Maticový počet
c   d      \g h/
'a+e b+f^ c+g d+h
'ae+bg af+bh" ce+dg cf+dh
'ea+fc e&+/cT ga+hc gb+hd
'ae+bf ce+df
(e   /) = (ea+fc eb+fd)
(c d)
ca + bd
Maticový počet v geometrické optice
Pokusíme se sestavit jednoduchý formalizmus, který by nám v rámci geometrické optiky umožnil jednotným a přehledným způsobem studovat vlastnosti optických soustav. Chod paprsků optickou soustavou je v přiblížení geometrické opticky podřízen pouze Snellovu zákonu; pro dvě prostředí o indexech lomu n, n', oddělená rovinným rozhraním platí
n sin o: = n' sine/,
kde a a a' jsou normálové úhly, po kterými se paprsky šíří v příslušných prostředích.
Z důvodů goniometrických funkcí, které ve Snellově zákonu vystupují je však poměrně obtížné i poměrně jednoduché optické soustavy trasovat analytickým výpočtem. Pokusíme se tedy využít paraxiálního přiblížení, které Snellův zákon linearizuje do tvaru
na=n'a',
a výpočty tak výrazně ulehčuje. Cenou za tuto aproximaci bude nutnost zdržovat se v blízkosti optické osy a pod malými úhly k ní (tyto úhly přitom musíme měřit v radiánech).
Dále budeme předpokládat, že zkoumaná soustava je osově symetrická, tedy že existuje společná osa, na které jsou všechno optické elementy centrovány, pro jednoduchost budeme uvažovat pouze kulové povrchy (toto omezení v sobě samozřejmě zahrnuje i povrch rovinný jako speciální případ koule s velkým poloměrem).
Každý paprsek v takovém systému je popsán dvěma parametry: svou okamžitou vzdáleností h od optická osy a úhlem 7, který aktuálně s optickou osou svírá. Tyto dva parametry lze pohodlně sestavit do sloupcového vektoru
(h)
a optickou soustavu M chápat jako předpis, který vstupní světlo transformuje na světlo výstupní:
Index lomu (v aktuálním místě, kde se paprsek nachází) byl do sloupcového vektoru přidán především z matematických důvodů (jak uvidíme později), na druhou stranu jedná se o třetí a poslední parametr, který se k šíření paprsku vztahuje, takže jeho explicitní uvedení má i fyzikální smysl.
Vzhledem k linearitě paraxiálního přiblížení se ukazuje, že M musí být matice 2x2,
Uvažujme tedy průchod dvěma po sobě jdoucími úseky optické soustavy,
(nv) = Ml (n7) (n"7") = m' («y) '
Příjemným důsledkem paraxiální aproximace pak bude skutečnost, že celkový průchod optickou soustavou se spočte jednoduše pomocí maticového násobení:
(ní") = M' (nv) = M^M' (i) •
musíme jen vždy myslet nato, že matice se do součinu M=...M2Mi řadí zdánlivě v opačném pořadí, než odpovídá průletu soustavou. Pokud se však na zápis podíváme pozorněji, zjistíme, že je to správně: díky řazení matic zprava doleva světlo
nejprve 'narazí' na matici Mi první části soustavy, teprve potom na M2 druhé části atd. Zároveň je vidět, že zavedení indexu lomu do sloupcového vektoru pro světlo nepředstavuje zásadní komplikaci - všechny vnitřní součiny se vykompenzují a zůstane jen index lomu před soustavu a za ní.
Zavedený formalizmus je velmi názorný: jakýkoliv sloupcový vektor představuje světlo, jakákoliv matice představuje optický prvek. Vynásobíme-li několik matic za sebou, získáme opět matici, čili kombinace optických prvků je opět optický
prvek. Vynásobíme-li matici a sloupcový vektor, získáme sloupcový vektor, čili po průchodu světla optickým prvkem nám zůstane opět světlo.
Když se zamyslíme nad dalším postupem, uvědomíme si, že z optického hlediska se průchod světla libovolně složitým optickým systémem sestává pouze ze dvou motivů: světlo buďto letí homogenním prostředím, nebo se láme na rozhraní. Pokud by se nám podařilo najít matice popisující tyto dva typy chování, dokázali bychom s jejich pomocí paraxiálně trasovat libovolnou optickou soustavu.
