IV.a Teoretické pozadí statistické analýzy
IV.b Základní typy dat
IV.c Modelová rozložení
IV.d Popisná statistika dat
IV.e Provádění odhadů
IV.f Základy testování hypotéz
IV. Statistická analýza dat -
úvod
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace
Rozložení dat
IV.a Teoretické pozadí
statistické analýzy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Základním principem statistiky je pravděpodobnost
výskytu nějaké události. Prostřednictvím vzorkování se
snažíme odhadnout skutečnou pravděpodobnost
událostí.Klíčovou otázkou je velikost vzorku, čím větší
vzorek, tím větší šance na projevení se skutečné
pravděpodobnosti výskytu jevu.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
JAK vznikají informace ? základní pojmy
Skutečnost
Náhoda
(vybere jednu z možností pokusu)
Jev
podmnožina všech možných
výsledků pokusu/děje, o které lze
říct, zda nastala nebo ne
Pozorovatel
Rozliší, co nastalo
a) podle možností
b) podle toho, jak potřebuje
Jevové pole
třída všech jevů, které jsme se rozhodli
nebo jsme schopni sledovat
Skutečnost + Jevové pole = Měřitelný prostor
Experimentální jednotka - objekt, na kterém se provádí šetření
Populace - soubor experimentálních jednotek Znak - vlastnost sledovaná na objektu
Sledovaná veličina - číselná hodnota vyjadřující výsledek náhodného experimentu
Znak se stává náhodnou veličinou, pokud se jeho hodnota
zjišťuje vylosováním objektu ze základního souboru
Výběr - výběrová populace - cílová populace
Náhodný výběr Reprezentativnost
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
JAK vznikají informace ?
„Empirical approach“ „Classical approach“
Empirický postup
možné jevy: čísla 1 – 6 n – počet hodů (opakování)
f
n
n = 10
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
f
n
n = 50
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
f
n
n = 
U složitých stochastických systémů se pravda získá až po odvedení značného
množství experimentální práce: musíme dát systému šanci se projevit
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
JAK vznikají informace ?
Empirický postup
možné jevy: čísla 1 – 6 n – počet hodů (opakování)
f
n
n = 10
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
f
n
n = 50
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
f
n
n = 
Při realizaci náhodného experimentu roste se zvyšujícím
se počtem opakování pravdivá znalost systému (výsledky
se stávají stabilnější) …. diskutabilní je ale ovšem míra
zobecnění konkrétního experimentu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Empirický zákon velkých čísel
Při opětovné nezávislé realizaci téhož náhodného experimentu se podíl výskytů
sledovaného jevu mezi všemi dosud provedenými realizacemi zpravidla ustaluje
kolem konstanty.
Pravděpodobnost je libovolná reálná funkce definovaná na jevovém poli A, která
každému jevu A přiřadí nezáporné reálné číslo P(A) z intervalu 0 - 1.
.
A
.
B.
C
.
D
A
P(A)
0 1
Z praktického hlediska je
pravděpodobnost
idealizovaná relativní četnost
P (A) = 1 …………………………… jev jistý
P (A) = 0 …………………………… jev nemožný
P (A  B) = P (A) . P (B/A) …..……závislé jevy
P (A  B) = P (A) . P (B)…………. nezávislé jevy
P (A / B) = P (A  B) / P (B) ……….podmíněná pravděpodobnost
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Pravděpodobnost výskytu jevu – rozložení dat
„vše je možné“: pouze jev s pravděpodobností 0 nikdy nenastane
existuje pravděpodobnost výskytu jevů (nedeterministické závěry)
0
pravděpodobnost
výskytu
x1
počet chlapců v rodině s X dětmi
2 3 4 5
j(x)
x
výška postavy
plocha = pravděpodobnost
výskytu
pravděpodobnost lze zkoumat retrospektivně i prospektivně
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Spojitá a kategoriální data
Základní popisné statistiky
Grafický popis dat
IV.b Základní typy dat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich
se specifickými vlastnostmi, výhodami, nevýhodami a
vlastní sadou využitelných statistických metod - od
binárních přes kategoriální, ordinální až po spojitá data
roste míra informace v nich obsažené.
 Základním přístupem k popisné analýze dat je tvorba
frekvenčních tabulek a jejich grafických reprezentací –
histogramů.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
– různé typy dat znamenají různou informaci
Kolikrát ?
Podíl
hodnot
větší/menší
než
specifikovaná
hodnota
?
O kolik ?
Větší, menší ?
Rovná se ?
Procenta
odvozené
hodnoty
Data poměrová
Data intervalová
Data ordinální
Data nominální
Spojitá
data
Diskrétní
data
Kategoriální otázky
Otázky „Ano/Ne“
Samotná znalost typu dat ale na dosažení informace nestačí ………….
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
– různé typy dat znamenají různou informaci
PRŮMĚR
MEDIÁN
MODUS
Data poměrová
Data intervalová
Data ordinální
Data nominální
Spojitá
data
Diskrétní
data
Statistika středu
X
Y = f
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
JAK vznikají informace ?
- opakovaná měření informují rozložením hodnot
KOLIK se
naměřilo
CO se
naměřilo
Diskrétní data Spojitá data
A B C D E
y
x
I II III IV V
y
x
X: měřený znak
Y: frekvence
- absolutní / relativní
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
N: 100 dětí (hemofiliků)
x: znak: počet krvácivých epizod za měsíc
n(x) – absolutní četnost x
N(x) – kumulativní četnost hodnot nepřevyšujících x;
N(x) = S n(t)
p(x) – relativní četnost; p(x) = n(x) / n
F(x) – kumulativní relativní četnost hodnot
nepřevyšujících x; F(x) = N(x) / n
Jak vznikají informace ?
- frekvenční tabulka jako základní nástroj popisu
Primární data Frekvenční sumarizace
x n(x) N(x) p(x) F(x)
0 20 20 0,2 0,2
1 10 30 0,1 0,3
2 30 60 0,3 0,6
3 40 100 0,4 1,0
0
0
1
2
1
1
3
1
1
2
.
.
.
.
.
.
n = 100
Počtyepizodpron=100hemofiliků
t  x
DISKRÉTNÍ DATA
n(x)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
Grafické výstupy z frekvenční tabulky
x
p(x)
x
N(x)
x
F(x)
x3210
0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
- frekvenční tabulka jako základní nástroj popisu
Příklad: x: koncentrace látky v
krvi n = 100 pacientů
Primární data
Frekvenční sumarizace
n = 100 opakovaných měření (100 pacientů)
x: koncentrace sledované látky v krvi (20 – 100 jednotek)
d(l) – šířka intervalu
n(l) – absolutní četnost
n(l) / n – intervalová relativní četnost
N(x’’) – intervalová kumulativní četnost do horní hranice X’’
F(x’’) – intervalová relativní kumulativní četnost do horní
hranice X’’
interv d(l) n(l) n(l)/n N(x’’) F(x’’)
<20, 40) 20 20 0,2 20 0,2
<40, 60) 20 10 0,1 30 0,3
<60, 80) 20 40 0,4 70 0,7
<80, 100) 20 30 0,3 100 1,0
1,21
1,48
1,56
0,31
1,21
1,33
0,33
.
.
.
n = 100
Hodnotypron=100osob
SPOJITÁ DATA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
- frekvenční sumarizace spojitých dat
x
0
1
20 40 60 80 100
x
F(x)
Intervalová
relativní
kumulativní
četnost
Histogram Výběrová distribuční funkce
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
f(x)=
Intervalová
hustota
četnosti
20 40 60 80 100
Plocha: n(l) / n
n(l) / n
d(l)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Počet zvolených tříd a velikost
souboru určují kvalitu výstupu
k = 10 tříd k = 5 tříd
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 1 2 3 4 5
k = 20 tříd
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Histogram vyjadřuje tvar výběrového rozložení
x
xx
x x
f(x)
f(x)
f(x)f(x)
f(x)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Pojem ROZLOŽENÍ - příklad spojitých dat
j(x)
0
F(x)
Rozložení
x
Distribuční
funkce
0 Je - li dána
distribuční
funkce,
je dáno
rozložení
x
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Výběrové rozložení hodnot lze modelově popsat
a definovat tak pravděpodobnost výskytu X
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
j(x)
j(x)
j(x)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Distribuční funkce jako užitečný nástroj pro
práci s rozložením
x
j(x)
1,00
F(x)
P(X x) = F(x) = F(x")
F(x) … distribuční funkce
P(X x) = j(x) d(x)
M
j(x) d(x) = 1
 



