ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 1 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Racionální funkce
Robert Mařík
8. března 2007
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet dalších
mých kvízů a potom mi prosím vyplňte
na webu. Děkuji!
Každou racionální funkci lze zintegrovat (alespoň teoreticky, musíme totiž být
schopni rozložit jmenovatel na součin). Metody integrování se však pro jednotlivé
typy racionálních funkcí liší. Není zde naštěstí nad čím váhat, zpravidla totiž
okamžitě identifikujeme o jaký typ racionální funkce se jedná a potom postupujeme
podle daného schematu, příslušného tomuto typu funkce.
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 2 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
1. Ú vod
Racionální funkce je funkce tvaru R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
, kde Pn(x) je polynom stupně
n a Qm(x) polynom stupně m.
Racionální funkce dělíme do několika skupin. V každé skupině integrujeme jiným
způsobem a proto je nutno jednotlivé racionální funkce odlišovat.
ˇ Parciální zlomky lze integrovat přímo použitím vzorců a případně algebraických
úprav (u zlomků s kvadratickým výrazem ve jmenovateli).
ˇ Ryze lomené funkce, které nejsou samy parciálními zlomky, lze rozložit na
součet parciálních zlomků a pak integrujeme jednotlivé parciální zlomky sa-
mostatně.
ˇ Neryze lomené funkce lze převést na součet polynomu a ryze lomené funkce
(pomocí dělení polynomů). Každou ze dvou obdržených částí integrujeme sa-
mostatně.
1.1. Ryze a neryze lomené racionální funkce
Necht' R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je racionální funkce. Je-li n  m, nazývá se funkce R(x)
neryze lomená, je-li n < m, nazývá se funkce R(x) ryze lomená.
Ryze lomená funkce má tedy v čitateli polynom menšího stupně než ve jmenovateli.
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 3 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
1.2. Typy parciálních zlomků
Parciální zlomky jsou jedny z nejjednodušších ryze lomených funkcí. Jedná se o
následující typy zlomků (vynecháváme případ násobných komplexních kořenů).
A1
x - a
,
An
(x - a)n
,
Ax + B
x2 + Mx + N
,
Ax + B
(x2 + Mx + N)n
n  2 je přirozené číslo, x je proměnná a všechno ostatní jsou reálné konstanty
takové, že polynom x2
+ Mx + N nemá reálné kořeny.
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 4 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
2. Test1
Poznáte racionální funkce? Zatrhněte správnou možnost. Zelená fajka značí
správnou a červený křížek špatnou odpověd'.
Kvíz.
1.
x
x2 + 4
Ryzelomenáasoučasněparciálnízlomek
Ryzelomenáfunkce
Neryzelomenáfunkce
Neníracionálnífunkce
2.
x
x2 - 4
3.
x + 1
(x - 1)2
4.
x
(x - 1)2
5.
3
(x - 1)2
6.

x
x2 + x + 1
7.
x3 - 1
x + 2
8.
6x - 1
x2 + 8x + 100
9.
1
x3 + 1
10.
3
x + 5
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 5 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
11.
x + 2
x2 + 4x + 6
Ryzelomenáasoučasněparciálnízlomek
Ryzelomenáfunkce
Neryzelomenáfunkce
Neníracionálnífunkce
12.
x
x2 + 4x + 6
13.
x
x3 + 4x
14.
x - 1
(x + 2)3
15.
6
(x -

3)4
16.
x2
x + 1
17.
x - 1
x(x - 2)(x - 3)
18.
x3 - 1
x(x - 2)(x - 3)
19.
x2 - 1
x(x - 2)2
20.
x
x + 1
21.
(x + 1)(x - 1)(x + 2)2
x - 1
22.
sin(x)
cos(x)
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 6 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
23.

x2 - 1
x(x - 2)2
Ryzelomenáasoučasněparciálnízlomek
Ryzelomenáfunkce
Neryzelomenáfunkce
Neníracionálnífunkce
24.
x2/3
(x + 1)(x + 2)2
25.
6 - x
x2 + 3x + 9
26.
1
x2 + 1
27.
2x + 1
(x + 1)2
ROBERTMAŘÍK
Integrály-rac.funkce.
fileint-rf1-CZ.tex
Ú vod
Test1
Test2
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 7 z 7
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
3. Test2
Umíte dělit polynomy se zbytkem? Tato dovednost je nezbytná, pokud chcete
integrovat neryze lomené funkce. Tyto funkce je totiž nutné nejprve upravit na podíl
polynomu a ryze lomené funkce.
Do bílého políčka vepište podíl (polynom) a do žlutého zbytek (polynom stupně
menšího než stupeň polynomu ve jmenovateli.)
Kvíz.
1.
x2 + 2x + 1
x + 1
= +
x + 1
2.
x2
x + 2
= +
x + 2
3.
x3 + x + 1
x2 + 2
= +
x2 + 2
4.
x2 + 4x + 1
x - 2
= +
x - 2
5.
x4 + 3x2 + 4x + 5
x2 + 1
= +
x2 + 1