
Řešení:
Podobně jako v předchozím případě ověříme, že náhodné jevy B1 , B2 ,B3 jsou
navzájem neslučitelné a vždy nastává jen právě jeden z nich. Použijeme opět vztah (1.8).
P(A) = P(A/B1) .P(B1) + P(A/B2) .P(B2)+ P(A/B3) .P(B3) =
= 0,1 . 0,25 + 0,3 . 0,6 + 0,4 . 0,15 = 0,265
Pravděpodobnost kladné odpovědi v celé společnosti je 26,5%.
Druhým velmi významným tvrzením je Bayesova věta , která určuje jakým způsobem
lze počítat tzv. podmíněné pravděpodobnosti P(Bi / A) náhodného jevu Bi za podmínky , že
nastal náhodný jev A , jestliže známe apriorní pravděpodobnosti P(Bi) a podmíněné
pravděpodobnosti P(A / Bi). Přesněji
Bayesova věta
Nechť náhodné jevy {Bi}, kde i=1,…,n jsou navzájem neslučitelné a dále je P(Bi)>0.
Nechť dále pro náhodný jev A platí, že ∪
n
i
iBA
1=
⊂ , P(A) > 0. Potom
∑=
= n
i
ii
jj
j
BPBAP
BPBAP
ABP
1
)()./(
)()./(
)/( (1.9).
Důkaz:
Podle podmínek tvrzení má P(Bj / A ) smysl. Využijeme vztahy (1.4) a (1.8.). Čitatel
ve zlomku (1.4) je roven P(Bj … A), což je podle (1.5) rovno právě P( A / Bj ) . P( Bj ).
Jmenovatel ve zlomku (1.9) zjistíme přesně podle tvrzení 1.3.1 .
Q.E.D.
Pravděpodobnosti hypotéz před provedením náhodného pokusu P(Bj) se nazývají
pravděpodobnosti a priori a pravděpodobnosti hypotéz po provedení náhodného pokusu
P( Bj / A) se nazývají pravděpodobnosti a posteriori .
Příklad Jeden ze tří střelců vystřelí a zasáhne cíl. Pravděpodobnost zásahu při jednom
výstřelu je pro prvého střelce 0,3 , pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete
pravděpodobnost, že střílel druhý střelec.
Řešení:
Označíme postupně A1 – náhodný jev zasáhl 1. střelec; A2 – náhodný jev zasáhl
2. střelec; A3 – náhodný jev zasáhl 3. střelec . Označme dále jako náhodný jev A cíl byl
zasažen. Jistě platí P( B /A1 ) = P( B /A2 ) = P( B /A3 ) = 1. Chceme vypočítat P( B2 / A ), tedy
podle (1.9) je
3125,0
6,1
5,0
8,0.15,0.13,0.1
5,0.1
)/( 2 ==
++
=ABP .
Příklad
Výrobce barometrů zjistil testováním velmi jednoduchého modelu, že občas ukazuje
nepřesně. Za deštivého počasí ukazuje v 10% jasno a za jasného počasí ukazuje déšť ve 30%
případů.
V září je u nás zhruba 40% dní deštivých. Předpokládejme, že barometr ukazuje dne
28.9. na deštivo. Jaká je pravděpodobnost, že bude skutečně pršet ?
Řešení:
Pokusíme se provést řešení této úlohy pomocí grafické metody, znázorníme všechny
možnosti do tzv. Vennova diagramu.
Obrázek 1.3
Budeme – li tedy vycházet z obrázku 1.3 bude pravděpodobnost , že skutečně prší
za předpokladu, barometr ukazuje déšť rovna podílu 0,36 / 0,4 = 0,9.
Odpověď: Hledaná pravděpodobnost je rovna 90%.
1.4 Základní pojmy kombinatoriky
V této části budeme předpokládat, že veškeré množiny , s kterými budeme pracovat
jsou konečné.
Pojem 1
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Permutací nazveme uspořádání prvků
množiny A tak, že v tomto uspořádání je každý prvek uveden právě jednou. Počet takovýchto
uspořádání nazýváme počtem permutací ( nebo počtem permutací bez opakování )
množiny A. Tento počet P(n) = n! ( součin všech přirozených čísel od 1 do čísla n ).
Příklad
Ve skupině 6 studentů chceme zjistit počet všech možných pořadí přihlášení na
zkoušku.
Řešení:
Student se na zkoušku hlásí 1x tedy hledáme počet permutací tedy P(6) = 6! = 120.
Studenti se můžou přihlásit celkem 120 možnými způsoby.
Pojem 3
Na barometru jasno Na barometru
deštivo
Skutečně jasno
Skutečně deštivo
60%
40% 4%
36%
18%42%
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Permutací s opakováním nazveme
uspořádání prvků množiny A tak, že v tomto uspořádání se každý prvek může opakovat 0 až
n krát. Celkový počet prvků takovéhoto uspořádání je roven n. Počet takovýchto uspořádání
nazýváme počtem permutací s opakováním množiny A. Tento počet P’(n) = nn
.
Příklad
Podržme zadání stejné jako v předchozím případu. Zjistěme jaký počet různých
