logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Biostatistika
Opakování
Shrnutí statistických testů
Neparametrické testy

logo-IBA
•Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
•
Co byste měli umět z minula:
1.Vybrat typ parametrického testu – jednovýběrový, párový nebo dvouvýběrový?
2.Ověřit předpoklady parametrických testů (normalitu, shodu rozptylů; graficky i pomocí testů).
3.Provést testování v softwaru Statistica.
4.Interpretovat výsledky testování.
5.
5.

logo-IBA
Základní rozhodování o výběru statistických testů
 - co jsme probírali minule
Typ dat
Spojitá x spojitá data
Spojitá x kategoriální data
Kategoriální x kategoriální data
Jeden výběr
Dva výběry
Tři a více výběrů (nepárově)
Jeden výběr
Více výběrů
Párová data
Nepárová data
Pearsonův koeficient
Jednovýběrový
t-test, z-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová data
Chí-kvadrát test
Spearmanův koeficient
Wilcoxonův / znaménkový test
Wilcoxonův / znaménkový test
Mannův-Whitneyův / mediánový t.
Kruskalův-Wallisův test / mediánový t.
Jednovýběrový binomický test
McNemarův test
Fisherův exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek

logo-IBA
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- co budeme probírat dnes
Typ dat
Spojitá x spojitá data
Spojitá x kategoriální data
Kategoriální x kategoriální data
Jeden výběr
Dva výběry
Tři a více výběrů (nepárově)
Jeden výběr
Více výběrů
Párová data
Nepárová data
Pearsonův koeficient
Jednovýběrový
t-test, z-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová data
Chí-kvadrát test
Spearmanův koeficient
Wilcoxonův / znaménkový test
Wilcoxonův / znaménkový test
Mannův-Whitneyův / mediánový t.
Kruskalův-Wallisův test / mediánový t.
Jednovýběrový binomický test
McNemarův test
Fisherův exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Parametrické vs. neparametrické testy
Parametrické testy
Neparametrické testy
•Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
•Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické
•Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla testu prudce klesá a
výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný
•Vyžadují méně předpokladů o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při asymetrickém
rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení
•Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat, kdy
neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí
•Souvisí s malou velikostí souboru (nejsme schopni normalitu dat ověřit)
http://files.mscck-trmice.webnode.cz/200000297-22250231ed/vyk%C5%99i%C4%8Dn%C3%ADk.png
Proč nemusí parametrický a neparametrický test vyjít stejně?

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový Wilcoxonův test
Jednovýběrový znaménkový test
1. Statistické testy o parametrech jednoho výběru

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový Wilcoxonův test
•Předpokladem je symetrické rozdělení dat kolem mediánu.
•Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je
x0.5 reprezentováno mediánem rozdílu hodnot)
H0: x0.5=c  proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1.Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2.Absolutní hodnoty rozdílů uspořádáme vzestupně a přiřadíme jim pořadí.
3.Spočítáme statistiky Sw+ a Sw-, které odpovídají součtu pořadí kladných (Sw+) a záporných rozdílů
(Sw-). Jako finální hodnotu testové statistiky bereme minimum z Sw+ a Sw-. Nulovou hypotézu
zamítáme, pokud hodnota testové statistiky menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě (při dané
hladině významnosti a počtu nenulových rozdílů).
nebo
3.Pro N > 30 lze využít asymptotické normality statistiky Sw+
4.
4.
4.
Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový znaménkový test
•Lze použít v situaci, kdy není splněn předpoklad symetrie rozdělení kolem mediánu.
•Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je
x0.5 reprezentováno mediánem rozdílu hodnot)
H0: x0.5=c  proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1.Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2.Spočítáme statistiku Sz+, která odpovídá počtu kladných rozdílů → test nevyužívá hodnot pořadí
původních dat ale pouze informaci, zda se hodnota realizuje nad nebo pod mediánem → dochází ke
snížení síly testu
3.Nulovou hypotézu zamítáme, pokud statistika Sz+ realizuje v kritickém oboru hodnot
W=(0,k1)U(k2,n), kde n odpovídá počtu nenulový rozdílů a hodnoty k1 a k2 lze dohledat v
matematických tabulkách.
nebo
3.Pro N > 20 lze využít asymptotické normality statistiky Sz+.
4.
4.
4.
Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.