F(x):
Pravděpodobnost, že
se X vyskytuje
v intervalu M
M
Známe-li distribuční funkci, pak známe
rozložení sledované veličiny.
Pro jakoukoli množinu hodnot (M) lze určit
P, že X do této množiny patří.
Plocha = relativní četnost
x
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jak vznikají informace ?
- frekvenční sumarizace spojitých dat
Grafické výstupy z frekvenční tabulky – spojitá data
f(x)
x
0
1
20 40 60 80 100
F(x)
x
KVANTIL
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
20 40 60 80 100
Uspořádání čísel podle
velikosti a konstrukce
rozložení umožňuje
pravděpodobnostní
zařazení každé
jednotlivé hodnoty
X0.1; X0.9; X0.5; Xq
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Otázka: Jak velké musí být X, aby 5 % všech
hodnot bylo nad ním?
X0,95 x
j(x)
0,95
F(x)
Hledáme: P(X xq) = 0,95 = q
xq = (x0,95) = ?
q = 0,95 … Pravděpodobnost
Jakékoliv číslo na ose x je kvantilem
5 % F (xq ) = q
Kvantil je číslo, jehož hodnota
distribuční funkce je rovna P,
pro kterou je kvantil definován

Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Normální rozložení jako statistický model
Aplikace modelových rozložení
Přehled modelových rozložení
IV.c Modelová rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Klasickým postupem statistické analýzy je na základě
vzorku cílové populace identifikovat typ a charakteristiky
modelového rozložení dat, využít jeho matematického
modelu k popisu reality a získané výsledky zobecnit na
hodnocenou cílovou populaci.
 Využití tohoto přístupu je možné pouze v případě shody
reálných dat s modelovým rozložením, v opačném případě
hrozí získání zavádějících výsledků.
 Nejklasičtějším modelovým rozložením, od něhož je
odvozena celá řada statistických analýz je tzv. normální
rozložení, známé též jako Gaussova křivka.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Rozložení hodnot jako model: Normální
rozložení
N (ms)
j(x)
m
N (0,1)
j(z)
0
Tabelovaná
podoba
Standardizovaná forma
x
z
z = x - m
s
2
2
2
)(
.
2.
1
)( s
m
s
j



x
ex
2
2
.
.2
1
)(
z
ez



j
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Parametry charakterizující normální rozložení a
jejich význam
j(x)
x
mediánprůměrm ~ x
průměr - ukazatel středu
s2 ~ s2
rozptyl
xi x
a)
b)
m
s ~ s
směrodatná odchylka
Pravidlo ± 3s
koeficient variance
c)
d)
2
ss 
xsc 
1
)( 2
2

