Inženýrská matematika
Lokální extrémy
funkcí dvou proměnných
Robert Mařík
12. září 2006
    c Robert Mařík, 2006 ×
Obsah
z = x4
+ y4
- 4xy + 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
z = x2
y2
- x2
- y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
z = y ln(x2
+ y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ Vypočteme parciální derivace.
ˇ Při derivování podle x považujeme y za konstantu a naopak.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Hledáme stacionární body.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Toto je soustava, kterou řešíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Osamostatníme y z první rovnice.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Dosadíme za y do druhé rovnice.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Rozložíme na součin.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ Buď x = 0, nebo (x8
- 1) = 0.
ˇ Druhý případ dává x8
= 1 a x = 1.
ˇ Uvažujme tedy tři různé případy
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
4x3
- 4y = 0,
4y3
- 4x = 0.
y = x3
4(x3
)3
- 4x = 0,
4x9
- 4x = 0,
x(x8
- 1) = 0.
Případ 1:
x = 0, y = 0
Případ 2:
x = 1, y = 1
Případ 3:
x = -1, y = -1
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]Najdeme odpovídající y ke každému x (y = x3
). Dostáváme tři
stacionární body.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ Funkce má tři stacionární body.
ˇ Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé deri-
vace a Hessiánu.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ Vypočteme Hessián ve stacionárním bodě S1.
ˇ Hessián je záporný a funkce v tomto bodě nemá lokální extrém.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ V bodě S2 je Hessián kladný a funkce zde má lokální extrém.
ˇ Protože z
xx = 16 > 0, funkce má v bodě S2 lokální minimum.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
ˇ Hessián je kladný v bodě S3 a funkce zde tedy má lokální extrém.
ˇ Protože z
xx = 16 > 0, má funkce v bodě S3 lokální minimum.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4
+ y4
- 4xy + 30
z
x =4x3
- 4y = 0, z
y =4y3
- 4x = 0,
S1 = [0, 0], S2 = [1, 1], S3 = [-1, -1].
z
xx = 12x2
, z
xy = -4, z
yy = 12y2
.
H(S1) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H(S2) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H(S3) =
16 -4
-4 16
= 162
- 16 > 0, lok. min. v bodě [-1, -1]
Hotovo!
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Budeme hledat parciální derivace.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci
součtu a konstantního násobku.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Vypočteme derivace.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Podobně derivujeme podle y.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Vypočteme jednotlivé derivace.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x = y2
(x2
)
x - (x2
)
x = y2
2x - 2x
= 2x(y2
- 1)
z
y = x2
(y2
)
y - (y2
)
y = x2
2y - 2y
= 2y(x2
- 1)
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
Upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
Máme první derivace, které použijeme pro hledání stacionárních bodů.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
Položíme derivace rovny nule.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Řešíme soustavu nelineárních rovnic
ˇ Začneme s první rovnicí.
ˇ Tato rovnice je ve tvaru "součin rovná se nule".
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Jeden ze součinitelů na levé straně první rovnice musí být nula.
ˇ Budeme zpracovávat odděleně případy, kdy x = 0 a (y2
- 1) = 0,
t.j., y = 1.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Případ 1.
ˇ Dosadíme x = 0 do druhé rovnice.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
Najdeme y. Dostáváme stacionární bod S1.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Podobně pro Případ 2.
ˇ Dosadíme y = 1 do druhé rovnice.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Vyřešíme vzhledem k x.
ˇ Dostáváme dvě řešení a tedy i dva stacionární body.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Podobně Případ 3.
ˇ Dosadíme y = -1 do druhé rovnice.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0 - 1) = 0
y = 0
Případ 2: y = 1
2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
Případ 3: y = -1
-2(x2
- 1) = 0
x2
= 1
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
-2 0 0 4
ˇ Řešíme kvadratickou rovnici pro x.
ˇ Máme dvě řešení a dva další stacionární body.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
= -16 < 0
Celkem má funkce pět stacionárních bodů. Nyní budeme vyšetřovat
tyto body pomocí druhé derivace..
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
= -16 < 0
Derivujeme z
x podle x a upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
= -16 < 0
Derivujeme z
x podle y a upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1)(x)
x = 2(y2
- 1)  1
z
xy = 2x(y2
- 1)
y = 2x  (2y + 0) = 4xy
z
yy = 2(x2
- 1)(y)
y = 2(x2
- 1)  1
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
= -16 < 0
Derivujeme z
y podle y a upravíme.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0Použijeme druhé derivace pro testování stacionárních bodů na existenci
a kvalitu lokáního extrému. Začneme bodem S1 a vypočteme Hessián
H(S1) =
z
xx z
xy
z
xy z
yy [x,y]=[0,0]
=
-2 0
0 -2
= 4 > 0.
