Parciální derivace
Robert Mařík
12. září 2006
    c Robert Mařík, 2006 ×
Obsah
Teorie. 3
Cvičení. 8
x2
+ xy + y3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
(x + y)e-x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
x + y2
y - 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
arctg
y
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1 - x2 - y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
(x2
+ y)ex2
-y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ex2
+y2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
    c Robert Mařík, 2006 ×
Teorie.
Definice (parciální derivace podle x v bodě). Nechť f : R2
 R je
funkce dvou proměnných. Řekneme, že funkce má v bodě (x, y) par-
ciální derivaci podle proměnné x rovnu číslu f
x(x, y), jestliže existuje
konečná limita
f
x(x, y) = lim
x0
f(x + x, y) - f(x, y)
x
.
Podle definice vidíme, že při parciální derivaci podle x se vlastně jedná o
to, že na funkci dvou proměnných f : z = f(x, y) pohlížíme pouze jako
na funkci proměnné x a derivace této funkce (ve smyslu derivace funkce
jedné proměnné) je parciální derivace funkce f podle proměnné x.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Teorie.
Definice (parciální derivace podle x v bodě). Nechť f : R2
 R je
funkce dvou proměnných. Řekneme, že funkce má v bodě (x, y) par-
ciální derivaci podle proměnné x rovnu číslu f
x(x, y), jestliže existuje
konečná limita
f
x(x, y) = lim
x0
f(x + x, y) - f(x, y)
x
.
Podle definice vidíme, že při parciální derivaci podle x se vlastně jedná o
to, že na funkci dvou proměnných f : z = f(x, y) pohlížíme pouze jako
na funkci proměnné x a derivace této funkce (ve smyslu derivace funkce
jedné proměnné) je parciální derivace funkce f podle proměnné x.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (parciální derivace podle x). Řekneme, že funkce má na ote-
vřené množině M parciální derivaci podle x, jestliže má v každém bodě
množiny M parciální derivaci podle x. Předpisem, který každému bodu
takovéto množiny M přiřadí hodnotu parciální derivace podle x v tomto
bodě je definována funkce nazývaná parciální derivace podle x.
Podobně, pohlížíme-li na funkci f pouze jako na funkci proměnné y, je
derivace této funkce jedné proměnné parciální derivací funkce f podle y.
Definice (parciální derivace podle y). Parciální derivaci podle y defi-
nujeme pomocí limity
f
y(x, y) = lim
y0
f(x, y + y) - f(x, y)
y
.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (parciální derivace podle x). Řekneme, že funkce má na ote-
vřené množině M parciální derivaci podle x, jestliže má v každém bodě
množiny M parciální derivaci podle x. Předpisem, který každému bodu
takovéto množiny M přiřadí hodnotu parciální derivace podle x v tomto
bodě je definována funkce nazývaná parciální derivace podle x.
Podobně, pohlížíme-li na funkci f pouze jako na funkci proměnné y, je
derivace této funkce jedné proměnné parciální derivací funkce f podle y.
Definice (parciální derivace podle y). Parciální derivaci podle y defi-
nujeme pomocí limity
f
y(x, y) = lim
y0
f(x, y + y) - f(x, y)
y
.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (vyšší derivace). Opětovným derivováním těchto funkcí do-
stáváme druhé a vyšší derivace (podobně jako v jednorozměrném pří-
padě).
Poznámka 1. Derivaci funkce z = f(x, y) podle x označujeme též fx, z
x,
zx,
f
x
,
z
x
. Podobně pro derivaci podle y. Druhé derivace označujeme
z
xx, f
yy, z
xy,
2
z
xy
,
2
z
y2
a podobně.
Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou
totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.
Věta 1 (Schwarzova věta). Jsou-li parciální derivace f
xy a f
yx definované
a spojité na otevřené množině M, jsou totožné, tj. pro všechna (x, y)  M
platí
f
xy(x, y) = f
yx(x, y).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (vyšší derivace). Opětovným derivováním těchto funkcí do-
stáváme druhé a vyšší derivace (podobně jako v jednorozměrném pří-
padě).
