Rozklad na parciální zlomky
Lenka Přibylová
23. června 2009
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Obsah
x + 3
x2 + x − 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
x
(x − 1)(x2 + 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší,
než ve jmenovateli.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele. Použijeme buď vzorec
pro kořeny kvadratické rovnice, Hornerovo schema nebo odhad
součinu.
x2
+ x − 2 = (x − 1)(x + 2)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x − 1)(x + 2).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Můžeme vyjádřit A.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Dosadíme x = −2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Můžeme vyjádřit B.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x − 2
x + 3
x2 + x − 2
=
x + 3
(x − 1)(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1 : 4 = A · 3 ⇒ A =
4
3
x = −2 : 1 = B · −3 ⇒ B = −
1
3
x + 3
x2 + x − 2
=
4
3(x − 1)
−
1
3(x + 2)
Máme rozklad na parciální zlomky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Funkce není ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je
stejný (nebo větší), než ve jmenovateli.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Podělíme polynomy v čitateli a jmenovateli
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
a dostáváme polynom a ryze lomenou funkci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Na parciální zlomky budeme rozkládat jen ryze lomený zbytek.
Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele podle vzorce.
x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Každému kořenovému činiteli včetně násobnosti přísluší jeden
parciální zlomek.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x + 1)2
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = −1. Dostáváme
hodnotu B.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo porovnáme
koeficienty. U x0
stojí na obou stranách rovnice stejné koeficienty.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Můžeme vyjádřit A.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
−x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
−3x + 3
x2 + 2x + 1
−(x2
+2x+1)
−3x +3
−3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
−3x + 3 = A(x + 1) + B
x = −1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6 ⇒ A = −3
x2
− x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 −
3
x + 1
+
6
(x + 1)2
Máme rozklad na parciální zlomky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší,
než ve jmenovateli. Jmenovatel již je rozložen na kořenové činitele,
protože x2
+ 2 = 0 má pouze komplexní kořeny.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek,
nerozložitelnému kvadratickému činiteli také.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x − 1)(x2
+ 2).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Můžeme vyjádřit A.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo porovnáme
koeficienty. U x2
stojí na obou stranách rovnice stejné koeficienty.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Můžeme vyjádřit B.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Zbývá vyjádřit C. Protože C se objevuje u první i nulté mocniny x,
můžeme si mocninu vybrat. Vezmeme např. x1
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Dostáváme C.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x − 1)(x2 + 2)
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x − 1)
x = 1 : 1 = A · 3 ⇒ A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B ⇒ B = −
1
3
x1
: 1 = −B + C =
1
3
+ C ⇒ C =
2
3
x
(x − 1)(x2 + 2)
=
1
3(x − 1)
+
−x + 2
3(x2 + 2)
Máme rozklad na parciální zlomky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×
Konec
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2009 ×