logo-IBA
—U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než byli
sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že medián čekací
doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový  test
http://nd01.jxs.cz/175/785/67893df7b8_4453866_o2.jpg

logo-IBA
—U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než byli
sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že medián čekací
doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový  test
– Wilcoxonův test
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián
rozdíl
|rozdíl|
pořadí
1
1
30
-29
29
15
2
45
30
15
15
10
3
25
30
-5
5
3.5
4
15
30
-15
15
10
5
34
30
4
4
2
6
19
30
-11
11
8
7
31
30
1
1
1
8
25
30
-5
5
3.5
9
8
30
-22
22
14
10
12
30
-18
18
12
11
20
30
-10
10
6
12
15
30
-15
15
10
13
40
30
10
10
6
14
20
30
-10
10
6
15
10
30
-20
20
13
Sw+=19
Sw-=101
min (Sw+,Sw-)=19
Kritická hodnota w15(0,05)=25
Hodnota testové statiky je menší
než  kritická hodnota → zamítáme H0

logo-IBA
—U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než byli
sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že medián čekací
doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový  test
– Znaménkový test
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián
rozdíl
Větší než medián?
1
1
30
-29
Ne
2
45
30
15
Ano
3
25
30
-5
Ne
4
15
30
-15
Ne
5
34
30
4
Ano
6
19
30
-11
Ne
7
31
30
1
Ano
8
25
30
-5
Ne
9
8
30
-22
Ne
10
12
30
-18
Ne
11
20
30
-10
Ne
12
15
30
-15
Ne
13
40
30
10
Ano
14
20
30
-10
Ne
15
10
30
-20
Ne
Sz+=4
Kritický obor: W=(0,3)U(12,15)
Hodnota statistiky se realizuje mimo
kritický obor hodnot → nezamítáme H0

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica I
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics,
vybereme Comparing two
dependent samples (groups)
2
• Datový soubor si připravíme tak, že první proměnná obsahuje testované hodnoty a druhá proměnná
medián, který chceme testovat

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
(testovaný parametr, medián)
• Kliknutím na Sign test a následně
Wilcoxon matched pair test získáme výsledky znaménkového a jednovýběrového Wilcoxonova testu
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica II
3
2

logo-IBA
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica III
Počet nenulových rozdílů
Testová statistika: min (Sw+,Sw-)
Statistika a p-hodnota pro asymptotickou variantu testu (používat pouze pro N > 30)
Počet nenulových rozdílů
Podíl hodnot menších než testovaný medián
Statistika a p-hodnota pro asymptotickou variantu testu (používat pouze pro N > 20)
1) Výstup Wilcoxonova testu
2) Výstup znaménkového testu

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Nepárový Mannův-Whitneyův test
Párový Wilcoxonův a znaménkový test
2. Statistické testy o parametrech dvou výběrů

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
•Neparametrická alternativa dvouvýběrového t-testu.
•Počítá s pořadím dat v souborech namísto s originálními daty.
•Předpoklad: rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve skupinách se může lišit pouze posunutím.
Postup:
1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu (F(x)=distribuční funkce):
H0: F(x1)=F(x2)
H1: F(x1)≠ F(x2).
2.Čísla obou souborů jsou sloučena a je určeno jejich pořadí v tomto sloučeném souboru.
3.Pro oba výběry zvlášť je spočítán součet pořadí (T1 a T2).
4.Ze součtů pořadí ve skupinách je určena finální hodnota testové statistiky U.
5.
5.
5.
5.
5.Hodnotu testové statistiky U porovnáme s kritickou hodnotou testu, pokud je tato hodnota menší
než kritická hodnota testu, zamítáme nulovou hypotézu shody distribučních funkcí obou skupin.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
– asymptotická varianta
5.Pro velká n1 a n2 (>30) lze využít asymptotické normality statistiky U.
6.
6.
6.Pro testování lze využít Z-statistiky:
7.
7.
7.
7.
7.Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu o shodnosti distribučních funkcí.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
X1
X2
ALL
Rank ALL
X1 rank
X2 rank
27
25
25
5
6
5
35
29
29
7,5
11
7,5
38
31
31
9
13
9
37
23
23
4
12
4
39
18
18
2
14
2
29
17
17
1
7,5
1
41
32
32
10
15
10
19
19
3
3
27
6
35
11
38
13
37
12
39
14
29
7,5
41
15
Mann Whitney U-test
• Stejně jako řada jiných neparametrických testů počítá i tento test s pořadím dat v souborech
namísto s originálními daty. Jde o neparametrickou obdobu nepárového t-testu a z těchto
neparametrických testů má nejvyšší sílu testu (95% párového t-testu).
• V případě Mann-Whitney testu jsou nejprve čísla obou souborů sloučena a je vytvořeno jejich
pořadí v tomto sloučeném souboru, pak jsou hodnoty vráceny do původních souborů a nadále se pracuje
již jen s jejich pořadím.
• Pro oba soubory je tedy vytvořen součet pořadí a menší z obou součtů je porovnán s kritickou
hodnotou testu, pokud je tato hodnota menší než kritická hodnota testu, zamítáme nulovou hypotézu
shody distribučních funkcí obou skupin.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 2: Mannův-Whitneyův U test
—17 štěňat bylo trénováno v chození na záchod metodou pozitivní motivace (pochvala, když jde na
záchod venku) nebo negativní motivace (trest, když jde na záchod doma). Jako parametr bylo měřeno,
za kolik dní je štěně vycvičeno. —Nulová hypotéza je, že není rozdíl v metodách tréninku, tedy, že
oběma metodami je štěně vycvičeno za stejnou dobu. —Po srovnání rozložení + kvůli nízkému počtu
hodnot je vhodné použít neparametrický test.
—Je vytvořeno pořadí hodnot v kompletním souboru.
—Hodnota testové statistiky je určena ze součtu pořadí hodnot v jednotlivých skupinách.
—
—
—Jak dopadne testování?
http://www.mojestarosti.cz/poradna/images/mconsult/images/1339688205_pes.jpg