Poznámka 1. Derivaci funkce z = f(x, y) podle x označujeme též fx, z
x,
zx,
f
x
,
z
x
. Podobně pro derivaci podle y. Druhé derivace označujeme
z
xx, f
yy, z
xy,
2
z
xy
,
2
z
y2
a podobně.
Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou
totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.
Věta 1 (Schwarzova věta). Jsou-li parciální derivace f
xy a f
yx definované
a spojité na otevřené množině M, jsou totožné, tj. pro všechna (x, y)  M
platí
f
xy(x, y) = f
yx(x, y).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (vyšší derivace). Opětovným derivováním těchto funkcí do-
stáváme druhé a vyšší derivace (podobně jako v jednorozměrném pří-
padě).
Poznámka 1. Derivaci funkce z = f(x, y) podle x označujeme též fx, z
x,
zx,
f
x
,
z
x
. Podobně pro derivaci podle y. Druhé derivace označujeme
z
xx, f
yy, z
xy,
2
z
xy
,
2
z
y2
a podobně.
Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou
totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.
Věta 1 (Schwarzova věta). Jsou-li parciální derivace f
xy a f
yx definované
a spojité na otevřené množině M, jsou totožné, tj. pro všechna (x, y)  M
platí
f
xy(x, y) = f
yx(x, y).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (hladké funkce). Buď M otevřená množina. Řekneme, že
funkce f je hladká na M, jestliže má na množině M spojité všechny
první parciální derivace. Řekneme, že funkce f je na M hladká řádu k,
jestliže má na množině M spojité všechny parciální derivace do řádu k
včetně. Množinu spojitých funkcí na M označujeme C(M), množinu
hladkých funkcí C1
(M), množinu hladkých funkcí řádu k označujeme
Ck
(M).
Poznámka 2. V bodě, ve kterém má funkce jedné proměnné derivaci,
je funkce spojitá a má tečnu. U funkce více proměnných podobná věta
neplatí, z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Spojitost plyne
až z existence a spojitosti parciálních derivací. Následující věta udává,
že funkce hladké v okolí nějakého bodu jsou v tomto bodě spojité, mají
tomto bodě tečnou rovinu a funkční hodnoty těchto funkcí lze aproximovat
funkčními hodnotami na této tečné rovině, tj. že v okolí bodu dotyku leží
body na grafu funkce blízko tečné roviny.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Definice (hladké funkce). Buď M otevřená množina. Řekneme, že
funkce f je hladká na M, jestliže má na množině M spojité všechny
první parciální derivace. Řekneme, že funkce f je na M hladká řádu k,
jestliže má na množině M spojité všechny parciální derivace do řádu k
včetně. Množinu spojitých funkcí na M označujeme C(M), množinu
hladkých funkcí C1
(M), množinu hladkých funkcí řádu k označujeme
Ck
(M).
Poznámka 2. V bodě, ve kterém má funkce jedné proměnné derivaci,
je funkce spojitá a má tečnu. U funkce více proměnných podobná věta
neplatí, z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Spojitost plyne
až z existence a spojitosti parciálních derivací. Následující věta udává,
že funkce hladké v okolí nějakého bodu jsou v tomto bodě spojité, mají
tomto bodě tečnou rovinu a funkční hodnoty těchto funkcí lze aproximovat
funkčními hodnotami na této tečné rovině, tj. že v okolí bodu dotyku leží
body na grafu funkce blízko tečné roviny.
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Věta 2. Nechť funkce f má definované a spojité parciální derivace v okolí
bodu (x0, y0). Potom platí následující.
ˇ Funkce f je v bodě (x0, y0) spojitá.
ˇ Rovina o rovnici
z = f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0)
je tečná rovina ke grafu funkce f v bodě (x0, y0, f(x0, y0))
ˇ Platí přibližný vzorec
f(x, y)  f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0).
