PŘEDMLUVA Tato publikace vznikla přepracováním, rozšířením a redukcí brožury Logika, a logické systémy vydané nakladatelstvím Votobia 1992, která se osvědčila a je rozebrána. Je určena především vysokoškolským studentům oboru filosofie, ale i jiných oborů a všem zájemcům o logiku z řad studentských i nestudentských. Představuje systematicky formální logiku jako disciplínu se širokým spektrem aplikací v řadě oborů na úrovni, která není pouze elementární. Nezabývá se však problematikou matematické logiky v soudobém (poněkud úzkém - instrumentálním) pojetí, ani technickými aplikacemi a příliš "technologickými" metodami logiky. Rovnováha je dodržena i v opačném směru - nejsou zde uvedeny ani základní problémy filosofické logiky, čímž je zdůrazněno co nej-širší zaměření logiky. Text nepředpokládá žádnou předběžnou znalost logiky nebo snad dokonce matematiky. Představuje však dostatečné zasvěcení do tajů logiky pro všechny ty, kteří chtějí vědomě využívat jejích výsledků nebo to mají studijním programem předepsáno. Pro zájemce o hlubší zvládnutí tohoto oboru lze doporučit literaturu např. z připojeného seznamu, jehož každá položka obsahuje řadu dalších odkazů. Děkuji oběma recenzentům, prof. PhDr. Pavlu Maternovi, CSc. a doc. PhDr. Lubomíru Valentovi, za pečlivou revizi rukopisu a řadu cenných připomínek. Olomouc, leden 1995 J.Š. I. OVOD 1,1 Vyrazení logiky Každou vědu lze charakterizovat jistým okruhem specifických problémů, kterými se zabývá. V případě logiky se ony problémy týkají správnosti usuzování. Na usuzování však logiku zajímají pouze vybrané aspekty.. Usuzování chápeme jako určitý myšlenkový proces. Psychologické aspekty tohoto procesu však logika zcela opomíjí, stejně jako jeho obsahovou stránku. Zabývá se především analýzou formální stavby úsudků jako základních jednotek usuzování. Úsudkem rozumíme takový myšlenkový postup, kterým dospíváme od nějakých tvrzení, která nazýváme předpoklady (premisy), k jinému tvrzení, které nazýváme závěr (důsledek). Ani v těchto případech logiku nezajímá obsahová stránka použitých tvrzení, zaměřuje se pouze na jejich formu. Forma těch tvrzení má bezprostřední vztah k jazyku, v němž jsou formulována. Hejde však o lingvistickou analýzu (obvyklý větný rozbor), logika soustředuje svou pozornost pouze na ty stránky jazyka, které mají vliv na správnost usuzování. Při studiu úsudků logiku zajímá pouze jejich forma, nikoliv konkrétní obsah. Proto úsudkem je z hlediska logiky schéma tvaru: A , A , A / B 12 n kde výrazy A , ...,A reprezentují nějaká tvrzení - premisy a výraz 3 tvrzení, které je závěrem- toho úsudku. Je-li úsudek daného tvaru platný (z pravdivých premis vždy získáme pravdivý závěr), říkáme, že závěr 3 vyplývá z premis A , .... A . Pojem (logického) vyplývání je v logice klíčový, tedy logiku můžeme charakterizovat jako vědu analyzující vztah vyplývání. Hlavní význam logiky pro ostatní vědy spočívá v tom, že slouží jako vzor pro výstavbu vědeckých teorií. Vědecké disciplíny jsou často budovány jako ucelené teorie skládající se z jistých tvrzení základních a z tvrzení odvozených. U odvozených tvrzení je obvyklé žádat, aby byla odvozena správně, tj. aby z tvrzení základních vyplývala. Přirozený je také požadavek, aby taková teorie neobsahovala spor, tj. aby v ní nebylo možné odvodit dvě tvrzení, která se navzájem popírají (vylučují). Logika v tomto směru umožňuje kontrolu vědeckých teorií. Tedy na rozdíl od předcházejícího pojetí, kdy logika slouží k ověření jednotlivých úvah, můžeme ji nyní charakterizovat jako obecnou teorii výstavby vědeckých teorií. 1.2 Klasifikace logiky Pro nejobecnější klasifikaci předpokládejme, že předmět zkoumání logiky je širší než bylo uvedeno výše, že je to usuzování vůbec, tj. i neformální. Pak lze logiku rozdělit na formální a mentální. Toto členění musíme považovat za relativní vzhledem k současnému stavu poznání. Přitom předpokládáme, že formy usuzování v mentální logice jsou poznatelné (ve formální logice jsou poznané), ale dosud nebyly systematicky vědecky zpracovány. Patří sem i takové typy usuzováni, díky nimž se běžně uznávaný obsah termínu logika podstatně liší od pojetí vymezeného výše. Pod tuto kategorii lze totiž zahrnout i takové "disciplíny" jako je ženská logika nebo selský ro-: zum, ale i tzv. dialektickou logiku, která je snad i vědecky zpracována. Patří sem také nejrůznější heuristické postupy. Jako metoda řešení problémů může být mnohdy efektivnější, než logika formální, ale spolehlivost jejích závěrů není absolutní, což je dost podstatná závada. Otázkou je, zda mentální logiku lze vůbec seriózně, byť paralelně, řadit vedle vědy logiky. Formální logika bývá nazývána též logikou symbolickou nebo matematic-kou. Druhý z těchto názvů je však poněkud zavádějící. Má naznačovat spíše podobnost metod a vyjadřovacích prostředků, ale ne snad, že by logika byla součástí matematiky. Klasifikace formální logiky (tj. logiky ve vlastním smyslu) je založena na dvou principech, které lze vzájemně kombinovat. Především rozlišujeme dvouhodnotovou a vícehodnotovou logiku podle toho, zda připouštíme k ohodnocení tvrzení právě dvě pravdivostní hodnoty, tj. "pravda" a "nepravda" (méně zřejmě nemá smysl) nebo více než dvě pravdivostní hodnoty. Dáj.e rozlišujeme logiku extenzionální a neextenzionalní především podle toho, jakých spojek se užívá pro tvoření složených tvrzení (týká se to však tvoření složených jmen vůbec;. Za extenzíonální považujeme takové spojky, pro něž pravdivostní hodnota složeného tvrzení je jednoznačně určena pravdivostními hodnotami složek (jednoduchých tvrzení). Tuto vlastnost mají např. spojky "ne", "a", "nebo". Neextenzionalní spojky jsou pak takové, u nichž výsledná pravdivostní hodnota nezávisí na pravdivostních hodnotách složek bud vůbec nebo nejen na nich (např. "je možné", "věřím" apod.). Logika, která je dvouhodnotová a extenzionální se nazývá klasická logika. Dělí se dále na logiku výrokovou a predikátovou a přiřazujeme k ní i teorii tříd a teorii relací. Vzhledem k uvedeným podmínkám má klasická logika i specifické nároky na výběr jazykových prostředků. Především touto logikou se budeme zabývat v následujících kapitolách. 