Neurčitý integrál Robert Mařík 27. ledna 2006 Obsah 1 Definice neurčitého integrálu 5 2 Základní vzorce 7 (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 tg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 c Robert Mařík, 2006 × x + 2 x2 + 4x + 5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 x + 5 x2 + 4 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 (x + 6)3 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 f (ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 x + 5 x2 - 4x + 9 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Parciální zlomky. 57 Rozklad s neurčitými koeficienty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 x4 - x + 1 x3 + x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 x x3 - 8 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4 Integrace per-partés 105 c Robert Mařík, 2006 × (x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 (x - 2) sin(2x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 (x2 + 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 (x2 + 1)e-x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 x3 sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 (x3 + 2x)e-x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5 Integrace pomocí substituce. 173 sin(ln x) x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 c Robert Mařík, 2006 × xe1-x2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 x x4 + 16 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 e x+1 x + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 tg3 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 1 (2 + cos x) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3x + 2 - 1 x + 1 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 1 + x - 1 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6 Další . . . 251 arcsin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 c Robert Mařík, 2006 × 1 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Bud' I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro všechna x I, (1) nazývá se funkce F primitivnífunkcík funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f (x) dx = F(x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F(x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta 1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. c Robert Mařík, 2006 × 1 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Bud' I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro všechna x I, (1) nazývá se funkce F primitivnífunkcík funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f (x) dx = F(x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F(x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta 1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. c Robert Mařík, 2006 × 1 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Bud' I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro všechna x I, (1) nazývá se funkce F primitivnífunkcík funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f (x) dx = F(x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F(x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta 1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. c Robert Mařík, 2006 × Věta 2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: ˇ Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. ˇ Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x I. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e-x2 je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. c Robert Mařík, 2006 × Věta 2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: ˇ Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. ˇ Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x I. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e-x2 je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. c Robert Mařík, 2006 × Věta 2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: ˇ Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. ˇ Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x I. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e-x2 je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. c Robert Mařík, 2006 × 2 Základní vzorce Věta 3. Nechť f, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Pak f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in- tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí f (x) f (x) dx = ln |f (x)| . c Robert Mařík, 2006 × 2 Základní vzorce Věta 3. Nechť f, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Pak f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in- tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí f (x) f (x) dx = ln |f (x)| . c Robert Mařík, 2006 × 2 Základní vzorce Věta 3. Nechť f, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Pak f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in- tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platí f (x) f (x) dx = ln |f (x)| . c Robert Mařík, 2006 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. I = (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + C = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. I = (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + C = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + C ˇ Integrál ze