V bodě S1 má funkce lokální maximum.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S2) =
z
xx z
xy
z
xy z
yy [x,y]=[1,1]
=
0 4
4 0
= -16 < 0
V bodě S2 není lokální extrém.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S3) =
z
xx z
xy
z
xy z
yy [x,y]=[-1,1]
=
0 -4
-4 0
= -16 < 0
V bodě S3 není lokální extrém.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
z
xx z
xy
z
xy z
yy [x,y]=[1,-1]
=
0 4
4 0
= -16 < 0
V bodě S4 není lokální extrém.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S5) =
z
xx z
xy
z
xy z
yy [x,y]=[-1,-1]
=
0 -4
-4 0
= -16 < 0
V bodě S5 není lokální extrém.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
ˇ Jediný lokální extrém je v bodě S1 = [0, 0]. Jedná se o lokální
maximum.
ˇ Ostatní stacionární body jsou sedlové body.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2
y2
- x2
- y2
z
x =2x(y2
- 1) = 0; z
y =2y(x2
- 1) = 0
S1 = [0, 0]; S2 = [1, 1]; S3 = [-1, 1]; S4 = [1, -1]; S5 = [-1, -1]
z
xx = 2(y2
- 1); z
xy = 4xy; z
yy = 2(x2
- 1)
H(S1) =
-2 0
0 -2
= 4 > 0
H(S2) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S3) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
H(S4) =
0 4
4 0
= -16 < 0
H(S5) =
0 -4
-4 0
= -16 < 0
Hotovo!
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
The ln() function yields restrictions to the domain of the function.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
We find the partial derivatives. Differentiating with respect to x we use
the constant multiple rule, since in the product y ln(x2
+ y) the factor
y is treated as a constant. The chain rule follows, since the function
ln(x2
+ y) is a composite function with inside function (x2
+ y).
(y ln(x2
+ y))
x = y(ln(x2
+ y))
x = y
1
x2 + y
(2x + 0)
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
Differentiating with respect to y we use the product rule, since both
factors y and ln(x2
+ y) are functions (x is treated as a constant and
y as a variable).
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
To find stationary points we put the derivatives equal to zero.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
ˇ We start with the first (simpler) equation.
ˇ The fraction equals zero iff the numerator is zero.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
ˇ To ensure that a product is zero, (at least) one of the factors has
to be zero.
ˇ We distinguish two possible cases.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
We substitute x = 0 into the second equation and simplify.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
The inverse function to ln function is an exponential function.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
ˇ We have the stationary point S1 = [0, e-1
]. We check that S1 
Dom(f).
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
ˇ We return to the Case 2.
ˇ We put y = 0 into the red equation.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
We isolate x2
and solve for x.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
Dom(f) = {(x, y)  R2
: x2
+ y > 0}
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
CASE 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y = -1,
y = e-1
S1 = [0, e-1
]
CASE 2: y = 0
ln(x2
) = 0
x2
= e0
= 1
x = 1
S2 = [1, 0] and S3 = [-1, 0] .
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
, z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
We have two stationary points. We check that both belong to Dom(f).
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,Up to now we have this.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,
We will use the second derivative test to recognize, whether a local
extremum appears at the stationary points.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,We differentiate z
x with respect to x. This gives z
xx.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,
We differentiate z
x with respect to y. This gives z
xy.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,
We differentiate z
yy with respect to y. This gives z
yy.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y(x2
+ y) - 2xy2x
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x(x2
+ y) - 2xy
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
+ y - y
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,We simplify.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,
H(S3) =
0 -2
-2 2
= -4 < 0.
Local minimum at [0, e-1
]. No other local extremum.
We evaluate the hessian at each of the stationary points.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2
+ y).
z
x =
2xy
x2 + y
= 0, z
y = ln(x2
+ y) +
y
x2 + y
= 0
S1 = [0, e-1
], S2 = [1, 0], S3 = [-1, 0]
z
xx =
2y2
- 2yx2
(x2 + y)2
,
z
xy =
2x3
(x2 + y)2
,
z
yy =
1
x2 + y
+
x2
(x2 + y)2
.
H(S1) =
2 0
0 e
> 0,
H(S2) =
0 2
2 2
= -4 < 0,
H(S3) =
0 -2
-2 2
= -4 < 0.
Local minimum at [0, e-1
]. No other local extremum.
According to the second derivative test we obtain the following
conclusion.
    c Robert Mařík, 2006 ×
Konec
    c Robert Mařík, 2006 ×