S

n
xx
s i
E (x) ~ x ~ m
D (x) ~ s2 ~ s2
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Rozptyl není univerzálním ukazatelem
variability
xi x xi
s2 =
 neúměrně zvýší s2
S(xi – x)2
n - 1
x
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Normální rozložení jako model
I. Použitelnost modelu
A) X: spojitý znak - hmotnost jedince (myši)
1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,4; 3.8
n = 7 opakování
medián = 1,8
rozptyl (s2) =
Je předpoklad normálního rozložení oprávněný ?
Jaký předpokládáte možný rozsah hodnot tohoto znaku ? ??
  03,22,14
7
1
8,34,20,28,16,14,12,1
7
1
7
11 7
11
   i
i
n
i
i xx
n
 
766,0
6
03,2
1
)(
7
1
2
1
2




   i
i
n
i
i x
n
xx
sm. odchylka (s) = 875,0766,02
s
průměr =
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Normální rozložení jako model
I. Použitelnost modelu
B) X: spojitý znak - hmotnost jedince (myši)
1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 3,8; 8,9
n = 9 opakování
průměr =
sm. odchylka (s) =
Jak hodnotíte model u těchto dat ?
medián = 2
  81,23,25
9
1
9,88,34,22,20,28,16,14,12,1
9
1
9
11 9
11
   i
i
n
i
i xx
n
 
79,5
8
81,2
1
)(
9
1
2
1
2




   i
i
n
i
i x
n
xx
269,279,52
s
rozptyl (s2) =
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Stochastické rozložení jako model
Předpoklad: Znak x je rozložen podle daného modelu
Znak x je naměřen o n hodnotách
s modelovými parametry: x a s
Znak x je převeden na formu
odpovídající tabulkovému
standardu:
Využije se tabelované (modelové) distribuční funkce
pro testy o rozložení hodnot x
Platnost
modelu ?
1
2
3
4
s
m

x
Zi
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Normální rozložení jako model - příklad
Tabulky distribuční funkce
• Data z průzkumu jsou publikována jako:
Kosti prehistorického zvířete:
n = 2000
průměrná délka = 60 cm
sm. odchylka (s) = 10 cm
Předpokládáme, že je oprávněný model normálního rozložení
Jaký podíl kostí ležel svou délkou v rozsahu x od 60 cm do 66 cm ?
Kolik kostí mělo zřejmě délku větší než 66 cm ?
Jaká je pravděpodobnost, že by velikost dané kosti překročila velikost
66 cm: P (x > 66) ?
    27425,06,01)
10
6066
(1)66(166 



 F
s
mx
PxPxP
  )66(166  xPxP a platí, že  XFxXP  )(
s
m

x
Z
tedy
  5482000*27425,0*66  nxP
      22575,006,0
10
6066
10
6060
6660 




 


 FFZPxP 22,6% kostí leží v rozsahu 60-66cm
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Rozložení Parametry Stručný popis
Normální
Průměr (m)
Rozptyl (s2)
Symetrická funkce popisující intervalovou
hustotu četnosti; nejpravděpodobnější jsou
průměrné hodnoty znaku v populaci.
Log-
normální
Medián
Geometrický průměr
Rozptyl (s2)
Funkce intervalové hustoty četnosti, která po
logaritmické transformaci nabude tvaru
normálního rozložení.
Weibullovo
a - parametr tvaru
b - parametr rozsahu hodnot
Změnou parametru a lze modelovat distribuci
doby přežití, např. stresovaného organismu.
Rozložení využívané i jako model k odhahu
LC50 nebo EC50 u testů toxicity.
Rovnoměrné
Medián
Geometrický průměr
Rozptyl (s2)
Funkce intervalové hustoty četnosti, která po
logaritmické transformaci nabude tvaru
normálního rozložení.
Triangulární
f(x) = [b - ABS (x - a)] / b2
a - b < x < a + b
Pravděpodobnostní funkce pro typ rozložení,
kdy jsou střední hodnoty výrazně
pravděpodobnější než hodnoty okrajové.
Gamma
Parametry distribuční funkce:
a - parametr tvaru
b - parametr rozsahu hodnot
Umožňuje flexibilně modelování distribučních
funkcí nejrůznějších tvarů. Např. c2 rozložení
je rozložení typu Gamma. Gamma rozložení
s a = 1 je známo jako exponenciální rozložení.
Stručný přehled modelových rozložení I.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Stručný přehled modelových rozložení II.Rozložení Parametry Stručný popis
Beta
Parametry distribuční
funkce:
a - parametr tvaru
b - parametr rozsahu
hodnot
Pravděpodobnostní funkce pro proměnnou
omezenou rozsahem do intervalu [0; 1]. Je
matematicky komplikovanější, ale velmi
flexibilní při popisu změn hodnot proměnné
v ohraničeném intervalu.
Studentovo
Stupně volnosti uvažuje
velikost vzorku
Průměr
Rozptyl
Simuluje normální rozložení pro menší vzorky
čísel. Pro větší soubory (n > 100) se limitně
blíží k normálnímu rozložení.
Pearsonovo
Stupně volnosti uvažuje
velikost vzorku
Slouží především k porovnání četností jevů ve
dvou a více kategoriích.
Používá se k modelování rozložení odhadu
rozptylu normálně rozložených dat.
Fisher-
Snedecorovo
Dvojí stupně volnosti uvažuje
velikost dvou
vzorků
Používá se k testování hodnot průměrů - F test
pro porovnání dvou výběrových rozptylů; F
test, ANOVA atd.
Stručný přehled modelových rozložení II.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Log-normální rozložení jako častý model
reálných znaků
j(x)
Medián xPrůměr
U asymetrických rozložení je medián velmi
vhodným alternativním ukazatelem středu
Průměr - těžiště osy x
Medián - frekvenční střed
x
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Log-normální rozložení lze jednoduše
transformovat
f(x)
Medián xPrůměr
f(x)
Medián
ln (x)
Průměr=
Y = Ln [X]
`Y ± Standardní chyba
EXP (Y) = Geometrický průměr X 