součtu je součet integrálů. ˇ Integrál násobku funkce je násobek integrálu. ˇ Některé funkce je možno přepsat na mocninné funkce. c Robert Mařík, 2006 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. I = (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + C = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + C ˇ xn dx = xn+1 n + 1 ˇ sin x dx = - cos x ˇ ex dx = ex c Robert Mařík, 2006 × Najděte (2x + 3 4 + 6 x3 - sin x + ex ) dx. I = (2x + 3 4 x + 6 x3 - sin x + ex ) dx = 2 x dx + 3 x 1 4 dx + 6 x-3 dx - sin x dx + ex dx = 2 x2 2 + 3 x5/4 5/4 + 6 x-2 -2 - (- cos x) + ex + C = x2 + 12 5 x5/4 - 3 1 x2 + cos x + ex + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte tg x dx. I = tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte tg x dx. I = tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + C Použijeme definici funkce tangens. c Robert Mařík, 2006 × Najděte tg x dx. I = tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + C ˇ Platí (cos x) = - sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. ˇ Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. c Robert Mařík, 2006 × Najděte tg x dx. I = tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + C Formálně použijeme vztah (cos x) = - sin x, abychom viděli vzorec f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C. c Robert Mařík, 2006 × Najděte tg x dx. I = tg x dx = sin x cos x dx = - - sin x cos x dx = - (cos x) cos x dx = - ln | cos x| + C f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. I = x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. I = x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + C ˇ Platí (x2 + 4x + 5) = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. ˇ Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. I = x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + C Přepíšeme do tvaru f (x) f (x) dx. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 2 x2 + 4x + 5 dx. I = x + 2 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 2x + 4 x2 + 4x + 5 dx = 1 2 (x2 + 4x + 5) x2 + 4x + 5 dx = 1 2 ln(x2 + 4x + 5) + C f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 + 4 dx. I = x + 5 x2 + 4 dx = 1 2 2x x2 + 4 + 5 x2 + 4 dx = 1 2 ln(x2 + 4) + 5 1 2 arctg x 2 + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 + 4 dx. I = x + 5 x2 + 4 dx = 1 2 2x x2 + 4 + 5 x2 + 4 dx = 1 2 ln(x2 + 4) + 5 1 2 arctg x 2 + C ˇ Derivace jmenovatele je x, v čitateli však není násobek této funkce. ˇ Vzorec f (x) f (x) dx nelze přímo použít. ˇ Rozdělíme zlomek na dva. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 + 4 dx. I = x + 5 x2 + 4 dx = 1 2 2x x2 + 4 + 5 x2 + 4 dx = 1 2 ln(x2 + 4) + 5 1 2 arctg x 2 + C ˇ V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. ˇ Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 + 4 dx. I = x + 5 x2 + 4 dx = 1 2 2x x2 + 4 + 5 x2 + 4 dx = 1 2 ln(x2 + 4) + 5 1 2 arctg x 2 + C ˇ f (x) f (x) = ln |f (x)| + C ˇ 1 A2 + x2 dx = 1 A arctg x A c Robert Mařík, 2006 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C Jedná se o mocninnou funkci. c Robert Mařík, 2006 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), kde F je integrál z f. ˇ V našem případě je f (x) = x-3 , F(x) = x-2 -2 a a = 1. c Robert Mařík, 2006 × Najděte 1 (x + 6)3 dx. I = 1 (x + 6)3 dx = (x + 6)-3 dx = (x + 6)-2 -2 = - 1 2(x + 6)2 + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ 1 x dx = ln |x| ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = 2. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C Přepíšeme na mocninnou funkci. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ xn dx = 1 n + 1 xn+1 ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = -1. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ ex dx = ex ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = -1. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. 1 2x + 5 dx = 1 2 ln |2x + 5| + C 1 (2 - x)5 dx = (2 - 1 x)-5 dx = (2 - x)-4 -4 1 -1 = 1 4(2 - x)4 + C e-x dx = -e-x + C e3x dx = 1 3 e3x + C ˇ ex dx = ex ˇ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = 3. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Upravíme podle vzorce (a + b)2 : (ex + e-x )2 = e2x + 2ex e-x + e-2x = e2x + 2 + e-2x c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Integrujeme podle vzorců ex dx = ex , 1 dx = x , f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde f (x) dx = F(x). c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Použijeme vzorec sin(2x) = 2 sin x cos x c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Integrujeme podle vzorců sin x dx = - cos x a f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) , kde f (x) dx = F(x). c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Vzorec sin2 x = 1 - cos(2x) 2 c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C cos x dx = sin x f (ax + b) = 1 a F(ax + b) c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C Potřebujeme vydělit. K tomu je možno převést čitatel na tvar, který později umožní zkrátit. c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C x2 - 1 + 1 x + 1 = x2 - 1 x + 1 + 1 x + 1 = x - 1 + 1 x + 1 c Robert Mařík, 2006 × Najděte následující integrály. (ex + e-x )2 dx = (e2x + 2 + e-2x ) dx = 1 2 e2x + 2x- 1 2 e-2x + C sin x cos x dx = 1 2 sin(2x) dx = 1 2 1 2 (- cos 2x) + C sin2 x dx = 1 2 1 - cos(2x) dx = 1 2 x - 1 2 sin(2x) + C x2 x + 1 dx = x2 - 1 + 1 x + 1 dx = x - 1 + 1 x + 1 dx = x2 2 - x + ln |x + 1| + C xn dx = 1 n + 1 xn+1 , 1 x dx = ln |x|, f (ax + b) dx = 1 a f (ax + b) c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C "Zašifrujeme" derivaci jmenovatele, tj. výraz (2x - 4), do čitatele. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C ˇ Musíme upravit zlomek tak, aby se zlomky v prvním a druhém integrálu rovnaly. ˇ K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní a aditivní konstanty (nenadělají "moc velkou neplechu" při integraci). ˇ Přidáním násobku 1 2 máme ve druhém zlomku v čitateli výraz 1 2 (2x - 4) = x - 2. Koeficient u x je v pořádku. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C ˇ 1 2 (2x - 4) = x - 2 ˇ 1 2 (2x - 4) + 2 = x ˇ Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C ˇ 1 2 (2x - 4) = x - 2 ˇ 1 2 (2x - 4) + 2 = x ˇ 1 2 (2x - 4) + 2 + 5 = x + 5 ˇ První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C Rozdělíme zlomek na dva. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C f (x) f (x) = ln |f (x)| + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku. x2 - 4x + 9 = x2 - 2 2 x + 22 - 4 + 9 = (x - 2)2 + 5 c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C 1 A2 + x2 dx = 1 A arctg x A , kde v našem případě A = 5 c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), v našem případě a = 1 c Robert Mařík, 2006 × Najděte x + 5 x2 - 4x + 9 dx. I = x + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 (2x - 4)+2+5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 2x - 4 x2 - 4x + 9 + 2 + 5 x2 - 4x + 9 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 (x - 2)2 + 5 dx = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 1 1 = 1 2 ln |x2 - 4x + 9| + 7 1 5 arctg x - 2 5 + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × 3 Parciální zlomky. Motivace. Sečtením zlomků se lze přesvědčit, že platí 1 x - 1 - 1 x - 1 x2 = 1 x2(x - 1) Z levé na pravou stranu přejdeme převedením na společného jmenovatele a sečtením zlomků. Napsat z výrazu na levé strane výraz na straně pravé zatím neumíme, ale bylo by vhodné se to naučit, protože výraz nalevo je snadné integrovat, což se o výrazu napravo říci nedá. c Robert Mařík, 2006 × Definice. Necht'R(x) = Pn(x) Qm(x) je racionální funkce. Je-li n m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, v opačném případě ryze lomená. Věta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Věta 7. Buď R(x) = Pn(x) Qm(x) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom- plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu A1 x - c , A2 (x - c)2 , . . . , Ak (x - c)k , a Bx + C x2 + Mx + N , kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? ­ viz. dále). Definice. Zlomky uvedené v předchozí větě nazýváme parciální zlomky. c Robert Mařík, 2006 × Definice. Necht'R(x) = Pn(x) Qm(x) je racionální funkce. Je-li n m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, v opačném případě ryze lomená. Věta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Věta 7. Buď R(x) = Pn(x) Qm(x) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom- plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu A1 x - c , A2 (x - c)2 , . . . , Ak (x - c)k , a Bx + C x2 + Mx + N , kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? ­ viz. dále). Definice. Zlomky uvedené v předchozí větě nazýváme parciální zlomky. c Robert Mařík, 2006 × Definice. Necht'R(x) = Pn(x) Qm(x) je racionální funkce. Je-li n m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, v opačném případě ryze lomená. Věta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Věta 7. Buď R(x) = Pn(x) Qm(x) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom- plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu A1 x - c , A2 (x - c)2 , . . . , Ak (x - c)k , a Bx + C x2 + Mx + N , kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? ­ viz. dále). Definice. Zlomky uvedené v předchozí větě nazýváme parciální zlomky. c Robert Mařík, 2006 × Definice. Necht'R(x) = Pn(x) Qm(x) je racionální funkce. Je-li n m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, v opačném případě ryze lomená. Věta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem). Věta 7. Buď R(x) = Pn(x) Qm(x) ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom- plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu A1 x - c , A2 (x - c)2 , . . . , Ak (x - c)k , a Bx + C x2 + Mx + N , kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? ­ viz. dále). Definice. Zlomky uvedené v předchozí větě nazýváme parciální zlomky. c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 ˇ První zlomek obsahuje tři reálné jednoduché kořeny. ˇ Dostaneme tři parciální zlomky s konstantou v čitateli a lineárním výra- zem ve jmenovateli. c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 Nejprve rozložíme na součin ve jmenovateli. Rozklad je x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1). c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 ˇ Rozklad (x - 1)(x2 + x + 1) ukazuje, že jmenovatel má jeden reálný jednoduchý kořen a dva komplexně sdružené kořeny. ˇ Parciální zlomek příslušný ke komplexním kořenům obsahuje v čitateli lineární funkci. c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 Jmenovatel má dva reálné kořeny. Oba jsou násobnosti dva. c Robert Mařík, 2006 × Rozložte na parciální zlomky (neurčité koeficienty nepočítejte). x2 (x - 1)x(x + 3) = A x - 1 + B x + C x + 3 x x3 - 1 = A x - 1 + Bx + C x2 + x + 1 3x - 2 (x - 1)2x2 = A x - 1 + B (x - 1)2 + C x + D x2 x2 + 2x + 1 (x2 + 1)(x + 2)2 = Ax + B x2 + 1 + C x + 2 + D (x + 2)2 Jmenovatel má jeden jednoduchý reálný kořen a dva komplexně sdružené kořeny. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Napíšeme rozklad s neurčitými koeficienty. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x - 1)(x + 2)(x - 2). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Dosadíme x = 1 do červeného vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Dostáváme rovnici neobsahující ani B, ani C. Tuto rovnici řešíme vzhledem k A. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Dosadíme x = -2 do červeného vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Výsledná rovnice obsahuje pouze koeficient B. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Vypočteme koeficient B. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Dosadíme x = 2 do červeného vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Výsledná rovnice obsahuje pouze koeficient C. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 = A(x + 2)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 2) x = 1 2 = A3(-1) + B 0 + C 0 A = - 2 3 x = -2 5 = A 0 + B (-3) (-4) + C 0 B = 5 12 x = 2 5 = A 0 + B 0 + 4C C = 5 4 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 2 1 5 1 5 1 Vypočteme C. Nyní známe všechny neurčité koeficienty. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 I1 = - 2 3 1 x - 1 dx + 5 12 1 x + 2 dx + 5 4 1 x - 2 dx = - 2 3 ln |x - 1| + 5 12 ln |x + 2| + 5 4 ln |x - 2| + C Použijeme vypočtené hodnoty koeficientů A = - 2 3 , B = 5 12 a C = 5 4 v červeném vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I1 = x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) dx. x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = A x - 1 + B x + 2 + C x - 2 x2 + 1 (x - 1)(x + 2)(x - 2) = - 2 3 x - 1 + 5 12 x + 2 + 5 4 x - 2 I1 = - 2 3 1 x - 1 dx + 5 12 1 x + 2 dx + 5 4 1 x - 2 dx = - 2 3 ln |x - 1| + 5 12 ln |x + 2| + 5 4 ln |x - 2| + C Vypočteme integrál pomocí základních vzorců. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Racionální funkce není ryze lomená. Nejprve proto vydělíme (zde dělení vynecháváme, předpokládáme znalost této operace). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Uvažujeme jenom ryze lomenou funkci. Napíšeme formální tvar rozkladu na parciální zlomky s neurčitými koeficienty. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 - x - 1 - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Vynásobíme společným jmenovatelem x2 (x + 1). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + CDosadíme x = 0 do červeného vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + CNalezneme A. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + CDosadíme x = -1 do červeného vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + CNalezneme C. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Zbývá najít B. Roznásobíme součiny v červené rovnici a obdržíme modrou rovnici. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin. Koeficienty, které stojí nalevo a napravo u stejných mocnin musí být stejné. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 x2 - x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx2 x = 0 1 = A + 0B + 0C; A = 1 x = -1 3 = 0A + 0B + 1C; C = 3 x2 -x + 1 = Ax + A + Bx2 + Bx + Cx2 x2 : 1 = B + C, x1 : -1 = A + B, x0 : 1 = A B = -2 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + CDosadíme C do první nebo A do druhé rovnice a nalezneme B. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Máme vypočteny hodnoty koeficientů. Tyto hodnoty použijeme v rozkladu na součin. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I2 = x4 - x + 1 x3 + x2 dx. x4 - x + 1 x3 + x2 = x - 1 + x2 - x + 1 x3 + x2 x2 - x + 1 x2(x + 1) = A x2 + B x + C x + 1 A = 1, B = -2, C = 3 I2 = x - 1 + 1 x2 - 2 x + 3 x + 1 dx = x2 2 - x - 1 x - 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C Zintegrujeme pomocí vzroců. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + CVynásobíme společným jmenovatelem. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + CDosadíme x = 2 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + CRoznásobíme. Hledáme B a C. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C Porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin obdržíme rovnice pro koeficienty B a C. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + CVyřešíme tyto rovnice. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. x (x - 2)(x2 + 2x + 4) = A x - 2 + Bx + C x2 + 2x + 4 x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) x = 2 2 = 12A, A = 1 6 x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2 - 2Bx + Cx - 2C 0 = A + B, 1 = 2A - 2B + C, 0 = 4A - 2C B = - 1 6 , C = 1 3 I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + CDosadíme hodnoty koeficientů do rozkladu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C První člen integrujeme pomocí vzorce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C ˇ Ve druhém zlomku "zašifrujeme" do čitatele derivaci jmenovatele. ˇ K tomu můžeme použít multiplikativní a aditivní konstanty. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C Rozdělíme zlomek. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C ˇ První zlomek má v čitateli derivaci jmenovatele. ˇ V druhém zlomku doplníme jmenovatel na čtverec. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte I3 = x x3 - 8 dx. I3 = 1 6 1 x - 2 + -1 6 x + 1 3 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 x - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 (2x + 2) - 1 - 2 x2 + 2x + 4 dx = 1 6 ln |x - 2| - 1 6 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 4 + -3 (x2 + 2x + 1) + 3 dx = 2 12 ln |x - 2| - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 3 6 1 (x + 1)2 + 3 dx = 1 12 ln(x - 2)2 - 1 12 ln |x2 + 2x + 4| + 1 2 3 arctg x + 1 3 + C Dokončíme integraci použitím vzorce. c Robert Mařík, 2006 × 4 Integrace per-partés Věta 8. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) - u (x)v(x) dx, (2) pokud integrál na pravé straně existuje. c Robert Mařík, 2006 × Věta 8. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) - u (x)v(x) dx, (3) pokud integrál na pravé straně existuje. Důkaz: (uv) = u v + uv derivace součinu (uv) dx = u v dx + uv dx zintegrování a linearita integrálu uv = u v dx + uv dx integrál odstraní derivaci uv - u v dx = uv dx algebraická úprava Integrály typické pro výpočet metodou per-partés. P(x) je polynom. P(x)ex dx, P(x) sin(x) dx, P(x) cos(x) dx, P(x)arctg x dx, P(x)lnm x dx. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce per-partés. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = ln x a v = x + 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = ln x a v = x + 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = ln x a v = x + 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Roznásobíme závorku. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Dokončíme integraci. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x + 1) ln x dx (x + 1) ln x dx = u = ln x u = 1 x v = x + 1 v = x2 2 + x = ln x x2 2 + x - 1 x x2 2 + x dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x + 1 dx = x2 2 + x ln x - 1 2 x2 2 + x = x2 2 + x ln x - 1 4 x2 - x + C Upravíme a přidáme integrační konstantu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = x a v = sin x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = x a v = sin x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = x a v = sin x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x sin x dx x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = - cos x = -x cos x - 1 (- cos x) dx = -x cos x + cos x dx = -x cos x + sin x + C ˇ Integruje druhou část: cos x dx = sin x ˇ Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C Funkce je součinem polynomu a sinu per-partés. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + CIntegrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v - u v dx při u = x - 2 a v = sin(2x). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C Platí v = v (x) dx = sin(2x) dx = - 1 2 cos(2x), protože sin x dx = - cos x a f (ax + b) = 1 a F(ax + b). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C u v dx = u v - u v dx c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C Vytkneme konstantu - 1 2 z integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C Platí cos(2x) dx = 1 2 sin(2x), protože cos x dx = sin x a f (ax + b) = 1 a F(ax + b). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x - 2) sin(2x) dx (x - 2)sin(2x) dx = u = x - 2 u = 1 v = sin(2x) v = - 1 2 cos 2x = (x - 2) - 1 2 cos(2x) - 1 - 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 cos 2x dx = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 2 1 2 sin(2x) + C = - 1 2 (x - 2) cos(2x) + 1 4 sin(2x) + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C ˇ Funkce je součinem polynomu a funkce sinus. ˇ Budeme integrovat per-partés podle vzorce u v dx = u v - u v dx při volbě u = (x2 + 1) a v = sin x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C (x2 + 1) = 2x sin x dx = - cos x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + Cu v dx = u v - u v dx Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C Ještě jednou integrujeme per-partés. Nyní u = x a v = cos x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C x = 1 cos x dx = sin x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C u v dx = u v - u v dx c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C Integrujeme sinus: sin x dx = - cos x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1) sin x dx (x2 + 1) sin x dx u = x2 + 1 u = 2x v = sin x v = - cos x = -(x2 + 1) cos x + 2 x cos x dx u = x u = 1 v = cos x v = sin x = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx = -(x2 + 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) = (1 - x2 ) cos x + 2x sin x + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, Integruje součin polynomu a exponenciální funkce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, ˇ Integrujeme per-partés. ˇ Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. ˇ Nezapomeňme, že e-x dx = -e-x . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C,Vzorec je u v dx = u v - u v dx . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, ˇ Opět polynom krát exponenciální funkce. ˇ Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, Vzorec pro červenou část je uv dx = uv - u v dx, zbytek zůstane. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, e-x dx = -e-x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte (x2 + 1)e-x dx. (x2 + 1)e-x dx u = x2 + 1 u = 2x v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 xe-x dx u = x u = 1 v = e-x v = -e-x = -(x2 + 1)e-x + 2 -xe-x + e-x dx = -(x2 + 1)e-x + 2(-xe-x - e-x ) = -e-x (x2 + 2x + 3) + C, Vytkneme (-e-x ). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C. Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C. Budeme integrovat metodou per-partés. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C. uv dx = uv - u v dx c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C.Musíme integrovat racionální funkci, která není ryze lomená. Provedeme dělení: x2 x2 + 1 = (x2 + 1) - 1 x2 + 1 = x2 + 1 x2 + 1 - 1 x2 + 1 = 1 - 1 x2 + 1 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x arctg x dx. x arctg x dx u = arctg x u = 1 1 + x2 v = x v = x2 2 = x2 2 arctg x - 1 2 x2 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 1 - 1 1 + x2 dx = x2 2 arctg x - 1 2 x - arctg x + C. K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden parciální zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C Ve funkci je "zašifrovaný" součin polynomu a logaritmické funkce: 1 ln x dx. Integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v = 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C (ln x) = 1 x 1 dx = x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C u v dx = u v - u v dx Užijeme vztah 1 x x = 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C 1 dx = x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln x dx 1 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln x - 1 dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + C Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C ˇ Je zde "zašifrován" součin polynomu a druhé mocniny logaritmu. ˇ Upravíme funkci ln2 x na součin (1) (ln2 x) a integrujeme per-partés při volbě u = ln2 x a v = 1 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C (ln2 x) = 2 ln x(ln x) = 2 ln x 1 x 1 dx = x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C u v dx = u v - u v dx c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1) ln x a integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v = 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C (ln x) = 1 x 1 dx = x c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C u v dx = u v - u v dx c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C Dopočítáme integrál z jedničky. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte ln2 x dx 1 ln2 x dx u = ln2 x u = 2 ln x x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x = x ln2 x - 2 x ln x - 1 dx = x ln2 x - 2 x ln x - x = x ln2 x - 2x ln x + 2x + C Upravíme. Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Najděte x3 sin x dx. x3 sin x dx = u = x3 3x2 6x 6 0 v = sin x - cos x - sin x cos x sin x = -x3 cos x - (-3x2 sin x) + 6x cos x - 6 sin x = (-x3 + 6x) cos(x) + (3x2 - 6) sin x + C c Robert Mařík, 2006 × Najděte x3 sin x dx. x3 sin x dx = u = x3 3x2 6x 6 0 v = sin x - cos x - sin x cos x sin x = -x3 cos x - (-3x2 sin x) + 6x cos x - 6 sin x = (-x3 + 6x) cos(x) + (3x2 - 6) sin x + C ˇ Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho sche- matu. ˇ Ž lutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. ˇ Červená šipka reprezentuje integrování. derivace derivace derivace derivace integrace integrace integrace integrace c Robert Mařík, 2006 × Najděte x3 sin x dx. x3 sin x dx = u = x3 3x2 6x 6 0 v = sin x - cos x - sin x cos x sin x = -x3 cos x - (-3x2 sin x) + 6x cos x - 6 sin x = (-x3 + 6x) cos(x) + (3x2 - 6) sin x + C Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. součin součin součin součin c Robert Mařík, 2006 × Najděte x3 sin x dx. x3 sin x dx = u = x3 3x2 6x 6 0 v = sin x - cos x - sin x cos x sin x = -x3 cos x - (-3x2 sin x) + 6x cos x - 6 sin x = (-x3 + 6x) cos(x) + (3x2 - 6) sin x + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Najděte (x3 + 2)e-x dx. (x3 + 2x)e-x dx = u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0 v = e-x -e-x e-x -e-x e-x = -(x3 + 2x)e-x - (3x2 + 2)e-x + (-6xe-x ) - 6e-x = -e-x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = -e-x (x3 + 3x2 + 8x + 8) c Robert Mařík, 2006 × Najděte (x3 + 2)e-x dx. (x3 + 2x)e-x dx = u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0 v = e-x -e-x e-x -e-x e-x = -(x3 + 2x)e-x - (3x2 + 2)e-x + (-6xe-x ) - 6e-x = -e-x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = -e-x (x3 + 3x2 + 8x + 8)ˇ Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho sche- matu. ˇ Ž lutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. ˇ Červená šipka reprezentuje integrování. derivace derivace derivace derivace integrace integrace integrace integrace c Robert Mařík, 2006 × Najděte (x3 + 2)e-x dx. (x3 + 2x)e-x dx = u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0 v = e-x -e-x e-x -e-x e-x = -(x3 + 2x)e-x - (3x2 + 2)e-x + (-6xe-x ) - 6e-x = -e-x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = -e-x (x3 + 3x2 + 8x + 8) Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. součin součin součin součin c Robert Mařík, 2006 × Najděte (x3 + 2)e-x dx. (x3 + 2x)e-x dx = u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0 v = e-x -e-x e-x -e-x e-x = -(x3 + 2x)e-x - (3x2 + 2)e-x + (-6xe-x ) - 6e-x = -e-x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6) = -e-x (x3 + 3x2 + 8x + 8) Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × 5 Integrace pomocí substituce. Věta 9. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce (x) má derivaci na intervalu J a platí (J) = I. Potom na intervalu J platí f ((x)) (x) dx = f (t) dt, (4) dosadíme-li napravo t = (x). Schematicky: (x) = t (x) dx = dt Věta 10. Nechť f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce (t) má nenu- lovou derivaci na intervalu J a platí (J) = I. Potom na intervalu I platí f (x) dx = f ((t)) (t) dt, (5) dosadíme-li napravo t = -1 (x), kde -1 (x) je funkce inverzní k funkci (x). Schematicky: x = (t) dx = (t) dt c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C ˇ Vnitřní složka je ln x. ˇ Derivace funkce ln x je 1 x . ˇ Tato derivace, 1 x , je v součinu s integrovanou funkcí. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C Zavedeme substituci ln x = t. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C Nalezneme vztah mezi dx a dt. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C Dosadíme substituci. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C Integrujeme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte sin(ln x) x dx sin(ln x) x dx = sin(ln x) 1 x dx ln x = t 1 x dx = dt = sin t dt = - cos t = - cos(ln x) + C Použijeme substituci k návratu k proměnné x a přidáme integrační konstantu. Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e1-x2 . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Hledáme vztah mezi diferenciály. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Derivujeme obě strany substituce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Dosadíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Vypočtěte integrál pomocí vzorce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte xe1-x2 dx. xe1-x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = - 1 2 et dt = - 1 2 et = - 1 2 e1-x2 Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C ˇ Substituce x4 + 16 = t, nebo x4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah mezi diferenciály při této substituci je 4x3 dx = dt, avšak člen x3 dx nikde v integrálu není. ˇ Člen x dx napovídá, použít substituci x2 = t. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz x dx. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C Substituce x2 = t vede k relaci x4 = (x2 )2 = t2 . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C Dosadíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C Užijeme vzorec 1 x2 + A2 dx = 1 A arctg x A při A = 4. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte x x4 + 16 dx x x4 + 16 dx x2 = t 2x dx = dt x dx = 1 2 dt x4 = t2 = 1 2 1 t2 + 16 dt = 1 8 arctg t 4 = 1 8 arctg x2 4 + C Užijeme zpětnou substituci t = x2 . Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Vnitřní složka je x + 1. Derivace této vnitřní složky je ( x + 1) = 1 2 (x + 1)-1/2 = 1 2 1 x + 1 . Výskyt této člene 1 x + 1 uvnitř integrálu (a v součinu) napovídá, že provést tuto substituci bude snadné. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Použijeme navrženou substituci. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Najdeme vztah mezi diferenciály dx a dt. Dostáváme 1 2 1 x + 1 dx = dt a tuto relaci vynásobíme číslem 2. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Dosadíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Zintegrujeme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte e x+1 x + 1 dx e x+1 x + 1 dx = e x+1 1 x + 1 dx x + 1 = t 1 2 x + 1 dx = dt 1 x + 1 dx = 2 dt = et 2 dt = 2et = 2e x+1 + C Užijeme substituci t = x + 1 k návratu k původní proměnné. Hotovo. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C ˇ Rozepíšeme funkci tg x pomocí funkcí sin x a cos x. ˇ Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C "Vytáhneme" jednu mocninu funkce sin x z čitatele. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Sudou mocninu převedeme na funkci cos x. Užijeme identitu sin2 x + cos2 x = 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Dosadíme cos x = t. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Přepíšeme výraz sin x dx do nových proměnných. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Dosadíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Upravíme c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Obdržená racionální funkce je ryze lomená. Protože je jmenovatel jednočlenný, nemusíme rozkládat na parciální zlomky, ale stačí vydělit čitatele výrazem t3 . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Nyní integrujeme pomocí vzorců. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte tg3 x dx. tg3 x dx = sin3 x cos3 x dx = sin2 x cos3 x sin x dx = 1 - cos2x cos3x sin x dx cos x = t - sin x dx = dt sin x dx = - dt = - 1 - t2 t3 dt = t2 - 1 t3 dt = 1 t - t-3 dt = ln |t| + 1 2 t-2 = ln | cos x| + 1 2 cos2 x + C Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační konstantu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Lichá mocnina je ve jmenovateli. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Vynásobíme a současně vydělíme výrazem sin x. Tím se funkce nezmění a lichá mocnina je v čitateli. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Převedeme druhou mocninu funkce sin x na cos x. Použijeme vzorec sin2 x + cos2 x = 1. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Budeme používat substituci cos x = t. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Najdeme vztah mezi diferenciály. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Dosadíme ze substituce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Rozložíme jmenovatel na součin. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Rozložíme na parciální zlomky (tato pasáž je zde přeskočena, vyžaduje další a delší počítání). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Užijeme vzorce k integraci. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 (2 + cos x) sin x dx. 1 (2 + cos x) sin x dx = sin x (2 + cos x) sin2 x dx = 1 (2 + cos x)(1 - cos2 x) sin x dx cos x = t sin x dx = - dt = - 1 (2 + t)(1 - t2) dt = 1 (2 + t)(1 + t)(t - 1) dt = - 1 2 1 1 + t + 1 6 1 t - 1 + 1 3 1 2 + t dt = - 1 2 ln |1 + t| + 1 6 ln |t - 1| + 1 3 ln |2 + t| = - 1 2 ln(1 + cos x) + 1 6 ln(1 - cos x) + 1 3 ln(2 + cos x) + C Pomocí substitučního vztahu se vrátíme k původní proměnné. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + Č Člen 3x + 2 je pod odmocninou. Užijeme substituci, která umožní tuto odmocninu odstranit. ˇ Budeme dosazovat 3x + 2 = t2 . c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Nalezneme vztah mezi dx a dt. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Vyjádříme dx. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Vyjádříme proměnnou x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Přichystáme si zpětnou substituci. Vyjádříme t pomocí x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Provedeme substituci. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Upravíme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Převedeme na jeden zlomek. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Vydělíme, protože funkce není ryze lomená. t2 - t t2 + 1 = (t2 + 1) + (-t - 1) t2 + 1 = 1 + -t - 1 t2 + 1 c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + CZískaná funkce je přímo parciální zlomek. Tento typ zlomku integrujeme rozdělíme na součet zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Integrace je již snadná. Užijeme vztah t t2 + 1 dt = 1 2 2t t2 + 1 dt = 1 2 ln(t2 + 1). c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 3x + 2 - 1 x + 1 dx. 3x + 2 - 1 x + 1 dx 3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt dx = 2 3 t dt x = 1 3 (t2 - 2) t = 3x + 2 = t - 1 1 3 (t2 - 2) + 1 2 3 t dt = 2 t - 1 t2 + 1 t dt = 2 t2 - t t2 + 1 dt = 2 1 + -t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 - t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t - 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t + C = 2 3x + 2 - ln |3x + 3| - 2 arctg 3x + 2 + C Roznásobíme závorku a provedeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Funkce obsahuje odmocninu z lineárního výrazu ­ zavedeme substituci na odstranění odmocniny. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Výraz pod odmocninou je druhá mocnina nové proměnné. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt ˇ (x - 1) = 1 (derivace podle x) ˇ (t2 ) = 2t (derivace podle t) c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Nalezneme x a x - 1 ze substitučního vztahu. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Dosadíme podle substituce. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Odmocníme t2 a vytkneme konstantu před integrál. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Převedeme na jeden zlomek ­ násobíme čitatele. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Vydělíme čitatel jmenovatelem. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Rozdělíme zlomek na dva jednodušší. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C "Vytvoříme" v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty 2. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Zintegrujeme podle vzorců a podle vztahu f (x) f (x) dx = ln |f (x)|. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte 1 + x - 1 x dx. 1 + x - 1 x dx = x - 1 = t2 dx = 2t dt x = t2 + 1 x - 1 = t = 1 + t2 t2 + 1 2t dt = 2 1 + t t2 + 1 t dt = 2 t2 + t t2 + 1 dt = 2 1 + t - 1 t2 + 1 dt = 2 1 + 1 2 2t t2 + 1 - 1 t2 + 1 dt = 2 t + 1 2 ln |t2 + 1| - arctg t = 2 x - 1 + 1 2 ln |x| - arctg x - 1 + C Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. c Robert Mařík, 2006 × 6 Další . . . Jednotlivé metody je pochopitelně někdy nutno kombinovat. c Robert Mařík, 2006 × Vypočtěte arcsin x dx arcsin x dx u = arcsin x u = 1 1 - x2 v = 1 v = x = x arcsin x - x 1 - x2 dx 1 - x2 = t -2x dx = dt x dx = - 1 2 dt = x arcsin x - - 1 2 1 t dt = x arcsin x + t = x arcsin x + 1 - x2 + C c Robert Mařík, 2006 × KONEC c Robert Mařík, 2006 ×