1.3 Vývoj logiky Principy formální logiky byly formulovány již ve starověku. Až do minulého století se však logika vyvíjela souběžné jako disciplína formální i neformální - ovlivněná tzv. psychologismem. Významné mezníky ve vývoji logiky ve starověku: Thalés z Hilétu v VI. st. př. Kr. formuloval první geometrické věty a jejich důkazy. Aristoteles (IV. st. př. Kr.) vytvořil první formalizovaný systém (tradiční logika) a formuloval základní principy správného usuzování - princip sporu a vyloučeného třetího. Euklides (IV. st. př. Kr.) provedl odlišení axiomů (jako výchozích pouček) od teorémů (jako odvozených pouček) a vytvořil první a-xiomatický systém. Eubulides formuloval paradox lháře ve IV. st. př. Kr. Filón z Megary zavedl dvouhodnotovou implikaci ve IV.-III. st. př. Kr. Chrisyppos a stoikové (III. st. př. Kr.) vytvořili základy výrokové logiky. Vývoj logiky ve středověku lze charakterizovat následujícími počiny: J. Duns Scotus zformuloval ve XIII. st. princip, že ze dvou odporujících si premis (spor) plyne cokoliv. W. Ockham ve XIV st. zformuloval neformální teorii důsledkových vztahů, odlišil tvrzení a odvozovací pravidla. Od G. W. Leibnize pochází idea logického kalkulu pro exaktní vědy ze XVII. - XVIII. st. B. Bolzano na začátku XIX. st. vytvořil intuitivní pojem operace odvoditelnosti, resp. vyplývání, od něj pochází idea dedukčního teorému a explikace úlohy kvantifikátorů. V polovině XIX. st. G. Boole vytvořil tzv. Booleovu algebru, s jeho jménem se pojí počátky formální logiky. Od G. Fregeho lze hovořit o formální logice v moderním smyslu - byl první, kdo provedl úplnou axiomatizaci výrokové logiky a zformuloval principy predikátové logiky na přelomu XIX. - XX. st. V téže dobé D. flilbert (a jeho škola) vytyčil tzv. Hilbertův program, zformuloval požadavek výstavby bezesporných a úplných teorií. S jeho jménem jsou spojeny počátky matematické logiky. B. Russell a A. N. Whitehead vydali Principia Mathematica v r. 1910; zde shrnuli soudobý stav formální logiky a základů matematiky. V r. 1918 C. S. Lewis a J. Lukasiewicz nezávisle na sobě formulovali první neklasické logiky (touto problematikou se zabýval již Frege). S tímto datem se pojí vznik filosofické logiky. v r. 1920 D. Hilbert vytvořil formální koncepci důkazu. V r. 1928 D. Hilbert s W. Ackermannem provedli první axiomatizaci predikátové logiky. E. Post, K. Godel zformulovali věty o úplnosti výrokové (Post 1921) a predikátové (Godel 1930) logiky. V letech 1925 - 30 L.E.J. Brouwer a A. Heyting zformulovali ideu intuicionismu a provedli a- - 6 - xiomatizaci intuicionistické logiky. Od K. Gddela pochází věta o neúplnosti systémů obsahujících aritmetiku = o omezené možnosti důkazu bezespornosti teorie (nesplniteinost Hilbertova programu) z ŕ". 1931. A. Tarski formuloval v letech 1933 - 1935 sémantickou teorii pravdivosti, upřesňující tradiční korespondenční teorii pravdivosti, stanovil nedefinovatelnost pojmu pravdivosti v aritmetice a vytvořil definici logického vyplývání. A. Church dokázal nerozhodnutelnost predikátové logiky a formuloval tzv. Churchovu hypotézu v r. 1936. Od A. Turinga pochází pojem vyčíslitelnosti na základě"abstraktního stroje (Turingův stroj) v r. 1937. Ve druhé polovině XX. století dochází k jisté diferenciaci logiky, která není příliš opodstatněná. Spočívá v dělení logiky na "matematickou" a "filosofickou" podle toho, jakým účelům má sloužit. Matematikové pěstující logiku se distancují od většiny problémů, jejichž řešení tradičně patří do sféry zájmů logiky obecně. Matematická logika v takto zúženém poietí se zabývá výhradně (logickými) základy matematiky. Mimo tento trend"vzniká teorie algoritmů jako matematická disciplína přesahující logiku. Rozvíjejí se některé partie klasické logiky s bohatými aplikacemi v elektronice, významným stimulem pro rozvoj logiky je vznik umělé inteligence. Potřebv umělé inteligence však názorně dokládají, že nelze žádné partie logiky izolovat. Významným přínosem v tomto směru jsou mimo automatické dokazování vět též výsledky logiky otázek a odpovědí, logická analýza přirozeného jazyka (které se vymykají základům matematiky) aj. Vlastní filosofická logika se pak zaměřuje především na potřeby filosofie. Zkoumány jsou neklasické logiky (modálni, chronologická atd., tj. i výše uvedené). I zde je zvláštním "směrem" logická analýza přirozeného jazyka, která má přesahy do ontológie ap. - 7 II. LOGICKÁ ANALÝZA JAZYKA Logika se zabýva takovými stránkami jazyka, které jsou podstatné z hlediska úkolů, jež si klade. Proto je logická analýza jazyka ve srovnání s lingvistickou analýzou značné užší a jednodušší. Důsledkem logického zkoumání jazyka je formulace požadavků, které musí splňovat jazyk používaný logikou bezprostredne a dále jazyky, v nichž se má využívat výsledku logiky (vědecké jazyky). Logická analýza se zabývá pouze grafickými