logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Popis binomického rozložení
Testování hypotéz binomicky rozložených dat
XII. Binomické rozložení

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
—Kromě spojitých dat se setkáváme také s daty kategoriálními, jejichž nejjednodušším případem jsou
data binární. Binární data jsou popsána binomickým rozložením, od chování binomického rozložení je
odvozena popisná statistika binárních dat (procento výskytu jevu), její interval spolehlivosti a
binomické testy pro srovnání procentuálního výskytů jevů v různých skupinách.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
P(x) = p pro x = 1
P(x) = 1 - p pro x = 0
P(x) = 0 jinak
0                                                                    1                      X
p
1-p
Alternativní rozložení
PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE
DISKRÉTNÍHO ROZDĚLENÍ
PRAVDĚPODOBNOST
„NEÚSPĚCHU“
PRAVDĚPODOBNOST
„ÚSPĚCHU“
PROVEDEME JEDNODUCHÝ
„POKUS“

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
X .....  celkový počet nastání jevu v n nezávislých pokusech
SOUČET ALTERNATIVNÍCH ROZDĚLENÍ
E(X)= n . p
D(X)= n . p (1-p)
p              jediný parametr distribuce
                             určuje tvar distribuce
Binomické rozložení

logo-IBA
p .... odhad parametru π
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
π .. jediný parametr binomického rozložení
n ..... počet nezávislých
opakování experimentu
r ..... znamená celkový počet nastání jevu v n nezávislých experimentech
r :  0 …… n
Binomické rozložení jako model pro zkoumání výskytu sledovaného jevu
X: Binomická proměnná
Střed rozložení:
Rozptyl:

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jev:     narození chlapce        п = 0,5
n :        rodina s 5 dětmi
r:          0,1,2,3,4,5 chlapců
r = 0 :
r = 1 :
r = 2: P(r) = 0,3125
r = 3: P(r) = 0,3125
r = 4: P(r) = 0,15625
r = 5: P(r) = 0,031
Binomické rozložení jako model
BINOMICKÁ VĚTA
BINOMICKÝ KOEFICIENT
počet r-členných kombinací
z n objektů

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
q = 1 - p
n = 10
p = 0,3
n = 30
p = 0,3
n = 100
p = 0,3
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n = 50
p = 0,1
n = 50
p = 0,5
n = 50
p = 0,9
Binomické rozložení jako model

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
     B
not B
      B
not B
     B
      B not B
not B
0,0064
0,0736
0,0736
0,8464
2
1
1
0
Number in
blood group B
Probability
Binomial distribution of number of people out
of two in blood group B
Number: blood group B in 2 cases
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
1
2
Výskyt krevní skupiny B v určité populaci: p = 0,08
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Binomial distribution showing the number of subjects out of ten in blood group B based on the
probability of being in in blood group B of 0,08.
Number of subjects
Binomial distribution showing the number of subjects out of 100 in blood group B based on the
probability of being in in blood group B of 0,08.
Number of subjects
Aplikace binomického rozložení
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Aplikace binomického rozložení
                           Populace:  60% jedinců má zvýšenou hladinu cholesterolu
                           Výběr:        5 lidí
I.Kolik lidí očekáváme ve výběru s vyšší hladinu cholesterolu ?
                          n. p = 5 . 0,6 = 3 lidé    ~  E(x)
                             n . p (1-p) = 1,2            ~  D(x)
II. Jaká je P, že právě 3 lidé budou mít vyšší hladinu
    cholesterolu ?  ~   Tzn. Výběr přesně odpovídá
    dané populaci ?
P(3) = ?
                                  P(3) = 35%
III. Jaká je P, že většina jedinců (tedy minimálně 3) má
vyšší hladinu cholesterolu ? ~ Tzn. výběr alespoň
obecně odpovídá zkoumané populaci ?
p(x)
P(X > 3) = P(3) + P(4) + P (5) = 0,346 + 0,259 + 0,078 = 68 %
X

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Při vícenásobném odhadu se odhad parametru π chová jako normálně rozložen
j(x)
p
n1;p1
n2;p2
n3;p3
0
p1
p2
p3
π
1
p
0
1
j(x)
p
0
1
U malých nebo velkých hodnot p (π) je však předpoklad normality omezen
j(x)
Odhad parametru π binomického rozložení
π
π

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Odhad parametru π binomického rozložení
NORMÁLNÍ APROXIMACE
1) Bodový
2) Intervalový – aproximace

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
X:  % jedinců s daným znakem
n = 100 jedinců
r = 60;
Interval spolehlivosti : 95 %
Z 0,975 = 1,96
Odhad parametru π binomického rozložení:
příklad I

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Intervalový odhad bez aproximací na normální rozložení
spodní limit intervalu
horní limit intervalu
Odhad parametru π binomického rozložení

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Náhodný vzorek n = 200 jedinců.
Zjištěno pouze r = 4 jedinci bez určitého znaku.
95% interval spolehlivosti = ?
Spodní hranice
Horní hranice
Odhad parametru π binomického rozložení:
příklad II

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Binomické rozložení v datech: vizualizace
Binární podstata původních hodnot
jev ANO
n opakování
jev NE
Interval spolehlivosti pro П
I.
П
II.
0
ANO
NE

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Liší se odhad p od předpokládané hodnoty P ?
Liší se dva nebo více odhadů p ?
Je výskyt kategorií dvou jevů nezávislý ?
Hodnocení relativního rizika z výskytu určitého jevu v rámci skupiny lidí
- závislé odhady -
- nezávislé odhady -
 II.
 I.
III.
 IV.
Statistické testování binomických dat
jednovýběrový test
dvouvýběrový
test

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový binomický test
H0
HA
Testová statistika
Kritický obor
p Ł P
p > P
z
  z  >  z 1-a
p ł P
p < P
z
z  <  z a
p = P
p ą P
z
|z|   >  z 1-a/2
H0
HA
Testová statistika
Interval spolehlivosti
p Ł P
p > P

p  =  r / n  >  L1
p ł P
p < P
p  <  L2
p = P
p ą P
L1; L2 (F a/2; F 1-a/2)
p  <  L2   v  p  >  L1
Korekce na
kontinuitu

logo-IBA ü
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test p ? p: PŘÍKLAD 1
Stromy s pozměněným tvarem koruny
  n = 9 000 jedinců
  r = 2 250 změněných jedinců
Jak je pravděpodobná změna u až 1/3 jedinců?
?
 a = 5 %;   Z 1-a/2 = 1,96;   Z 1-a = 1,645
 Z < -Z 1-a/2 ………zamítáme H0: p < 0,01
 95 % Interval spolehlivosti …  p: (0,241; 0,258)
?
Příklad testu s aproximací na normální rozložení

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test p ? p: PŘÍKLAD 2
Příklad testu bez aproximace na normální rozložení
12 jedinců bylo zkoumáno pro výskyt určitého znaku,
10 jedinců znak nemělo
Jak hodně se tento výsledek liší od výsledku 6 - 6:
tedy od situace, kdy polovina jedinců znak má?
 a) Využití distribuční funkce
 P (r ³ 10) = 0,01611 + 0,00393 + 0,00024 = 0,01928
 H0: p = 0,5 je tedy značně nepravděpodobná
 b) Pozorované                                  překročilo horní limit 95 % intervalu
     spolehlivosti pro p:
r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(r)
0,00024
0,00293
0,01611
0,05371
0,12085
0,19335
0,22559
0,19336
0,12085
0,05371
0,01611
0,00293
0,00024
Kvantil Fischerova rozdělení
F 1-α,  14,  12 = 2,64
H0
HA
p = 0,5
p > 0,5

logo-IBA
Pravděpodobnost narození chlapce je asi 1/2. Máte zhodnotit výsledky průzkumu populace, která žije
v silně poškozeném životním prostředí. Průzkum se týká 1000 náhodně vybraných rodin a zjištěný
podíl narozených chlapců je 0.41.
Jaké jsou vaše závěry o této populaci?
Jak se váš odhad zpřesní, když použijete vzorek n = 10 000 rodin při zachování odhadu p = 0.41?
Použijeme jednovýběrový binomický test s nulovou hypotézou H0: p=π, hladina významnosti α=0,05
testová statistika
a příslušný kvantil
protože
NULOVOU HYPOTÉZU ZAMÍTÁME. Chlapci se ve zkoumavé populaci nerodí s pravděpodobností 0,5.
interval spolehlivosti
pokud použijeme n=10 000, bude int. spolehlivosti užší
Test p ? p: PŘÍKLAD 3

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Dvouvýběrový binomický test (p1  ?  p2)

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Dvouvýběrový binomický test (p1  ?  p2)
Tento příklad je ukázkou testování rozdílů mezi dvěma binomickými populacemi
(tedy srovnání dvou odhadů parametru p).
Celkem 49 pokusných myší bylo použito k testování léčivého preparátu během dvouměsíční terapie.
Následující tabulka obsahuje původní data zároveň s testem nulové hypotézy: Podíl přežívajících
jedinců je u léčené populace stejný.
Kvantil standardizovaného normálního rozdělení = KRITICKÁ HODNOTA TESTU
Z0,05(2)  = 1,96
 Nezamítáme H0: p = 0,116
 S korekcí
na spojitost:
  Nezamítáme H0: p = 0,198
Alive
Dead
Total
Proportion alive
Proportion dead
Treated
15
9
24
Not Treated
10
15
25
Total
25
24
49
Korekce na spojitost, vhodná u malých vzorků