V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
­ je menší vzdálenost bodů (x, y) a (x0, y0),
­ jsou menší druhé derivace funkce f (pokud existují).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Věta 2. Nechť funkce f má definované a spojité parciální derivace v okolí
bodu (x0, y0). Potom platí následující.
ˇ Funkce f je v bodě (x0, y0) spojitá.
ˇ Rovina o rovnici
z = f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0)
je tečná rovina ke grafu funkce f v bodě (x0, y0, f(x0, y0))
ˇ Platí přibližný vzorec
f(x, y)  f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0).
V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
­ je menší vzdálenost bodů (x, y) a (x0, y0),
­ jsou menší druhé derivace funkce f (pokud existují).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Věta 2. Nechť funkce f má definované a spojité parciální derivace v okolí
bodu (x0, y0). Potom platí následující.
ˇ Funkce f je v bodě (x0, y0) spojitá.
ˇ Rovina o rovnici
z = f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0)
je tečná rovina ke grafu funkce f v bodě (x0, y0, f(x0, y0))
ˇ Platí přibližný vzorec
f(x, y)  f(x0, y0) + f
x(x0, y0)(x - x0) + f
y(x0, y0)(y - y0).
V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
­ je menší vzdálenost bodů (x, y) a (x0, y0),
­ jsou menší druhé derivace funkce f (pokud existují).
    Teorie. c Robert Mařík, 2006 ×
Cvičení.
Zadání. V následujících cvičeních nalezněte parciální derivace do řádu
dva (včetně). U všech těchto funkcí jsou smíšené parciální derivace
stejné.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Derivujeme součet (x2
+ xy + y3
) podle x.
ˇ x2
derivujeme jako funkci jedné proměnné.
ˇ Proměnnou y v součinu xy považujeme při derivaci podle x za kon-
stantu a proto derivujeme podle pravidla pro derivaci konstantního
násobku. Derivace funkce x podle x je obyčejná derivace funkce
jedné proměnné.
ˇ Člen y3
neobsahuje proměnnou x. Proto je tento člen při derivaci
podle x považován za konstantu a derivováním vypadne (derivace
konstantní funkce je nula).
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Derivujeme součet (x2
+ xy + y3
) podle y.
ˇ x2
derivujeme jako konstantu, protože tento člen neobsahuje pro-
měnnou y.
ˇ Faktor x ve výraze xy lze považovat za konstantní násobek a při
derivování tedy zůstává (xy)
y = x(y)
y . Derivace y podle y je
obyčejná derivace.
ˇ Člen y3
derivujeme jako funkci jedné proměnné.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Derivujeme z
x podle x
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Užijeme pravidlo pro derivaci součtu a derivaci konstantního násobku.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Abychom našli z
xy, budeme derivovat z
x podle y.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Použijeme pravidlo pro derivaci součtu. Protože x považujeme nyní za
konstantu, je člen (2x) také konstanta.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Abychom našli z
yy derivujeme z
y podle y.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Použijeme vzorec pro derivaci součtu, derivaci konstantního násobku a
derivaci mocninné funkce.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = x2
+ xy + y3
do řádu dva.
z
x = 2x + 1  y + 0 = 2x + y
z
y = 0 + x  1 + 3y2
= x + 3y2
z
xx = (2x + y)
x = 2  1 + 0 = 2
z
xy = (2x + y)
y = 0 + 1 = 1
z
yy = (x + 3y2
)
y = 0 + 3  2y1
= 6y
Hotovo.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
ˇ Funkce se skládá ze dvou faktorů v součinu. z = (x + y)  e-x
.
ˇ Oba faktory obsahují proměnnou x a při derivaci podle x tedy
musíme nutně funkci derivovat jako součin dvou funkcí.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Dál použijeme obvyklá pravidla pro derivování, proměnnou y při tom
považujeme za konstantu.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Vytkneme e-x
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0ˇ Derivujme nyní podle y. Funkce je součinem dvou faktorů
z = (x + y)  e-x
.
ˇ Zelený výraz neobsahuje proměnnou y a považujeme jej tedy za
konstantu. Jedná se tedy vlastně o konstantní násobek funkce (x+
y), kterou zderivujeme snadno.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Provedeme derivaci, jak jsme popsali výše.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
ˇ Pro nalezení z
xx derivujeme z
x podle x.