jazyky. II.1 Jazyk Jazyk je prostředek k formulaci myšlenek a sdělování informací. Rozlišujeme - na této úrovni - jazyky přirozené (národní jazyky, napr. čeština) a umělé (jazyk logiky, matematiky, programovací jazyky, esperanto apod.). Každý jazyk lze charakterizovat především jeho abecedou, tj. seznamem základních symbolu (znaků) - písmen. Některé kombinace těchto primitivních znaků tvoří slova daného jazyka. Slova a některé kombinace slov (případně spolu s pomocnými symboly) jsou jazykové výrazy daného jazyka- Způsoby tvoření jazykových výrazů udává gramatika jazyka. Příklad: Věta "Včera pršelo, dnes ne." je jazykový výraz českého jazyka, který je vytvořen kombinací znaků "a", "č", "d", "e", "1", "n", "o", "p", "r", "s", "š", "V", a kombinací slov "Včera", "pršelo", "dnes", "ne" a pomocných znaků Jazykový výraz má vedle znakové stránky (fyzický zápis) i stránku významovou - každý jazykový výraz určitého jazyka něco znamená, má svůj význam. Význam jazykového výrazu tvoří dvě odlišitelné složky: denotát a smysl. Denotát: Každý jazykový výraz zpravidla označuje určitý objekt v širším smyslu, tj. i abstraktní (nebo mu může být takový objekt přiřazen, např. zájmenům v přirozeném jazyku). Objekt označený daným jazykovým výrazem nazýváme denotátem tohoto výrazu. Vztah mezi jazykovým výrazem a jeho denotátem nazýváme vztahem označení nebo denotace. Vztah označení však o-becně není jednoznačný vzhledem k času (s výjimkou vlastních jmen), resp. denotát se může měnit v závislosti na čase. Proto v klasické teorii významu chápeme denotaci a denotát aktuálně. přiklad: Výraz "hlavní město ČR" označuje (aktuálně) Prahu (jeho denotátem je město Praha), výraz "město" označuje třídu všech (současných) měst (jeho denotátem je třída všech měst). Výraz "7" označuje číslo 7. Výraz "x:y" může označovat číslo 5, jestliže např. výrazu "X" přiřadíme jako denotát číslo 10 a výrazu "y" číslo 2, ale neoznačuje nic (nemá denotát), když "y" přiřadíme jako denotát číslo 0 (viz dále). Výraz "syn Václava IV." označuje prázdnou třídu, kdežto výraz "syn Karla IV." označuje třídu tvořenou syny Karla IV., tj. Václavem IV., Zikmundem Lucemburským a Janem Zhořeleckým. Poznámka: Při správném používání daného jazyka musí výraz tohoto jazyka vždy označovat něco odlišného od tohoto výrazu (mimojazykovou entitu). Tak např. ve větách "Marie je moje milá." a "Marie se skládá z pěti písmen." (z nichž bych mohl soudit, že moje milá se skládá z pěti písmen, a s tím bych se asi těžko vyrovnával) jde v první větě o běžné (formální) užití výrazu "Marie", ve druhé větě jde o přenesené (materiální) užití toho výrazu. Druhá věta však patrně není správně utvořena. (Při správném používání daného jazyka musí výraz tohoto jazyka označovat vždy něco odlišného od tohoto výrazu.) Rozlišení obou užití výrazu provedeme tak, že ve druhém - 8 - případě - kdy hovoříme o jazykovém výrazu, nikoliv o osobě - dáme ten výraz do uvozovek. Správné pak bude věta vypadat "(Výraz) "Marie" se skládá z pěti písmen." Smysl: Vztah označeni nevyčerpáva pojem významu, neboť často neznáme denotát daného výrazu (nebo ani neexistuje), ale přesto mu rozumíme. Smysl jazykového výrazu je (zhruba řečeno) to, co si musíme osvojit, abychom tomu výrazu porozuměli. Je to tedy jakási mimojazyková entita, ale není to denotát - jde o mentální složku přiřazenou (konvenci) danému jazykovému výrazu. Vztah mezi výrazem a jeho smyslem nazýváme vztahem vyjádření a říkáme že výraz vyjadřuje svůj smysl. Příklad: Smysl jazykového výrazu můžeme také chápat jako proceduru, která nám umožní najít denotát tohoto výrazu. Demonstrujme si to na příkladě dvou výrazů, které mají stejný denotát - "Edmund Husserl" a "zakladatel fenomenologie". Rozumíme-li těmto výrazům, můžeme určit jejich denotát pokud (aktuálně) existuje. Ovšem např. v encyklopedii budeme hledat pod různými hesly, ve druhém případě (důsledně vzato) dvakrát, tedy ta procedura se i takto liší. Vztah mezi denotátem a smyslem jazykového výrazu nazýváme (zpravidla) odraz, vztah opačný determinace. Denotát jazykového výrazu bývá nazýván též jeho extenze, smysl jazykového výrazu intenze. Oblast vztahů mezi jazykovými výrazy se nazývá syntaktika. Nepřihlíží k tomu, co jazykové výrazy znamenají, zabývá se syntaxí (skladbou) jazyka. Vztahy mezi jazykovými výrazy a jejich významem jsou předmětem zkoumání sémantiky, kterou dále rozlišujeme na extenzionální či Intenzionální podle toho, zda je zaměřena na zkoumáni vztahu označení nebo vyjádření. V klasické logice je používána výhradně extenzionální sémantika. Pragmatika bere v úvahu oproti sémantice navíc i uživatele jazyka, tj, zkoumá komunikační funkci jazyka. Schematické znázornění uvedených vztahů poskytuje klasické schéma -trojúhelník reference: jazykový výraz 1. Relaci přitom chápeme jako třídu uspořádaných jj-tic individuí. Relační konstanta označující .n-místnou relaci vyjadřuje vztah, který platí mezi členy každé uspořádané /ľ-tice patřící do té relace. Příklad: Konstanta "menší než" označuje třídu uspořádaných dvojic individuí, v nichž první člen je vždy menší než druhý. Uspořádané ň-tice zapisujeme jako , kde : " a", " ", "a" jsou jména příslušných individuí. Jsou-li individua čísla, pak do relace označené konstantou "menší než" patří uspořádané dvojice: <1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>, ... Poznámka: Třídové a relační konstanty budeme souhrnně nazývat predikátové konstanty. Výrok je jazykový výraz, který označuje pravdivostní hodnotu a vyjadřuje myšlenku (soud, propozici). Výrok, jehož denotátem je 1, nazýváme pravdivý, výrok, jehož denotátem je 0, nazýváme nepravdivý. Výroková forma je jazykový výraz, který obsahuje proměnné a nabývá pravdivostních hodnot (po udělení hodnot těm proměnným). Příklad: Výraz "x > 5" je výrokovou formou, jestliže oborem proměnnosti proměnné x jsou čísla. Poznámka: Výroky a výrokové formy nazýváme souhrnně vety. Funktory jsou jazykové výrazy, které nabývají aktuální význam spojením s dalšími jazykovými výrazy - argumenty, s nimiž tvoří nový jazykový výraz. Podle kategorie rozlišujeme funktory výrokotvorné a názvotvorné. Podle četnosti argumentů rozlišujeme funktory unární, binární, atd. - obecně n-ární pro n^l (nulární funktory jsou konstanty, které nepotřebují žádné doplnění). Za výrokotvorné funktory můžeme z tohoto pohledu považovat i predikáty, jejich doplněním lze tvořit jednoduché výroky (n-ticím individuí přiřa- - 11 - ZU--Í pravdivostní hodnoty). Mezi výrokotvorné funktory patří dále spojky, které umožňují tvoření složených výroků (výrokových forem) doplněním příslušného Dočtu argumentů, jimiž jsou zde opět výroky (výrokové formy). Výroková spojka je konstanta, pomocí níž lze z několika výroků (případně i výrokových forem) vytvořit složitější výrok (výrokovou formu). Hodnota složeného výrazu pro nějaké udělení hodnot jeho proměnným je určena hodnotami skládajících výrazů pro totéž udělení hodnot proměnným (extenzio-nalita). Spojka se nazývá n-ární, jestliže dovoluje vytvářet složený výrok z n skládajících výroků. Funktor (funkční konstanta) v užším smyslu je jméno funkce, která přiřazuje každé uspořádané /i-tici individuí právě jedno individuum (přesněji n-ární funktor). (Speciálně nulami funktor je pak individuální konstanta.) Pomocí funktorů lze tvořit nová vlastní jména. (Proto se v této souvislosti někdv hovoří též o označovací nebo deskriptívni funkci. Je to jazykový výraz sestávající z (aspoň jednoho) funktoru a aspoň jedné proměnné, jehož hodnotami jsou individua.) příklad: Jsou-li individua lidé, pak unární funktor "matka" přiřazuje každému individuu - člověku jeho matku. Výraz "jr-ova matka" je složené jmé-. no individua. V souvislosti s proměnnými se v logice setkáváme ještě s jedním druhem konstant (symbolů), které umožňují vytvořit z výrokové formy výrok. Jsou to obratv jako "pro všechna individua platí", "pro některé individuum platí", "to individuum, pro něž platí", "všechna ta individua, pro něž platí". Na-zvváme je operátory a jsou to výrazy, které se skládají z nevlastního symbolu a proměnné. Z této třídy výrazů zde budeme využívat pouze kvantifikátory - obecný a existenční (první dva z uvedených výrazů). Kvantifikátory spolu se spojkami nazýváme souhrnně logické konstanty. Nyní můžeme zformulovat obecné nároky na vědecké jazyky. Základními požadavky jsou maximální přesnost a operativnost. Konkrétně to znamená dodržení těchto zásad: a) každá konstanta musí mít jednoznačně udělený význam - vylučujeme homonyma a výrazy s nepřesně určeným významem (vágní); b) připouštíme různá jména s týmž denotátem; c) připouštíme skutečná (absolutní) synonyma; d) předpokládáme, že známe smysl všech konstant, i když nemusíme znát jejich případné denotáty; e) jazyk musí připouštět jednoznačné rozlišení dvou úrovní užití konstant (formální a materiální); f) pokud jazyk obsahuje proměnné, požadujeme, aby bylo možno 1) za danou proměnnou dosadit z příslušného oboru proměnnosti 2) za danou proměnnou dosadit jinou proměnnou téhož druhu 3) není-li to výslovně zakázáno, za dvě různé proměnné dosadit tutéž konstantu 4) s výrazy obsahujícími proměnné provádět tytéž transformace jako s výrazy obsahujícími pouze konstanty. Úsudky (jako hlavní pole aplikace logiky) nelze formulovat v objektovém jazyku, jsou to formy metajazykové. V logice je studujeme pouze z formálního hlediska, zajímá nás tedy pouze jejich tvar. Formálně chápeme úsudek jako uspořádanou dvojici tvořenou premisami (množinou premis) a závěrem, což jsou nějaké věty, a mezi nimi předpokládáme vztah logického vyplývání- Takový útvar nazýváme úsudkové schéma, tj. metajazykový výraz A , A 1 ' 2 A / B výrazy A jsou premi- kde výrazy Ai , A^, A&, S jsou vety. sy a výraz B je závěr toho úsudkového schématu. Přitom požadujeme, aby n » 0, tj. připouštíme i prázdnou množinu premis. Úsudkové schéma nazýváme pravidlo správného usuzování, případně o odpovídajícím úsudku říkáme, že je správný nebo platný, právě když mezi premisami a závěrem platí vztah logic- - 12 - kého vyplývání, tj. když při žádné interpretaci těch vět, které tvoří dané úsudkové schéma (speciálně pro žádné udělení hodnot proměnným), nenabudou zároveň všechny premisy pravdivostní hodnoty 1 a závěr pravdivostní hodnoty 0. Pro ten zvláštní případ, kdy n = 0, tedy jestliže úsudkové schéma nemá žádnou premisu, pak záver nesmí nabývat pravdivostní hodnoty 0, tj. musí to být vždy-pravdivá věta. Poznámka: Vymezení správnosti úsudku uvedené v předchozím odstavci má sémantický charakter. Syntaktické pojetí považuje za správný takoví úsudek, v němž je závěr deduktivně obsažen v premisách (díky tvaru vět tvořících úsudek). II.3 Definice Máme-li vyložit, co chápeme pod nějakým slovem, chceme-li zpřesnit užití nějakého jména nebo určit jeho smysl, činíme tak zpravidla definicí. Definice jsou tedy nepostradatelné především při každém systematickém výkladu poznatků. Definicí rozumíme objasnění obsahu (významu) nějakého termínu již používaného nebo zavedení nějakého nového termínu. Definováním označujeme logický