Inverzní matice
Robert Mařík a Lenka Přibylová
27. července 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
Najděte A-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Najděte A-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Zapíšeme matici A a jednotkovou matici vedle sebe.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Druhý řádek volíme jako klíčový, protože číslo -1 je vhodnější pro
vytváření nul než čísla 6 a 2. Klíčový řádek píšeme jako první.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Upravíme prvek a11 = 6 na nulu.
6
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Upravíme prvek a31 = 2 na nulu.
2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Nový klíčový řádek bude třetí řádek. Napíšeme jej jako druhý v
pořadí.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Upravíme prvek a12 = 1 na nulu.
(-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Upravíme prvek a22 = 2 na nulu.
(-2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Nový klíčový řádek bude řádek poslední.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Druhý řádek zůstane, má nulu na místě a23.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Upravíme prvek a13 = 3 na nulu.
3
(-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A určete matici inverzní A-1
.
A =


6 -4 -17
-1 1 3
2 -1 -6




6 -4 -17 1 0 0
-1 1 3 0 1 0
2 -1 -6 0 0 1

 


-1 1 3 0 1 0
0 2 1 1 6 0
0 1 0 0 2 1





-1 0 3 0 -1 -1
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2

 


1 0 0 3 7 -5
0 1 0 0 2 1
0 0 1 1 2 -2


A-1
=


3 7 -5
0 2 1
1 2 -2


Matice vlevo je ve schodovitém tvaru a inverzní matice je tedy
napravo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Začneme se zadanou maticí a s 3 × 3 jednotkovou maticí.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme a11 = 1 na nulu.
(-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme a31 = 1 na nulu.
(-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme a12 = -1 na nulu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme prvek a32 = 3 na nulu.
(-3)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme a23 = 3 na nulu.
3
4
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Upravíme prvek a13 = 4 na nulu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Vydělíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
K dané matici A najděte matici inverzní A-1
.
A =


1 0 4
1 -1 1
1 2 6




1 0 4 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
1 2 6 0 0 1





1 -1 1 0 1 0
0 1 3 1 -1 0
0 3 5 0 -1 1

 


1 0 4 1 0 0
0 1 3 1 -1 0
0 0 -4 -3 2 1





1 0 0 -2 2 1
0 4 0 -5 2 3
0 0 4 3 -1 -1





1 0 0 -2 2 1
0 1 0 -5/4 2/4 3/4
0 0 1 3/4 -1/4 -1/4

 ;
A-1
=
1
4


-8 8 4
-5 2 3
3 -2 -1


Inverzní matice vznikla v pravé polovině. Z této matice lze
vytknout společný jmenovatel
1
4
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×