n
i
i
n
Y
Y
1
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Základní typy transformací vedou k normalitě rozložení nebo k
homogenitě rozptylu
Logaritmická transformace
Logaritmická transformace je velmi vhodná pro data s odlehlými hodnotami na
horní hranici rozsahu. Při porovnání průměrů u více souborů dat je pro tuto
transformaci indikující situace, kdy se s rostoucím průměrem mění proporcionálně
i směrodatná odchylka, a tedy jednotlivé proměnné mají stejný koeficient variance,
ačkoli mají různý průměr.
Za takovéto situace přináší logaritmická transformace nejen zeslabení
asymetrie původního rozložení, ale také vyšší homogenitu rozptylu proměnných.
Pro transformaci se nejčastěji používá přirozený logaritmus a pokud jsou v
původním souboru dat nulové hodnoty, je vhodné použít operaci Y = ln (X+1).
Je-li průměr logaritmovaných dat (tedy průměrný logaritmus) zpětně
transformován do původních hodnot, výsledkem není aritmetický, ale geometrický
průměr původních dat.
Transformace dat - legitimní úprava rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Transformace je vhodná pro proměnné mající Poissonovo rozložení, tedy
proměnné vyjadřující celkový počet nastání určitého jevu (spíše vzácného) v n
nezávisle opakovaných pokusech. Obecněji lze tento typ transformace doporučit v
případě normalizace dat typu počtu jedinců (buněk, apod.). Jde o transformaci:
nebo nebo
Transformace s přičtenou hodnotou 1 jsou efektivní, pokud X nabývá velmi
malých nebo nulových hodnot. Situace indikující vhodnost odmocninové
transformace je také proporcionalita výběrového rozptylu a průměru, tedy obecně
jestliže s2
x = k (výběrový průměr).
Odmocninová transformace
xY  1 xY 1 xxY
Transformace dat - legitimní úprava rozložení
Základní typy transformací vedou k normalitě rozložení nebo k
homogenitě rozptylu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Tzv. úhlová transformace - velmi vhodná pro data typu podílů výskytu určitého
jevu (znaku) mezi n hodnocenými jedinci - tedy pro data mající binomické rozložení.
Pokud se určitý znak vyskytuje r-krát mezi n možnostmi (jedinci, opakováními), pak
lze vyjádřit relativní četnost jeho výskytu jako p = r/n s variabilitou p.(1-p)/n. Arcsin
transformace odstraní ze souborů dat podíly blízké 0 nebo 1, a tak efektivně sníží
variabilitu odhadů středu. Transformace však není schopná odstranit variabilitu
vyvolanou rozdílným počtem opakování v jednotlivých variantách - v takovém případě
lze doporučit provedení vážených transformací dat. Velmi častou formou této
transformace je:
- tedy transformace podílů do hodnot, jejichž sinus je roven druhé odmocnině
původních hodnot. Pokud celkový počet jedinců (opakování), mezi kterými je výskyt
znaku monitorován, je n < 50, pak lze doporučit velmi efektivní empirická opatření pro
transformaci podílů blízkých 0 nebo 1. Pro tento případ lze nahrazovat nulové podíly
hodnotou 1/4n a 100 % podíly hodnotou (n-1/4)/n. Pokud se mezi hodnotami vyskytuje
větší množství krajních hodnot (menší než 0,2 a větší než 0,8), lze doporučit
transformaci:
Arcsin transformace
pY arcsin











1
1
arcsin
1
arcsin
2
1
n
x
n
x
Y
Transformace dat - legitimní úprava rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Popisné statistiky dat
Vizualizace dat
IV.d Popisná statistika dat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Popisná analýza dat je po vizualizaci dat dalším krokem v
procesu statistického hodnocení. Poskytuje představu o
rozsazích hodnocených dat a umožňuje vyhodnotit,
srovnámí s literárními údaji nebo dosavadní zkušeností,
jejich realističnost.
 Již při výběru vhodné popisné statistiky se uplatňuje
znalost rozložení dat. Některé popisné statistiky, odvozené
od modelových rozložení, je možné využít pouze v
případě, že data mají dané modelové rozložení. Typickým
příkladem je průměr a směrodatná odchylka, jejichž
předpokladem je přítomnost normálního rozložení.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Typy proměnných
 Kvalitativní/kategorická
 binární - ano/ne
 nominální - A,B,C … několik kategorií
 ordinální- 1<2<3 …několik kategorií a můžeme se ptát, která je
větší
 Kvantitativní
 nespojitá – čísla, která však nemohou nabývat všech hodnot (např.
počet porodů)
 spojitá – teoreticky jsou možné všechny hodnoty (např. krevní tlak)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Řada dat a její vlastnosti
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Frekvenční rozložení
Kategorie Četnost
B 5
C 8
D 1
Kvalitativní data
Tabulka s četností jednotlivých
kategorií.
Kvantitativní data
Četnost hodnot rozložení v
jednotlivých intervalech.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Parametry rozložení
 Soubor dat (řada čísel) můžeme charakterizovat parametry jeho rozložení
 Hlavní skupiny těchto parametrů můžeme charakterizovat jako ukazatele:
 Středu (medián, průměr, geometrický průměr)
 Šířky rozložení (rozsah hodnot, rozptyl, směrodatná odchylka)
 Tvaru rozložení (skewness, kurtosis)
 Kvantily rozložení – kolik % řady dat leží nad a pod kvantilem
x0,95 x
j(x)
0,95
F(x)
Jakékoliv číslo na ose x je kvantile
95 %
j(x)
x
MediánPrůměr
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Populace a vzorek
 Populace představuje veškeré možné objekty vzorkování, např. veškeré
obyvatelstvo ČR při sledování na úrovni ČR, z populace získáme reálné
parametry rozložení
 Z populace je prováděno vzorkování za účelem získání reprezentativního
vzorku (sample) populace, toto vzorkování by mělo být náhodné, důležitá je
také velikost vzorku, ze vzorku získáme odhady parametrů rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Ukazatele středu rozložení I
 Průměr – vhodný ukazatel středu u normálního/symetrického rozložení, kde
xi jsou jednotlivé hodnoty a n jejich počet
 Medián – jde vlastně o 50% kvantil, tj. polovina hodnot leží nad a polovina
pod mediánem
 V případě symetrického rozložení jsou jejich hodnoty v podstatě shodné