proces, který vede k utvoření nějaké definice. Z tohoto vymezení je zřejmé, že definice slouží k zpřesňování (usměrňování) sémantické stránky jazyka. Z formálního hlediska definice obvykle obsahuje výraz, který je definován, jehož obsah vymezujeme - tzv. definiendum, dále výraz, pomocí nějž vymezujeme či zavádíme obsah toho, co má být definováno, tzv. definiens. Mezi oběma těmito složkami definice existuje vztah definiční rovnosti nebo definiční ekvivalence, který nám umožňuje nahradit v daném systému každý výraz, který má tvar odpovídající pravé straně této rovnosti, výrazem, který má tvar odpovídající její levé straně a naopak. Schematicky lze obvyklou strukturu definiční rovnosti vyjádřit takto: definiendum ^is definiens a definiční ekvivalence definiendum =át definiens. Definiční rovnost (=<\ r ) je v přirozeném jazyce vyjádřena různými způsoby. Používáme k tomuto účelu obraty jako "znamená", "je", "nazýváme", "rozumíme", "je definováno jako", ap. Těchto obratu lze (zpravidla) užít i u definiční ekvivalence, kde jsou však obvyklejší výrazy "právě když", "tehdy a jen tehdy" ap. Definiční rovnosti používáme tehdy, když definiendum (ani definiens) neobsahuje žádné parametry. Jestliže definiendum musí obsahovat mimo definovaný výraz i např. proměnné udávající (upřesňující) kontext, v němž výraz dává smysl (viz např. nevlastní konstanty), užijeme definiční ekvivalence. Příklady i a) Logika je věda o formách a zákonech správného usuzování. b) Hořet znamená totéž jako slučovat se s kyslíkem. c) Čtvercem rozumíme rovnostranný pravoúhlý čtyřúhelník. Ve vymezení definice jsou uvedeny dvě funkce definic. Podle toho, kterou z nich použijeme, můžeme rozlišit dva typy definic. Zavádíme-li nějaký nový pojem pomocí základních nebo dříve definovaných pojmů, hovoříme o syntetické definici. Tento tvp definic je charakteristický pro deduktivní vě-dy. Příklady: Prvočíslo r číslo dělitelné pouze sebou samým a jednou. Sudé číslo =ar přirozené číslo dělitelné dvěma. 13 Ve vědních oborech, které nejsou budovány deduktivně a v běžné jazykové komunikaci, definice slouží k objasňování již zavedených pojmů. Takovým definicím říkáme analytické definice. Příklady: Vdova =ar žena, které zemřel manžel a která se znovu neprovdala. Vraník r černý kůň. Analytické definice (jako věty) lze považovat za pravdivé nebo nepravdivé (tedy výroky) podle toho, zda daná definice vystihuje nebo nevystihuje správně význam definovaného výrazu. Tuto vlastnost nelze vztáhnout na definice syntetické, neboť jde pouze o definiční dohody. Definice lze klasifikovat podle řady dalších kritérií. Tak se zpravidla uvádějí do protikladu definice nominálni (verbální) a definice reálné (věcné, obsahové). Nominálními definicemi rozumíme definice, které objasňují určitý jazykový úzus, vysvětlují význam nějaká jazykové zkratky nebo rozvádějí etymologii určitého názvu. Mezi tyto definice řadíme také tzv. překladová definice, s nimiž se setkáváme v dvoujazyčných slovnících nebo při výkladu sy-nonymních slov. Nominální definice jsou definicemi pouze v přeneseném smyslu. Např.: Demokracie je vláda lidu. Oproti tomu definice reálná vymezuje "reálnou věc" (ne pouze slovo). V reálné definici podává definiens podstatné, zásadní, hlavní a nezbytně charakterizující rysy definienda a tak je člověk spolehlivě seznámen s definovanou věcí. Např. Ledem rozumíme vodu v pevné fázi. Další rozlišení druhů definic je založeno na jejich formálním vyjádření. Tak říkáme, že jde o definicí v normálním tvaru, jestliže je vyjádřena definiční rovností nebo definiční ekvivalencí. Tomuto typu se říká též explicitní definice, na rozdíl od definic implicitních, které nejsou v normálním tvaru. Mezi explicitní definice patří především tzv. klasická definice. Je založena na definiční rovnosti mezi druhovým pojmem v definiendu a nejbliže nadřazeným rodovým znakem {genus proximum) a druhovým odlišením {differen-tia spécifica) v definiens. Např. : Bělák je zajíc zbarvující se v zimě do béla. Zde reprezentuje "zajíc" nadřazený rod a "zbarvující se v zimě do béla" druhový rozdíl. Jestliže definiendum obsahuje vedle definovaného pojmu ještě další výrazy, považujeme takovou definici za kontextuáiní. V kontextuální definici se pojem nedefinuje izolovaně, ale v jisté (určující) souvislosti. Kontextuální definice jsou vhodné k definování vztahů. Např.: x je bratrem y právě tehdy, je-li x mužského pohlaví a jí" je sourozencem y; x je matkou y právě tehdy, je-li x ženského pohlaví a y je dítětem x. Definice abstrakcí je založena ne nějaké relaci typu ekvivalence (viz VII). Objekty, které splňují takovou relaci, mají nějakou společnou vlastnost, která je touto relací vymezena. Příklad: Určitý peněžní obnos, např. 5,30 Kčs, je možno sestavit jako peněžní částku mnoha způsoby, např. jako částku skládající se z 53 deseti-haléřů nebo jako částku sestavenou z jedné pětikoruny, jednoho dvacetihalé-ře a jednoho desetihaléře apod. Obnos 5,30 Kčs (jako abstraktum) lze na základě relace "mít stejnou nominální hodnotu" chápat jako množinu všech peněžních částek, které dávají dohromady 5,30 kčs. Induktivní definice, která je využívána především v matematice a logice, vymezuje určitý pojem tím, že udává systematicky kroky, jak jej lze konstruovat. V této definici jsou výslovně uvedeny 1) základ induktivní definice, tj. výchozí prvky nebo nějaké kritérium, které umožňuje rozhodnout, zda se jedná či nejedná o výchozí prvek; 2) indukční krok, tj. pravidla umožňující postupně vytvořit zbývající prv-ky; 