logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody
Fisherův přesný test
McNemar test
Kontingenční tabulky

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Anotace
—Analýza kontingenčních tabulek umožňuje analyzovat vazbu mezi dvěma kategoriálními proměnnými.
Základním způsobem testování je tzv. chi-square test, který srovnává pozorované četnosti kombinací
kategorií oproti očekávaným četnostem, které vychází z teoretické situace, kdy je vztah mezi
proměnnými náhodný.
—Test dobré shody je využíván také pro srovnání pozorovaných četností proti očekávaným četnostem
daným určitým pravidlem (typickým příkladem je Hardy-Weinbergova rovnováha v genetice)
—Specifickým typem výstupů odvozených z kontingenčních tabulek jsou tzv. odds ratia a relativní
rizika, využívaná často v medicíně pro identifikaci a popis rizikových skupin pacientů.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
+
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
1. jev
2. jev
-
2
-
+
…
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
2
-
∑

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie
Binomické jevy (1/0)
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
+
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
I. jev 1
II. jev 2
-
2
-
Příklad
10 000 lidí hází mincí           rub: 4 000 případů (R)
                                            líc: 6 000 případů (L)
Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný
(nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1 ?
 Rozdíl je vysoce statisticky významný (p << 0,001]
Tabulková hodnota:

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody: příklad I
   H0: Pozorovaná frekvence pro jednotlivé barvy květů jsou vzorkem populace mající poměr mezi
   žlutými a červenými květy 3 :1.
   Součet frekvencí u obou barev květů (fi) se rovná 100 a pozorované frekvence u kategorií barvy
   budou srovnány s očekávanými frekvencemi (uvedeny v závorkách):
   Ověřte na datech z pokusu se 100 květinkami určitého druhu, že barva květů se geneticky štěpí v
     poměru žlutá : červená = 3 : 1.
Kategorie barvy
Žlutá
Červená
n
f poz.
84
16
100
f oček.
75
25
St. volnosti = n = k - 1 = 1
Zamítáme hypotézu shody srovnávaných četností
Při testování H0 jsme použili matematický zápis (0,025 < P < 0,05). Z tabulek c2 rozložení vidíme,
že pravděpodobnost překročení hranice 2,706 je 0,1 (10 %), což může být stručně zapsáno jako
P (c2 ³ 2,706) = 0,10.
Dále lze zjistit pro P (c2 ³ 3,841) = 0,05. V řešené úloze jsme dospěli k hodnotě testové
statistiky c2 = 4,320. Pro tento případ lze tedy psát 0,025 < P (c2 ³ 4,320) < 0,05; a jednodušeji
0,025 < P < 0,05. Jde v podstatě o přibližné určení hranic chyby 1. druhu.

logo-IBA ü
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Celkem bylo zkoumáno 250 semen určitého druhu rostliny a roztříděno do následujících kategorií:
žluté/hladké; žluté/vrásčité; zelené/hladké; zelené/vrásčité. Předpokládaný poměr výskytu těchto
kategorií v populaci je 9 : 3 : 3 : 1. Následující tabulka obsahuje původní data z pozorování a
dále postup při testování H0.
   Tento příklad je rozšířením problému z příkladu 1 na srovnání pozorovaných a očekávaných
frekvencí pro více kategorií sledovaného znaku:
žluté/hladké
žluté/vrásčité
zelené/hladké
zelené/vrásčité
n
f poz.
152
39
53
6
250
f oček.
140,6250
46,8750
46,8750
15,6250
n = k - 1 = 3
Zamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými
Test dobré shody: příklad II

logo-IBA ü
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Předpokládejme, že chceme pro data z předchozí úlohy testovat hypotézu existence štěpného poměru 9
: 3 : 3 pro první tři kategorie semen:
Složitější příklady řešené srovnáváním frekvencí je možné rozdělit na testování dílčích hypotéz:
žluté/hladké
žluté/vrásčité
zelené/hladké
n
f poz.
152
39
53
244
f oček.
146,400
48,800
48,800
n = k - 1 = 2
Nezamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými.
Nyní otestujeme hypotézu štěpného poměru kategorií zelené/vrásčité:ostatní typy = 1:15
zelené/vrásčité
ostatní
n
f poz.
6
244
25
f oček
15,625
234,375
n = k - 1 = 1
Zamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými.
Test dobré shody: příklad III