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica I
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics ,
vybereme Comparing two
independent samples (groups)
2

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlighting-
Úroveň p lze změnit
• Kliknutím na Mann-Whitney U test,
nebo na M-W U test
získáme výstupy
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica II

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Součet pořadí T1
Součet pořadí T2
Hodnota testové statistiky
Hodnota Z statistiky
Asymptotická p-hodnota
Přesná p-hodnota
(použít, jestliže rozsah výběru je menší než 30)
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica III

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Párový Wilcoxonův a znaménkový test
—Vycházíme z rozdílů  párových hodnot a přecházíme na design jednovýběrových testů
•Testuje, zda je medián diferencí (D) párových hodnot roven hodnotě c H0: D0.5=c  proti H1: D0.5�
c.
—Wilcoxonův párový test
1.Spočítáme rozdíly diferencí výběru s testovanou hodnotou mediánu  = c.
2.Absolutní hodnoty rozdílů uspořádáme vzestupně a přiřadíme jim pořadí.
3.Spočítáme statistiky Sw+ a Sw-, které odpovídají součtu pořadí kladných (Sw+) a záporných rozdílů
(Sw-). Jako finální hodnotu testové statistiky bereme minimum z Sw+ a Sw-. Nulovou hypotézu
zamítáme, pokud hodnota testové statistiky menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě (při dané
hladině významnosti a počtu nenulových rozdílů).
—Znaménkový párový test
1.Spočítáme rozdíly diferencí výběru s testovanou hodnotou mediánu = c.
2.Spočítáme statistiku Sz+, která odpovídá počtu kladných rozdílů → test nevyužívá hodnot pořadí
původních dat ale pouze informaci, zda se hodnota realizuje nad nebo pod mediánem → dochází ke
snížení síly testu
3.Nulovou hypotézu zamítáme, pokud statistika Sz+ realizuje v kritickém oboru hodnot
W=(0,k1)U(k2,n), kde n odpovídá počtu nenulový rozdílů a hodnoty k1 a k2 lze dohledat v
matematických tabulkách.
4.
—

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 3: Wilcoxonův párový test
pacient
Před podáním léku
Po podání léku
Diference (D)
Pořadí
1
142
138
4
4,5
2
140
136
4
4,5
3
144
147
-3
3
4
144
139
5
7
5
142
143
-1
1
6
146
141
5
7
7
149
143
6
9,5
8
150
145
5
7
9
142
136
6
9,5
10
148
146
2
2
Sw+  …..součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů = 51
Sw-  …..součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů = 4
                         min(Sw+;Sw-) = 4
                              počet párů = n = 10
              wn(α)= w10(0,05)=8
•Na 5% hladině významnosti testujte, zda se liší hladina krevního parametru
před a po podání léku. H0: D0.5=0  proti H1: D0.5≠ 0.
Hodnota testové statiky je menší
než  kritická hodnota → zamítáme H0

logo-IBA
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
3
• V menu Statistics zvolíme Nonparametrics ,
vybereme Comparing two dependent samples (variables)
2
Pozn.: Pokud bychom chtěli testovat c různé od 0, musíme vstupní data uspořádat tak, že první
proměnná bude obsahovat diference párových hodnot a druhá proměnná testovanou hodnotu mediánu c.

logo-IBA
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlighting-
Úroveň p lze změnit
• Kliknutím na Wilcoxon matched pairs test,
získáme výstupy:
Rozsah výběru
Hodnota testovací statistiky
Hodnota asymptotické testové statistiky
Asymptotická p-hodnota
POZOR: podmínka pro použití
asymptotické p-hodnoty je: n≥ 30