Zaměřme se nejprve na jednodušší případ pohybu světla v homogenním prostředí o indexu lomu n mezi dvěma obecně zakřivenými povrchy. Vzhledem k paraxiálnímu přiblížení (paprsky jsou blízko optické osy) není potřeba uvažovat zakřivení povrchů a všechny paprsky mezi nimi urazí stejnou horizontální vzdálenost d. Vzniklou matici označíme jako translační, t.
Především je zřejmé, že přímočarým letem parsek nezmění svůj úhel vůči optické ose,
Í = 7-
Změna vzdálenosti od optické osy je pak jednoduše dána jako
h! — h=ďy,
kde bylo využita paraxiálního vztahu tan7=7. Uvedené dvě podmínky dávají potřebné komponenty translační matice, snadno se ověří, že
(»v) - t (i) - *=(;?)•
kde samozřejmě v tomto případě navíc platí n'=n.
Odvození refrakční matice je o něco komplikovanější. Zcela jistě se při refrakci nezmění poloha paprsku vůči optické ose,
tí = h. (1)
Díky skutečnosti, že uvažujeme kulové povrchy, se tato vzdálenost dá propojit s poloměrem křivosti rozhraní,
h=rô, (2) kde jsme opět využili přibližného paraxiálního vyjádření tanô=ô.
R   \ Konečně budeme muset nyní pečlivě rozlišovat úhly šíření paprsků (měří se vzhledem
k optické ose) a uhry pro Snellův zákon (měří se vzhledem ke kolmici k rozhraní). Zde opět využijeme zjednodušení, které přináší zahrnutí pouze kulových povrchů: v takovém (a pouze v takovém) případě je totiž normála povrchu totožná s poloměrem koule v místě dotyku paprsku. Konkrétně Snellův zákon přináší
na=n'a'.
K dalšímu postupu potřebujeme jednotlivé úhly vyskytující se v úloze propojit. Za tím účelem si přeneseme přilétající paprsek i za rozhraní. Nyní je zřejmé, že platí
a = a' + 7 — 7' (4)
Zároveň si můžeme přenést úhel ô před rozhraní, pak vidíme, že platí
a = 7 + Ô. (5)
Získané informace jsou již dostatečné ke stanovení refrakční matice r.
Nejprve s pomocí paraxiálního Snellova zákona (3) vyloučíme úhel a' z (4)
n ,
Oi = —a + 7 — 7 , n'
a dosadíme za a z (5):
(1-^)° = (1-^)^+*) = ľ-v-
n' /        v n Nakonec dosadíme za ô z (2) a členy vhodně přerovnáme,
n \ f      h\ n      n' — n h ,
1--7) n+_   =^--7^+-;--= 7 - 7 •
n' J \      r J n' n' r
Členy 7 se vyruší a můžeme přenásobit indexem lomu n' do konečného tvaru
h
n''7' = rry — (n' — n)-
r
Spolu s podmínkou (1), h' = h, umožňuje poslední rovnice již sestavit refrakční matici,
(v/)=r() pro r = í   n' — n
\n'i)        \n~ŕj ^ \--1
\ f
Levý spodní člen v refrakční matici má (až na znaménko) význam mohutnosti rozhraní (f (v dioptriích),
n' — n
r
takže refrakční matici můžeme také napsat jako
tohoto tvaru budeme využívat v našich výpočtech. U poloměru křivosti rozhraní je potřeba dodržovat standardní znaménkovou konvenci: leží-li střed křivosti po směru letu světla, má znaménko kladné, v opačném případě záporné.
Vraťme se ještě k důvodu, proč do sloupcového vektoru pro světlo byl zaveden index lomu. Získané matice mají totiž potom výše uvedený tvar
ve kterém mají jednotkový determinant. A protože při součinu matic se výsledný determinant spočte jako součin jednotlivých determinantů, má každá optická soustava v tomto formalizmu také jednotkový determinant. To jednak představuje dobrý nástroj pro kontrolu správnosti výpočtů, jednak této vlastnosti s výhodou vyžijeme v dalších odvozeních.