ˇ Proměnná x je obsažena v obou výrazech figurujících v součinu a
je tedy nutno použít pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Vytkneme výraz, který se opakuje.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Abychom našli smíšenou derivaci, vypočteme buď (z
x)
y nebo (z
y)
x.
Druhá možnost se zdá býti schůdnější.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Protože funkce z
y je funkcí jedné proměnné, derivujeme jako v
diferenciální počtu funkce jedné proměnné pomocí řetězového pravidla
pro derivaci složené funkce:
(e-x
)
= e-x
(-x)
= e-x
(-1)
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Abychom našli z
yy, budeme derivovat z
y podle y. Pozor! Proměnná y
v derivaci z
y vůbec nefiguruje. Výraz z
y je tedy konstanta vzhledem k
y a jeho derivace je nula.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x + y)e-x
do řádu dva.
z
x = (x + y)
x  e-x
+ (x + y)  (e-x
)
x
= (1 + 0)e-x
+ (x + y)  e-x
 (-1) = e-x
 (1 - x - y)
z
y = (x + y)
y  e-x
= (0 + 1)e-x
= e-x
z
xx = e-x
 (-1)  (1 - x - y) + e-x
(0 - 1 - 0)
= e-x
(-1 + x + y - 1) = e-x
(x + y - 2)
z
xy = (e-x
)
x = -e-x
z
yy = 0
Hotovo.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
 (1 + 0) =
1
y - 1
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
 (1 + 0) =
1
y - 1
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
ˇ Abychom měli derivování co nejpohodlnější, napíšeme funkci ve
tvaru součinu
1
y - 1
 (x + y2
) .
ˇ Výraz
1
y - 1
neobsahuje x a je tedy při derivování podle x kon-
stantním násobkem. Potom je derivování snadné.
ˇ Zbývá zderivovat člen (x + y2
) jako součet.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
 (1 + 0) =
1
y - 1
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
z
xx = 0
Při derivování podle y musíme použit vzorec pro derivaci podílu,
protože proměnná y figuruje i v čitateli i ve jmenovateli a finta z
předchozího kroku je nyní nepoužitelná. Derivujeme tedy podíl
x + y2
y - 1
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
z
xx = 0Dokončíme derivaci čitatele a jmenovatele.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
z
xx = 0Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
y =
(x + y2
)
y(y - 1) - (x + y2
)(y - 1)
y
(y - 1)2
=
(0 + 2y)(y - 1) - (x + y2
)(1 - 0)
(y - 1)2
=
2y2
- 2y - (x + y2
)
(y - 1)2
=
y2
- 2y - x
(y - 1)2
z
xx = 0Ještě upravíme a máme výsledek.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
xx = 0
z
xy = -1  (y - 1)-2
 (1 - 0) = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
Našli jsme první derivace a použijeme je k výpočtu druhých derivací.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
xx = 0
z
xy = -1  (y - 1)-2
 (1 - 0) = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
ˇ Pro nalezení z
xx budeme derivovat z
x podle x.
ˇ Protože z
x neobsahuje proměnnou x, považujeme tento výraz při
derivování podle x za konstantu a derivace konstanty je nula.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
xx = 0
z
xy = -1  (y - 1)-2
 (1 - 0) = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
ˇ Pro nalezení z
xy budeme derivovat z
x podle y.
ˇ Protože z
x neobsahuje x, jedná se vlastně o funkci jedné proměnné
a použijeme obyčejnou derivaci.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
xx = 0
z
xy = -1  (y - 1)-2
 (1 - 0) = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
ˇ Pro nalezení z
yy derivujeme z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
podle y. Protože
y je i v čitateli i ve jmenovateli, použijeme vzorec pro derivaci
podílu.