n
i
i
n
x
xxE
1
)(
j(x)
Medián
x
Průměr
j(x)
x
MediánPrůměr
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Ukazatele středu rozložení II.
log
Medián, geometrický průměr
Průměr Průměr (logaritmovaných dat)
 Geometrický průměr – antilogaritmus průměru logaritmovaných dat, je
vhodný pro doleva asymetrická data (lognormální rozložení), která jsou v
biologii velmi častá, jeho hodnota v podstatě odpovídá mediánu
 Takto asymetrická data je možné převést logaritmickou transformací na
normální rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Ukazatele šířky rozložení
 Rozptyl je ukazatelem šířky rozložení získaný na základě odchylky
jednotlivých hodnot od průměru.
 Obdobně jako u průměru je jeho vypovídací schopnost nejvyšší v
případě symetrického/normálního rozložení
 Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu
 Koeficient variance - podíl SD ku průměru (u normálního rozložení
by se 95% hodnot mělo vejít do průměr 3 SD), pokud je SD větší
než 1/3 průměru jsou teoreticky pravděpodobné záporné hodnoty
v rozložení – ukazatel problémů s normalitou dat
1-n
)(x 2
i2  

x
s
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Ukazatele tvaru rozložení
 Skewness – ukazatel „šikmosti“ rozložení, asymetrie rozložení
 Kurtosis – ukazatel „špičatosti/plochosti“ rozložení
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Další parametry rozložení
 Počet hodnot – důležitý ukazatel, znamená jak moc lze na data spoléhat
 Střední chyba odhadu průměru - je založena na směrodatné odchylce
rozložení a počtu hodnot, vlastně jde o směrodatnou odchylku rozložení
průměru. Říká jak přesný je náš výpočet průměru. Čím větší počet hodnot
rozložení, tím je náš odhad skutečného průměru přesnější.
 Suma hodnot
 Modus – nejčastější hodnota, vhodný např. při kategoriálních datech
 Minimum, maximum
 Rozsah hodnot
 Harmonický průměr - převrácená hodnota průměru převrácených hodnot
(vždy platí harmonický průměr < geometrický průměr < aritmetický průměr)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Bodové a intervalové odhady
Význam intervalu spolehlivosti
IV.e Provádění odhadů
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Dva základní přístupy statistického hodnocení jsou popis
dat a testování hypotéz. Při popisu dat je třeba si
uvědomit, že popisné statistiky získané ze vzorku nejsou
skutečnou hodnotou v cílové populaci, ale pouze jejím
odhadem. Přesnost odhadu závisí jednak na variabilitě
dat, jednak na velikosti vzorku, při navzorkování celé
cílové populace by výsledná popisná statistika již byla
přesnou hodnotou, nikoliv odhadem.
 Odhady a s nimy související intervaly spolehlivosti jsou
univerzálním statistickým postupem a je možné je
dopočítat k libovolné popisné statistice.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Statistika v průzkumném studiu
Provádění odhadů Testy hypotéz
Cílová
populace
Vzorek
Ověření
Výsledek
POPIS OTÁZKY
Závěr ?
Interpretace
Závěr ? Reprezentativnost
?
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI
velmi užitečná míra věrohodnosti odhadů
P (L1 < Odhad < L2)  1 - a/2Obecný tvar:
Odhadovaný
parametr
Kvantil
modelového
rozložení
± ×
KV pro (1 - a/2)
Intervalové
ODHADY
Interval pravděpodobných hodnot
Spolehlivost
Bodové
Číslo (chyba)
(Odhad parametru)
(Pravděpodobnostní interpretace)
SE (odhadu)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
NORMÁLNÍ ROZLOŽENÍ:
model pro odhad průměru
Cílová
populace
Vzorek: n
j(x)
Xµ
X ...... odhad průměru
n;`x; s
n;`x;
s
n
n;`x; c
n;`x; Interval
spolehlivost
i pro odhad
průměru
Prezentace
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
NORMÁLNÍ ROZLOŽENÍ:
odhad průměru je rovněž normálně rozložen
`X
Náhodné výběry o n = 100
Cílová
populace
X: j(x)
Xµ
`X1 `X2 `X3 `X4 .... `Xi
µ
µ ± 3 . s
n
s
n
~
Standardní chyba
odhadu průměru
znak x
x: m ± 3s
průměr x
)(xj
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
ODHAD PRŮMĚRU: Vztahy
Bodový
Intervalový






n
s
x;
   
n
s
tx
n
s
tx nn
 



1
2
1
1
2
1

a

a m
 
n
s
tx n
 

1
2
1
: 
am
 
x
n
stx  

1
2
1
: 
am
t ... příslušný kvantil Studentova
rozložení
1 - a ... spolehlivost hodnoceného
intervalu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Interval spolehlivosti odhadu průměru je pouze
informací o přesnosti tohoto odhadu
Interval spolehlivosti je hodnocen pro (1 - a) procentní spolehlivost
Výběrové populace
Cílová
populace
Šířku intervalu určuje:
a) velikost vzorku
b) rozptyl (variabilita) vzorku
c) požadovaná spolehlivost
j(x)
-3s +3sµ
Původní proměnná x
j(x)
Výběr n=10 pro
odhad průměru
j(x)
Výběr n=100 pro
odhad průměru
µ µ
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
ODHAD PRŮMĚRU: Příklad
X: Cena výrobku v n = 21 obchodech
Data:
95% Interval spolehlivosti:
t1-a/2 = t 0,975 = 2,086
(u = n-1)
3,423  µ  3,737
P (3,423  µ  3,737)  0,95
(20)
x
sx .086,2: m
12,0;58,3;21 2
 sxn
075,02112,0 x
s
075,0.086,258,3075,0.086,258,3  m
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Interval spolehlivosti pro odhad rozptylu
Interval spolehlivosti
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
21
2
2
1
2
2
2
1
21
2
2
1
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2
2
2
11
:nproc)
11
:prob)
11
:proa)


















nn
nn
nn
n
sn
nn
sn
snsn
snsn
aa
aa
aa
c
s
c
s
c
s
c
s
c
s
c
s
-směrodatná odchylka
odhadu průměru (S.E.)
ns
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Linie 1
n = 50
s2(x) = 10 (mg/ml)2
s(x) = 3,16 mg/ml
x = 2 mg/ml
sx = 0,447 mg/ml
Interval spolehlivosti pro odhad rozptylu: příklad
Příklad: měření produkce metabolitu (x) u buněk dvou nádorových linií
Linie 1
n = 100
s2(x) = 16 (mg/ml)2
s(x) = 4 mg/ml
x = 2,8 mg/ml
sx = 0,4 mg/ml
36,73
16992
42,128
1699 


s
c = 1,43
95% IS
c = 1,58
56,31
10492
22,77
1049 


s
95% IS
53,1598,6 2
s 49,1333,12 2
s
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Výpočet mediánu z frekvenčních dat a jeho
odhady
a) Určete medián tohoto souboru dat: 1,3,4,5,7,8 [4,5]
b) Určete medián tohoto souboru dat: 5,1,8,3,4 [4]
Frekvence zastoupení dosahuje nejvyšší hodnoty u třídy od 40,5 – 60,5 dnů.
Druhý (menší) frekvenční pík lze pozorovat u intervalu od 100,5 do 120,5 dní.
Existence dvou maxim (bimodální data) je důkazem nenormality tohoto
konkrétního souboru.
Class limits
(days)
0,5-
20,5
20,5-
40,5
40,5-
60,5
60,5-
80,5
80,5-
100,5
100,5-
120,5
120,5-
140,5
140,5-
160,5
160,5-
180,5
180,5-
200,5
200,5-
220,5
Frequency 8 33 50 32 15 20 11 6 2 1 1
Cumulative
frequency
8 41 91 123 138 158 169 175 177 178 179
c) Tento příklad je ukázkou výpočtu mediánu u velkého souboru dat. V následující tabulce je
uveden rozbor rozložení souboru dat od 179 krav, kde sledovanou veličinou byl počet dní od
narození telete do znovuobnovení menstruačního cyklu. Uvedená data jsou velmi zjednodušena a
jsou zde uvedena pouze pro ilustraci:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
kde
f
gl
XM L ,
Jelikož n =179, pak je medián devadesátá hodnota od počátku souboru, a dále je zřejmé, že bude velmi blízko horní hranici třídy
40,5 – 60,5 dní. Za předpokladu, že 50 hodnot této třídy je v ní rovnoměrně rozmístěno lze použít následující vzorec:
XL = hodnota X (sledované veličiny) na spodní hranici třídy obsahující medián: zde 40,5 dní
g = pořadová hodnota mediánu minus kumulativní frekvence do horní hranice předchozí třídy, tj. 90 - 41= 49
l = třídní interval: 20 dní
f = frekvence ve třídě obsahující medián
Dosadíme-li do uvedeného vzorce, získáme odhad mediánu jako 60 dní. Průměr tohoto datového souboru je 69,9, což je
významně odlišná hodnota, a potvrzuje znovu nenormální charakter dat.
U velkých vzorků z normálních populací je výběrový odhad mediánu normálně rozložen kolem populační hodnoty se
směrodatnou odchylkou . U normálního rozložení, kde medián i průměr představují odhad stejné hodnoty, je
medián méně přesný než průměr. Proto hlavní význam mediánu spočívá u nesymetrických distribucí.
Existuje velmi jednoduchá metoda pro výpočet intervalu spolehlivosti pro odhad mediánu a jako horní a spodní hranice slouží
pořadová čísla vypočítaná podle následujícího vztahu:
ns253,1
kde
nzn
,
22
)1(


n představuje velikost datového souboru, z je kvantil standardizovaného normálního rozložení pro příslušnou pravděpodobnost.
U našeho příkladu je n = 179 a pro 95% interval spolehlivosti je z přibližně rovno 2. Horní a spodní limit pro odhad mediánu tedy
je a 103. 95% interval spolehlivosti je tedy tvořen počty dní, které mají pořadí 77 a 103:7717990 
77: Počet dní = 40,5+(36)(20)/50 = 55 dní
103: Počet dní = 60,5+(12)(20)/32 = 68 dní
Medián cílové populace byl tedy odhadnut 95%
intervalem spolehlivosti jako hodnota ležící mezi
55 a 68 dny. Interpretujte tento výsledek.
Výpočet mediánu z frekvenčních dat a jeho
odhady
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Princip statistického testování hypotéz
Pojmy statistických testů
Normalita dat a její význam pro testování
IV.f Základy testování hypotéz
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
 Testování hypotéz je po popisné statistice druhým hlavním směrem
statistických analýz. Při testování pokládáme hypotézy, které se snažíme s
určitou pravděpodobností potvrdit nebo vyvrátit.
 Tzv. nulovou hypotézu lze nejlépe popsat jako situaci, kdy předpokládáme vliv
náhody (rozdíl mezi skupinami je pouhá náhoda, vztah dvou proměnných je
pouhá náhoda apod.), alternativní hypotéza předpokládá vliv nenáhodného
faktoru.
 Výsledkem statistického testu je v zásadě pravděpodobnost nakolik je
hodnocený jev náhodný nebo ne, při překročení určité hranice (nejčastěji
méně než 5% pravděpodobnost, že jev je pouhá náhoda) deklarujeme, že
pravděpodobnost náhody je pro nás dostatečně nízká abychom jev prohlásili
za nenáhodný
 Statistická významnost je ovlivnitelná velikostí vzorku a tak je pouze indicií k
prohlášení např. rozdílu dvou skupin pacientů za skutečně významný. V ideální
situaci je nezbytné aby rozdíl byl významný nejenom statisticky (=nenáhodný),
ale i prakticky (=nejde pouze o artefakt velikosti vzorku).
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Statistika v průzkumném studiu
Provádění odhadů Testy hypotéz
Cílová
populace
Vzorek
Ověření
Výsledek
POPIS OTÁZKY
Závěr ?
Interpretace
Závěr ? Reprezentativnost
?
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Princip testování hypotéz
Cílová
populace
Vzorek Reprezentativnost ?
Závěr ?
Interpretace
 Formulace hypotézy
 Výběr cílové populace a z ní reprezentativního vzorku
 Měření sledovaných parametrů
 Použití odpovídajícího testu závěr testu
 Interpretace výsledků
Měření parametrů
Testy hypotéz
?
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Statistické testování – základní pojmy
Nulová hypotéza HO
Alternativní hypotéza HA
Testová statistika
Kritický obor testové statistiky
0 T
Pozorovaná hodnota – Očekávaná hodnota
Variabilita dat
Testová statistika =
HO: sledovaný efekt je nulový
HA: sledovaný efekt je různý mezi skupinami
* Velikost vzorku
Statistické testování
odpovídá na otázku zda
je pozorovaný rozdíl
náhodný či nikoliv. K
odpovědi na otázku je
využit statistický model
– testová statistika.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Co znamená náhodný rozdíl?
Je tu rozdíl?
Jak by vypadal
rozdíl, kdyby
byl náhodný?
Nasimulujme si
ho !!! 
Léčba
Placebo
X2
X1
X2
X1
Rozdíl?
Rozdíl X2
X1
Rozdíl
….
Mnoho-
krát
Rozdíl ?
Rozložení možných
náhodných rozdílů
Kde leží skutečný
rozdíl?
Jak moc je
pravděpodobné, že
je náhodný?
0
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Možné chyby při testování hypotéz
Závěr testu
Hypotézu
nezamítáme
Hypotézu
zamítáme
β 1- β
1- α α
Skutečnost
H0
Platí
H0
Neplatí
 I přes dostatečnou velikost vzorku a kvalitní design experimentu se můžeme při
rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí nulové hypotézy dopustit chyby.
Správné rozhodnutí
Správné rozhodnutí
Chyba II. druhu
Chyba I. druhu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Význam chyb při testování hypotéz
Pravděpodobnost chyby 1. druhu
a Pravděpodobnost nesprávného
zamítnutí nulové hypotézy
Pravděpodobnost chyby 2. druhu
b Pravděpodobnost nerozpoznání
neplatné nulové hypotézy
Síla testu
1-b
Pravděpodobnostně vyjádřená
schopnost rozpoznat neplatnost
hypotézy
P-hodnota
Významnost hypotézy hodnotíme dle získané tzv. p-hodnoty, která vyjadřuje
pravděpodobnost, s jakou číselné realizace výběru podporují H0, je-li pravdivá.
P-hodnotu porovnáme s α (hladina významnosti, stanovujeme ji na 0,05, tzn., že
připouštíme 5% chybu testu, tedy, že zamítneme H0, ačkoliv ve skutečnosti platí).
P-hodnotu získáme při testování hypotéz ve statistickém softwaru.
 Je-li p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme
HA.
 Je-li p-hodnota > α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α.
P-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost za platnosti H0, s níž bychom získali
stejnou nebo extrémnější hodnotu testové statistiky.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Parametrické vs. neparametrické testy
Parametrické testy
Neparametrické testy
• Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
• Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy
neparametrické
• Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich
síla testu prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a
nesmyslný
• Nemají předpoklady o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při
asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném
rozložení
• Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty
původních dat, kdy neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty,
ale nejčastěji pouze jejich pořadí
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