3} omezení, podle něhož již žádný objekt, pokud nesplňuje základ a indukční krok, nespadá pod takto vymezený pojem. S induktivními definicemi se setkáme v III a IV (definice správně utvořených formulí). Rekurzí vní definice slouží k definování relace pomoci nějakých známých relací (aspoň jedné|. Sestává z jednoho kroku fixního, ve kterém se prohlašuje, že definovaná relace je tctéž jako relace daná. Není-li možné" uplatnit první krok, lze i opakovaně použít kroku rekurzívního, který vvužívá relace dané i relace definované (čímž se problém zčásti převádí na první krok). Příklad: 1) x je potomek y ad r x je dítě y 2) x je potomek y =df existuje z tak, že x je dítě z a z je potomek y Na všechny typy a druhy definic klademe některé metalogické požadavky. Prvním takovým požadavkem, který bezprostředně vyplývá z vlastností definiční rovnosti nebo definiční ekvivalence, je požadavek souměrností definice. Definice je souměrná, když rozsah definienda se rovná rozsahu definiens. S tím úzce souvisí požadavek přeložitelnosti a nahraditelnosti. Tj. výraz, který obsahuje definiens lze bez záměny významu přeložit ve výraz, který obsahuje definiendum a naopak. V každém kontextu lze místo definienda použít definiens a naopak. Výrok obsahující definiendum lze vždy nahradit výrokem obsahujícím definiens. Tuto vlastnost požadujeme výslovně pouze u analytických definic, syntetické definice jej splňují vždy. Na analytické definice klademe ještě další požadavky: 1) Definice má objasňovat obsah pojmu, nikoli jen význam slova, vyjadřujícího definovaný pojem. (Tím se omezuje užívání nominálních a speciálně překladových definic. ) 2) Definiens má vyjadřovat podstatné a nikoli nepodstatné znaky definovaného pojmu, tj. definice má poskytovat relevantní informace o definovaném pojmu. Např.: Definice "Matematika je véda o kvantitativních aspektech objektivní reality." tento požadavek splňuje, kdežto definice "Matematika je ober, který lze studovat na universitě." nikoliv. 3) Definiens nemá obsahovat neurčité, nepřesné nebo metaforické výrazy (jinak by definice nepřispívala k objasnění či upřesnění pojmů). Např.: Lev je králem živočišné říše. 4) Definiens nemá obsahovat pojmy, které vyjadřují negativní znaky, pokud definovaný pojem sám není negativní. (Jde tedy o to, vymezit pojem těmi znaky, které jsou pro něj charakteristické a ne těmi, které mu nepřísluší.) Např.: Světlo je nepřítomnost tmy. Zásady korektního definování lze (vědomě či nevědomě) porušovat řadou způsobů, na něž je vhodné upozornit. Proti požadavku souměrnosti (analytických) definic lze chybovat v zásadě třemi způsoby tak, že neplatí definiční rovnost či ekvivalence: a) úzká definice, kdy rozsah definiens je menši než rosah definienda; např. definujeme-li: Strýc je otcův bratr. b) široká definice, kdy rozsah definiens je větší než rozsah definienda; např.: Čtverec je pravoúhlý čtyřúhelník. c) zkřížená definice některé objekty pod pojem nepatřičně zařazuje a na druhé straně jiné objekty nesprávně do tohoto oboru nezařazuje; např.: Myšlenkový proces je proces zaměřený k vyřešení nějaké úlohy. Při logické chybě definování neznámého neznámým se chybuje proti 3. pravidlu: v definiens se objevují neurčité pojmy nebo pojmy, o nichž lze předpokládat, že jsou pro uživatele nejasné, neznámé nebo dokonce ještě méně známé, než pojem definovaný. (Toto chybování se týká pragmatické dimenze jazyka. ) ', Při logické chybě definování kruhem (circulus vitiosus; idem per idem) je porušena základní funkce definice - objasňovat nebo zpřesňovat pojmy. Kruh v definici se projevuje několika způsoby: 1) V definiens se objevuje explicitně stejný pojem jako v definiendu. Takovou definicí se neobjasňuje nic, co by nebylo už dříve známo. Např.: Potomek osoby x je jeho dítě nebo dítě potomka osoby x. {Nezaměňovat s rekurzívní definicí, nebyla by úplná.) 2) 7 definiens se implicitně nachází stejný pojem jako v definiendu. V této souvislosti vyjadřuje proto skrytě nebo zjavne totéž, co definiendum a definice opět nic neobjasňuje. je to, co činíme. Násilnost je druhem násilného chování. soustavě definic využívaných v dané úvaze. Např.: Den je časový údaj charakterizovaný souborem 24 hodin. Hodina je časový údaj, který je určen 1/24 dne. Např. : Či i) Kruh v definování se projevuje I!A Explikace Explikaci pojmů rozumíme postup, při němž nahrazujeme nepřesný pojem pojmem přesnějším. Pojem, který touto procedurou chceme upřesnit, nazýváme explikandum (to, co má být vysvětleno) a pojem, kterým chceme dosavadní pojem nahradit, nazýváme explikát■'(to, čím vysvětlujeme). Explikací využíváme nejčastěji při postupném přechodu od klasifikato-rickývh (kvalitativních) pojmů k pojmům komparativním a k pojmům metrickým. Klasifikatorické pojmy vyjadřují nějakou vlastnost (kvalitu), Např. : těžký, teplý, dlouhý. Komparativní pojmy jsou relační pojmy, které umožňují srovnání dvou objektů vzhledem k určité vlastnosti. Hapř.: těžší než, právě tak těžký jako, méně teplý než, právě tak dlouhý jako, delší než. Metrické {kvantitativní) pojmy jsou numericky určené pojmy, které u-možňují přiřazování číselné hodnoty kvalitativně určeným pojmům. Např.: těžký 30 kg, teplý -10 °C, dlouhý 2 km. Přechod od kvalitativních pojmů ke komparativním a metrickým je podložen historickým vývojem vědeckého poznání a souvisí i s neustále se rozšiřujícími možnostmi matematizace. Tento proces je motivován snahou o zpřesnění a objektivizaci pojmů. Kvalitativní pojmy jsou neurčité a chápání jejich obsahu se mění od člověka k člověku. Co