ˇ Výraz (y - 1)2
derivujeme jako složenou funkci.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
Vytkneme výraz 2(y - 1)
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
Upravíme čitatel ­ roznásobíme a sečteme odpovídající si členy.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) =
x + y2
y - 1
do řádu dva.
z
x =
1
y - 1
, z
y =
y2
- 2y - x
(y - 1)2
, z
xx = 0, z
xy = -
1
(y - 1)2
z
yy =
(2y - 2)(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)  2  (y - 1)  (1 - 0)
(y - 1)4
= 2(y - 1)
(y - 1)2
- (y2
- 2y - x)
(y - 1)4
= 2
x + 1
(y - 1)3
Hotovo.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
ˇ Derivujeme funkci arctg() podle pravidla arctg f(x)

=
1
1 + f2(x)
(derivace funkce arkustangens a derivace složené funkce).
ˇ Výraz
y
x
derivujeme jako součin konstantního výrazu a mocninné
funkce, tj.
y
x
= y  x-1
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Upravíme. Mimo jiné použijeme úpravu
1
1 + y2
x2
=
x2
x2 1 + y2
x2
=
x2
x2 + y2
a
x-2
=
1
x2
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Vynásobíme zlomky. Člen x2
se zkrátí.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Použijeme vzorec (arctg(f(x)))
=
1
1 + f2(x)
f
(x) a výraz
y
x
derivujeme jako součin konstanty a mocninné funkce, tj.
y
x
=
1
x
 y .
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x =
1
1 + y2
x2
 y  (-1)x-2
= -
x2
x2 + y2

y
x2
= -
y
x2 + y2
z
y =
1
1 + y2
x2

1
x
 1 =
x2
x2 + y2

1
x
=
x
x2 + y2
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Vynásobíme zlomky a zkrátíme x.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Našli jsme první derivace.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Derivujeme z
x = -y  (x2
+ y2
)-1
podle x. Člen (-y) je konstantní
násobek a dále používáme pravidlo pro derivaci složené funkce
(x2
+ y2
)-1
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Derivujeme z
x = -
y
x2 + y2
podle y pomocí vzorce pro derivaci podílu.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Upravíme čitatel.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Vynásobíme se záporným znaménkem před zlomkem.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Derivujeme z
y = x  (x2
+ y2
)-1
podle y, přičemž x považujeme za
konstantu a (x2
+ y2
)-1
za mocninnou funkci s vnitřní složkou
(x2
+ y2
).
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
x = -
y
x2 + y2
, z
y =
x
x2 + y2
,
z
xx = -y  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (2x + 0) =
2xy
(x2 + y2)2
z
xy = -
1  (x2
+ y2
) - y  (0 + 2y)
(x2 + y2)2
= -
x2
- y2
(x2 + y2)2
=
y2
- x2
(x2 + y2)2
z
yy = x  (-1)  (x2
+ y2
)-2
 (0 + 2y) = -
2xy
(x2 + y2)2
Hotovo.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x) = -
x
1 - x2 - y2
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2y) = -
y
1 - x2 - y2
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x) = -
x
1 - x2 - y2
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2y) = -
y
1 - x2 - y2
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
Derivujeme jako složenou funkci, vnější složka je mocninná s
exponentem
1
2
a derivaci složené funkce počítáme ze vzorce
f(g(x))

= f
(g(x))  g
(x)
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x) = -
x
1 - x2 - y2
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2y) = -
y
1 - x2 - y2
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x) = -
x
1 - x2 - y2
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2y) = -
y
1 - x2 - y2
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
Derivujeme jako složenou funkci, vnější složka je mocninná s
exponentem
1
2
a derivaci složené funkce počítáme ze vzorce
f(g(x))

= f
(g(x))  g
(x)
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x) = -
x
1 - x2 - y2
z
x =
1
2
(1 - x2
- y2
)-1/2
(-2y) = -
y
1 - x2 - y2
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2Derivujeme jako podíl funkcí
u
v

=
u
 v - u  v
v2
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
Rozšíříme zlomek výrazem 1 - x2 - y2. Tím odstraníme složený
zlomek.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
Přepíšeme derivaci podle x do tvaru z
x = -x  (1 - x2
- y2
)-1/2
, x
považujeme za konstantu (derivujeme podle y) a použijeme pravidlo
pro derivaci konstantního násobku a derivaci složené funkce.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = 1 - x2 - y2 do řádu dva.