One-sample vs. two sample testy
Jedno-výběrové testy (one-sample)
Dvou-výběrové testy (two-sample)
• Srovnávají jeden vzorek (one sample, jednovýběrové testy) s referenční
hodnotou (popřípadě se statistickým parametrem cílové populace)
• V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem
(referenční hodnota, hodnota cílové populace)
• Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu
hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Srovnávají navzájem dva vzorky (two sample, dvouvýběrové testy)
• V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot
• Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu,
podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Kromě testů pro dvě skupiny hodnot existují samozřejmě i testy pro více
skupin dat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
One-tailed vs. Two-tailed testy
One – tailed testy
Two – tailed testy
• Hypotéza testu je postavena asymetricky,
tedy ptáme se na větší než/ menší než
• Test může mít pouze dvojí výstup – jedna
z hodnot je větší (menší) než druhá a
všechny ostatní případy
• Hypotéza testu se ptá na otázku rovná
se/nerovná se
• Test může mít trojí výstup – menší - rovná
se – větší než
• Situace nerovná se je tedy souhrnem dvou
možných výstupů testu (menší+větší)
Kritický obor
Kritický obor
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Nepárový vs. párový design
Nepárový design
Párový design
• Skupiny srovnávaných dat jsou na sobě zcela
nezávislé (též nezávislý, independent
design), např. lidé z různých zemí, nezávislé
skupiny pacientů s odlišnou léčbou atd.
• Při výpočtu je nezbytné brát v úvahu
charakteristiky obou skupin dat
• Mezi objekty v srovnávaných skupinách
existuje vazba, daná např. člověkem před a
po operaci, reakce stejného kmene krys atd.
• Vazba může být buď přímo dána nebo pouze
předpokládána (v tom případě je nutné ji
ověřit)
• Test je v podstatě prováděn na diferencích
skupin, nikoliv na jejich původních datech
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Statistické testy a normalita dat
 Normalita dat je jedním z předpokladů tzv. parametrických testů (testů založených na
předpokladu nějakého rozložení) – např. t-testy
 Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro
výpočet (t-rozložení) a test tak může lhát
 Řešením je tedy:
 Transformace dat za účelem dosažení normality jejich rozložení
 Neparametrické testy – tyto testy nemají žádné předpoklady o rozložení dat
Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test
2 skupiny dat nepárově: Nepárový t-test Mann Whitney test
2 skupiny dat párově: Párový t-test Wilcoxon test, znaménkový test
Více skupin nepárově: ANOVA Kruskal- Wallis test
Korelace: Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Testy normality
 Testy normality pracují s nulovou hypotézou, že není rozdíl mezi zpracovávaným rozložením a normálním
rozložením. Vždy je ovšem dobré prohlédnout si i histogram, protože některé odchylky od normality, např.
bimodalitu některé testy neodhalí.
145 155 165 175 185 195 205 215
0
50
100
150
200
250
•Test dobré shody
V testu dobré shody jsou data rozdělena do kategorií (obdobně jako při tvorbě
histogramu), tyto intervaly jsou normalizovány (převedeny na normální rozložení)
a podle obecných vzorců normálního rozložení jsou k nim dopočítány očekávané
hodnoty v intervalech, pokud by rozložení bylo normální. Pozorované
normalizované četnosti jsou poté srovnány s očekávanými četnostmi pomocí c2
testu dobré shody. Test dává dobré výsledky, ale je náročný na n, tedy množství
dat, aby bylo možné vytvořit dostatečný počet tříd hodnot.
•Kolgomorov Smirnov test
Tento test je často používán, dokáže dobře najít odlehlé hodnoty, ale počítá spíše
se symetrií hodnot než přímo s normalitou. Jde o neparametrický test pro
srovnání rozdílu dvou rozložení. Je založen na zjištění rozdílu mezi reálným
kumulativním rozložením (vzorek) a teoretickým kumulativním rozložením. Měl by
být počítán pouze v případě, že známe průměr a směrodatnou odchylku
hypotetického rozložení, pokud tyto hodnoty neznáme, měla by být použita jeho
modifikace – Lilieforsův test.
•Shapiro-Wilk`s test
Jde o neparametrický test použitelný i při velmi malých n (10) s dobrou sílou
testu, zvláště ve srovnání s alternativními typy testů, je zaměřen na testování
symetrie.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Šikmost a špičatost jako testy normality
 Parametry normálního rozložení, skewness a kurtosis mohou být využity pro
testování normality, ale pouze pro velké vzorky (šikmost – 100, špičatost – 500).
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Rootgram Rootgram
deviation
deviation
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 10 20 305 15
Pb
25
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 20 8040
Zn
60
Grafická diagnostika normality
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Hanging Histobars. Hanging Histobars.
frekvence
frekvence
0
-0, 05
0
0,1
-0,1
0,2
-50 10 20
Pb
30
0,05
0,15
0
-0,28
-0,8
0,12
-0,48
0,32
-50 -10 10 30
Zn
50 70 90
Grafická diagnostika normality
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Cumulativepercent
Cumulativepercent
Normal Probability Plot Normal Probability Plot
5
20
80
1
99
50
95
0,1
0 20 40
Zn
60
99,9
80
5
20
80
1
99
50
95
0,1
0 10 20
Pb
305 15 25
99,9
Grafická diagnostika normality
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
0,1
0,15
0,05
0,2
0,25
0 10 20
Pb
25
0,3
305 15
0,2
0,4
0,6
0 20 40
Zn
60
0,8
80
Frequency Histogram Frequency Histogram
Frequency
Frequency
Grafická diagnostika normality