uspořádání je možné nalézt za těchto podmínek.
Řešení :
Podle předchozího je tento počet roven P’(6) = 66
= 46 656. V tomto případě se
studenti mohou přihlásit celkem 46 656 způsoby.
Pojem 5
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Variací k – té třídy bez opakování
nazveme libovolnou k člennou podmnožinu V množiny A takovou, že v tomto uspořádání je
každý prvek uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání záleží na pořadí prvků. Počet
takovýchto uspořádání nazýváme počtem Variací k – té třídy bez opakování množiny A.
Tento počet je roven
)1)...(1.(
)!(
!
+−−=
−
= knnn
kn
n
V n
k
Příklad
Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze
číslice 4, 5, 6, 7, a to každá nejvýše jednou.
Řešení:
Počet jednomístných přirozených čísel je roven počtu variací první třídy ze čtyř prvků;
pro dvojmístná přirozená čísla je počet roven variacím druhé třídy ze čtyř a konečně jediná
trojmístná přirozená čísla , která splňují zadání jsou čísla začínající 4, jejich počet je tedy
roven počtu variací bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků. Celkově tedy bude
226124
)!23(
!3
)!24(
!4
)!14(
!43
2
4
2
4
1 =++=
−
+
−
+
−
=++= VVVx .
Podmínky splňuje 22 přirozených čísel.
Pojem 7
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Variací k – té třídy s opakování nazveme
libovolné k členné uspořádání prvků množiny A takové, že v tomto uspořádání záleží
na pořadí prvků a každý prvek uveden nejvýše jednou. Počet takovýchto uspořádání
nazýváme počtem Variací k – té třídy s opakování množiny A. Tento počet je roven
kn
k nV =´'
Příklad
Předpokládejme, že první dva znaky SPZ automobilu v naší republice se skládají
ze dvou znaků abecedy, a zbylých pět členů kombinace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ.
Řešení:
První část se skládá z dvojice písmen ( je jich 26 ), která mohou libovolně opakovat,
přičemž záleží na pořadí ( jde o uspořádanou dvojici ). Celkově jich je tedy jako počet variací
s opakováním druhé třídy z 26 prvků. Druhá část SPZ je tvořena uspořádanou pěticí čísel,
jejich počet je roven počtu variací s opakováním 5 třídy z 10 prvků.
Celkový počet značek je proto roven :
6760000010.26'.' 5210
5
26
2 === VVx
Pojem 9
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Kombinací k – té třídy bez opakování
nazveme libovolnou k člennou podmnožinu V množiny A takovou, že v tomto uspořádání je
každý prvek uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvků.
Počet takovýchto uspořádání nazýváme počtem kombinací k – té třídy bez opakování
množiny A. Tento počet je roven
)!!.(
!
)(
knk
n
C n
k
n
k
−
==
Příklad
Zjistěte počet možností výběru správné šestice při hře sportka.
Řešení:
Celkový počet těchto šestic je roven počtu kombinací šesté třídy z 49 prvků.
8169831311.3.46.47.4.49
6.5.4.3.2.1
44.45.46.47.48.49
!43!.6
!49
)!649!.(6
!49
)(49
6 ====
−
==x .
Pojem 11
Nechť množina A má celkem n > 0 prvků. Kombinací k – té třídy s opakováním
nazveme libovolnou k člennou podmnožinu V množiny A takovou, že v tomto uspořádání je
každý prvek uveden nejvýše k krát a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvků. Počet
takovýchto uspořádání nazýváme počtem kombinací k – té třídy s opakování množiny A.
Tento počet je roven
)!1!.(
)!1(
'
1
1
−
−+
=







=
−+
−+
nk
kn
C
kn
k
kn
k
Příklad
Hra domino představuje soubor kostek , z nichž je každá kostka rozdělena na dvě
poloviny a každá polovina je samostatně označena body 0 až 8. Každá kostka se ve hře
vyskytuje pouze jednou. Určete počet kostek jedné hry.
Řešení:
Jde o kombinace druhé třídy s opakováním z devíti prvků ( nezáleží nám na pořadí
výběru dané dvojice , prvky se mohou opakovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše
uvedeného vztahu je počet kostek jedné hry roven
.45
!8!.2
!10
'
10
2
129
2
9
2 ==





=







=
−+
C