logo-IBA
—Máme dvě nominální veličiny, X (má r variant) a Y (má s variant)
—Kontingenční tabulka typu r x s
—
—
—
—
—
—
—
—Označení:
     njk- simultánní absolutní četnost,
     nj.- marginální absolutní četnost
—
—
Kontingenční tabulka I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
y[1]
…..
…..
y[s]
nj.
x[1]
n11
…..
.....
n1s
n1.
.
.
…..
…..
.
.
.
.
…..
…..
.
.
x[r]
nr1
…..
…..
nrs
nr.
n.k
n.1
.
.
n.s
n
x[j]
y[k]

logo-IBA
Kontingenční tabulka II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
—Kontingenční tabulka umožňuje testování následujících hypotéz:
—
1.Hypotézu o nezávislosti,
2.Hypotézu o shodnosti struktury (test homogenity)
3.Hypotézu o symetrii
—
—
—
—
—
—
—
—

logo-IBA
Testování nezávislosti I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
—Motivace: Souvisí spolu výskyt dvou nominálních znaků měřených na jediném výběru?
—Příklad: Barva očí (modrá, zelená, hnědá) a barva vlasů (hnědá, černá, blond) u vybraných 30
studentů jsou nezávislé.
—Nulová hypotéza: Znaky X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
—Alternativní hypotéza: Znaky X a Y jsou závislé náhodné veličiny.
—Test: Pearsonův chí-kvadrát
—
—
—
     Očekávané (teoretické) četnosti ejk :
•H0 zamítáme na hladině významnosti α, pokud
•Předpoklady testu ?
H0 platí

logo-IBA
Testování nezávislosti II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
—Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu:
1.Jednotlivá pozorování shrnutá v kontingenční tabulce jsou nezávislá, tj. každý prvek patří jen do
jedné buňky kont. tabulky, nemůže zároveň patřit do dvou.
2.Podmínky dobré aproximace: Očekávané (teoretické) četnosti jsou aspoň v 80 % případů větší nebo
rovné 5 a ve 100 % případů nesmí být pod 2. (Pokud není tento předpoklad splněn, je vhodné sloučit
kategorie s nízkými četnostmi).
—Měření síly závislosti:
       Cramérův koeficient:
        Význam hodnot: 0-0,1….zanedbatelná závislost
                                           0,1-0,3…slabá závislost
                                           0,3-0,7…střední závislost
                                           0,7-1 silná závislost
•
1.
1.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kontingenční tabulky
 H0 :Nezávislost dvou jevů A a B
Kontingenční tabulka
2 x 2
N = a + b + c + d
+
-
Podíl (+)
+
a
b
-
c
d
Podíl (+)
B
A
p1
p2
Očekávané četnosti:

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kontingenční tabulky: příklad
FA = 102 * 30 / 166 = 18,43
FB = 102 * 136 / 166 = 83,57
FC = 11,57
FD = 52,43
Ano
Ne
S
Ano
20
82
102
Ne
10
54
64
S
30
136
166
gen
…
Kontingenční tabulka v obrázku
Gen: ANO
Gen: NE

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica I
—Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti genu a stavu pacienta. Simultánní
četnosti znázorněte graficky.
•
1.
1.
• V menu Statistics zvolíme
Basic statistics,
Vybereme Tables and banners

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica II
• Vybereme proměnné, které chceme testovat

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica III
• Na záložce Options zaškrtneme Expected frequencies (Očekávané četnosti)
(k ověření podmínek dobré aproximace)
•
•
• Zaškrtneme Pearsonův
 chí-kvadrát
• Pokud chceme vypočítat
i Cramérův koeficient
zaškrtneme
Phi & Cramer‘s V
• Poté se vrátíme na záložku Advanced,
kde a zvolíme Detailed two-way tables
•

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica IV
Tab.1: Pozorované četnosti
Jsou splněny podmínky dobré aproximace?