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlighting-
Úroveň p lze změnit
• Kliknutím na Sign test (párový znaménkový test) získáme výstupy:
Hodnota asymptotické testové statistiky
Asymptotická p-hodnota
Počet nenulových hodnot, z nich záporných je 20%.
POZOR: podmínka pro použití
asymptotické p-hodnoty je: n > 20
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica III

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test
3. Statistické testy o parametrech tří a více výběrů

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test I
•Neparametrická alternativa analýzy rozptylu (ANOVA)
•
•Zobecnění Mannova-Whitneyova U testu pro více než dvě srovnávané skupiny.
•
•Počítá s pořadím dat v souborech namísto s originálními daty.
•
•Nulová hypotéza předpokládá stejné rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve více skupinách.
•
•Předpoklad: rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve skupinách se může lišit pouze posunutím.

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test II
Postup:
1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu pro k skupin (F(x)=distribuční funkce):
H0: F(x1) = F(x2) = … = F(xk)
H1: alespoň jedna F(xi) se liší od ostatních
2.Čísla obou souborů jsou sloučena a je určeno jejich pořadí v tomto sloučeném souboru.
3.Pro všechny výběry zvlášť je spočítán součet pořadí (T1, T2, … Tk).
4.Ze součtů pořadí ve skupinách je určena finální hodnota testové statistiky Q:
5.
5.
5.Pokud je Q ≥ χ2 (k-1), zamítáme nulovou hypotézu. Pro malé velikosti vzorků určujeme kritický
obor z tabulek pro Kruskalův-Wallisův test.
6.V případě zamítnutí nulové hypotézy pomocí metod  mnohonásobného porovnávání určíme, které
dvojice skupin se liší.
7.

logo-IBA
Příklad 4: Kruskalův-Wallisův test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
http://oranchak.com/three-irises.jpg
Iris virginica
Iris versicolor
Iris setosa
—Bylo získáno 150 kosatců pocházejících ze tří základních tříd: Iris setosa, Iris versicolor, Iris
virginica. Z botaniky je známo že Iris versicolor je hybridem zbývajících dvou druhů. U květů byly
měřeny následující údaje: délka a šířka kališních lístků, délka a šířka korunních plátků.
—Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že délka kališních lístků u třech tříd kosatců se
neliší. Pokud zamítnete nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice tříd se od sebe liší.

logo-IBA
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• nejprve se pomocí grafu podíváme na rozložení dat v rámci srovnávaných  skupin

logo-IBA
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics ,
vybereme Comparing multiple
indep. samples (groups)
2

logo-IBA
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlighting-
Úroveň p lze změnit
• Kliknutím na Summary:
 Kruskal-Wallis ANOVA & Median test
získáme výstupy.
Hodnota testové
statistiky
Počet hodnot
v každém výběru
Součet pořadí hodnot
p-hodnota
Pokud p < 0,05, musíme provést test mnohonásobného porovnání.

logo-IBA
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica III
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
p - hodnoty
Testy mnohonásobného porovnávání
• Kliknutímna Multiple comparisons
of mean ranks for all groups

logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův test
Párový Wilcoxonův test, párový znaménkový test,
Kruskalův-Wallisův test,
Metoda mnohonásobného porovnání
Samostatné cvičení

logo-IBA
1. Příklad k procvičení
—Načtěte data  05_1_priklad. Ke zjištění, zda se liší spotřeba při dvou určitých druzích benzínu
(A, B), bylo vybráno 10 aut, u kterých za jinak stejných zkušebních podmínek byla změřena spotřeba
při použití každého ze dvou druhů benzínu.
1.Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že spotřeba benzínu A i B byla stejná (hladina
významnosti = 0,05).
2.

logo-IBA
2. Příklad k procvičení
—Načtěte data 05_2_priklad. Byl sledován vliv vitamínového doplňku do krmiva na zvyšování váhových
přírůstků u selat. U 19 z 38 selat byl aplikován vitamínový přípravek.
1.Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že porovnávané způsoby výkrmů (1: klasická směs, 2: směs
s vitamínovým doplňkem) se neliší (hladina významnosti = 0,05).
2.

logo-IBA
3. Příklad k procvičení
•Načtěte data 05_3_priklad. Výrobce koláčů má 4 nové recepty (A,B,C,D) a chce zjistit, zda se
jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů od každého druhu a dal je porotě k ohodnocení. Hodnocení
poroty je v následující tabulce:
1.
1.
1.
1.
1.
1.Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že recepty se neliší (hladina významnosti = 0,05). Pokud
nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice receptů se liší.
2.
Recept
Body
A
72
88
70
87
71
B
85
89
86
82
88
C
94
94
88
87
89
D
91
93
92
95
94