Analýza hlavních komponent – příklad

Bylo provedeno měření objemu šedé hmoty  (v cm^3) a objemu likvoru    (v cm^3) u pěti dětí.
Naměřené hodnoty byly zaznamenány do matice :


U tohoto datového souboru proveďte analýzu hlavních komponent.


Řešení:

U analýzy hlavních komponent potřebujeme nejprve spočítat kovarianční matici . Pro výpočet
kovarianční matice potřebujeme znát průměrný objem šedé hmoty a likvoru u   dětí:

Jednotlivé prvky kovarianční matice poté spočítáme následujícím způsobem:

Rozptyl objemu šedé hmoty:

Rozptyl objemu likvoru:

Kovariance objemu šedé hmoty a objemu likvoru:

Kovarianční matice je tedy: .


Nyní spočítáme vlastní čísla a vlastní vektory kovarianční matice – tzn., spočítáme následující
determinant:

Vypočteme charakteristický polynom:

A jeho kořeny, které odpovídají vlastním číslům:




Následně spočítáme vlastní vektor  odpovídající prvnímu vlastnímu číslu :


;  → ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má
jednotkovou délku: .


Spočítáme vlastní vektor  odpovídající druhému vlastnímu číslu :


;  → ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má
jednotkovou délku: .


Vlastní vektory můžeme uspořádat do matice , přičemž pořadí vlastních vektorů odpovídá pořadí
vlastních čísel seřazených od největšího k nejmenšímu.


Nyní vyjádříme hlavní komponenty odpovídající vlastním číslům seřazeným od největšího k nejmenšímu
– hlavní komponenty jsou lineární kombinace původních proměnných, přičemž koeficienty jsou
souřadnice příslušného vlastního vektoru:

1.       hlavní komponenta:  (pro )

2.       hlavní komponenta:  (pro )

Výpočet procent vyčerpané variability:

1.       hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 92,93% variability v datech)

2.       hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 7,07% variability v datech)

Vyčerpanou variabilitu můžeme znázornit i pomocí sutinového grafu:


Dále spočítáme korelace hlavních komponent s původními proměnnými:





První hlavní komponenta je vysoce korelována s objemem likvoru a středně korelována s objemem šedé
hmoty. Druhá hlavní komponenta je středně záporně korelována s objemem šedé hmoty.


Na závěr vypočítáme nové souřadnice původních bodů po transformaci pomocí obou hlavních komponent
spočítaných pomocí PCA:



Souřadnice subjektů můžeme přímo získat i z hlavních komponent – např. pro první subjekt:




Původní data i data po transformaci pomocí PCA si znázorníme:


Pokud bychom k transformaci použili pouze první vlastní vektor, získáváme data v prostoru první
hlavní komponenty: