Absolutní extrémy funkcí dvou proměnných
Lenka Přibylová
7. února 2007
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Obsah
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na M. . 2
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na M. . . 24
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6
S3 = 0, −
1
2
: f (0, −
1
2
) = −
1
4
S7 = [0, −3] : f (0, −3) = 6
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Nakreslíme přímky ohraničující množinu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Spočteme první derivace funkce podle obou proměnných.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Stacionární bod splňuje podmínky f ′
x = 0 a f ′
y = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
Vyřešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých. Z první rovnice y = 2x + 1 dosadíme
do druhé: 4x + 2 − x + 1 = 0, tj. x = −1 a y = −1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
Tento bod leží ve zkoumané množině. Zařadíme ho tedy mezi body podezřelé z
extrému.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Stacionárním bodem na hranici y = 0 je bod s x-ovou souřadnicí x = −
1
2
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Bod S2 leží ve zkoumané množině. Zařadíme ho mezi body podezřelé z extrému.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
−3
−3
0
f ′
x = 2x − y + 1 = 0, f ′
y = 2y − x + 1 = 0 ⇒ S1 = [−1, −1]
y = 0 : f (x, 0) = x2
+ x ⇒ f ′
= 2x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
2
⇒ S2 = −
1
2
, 0
x = 0 : f (0, y) = y2
+ y ⇒ f ′
= 2y + 1 = 0 ⇒ y = −
1
2
⇒ S3 = 0, −
1
2
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6Analogicky předchozímu případu dostáváme bod S3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
−3
−3
0
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = −x − 3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
−3
−3
0
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = −x − 3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
−3
−3
0
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
−3
−3
0
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6Stacionárním bodem na hranici y = −x − 3 je bod s x-ovou souřadnicí x = −
3
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
−3
−3
0
y = −x −3 : f (x, −x −3) = x2
+ (−x −3)2
− x(−x −3) + x − x −3 = 3x2
+9x +6
⇒ f ′
= 6x + 9 = 0 ⇒ x = −
3
2
⇒ S4 = −
3
2
, −
3
2
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6y-ovou souřadnici dostaneme dosazením do hranice y = −x − 3 =
3
2
− 3 = −
3
2
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6
S3 = 0, −
1
2
: f (0, −
1
2
) = −
1
4
S7 = [0, −3] : f (0, −3) = 6
S4 = −
3
2
, −
3
2
: f (−
3
2
, −
3
2
) = −
3
4
Posledními možnými body, kde může nastat absolutní extrém, jsou vrcholy
trojúhelníku.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6
S3 = 0, −
1
2
: f (0, −
1
2
) = −
1
4
S7 = [0, −3] : f (0, −3) = 6
S4 = −
3
2
, −
3
2
: f (−
3
2
, −
3
2
) = −
3
4
Najdeme všechny funkční hodnoty v podezřelých bodech a vybereme maximální a
minimální hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y na množině
ohraničené přímkami x = 0, y = 0 a x + y + 3 = 0.
y
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S1 = [−1, −1] : f (−1, −1) = −1 S5 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S2 = −
1
2
, 0 : f (−
1
2
, 0) = −
1
4
S6 = [−3, 0] : f (−3, 0) = 6
S3 = 0, −
1
2
: f (0, −
1
2
) = −
1
4
S7 = [0, −3] : f (0, −3) = 6
S4 = −
3
2
, −
3
2
: f (−
3
2
, −
3
2
) = −
3
4
Funkce f (x, y) = x2
+ y2
− xy + x + y má tedy dvě absolutní maxima v bodech
S6 a S7 a absolutní minimum v bodě S1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = −3
S = [1, 2] : f (1, 2) = 17⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Nakreslíme množinu M. Je to obdélník.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme první derivace funkce podle obou proměnných.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Stacionární bod splňuje podmínky f ′
x = 0 a f ′
y = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Vyřešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých. Z druhé rovnice 2x + 8 = 0
dostváme x = −4, odtud z první: −8 + 2y − 4 = 0, tj. y = 6.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Tento bod ale neleží ve zkoumané množině. Nezařadíme ho tedy mezi body
podezřelé z extrému.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Stacionárním bodem na hranici y = 0 je bod s x-ovou souřadnicí x = 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Tento bod také neleží ve zkoumané množině, a proto jej nezařadíme mezi body
podezřelé z extrému.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
f ′
x = 2x + 2y − 4 = 0, f ′
y = 2x + 8 = 0 ⇒ S = [−4, 6] /∈ M
y = 0 : f (x, 0) = x2
− 4x ⇒ f ′
= 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ S = [2, 0] /∈ M
x = 0 : f (0, y) = 8y ⇒ f ′
= 8 = 0 zde nejsou žádné stacionární body
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16Žádný takový bod neexistuje.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici y = 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
2
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Stacionárním bodem na hranici y = 2 je bod s x-ovou souřadnicí x = 0
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Bod S1 leí v množině M, je to vrchol obdélníku. Zařadíme ho mezi body
podezřelé z extrému.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Spočteme hodnoty funkce f (x, y) na hranici x = 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Získanou funkci jedné proměnné derivujeme, stacionární bod splňuje podmínku
f ′
= 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
10
y = 2 : f (x, 2) = x2
+ 4x − 4x + 16 = x2
+ 16
⇒ f ′
= 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S1 = [0, 2] ∈ M
x = 1 : f (1, y) = 1 + 2y − 4 + 8y = 10y − 3
⇒ f ′
= 10 = 0 zde nejsou stacionární body
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
Žádný takový bod neexistuje.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = −3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Posledními možnými body, kde může nastat absolutní extrém, jsou vrcholy
obdélníku.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = −3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Najdeme všechny funkční hodnoty v podezřelých bodech a vybereme maximální a
minimální hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Najděte absolutní extrémy funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y na množině
M : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
y
x
S1
S2 S3
S4
S1 = [0, 2] : f (0, 2) = 16
S2 = [0, 0] : f (0, 0) = 0
S3 = [1, 0] : f (1, 0) = −3
S4 = [1, 2] : f (1, 2) = 17
Funkce f (x, y) = x2
+ 2xy − 4x + 8y má tedy absolutní maximum v bodě S4 a
absolutní minimum v bodě S3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×
Konec
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2007 ×