Tab. 3: Paersonův chí-kvadrát
p- hodnota
Hodnota testové statistiky
Počet stupňů volnosti
http://files.mscck-trmice.webnode.cz/200000297-22250231ed/vyk%C5%99i%C4%8Dn%C3%ADk.png
ANO
Tab. 2: Očekávané četnosti

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
R x C kontingenční tabulka
Výběr: N lidí ze sociologického průzkumu (delikventi)
Jev A: Původ z rozvrácených rodin
Jev B: Stupeň zločinnosti I < II < III < IV
I.
II.
III.
IV.
S
číslo 1
ANO
a
b
c
d
NE
e
f
g
h
   S
A
B
číslo2
Stupně volnosti:
 (R-1) * (C-1) = 1 * 3 = 3
Tabulky:
Očekávané četnosti:

logo-IBA
—Máme dvě nominální veličiny, X (má dvě varianty) a Y (má dvě varianty)
—Kontingenční tabulka typu 2 x 2
—
—
—
—
—
—Definice: podíl šancí (odds ratio)
       Jestliže asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti
       neobsahuje 1, pak hypotézu o nezávislosti zamítáme na hladině významnosti α.
—Test: Fisherův přesný (exaktní) test  (slouží též k testování v tabulce r x s, když nemáme splněny
podmínky dobré aproximace)
—
Čtyřpolní tabulky
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
y[1]
y[2]
nj.
x[1]
a
b
a+b
x[2]
c
d
c+d
n.k
a+c
b+d
n
Výsledek pokusu
okolnosti
nj.
I
II
úspěch
a
b
a+b
neúspěch
c
d
c+d
n.k
a+c
b+d
n

logo-IBA
Řešení v softwaru Statistica:
Fisherův přesný test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Na záložce Options zaškrtneme
Fisher exact
•
• Výstupní tabulka
Pro jednostranný test
http://files.mscck-trmice.webnode.cz/200000297-22250231ed/vyk%C5%99i%C4%8Dn%C3%ADk.png
Pro oboustranný test

logo-IBA
Testování homogenity
(testování shody struktury)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
—Motivace: Zajímá nás výskyt nominálního znaku u r nezávislých výběrů z r různých populací.
—Příklad: Je zájem o sport stejný u děvčat jako u chlapců?
—Nulová hypotéza: pravděpodobnostní rozdělení kategoriální proměnné je stejné v různých populací
—Test: Pearsonův chí-kvadrát
—
Dívky
Chlapci
Zájem
 o sport
Ano
a
b
a+b
Ne
c
d
c+d
a+c
b+d
n
Některé marginální četnosti (buď sloupcové nebo řádkové)
jsou předem pevně stanoveny

logo-IBA
Testování homogenity: příklad I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Očkování proti chřipce se zúčastnilo 460 dospělých, z nichž 240 dostalo očkovací látku proti
chřipce a 220 dostalo placebo. Na konci experimentu onemocnělo 100 lidí chřipkou, 20 z nich bylo z
očkované skupiny a 80 z kontrolní skupiny. Je to dostatečný důkaz, že očkovací látka byla účinná?
Nulová hypotéza: Procento výskytu chřipky je v očkované a kontrolní skupině stejné.

logo-IBA
Test hypotézy o symetrii
(McNemarův test pro čtyřpolní tabulku)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
—Motivace: Na osobách sledujeme binární proměnnou před pokusem a po něm, cílem je zjistit, zda
došlo ke změně v rozdělení této proměnné.
—Analýza párových dichotomických proměnných
—
—
—
—
—
—
—Nulová hypotéza:               , pokus nemá vliv na výskyt daného znaku
—Testová statistika:                              pokud je větší než kritická hodnota rozdělení o
jednom stupni volnosti (vhodné pro počty údajů b+c > 8), pak nulovou hypotézu zamítáme
—
—
po
+
-
nj.
před
+
a
b
a+b
-
c
d
c+d
n.k
a+c
b+d
n
Četnostní tabulka
Tabulka teoretických pravděpodobností
po
+
-
před
+
p11
p12
p1.
-
p21
p22
p2.
p.1
p.2

logo-IBA
Mc Nemarrův test: příklad I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Zjistěte, zda výuka o pozitivním působení sportu na zdraví vede ke změně postojů žáků ke
sportování.
Nulová hypotéza: Počet žáků, kteří změní svůj postoj pozitivním směrem, je pouze náhodně odlišný od
počtu žáků, kteří změní svůj postoj negativním směrem.
Závěr: Výuka má pozitivní vliv na postoj žáků vzhledem k provozování sportu.
Postoj po výuce
+
-
Postoj před výukou
+
5
3
8
-
16
2
18
21
5
26
Tabulky:
H0 zamítnuta