z
x = -
x
1 - x2 - y2
z
y = -
y
1 - x2 - y2
z
xx = -
1  1 - x2 - y2 - x  1
2  (1 - x2
- y2
)-1/2
(-2x)
1 - x2 - y2
= -
(1 - x2
- y2
) + x2
(1 - x2 - y2)3/2
=
y2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
z
xy = -x -
1
2
(1 - x2
- y2
)-3/2
(-2y) = -
xy
(1 - x2 - y2)3/2
z
yy =
x2
- 1
(1 - x2 - y2)3/2
Výpočet z
yy je podobný jako výpočet z
xx.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Derivace součinu
(u  v)
= u
 v + u  v
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Vytkneme 2xex2
-y
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Derivace součinu
(u  v)
= u
 v + u  v
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Upravíme vytknutím ex2
-y
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Přepíšeme derivaci z
x do tvaru
z
x = ex2
-y
 2x3
+ 2xy + 2x
a použijeme pravidlo pro derivaci součinu
(u  v)
= u
 v + u  v
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Vytkneme 2ex2
-y
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xx = ex2
-y
(2x)  (2x3
+ 2xy + 2x) + ex2
-y
(6x2
+ 2y + 2)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 2x2
+ 3x2
+ y + 1)
= 2ex2
-y
(2x4
+ 2x2
y + 5x2
+ y + 1)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
Upravíme v závorce.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
z
yy = ex2
-y
(-1)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-1)
= (-1)ex2
-y
(2 - x2
- y)
Začneme u parciální derivace
z
y = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
a derivujeme podle x pomocí pravidla pro derivaci součinu
(u  v)
= u
 v + u  v
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
z
yy = ex2
-y
(-1)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-1)
= (-1)ex2
-y
(2 - x2
- y)
Vytkneme 2xex2
-y
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
xy = ex2
-1
(2x)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-2x)
= 2xex2
-y
(1 - x2
- y - 1)
= -2xex2
-y
(x2
+ y)
z
yy = ex2
-y
(-1)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-1)
= (-1)ex2
-y
(2 - x2
- y)
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
yy = ex2
-y
(-1)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-1)
= (-1)ex2
-y
(2 - x2
- y)Pro nalezení z
yy využijeme
z
y = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
a derivujeme jako součin funkcí podle pravidla
(u  v)
= u
 v + u  v
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = (x2
+ y)ex2
-y
do řádu dva.
z
x = 2x  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(2x) = 2xex2
-y
(x2
+ y + 1)
z
y = 1  ex2
-y
+ (x2
+ y)  ex2
-y
(-1) = ex2
-y
(1 - x2
- y2
)
z
yy = ex2
-y
(-1)  (1 - x2
- y) + ex2
-y
 (-1)
= (-1)ex2
-y
(2 - x2
- y)
Vytkneme (-1)ex2
-y
. Hotovo.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Derivujeme jako složenou funkci
f(g(x))

= f
(g(x))  g
(x).
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Derivujeme jako složenou funkci
f(g(x))

= f
(g(x))  g
(x).
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Derivujeme jako součin funkcí
(u  v)
= u
 v + u  v
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Derivujeme jako konstantní násobek.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Derivujeme jako součin funkcí
(u  v)
= u
 v + u  v
.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
Najděte derivace funkce z(x, y) = ex2
+y2
do řádu dva.
z
x = ex2
+y2
 2x
z
y = ex2
+y2
 2y
z
xx = ex2
+y2
2x  2x + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2x2
)
z
xy = 2x  ex2
+y2
2y = 4xyex2
+y2
z
yy = ex2
+y2
2y  2y + ex2
+y2
 2 = 2ex2
+y2
(1 + 2y2
)
Upravíme.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×
To je vše.
    Cvičení. c Robert Mařík, 2006 ×