7. Odhady populačních průměrů a pravděpodobností



Výběrové a teoretické rozložení
Výběrové rozložení
(N,  ̅x, s)
Teoretické rozložení
(µ, σ)

Motivace
1.všechny tři histogramy kolísají kolem stejného středu
2. čím větší rozsah výběru, tím užší rozdělení
3.rozdělení průměrů pro n = 4 a n = 9 jsou podobnější normálnímu rozdělení než rozdělení původních
dat.
Rozdělení výběrového průměru

Odhady
Bodové
(číslo)
Intervalové
(interval pravděpodobných hodnot)
Výběrový průměr ̄x̄ je bodovým odhadem parametru μ
Výběrová směrodatná odchylka s je bodovým odhadem parametru σ
Relativní četnost p je bodovým odhadem parametru π

Intervalový odhad průměru
-Xi ~ N(μ,σ2) =>  X̅  ~ N(μ,σ2/n)
-Provedeme výběr o rozsahu n a vypočteme x ̅, pak µ leží s pstí 0,95 v intervalu:
-
-
-z = 1,96 kritická hodnota standardizovaného normálního rozložení pro koeficient spolehlivosti P =
0,95
-
-
-
Interval spolehlivosti pro průměr

Simulace
50 výběrů o rozsahu 10
Pouze dva nepokrývají populační průměr

Obecný vzorec pro interval spolehlivosti
•Odhadovaný
•parametr
±
Kvantil
modelového
rozložení
(pro 1-α/2)
x
SE (odhadu)
α
0,1
0,05
0,01
0,001
z1-α/2
1,645
1,960
2,576
3,290
z1-α
1,282
1,645
2,326
3,090
zα
-1,282
-1,645
-2,326
-3,090

Intervalový odhad průměru při neznámé směrodatné odchylce v populaci



Studentovo t-rozdělení
-
-Podobné standardizovanému normálnímu rozdělení
-Symetrické kolem střední hodnoty µ = 0
-Má pouze 1 parametr:
-Stupně volnosti: ν = n-1
-
-

Intervalový odhad populační pravděpodobnosti
-Výběr o rozsahu n, danou vlastnost má r
-Relativní četnost výskytu vlastnosti ve výběru p = r/n
-Pro má relativní četnost výskytu vlastnosti normální rozdělení
-Průměr = pst výskytu v celé populaci (π)
-Směrodatná odchylka =
-95% interval spolehlivosti pro populační pst