je např. pro Eskymáka "vlažné" bude pro obyvatele tropů "ledové". Kvantitativně specifikované pojmy jsou určité a jejich určení je dáno intersubjektivné. Rekne-li nám někdo, že vzdálenost mezi dvěma místy je 3 km, pak máme zcela konkrétní představu, jak dlouho nám potrvá cesta, než když nám někdo řekne, "Je to kousek.", "Není to daleko." nebo "Je to blízko." Explikace je, stejně jako definice, vždy vázána na nějaký systém poznatků či aspoň kontext, který vymezuje a usměrňuje vztah mezi klasifikato-rickým pojmem, který chceme explikovat, a metrickým pojmem, který použijeme jako explíkát. Např.: K pojmu "starý" uvádíme v kontextech "starý strom", "starý pes" či "stará báje" vždy různé explikáty. Přiměřenost explikace je podmíněna splněním požadavAů podobnosti a přesnosti. Podobnost explikace předpokládá, že se explikát skutečně přiměřeným způsobem vztahuje na dané explikandum. Explikaci proto nelze realizovat tehdy, když nelze udat přiměřený a tedy podobný explikát pomocí nějakého metrického pojmu. Tak je tomu např. pro pojmy dobrý, krásný, laskavý, jarní, prospěšný, apod. Požadavek přesnosti zahrnuje přiměřenou číselnou hodnotu explikátu, která by co nejobjektivněji vystihovala kvantitativní aspekty explikovaného pojmu. Numerická charakteristika metrického pojmu musí být přiměřeně interpretována a relativizována s ohledem na daný kontext. Tak např. pojem "silná koncentrace vojsk" bude explikován jinak pro válku v Libanonu a jinak pro válku v Perském zálivu. 16 - Explikace kvalitativních pojmů pojmy kvantitativními je mj. i výrazem konkrétní argumentace, která se vyhýbá formulacím málo srozumitelným a přesvědč ivým. II.5 Klasifikace Definice, případně explikaca, regulují tu významovou složku jazykových výrazů, kterou jsme nazvali smysl. Klasifikace (třídění, dělení) umožňuje objasnit denotační stránku výrazů daného jazyka. Tato tradiční metoda užívá tradiční terminologii - hovoří o pojmech. Jazykový výraz "pojem" je však homonymní, bohužel i v tomto kontextu. Je používán ve smyslu: 1. jazykový výraz či termín; 2. smysl jazykového výrazu, což se zpravidla upřesňuje jako "obsah pcjmu" (kdežto "rozsah pojmu" - jako denotát jazykového výrazu - je vžay uváděn explicitně); 3. užitém v obratu "mít pojem o ..." (tj. jakc vágní představa). První a třetí interpretaci nelze při klasifikaci uplatnit. Pouze druhý koncept je možno použít jako klasifikační hledisko (obecně však na jediné). Klasifikace pojmů je názornou ukázkou rozdělení jistého univerza podle různých hledisek. Připomeňme si zde, že. obsah a rozsah pojmu souvisejí vztahem nepřímé úměry. Znak je jeden z jednodušších pojmů, na něž lze daný pojem rozložit (např. analytickou definicí). Vzhledem k rozsahu pojmů rozlišujeme pojmy prázdné, v jejichž rozsahu není žádný objekt, pojmy singulární (jedinečné), v jejichž rozsahu je právě jeden prvek, a obecné (univerzální), jejichž rozsah obsahuje více než jeden prvek. Např. po řadě "člověk vyšší než 5 m", "první rektor UP", "student". Další členění na nejobecnější úrovni rozlišuje pojmy srovnatelné, které (z hlediska jejich obsahu) mají aspoň jeden společný znak, a nesrovnatelné, které nemají žádné společné znaky. V první kategorii budou pojmy, které pocházejí z téže předmětné oblasti, resp. patřící do téhož odborného jazyka, např. "zločin" a "trest". Ve druhé kategorii budou pojmy, které spadají do různých oborů, např. "ústava" a "úsudek". Srovnatelné pojmy dále členíme podle rozsahu na slučitelné, jejichž rozsahy mají aspoň jeden společný prvek, a neslučitelné, jejichž rozsahy nemají žádné společné prvky. Např. "prezident republiky" a "umělec" jsou slučitelné pojmy, "živý" a "mrtvý" jsou pojmy neslučitelné. Slučitelné pojmy dělíme podle stupně obecnosti na souřadné pojmy (téhož stupně obecnosti) a nesouřadné (odlišného stupně obecnosti). Např. pojmy "republika" a "monarchie" jsou souřadné, pojmy "univerzita" a "fakulta" jsou nesouřadné. Nesouřadné pojmy mohou být ve vztahu podřazenosti, resp. nadřazenosti. Pojmová posloupnost uspořádaná vztahem podřazenosti je omezena zdola pojmy singulárními a shora kategoriemi jako nejobecnějšími pojmy, jimž již nelze nadřadit žádný pojem větší obecnosti. Např. pojmy "automobil", "vlak", "letadlo" jsou podřazeny pojmu "dopravní prostředek"; pojem "ovocný strom" je nadřazen pojmům "jabloň", "hrušeň", "třešeň". Jestliže v rozsahu souřadných pojmů je aspoň jeden společný prvek, ne však všechny, jsou to pojmy zkřížené (incidentní), jsou-li společné všechny prvky, jde o pojmy rovnomocné. Zkříženými pojmy jsou např. "voják" a "lékař", rovnomocnými pojmy jsou např. "Jitřenka" a "Večernice". Neslučitelné pojmy dále dělíme na protivné a protikladné, přičemž obojí se vylučují, pouze protikladné pojmy jsou však komplementární. Protivnými pojmy jsou např. "černý" a "bílý", protikladnými např. "černý" a "nečer-ný". Klasifikace obecně je úplný rozklad univerza na vzájemně disjunktní třídy pomocí nějaké relace typu ekvivalence. Jde o jistou formu abstrakce, která slouží k vyjasnění rozsahu pojmů. Podle možných vztahů mezi pojmy lze v zásadě rozlišit klasifikaci syntetickou, při níž postupujeme od pojmů singulárních (individuálních) k pojmům obecnějším a klasifikaci analytickou, při níž postupujeme od pojmů obecných k pojmům méně obecným až případně k pojmům singulárním. - 17 - II,6 Úsudky Logika je schopna (svými prostředky) kontrolovat správnost pouze u deduktivních úsudků. Porovnejme následující dva úsudky: Všichni lidé jsou smrtelní, Sokrates je člověk; tudíž Sokrates