Absolutní extrémy funkcí dvou proměnných
Lenka Přibylová
7. února 2007
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na M. . 2
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na M. . . 24
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6
S3 = 0, -
1
2
: f (0, -
1
2
) = -
1
4
S7 = [0, -3] : f (0, -3) = 6
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Nakreslíme přímky ohraničující množinu.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Spočteme první derivace funkce podle obou proměnných.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Stacionární bod splňuje podmínky f 
x = 0 a f 
y = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
Vyřešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých. Z první rovnice y = 2x + 1 dosadíme
do druhé: 4x + 2 - x + 1 = 0, tj. x = -1 a y = -1.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
Tento bod leží ve zkoumané množině. Zařadíme ho tedy mezi body podezřelé z
extrému.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Stacionárním bodem na hranici y = 0 je bod s x-ovou souřadnicí x = -
1
2
.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Bod S2 leží ve zkoumané množině. Zařadíme ho mezi body podezřelé z extrému.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
-3
-3
0
f 
x = 2x - y + 1 = 0, f 
y = 2y - x + 1 = 0  S1 = [-1, -1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x  f 
= 2x + 1 = 0  x = -
1
2
 S2 = -
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y  f 
= 2y + 1 = 0  y = -
1
2
 S3 = 0, -
1
2
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6Analogicky předchozímu případu dostáváme bod S3.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
-3
-3
0
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = -x - 3.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
-3
-3
0
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = -x - 3.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
-3
-3
0
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
-3
-3
0
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6Stacionárním bodem na hranici y = -x - 3 je bod s x-ovou souřadnicí x = -
3
2
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
-3
-3
0
y = -x -3 : f (x, -x -3) = x2
+ (-x -3)2
- x(-x -3) + x - x -3 = 3x2
+9x +6
 f 
= 6x + 9 = 0  x = -
3
2
 S4 = -
3
2
, -
3
2
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6y-ovou souřadnici dostaneme dosazením do hranice y = -x - 3 =
3
2
- 3 = -
3
2
.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6
S3 = 0, -
1
2
: f (0, -
1
2
) = -
1
4
S7 = [0, -3] : f (0, -3) = 6
S4 = -
3
2
, -
3
2
: f (-
3
2
, -
3
2
) = -
3
4
Posledními možnými body, kde může nastat absolutní extrém, jsou vrcholy
trojúhelníku.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6
S3 = 0, -
1
2
: f (0, -
1
2
) = -
1
4
S7 = [0, -3] : f (0, -3) = 6
S4 = -
3
2
, -
3
2
: f (-
3
2
, -
3
2
) = -
3
4
Najdeme všechny funkční hodnoty v podezřelých bodech a vybereme maximální a
minimální hodnotu.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [-1, -1] : f (-1, -1) = -1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = -
1
2
, 0 : f (-
1
2
, 0) = -
1
4
S6 = [-3, 0] : f (-3, 0) = 6
S3 = 0, -
1
2
: f (0, -
1
2
) = -
1
4
S7 = [0, -3] : f (0, -3) = 6
S4 = -
3
2
, -
3
2
: f (-
3
2
, -
3
2
) = -
3
4
Funkce f (x, y) = x2
+ y2
- xy + x + y má tedy dvě absolutní maxima v bodech
S6 a S7 a absolutní minimum v bodě S1.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = -3
S = [1, 2] : f (1, 2) = 17    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Nakreslíme množinu M. Je to obdélník.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme první derivace funkce podle obou proměnných.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Stacionární bod splňuje podmínky f 
x = 0 a f 
y = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Vyřešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých. Z druhé rovnice 2x + 8 = 0
dostváme x = -4, odtud z první: -8 + 2y - 4 = 0, tj. y = 6.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Tento bod ale neleží ve zkoumané množině. Nezařadíme ho tedy mezi body
podezřelé z extrému.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Stacionárním bodem na hranici y = 0 je bod s x-ovou souřadnicí x = 2.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Tento bod také neleží ve zkoumané množině, a proto jej nezařadíme mezi body
podezřelé z extrému.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
f 
x = 2x + 2y - 4 = 0, f 
y = 2x + 8 = 0  S = [-4, 6] / M
y = 0 : f (x, 0) = x2
- 4x  f 
= 2x - 4 = 0  x = 2  S = [2, 0] / M
x = 0 : f (0, y) = 8y  f 
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16Žádný takový bod neexistuje.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 2.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 2.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Stacionárním bodem na hranici y = 2 je bod s x-ovou souřadnicí x = 0
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Bod S1 leí v množině M, je to vrchol obdélníku. Zařadíme ho mezi body
podezřelé z extrému.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f 
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x - 4x + 16 = x2
+ 16
 f 
= 2x = 0  x = 0  S1 = [0, 2]  M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y - 4 + 8y = 10y - 3
 f 
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Žádný takový bod neexistuje.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = -3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Posledními možnými body, kde může nastat absolutní extrém, jsou vrcholy
obdélníku.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = -3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Najdeme všechny funkční hodnoty v podezřelých bodech a vybereme maximální a
minimální hodnotu.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y na množině
M : 0  x  1, 0  y  2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = -3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Funkce f (x, y) = x2
+ 2xy - 4x + 8y má tedy absolutní maximum v bodě S4 a
absolutní minimum v bodě S3.
    c Lenka Přibylová, 2007 ×
Konec
    c Lenka Přibylová, 2007 ×