je smrtelný. Slunce doposud vyšlo každý den; tudíž (asi) vyjde i zítra. První z nich je běžný případ deduktivního úsudku, který je považován za platný (ve smvslu definice zavedené v II.2). Druhý úsudek ne povazován za deduktivně neplatný - je to pravděpodobnostní úsudek. Rozdíl mezí deduktivními a pravděpodobnostními úsudky ]e i], v tom, ze u platného deduktivního úsudku je pravdivost závěru zaručena pravdivosti premis kdežto u pravděpodobnostního úsudku pravdivost premis nezaručuje jistotu pravdivosti závěru, pouze jeho pravděpodobnost (v uvedeném úsudku je tato pravděpodobnost jistě vysoká). _i Pro rozlišení uvedených typů úsudků mohou byt užitečné vlastnosti deduktivních úsudků, které uvádíme v následujícím přehledu. Nejprve si vsak zavedeme označení platnosti úsudku pomocí symbolu ■ takto: Je-li Úsudek A / B platný, pak to dáme najevo zápisem Např Napr. 1 ' 2 n 1) Platný úsudek může mít nepravdivý závěr. : Všechna nebeská tělesa obíhají kolem Země, Slunce je nebeské těleso; tudíž Slunce obíhá kolem Země. 2) Neplatný úsudek může mít pravdivé premisy a pravdivý závěr. : 1 + 1=2, Paříž má víc obyvatel než Praha; tudíž první člověk na měsíci byl Američan. A ■ B, pak Ai , Rz, ... , \, 0 ■:■ Jestliže A 3) Monotónnost. --------— B pro libovolnou větu C. Jinak řečeno - platný úsudek zůstane další premisy (argumenty). 4) Tranzitivita: Jestliže A , platným, když k jeho premisám přidáme D, pak A , Aa , . . . , 4 , Cx f C , . . . , C a C Tedy zřetězení platných úsudků zachovává platnost. Zprostředkující zaver B lze vyloučit připojením jeho premis k úsudku, kde je potřebné B jako premisa. 5) Reflexivita: Je-li B jedna z vět A^ , A^ , . . . , A^ , pak A{, A2 , A .: B. Jsou tedy platné "kruhové" úsudky. (Takové úsudky ovšem nejsou prakticky příliš užitečné. Jde však o charakteristický rys úsudků deduktivních, na rozdíl od úsudků pravděpodobnostních. ) Nyní označme skutečnost, že nějaký soubor vět A^ , Ap , A^ je spor- ný (tj. nemůže nastat případ, že by všechny ty věty byly současně pravdivé) , výrazem A , A , ... , A 1 2 n Tento zápis je oprávněn tím, že úsudek, jehož premisy jsou sporné, je platný, ať už je závěr jakýkoliv. Tedy formálně: 6 ) Jestliže A větu B. pak .4 , A B pro libovolnou Dále použijme zápisu ,. A pro skutečnost, že A je (logicky) pravdivá /ěta (tj. nemůže nastat případ, že by věta A byla nepravdivá). Tento záois je oprávněn tím, že když závěr nemůže být nepravdivý, je ten úsudek platný. Pak ale lze doplnit takový úsudek libovolnými premisami: 7 ) Jestliže ... , A . B, pak A B pro libovolné vě ty At Odtud je zřejmé, jak lze rozšířit pojem úsudku tak, aby zahrnoval i příoad s nulovým počtem premis (v II.2 jsme požadovali n s 0). Uvedené vlastnosti platnosti úsudků vyplývají z definice platnosti z II. 2 a odpovídají klasickému pojetí platnosti. Ověřování platností úsudků v závislosti na struktuře konstituujících vět budou věnovány příslušné partie v kapitolách III a IV. Platné úsudky mají v usuzovacích procesech dvojí funkci. Slouží jednak ke zdůvodňování a jednak k odvození. Tyto dvě úlohy se vzájemně doplňují: 1. Při zdůvodňování je dán výrok, který zde nazýváme teze. Úkol spočívá v nalezení takových výroků - argumentů (ve prospěch teze), aby z nich teze logicky vyplývala. Úsudek, který takto získáme, musí být správný (nejen platný), tj. musí mít vesměs pravdivé premisy. Tedy je dána teze 3 a hledáme takové argumenty A , A , .... A , že úsudek A ,'A , . A < R 12 n 1 ' 2 ' n " je správný. 2. Pro odvození jsou dány jisté věty, které buä jsou pravdivé nebo je za pravdivé považujeme. Úkolem je najít logický důsledek daných vět, tj. takový výrok, který z nich netriviálně logicky vyplývá. Odvození je založeno na znalosti logické struktury těch vět. (Logické postupy této extrakce budou předmětem dalšího výkladu.) Schematicky: jsou dány (pravdivé) věty A t A&/ ..., A a hledáme větu B takovou, že A , A , ..., A • B. Jistá modifikace této úlohy, kdy je dán úsudek a máme prověřit, zda je platný či správný, se obvykle nazývá důkaz. Doplňkem^této části je výčet tradičních principů správného usuzování. Jsou to tyto čtyři zásady: 3U Princip totožnosti žádá, aby v daném kontextu byl každý jazykový výraz užíván ve fixním smyslu. Princip umožňuje rozlišení a ztotožnění objektů, o něž jde v dané úvaze. Předpokládá jistou idealizaci (např. figuruje-li v myšlenkovém procesu jméno "Václav Klaus", zpravidla abstrahujeme od toho, jakou má individuum označené tímto jménem aktuálně kravatu, tj. mimo případ, že se vypovídá právě o této skutečnosti). 2. Princip sporu říká, že dva výroky, které se vzájemně vylučují, resp. se vzájemně popírají, nemohou být současně pravdivé. Jinak řečeno - žádná věta nemůže být zároveň pravdivá i nepravdivá. 3. Princip^vyloučeného třetino doplňuje princip sporu takto: ze dvou vysokú, z nichž jeden tvrdí to, co druhý popírá, je jeden určitě pravdivý. 4. Princip dostatečného důvodu jako jediný nemá charakter logického zákona, ale spíše metodologického principu. Podle něj považujeme výrok za pravdivý pouze tehdy, lze-li zformulovat jeho dostatečné zdůvodnění. Tím jsou míněny takové evidentně pravdivé (dříve a nezávisle ověřené) výroky, z nichž uvažovaný výrok logicky vyplývá. Tento princip se zaměřuje na věrohodnost výpovědí a je tedy pragmatické povahy, kdežto povaha předcházejících tří principů je sémantická. II.1 Určete, které z následujících výrazů jsou pravdivé: a) c) 0 je celé číslo; "0" je celé číslo; b) 0 je číslice oválného tvaru; d) "0" je číslice oválného tvaru;