Jednovrstvá antireflexní úprava
Předpokládejme rovinné rozhraní mezi dvěma neabsorbujícími materiály, o indexech lomu n a ti'. Kolmá odrazivost r a kolmá propustnost t tohoto rozhraní jsou dány jako speciální případ Fresnelových vztahů,
r
n + ti'
T :
4nn'
(ti + ti')2'
(1)
nezávisle na pořadí prostředí při přechodu rozhraním a nezávisle na (lineární) polarizaci dopadajícího světla. Světelný svazek, dopadající na rozhraní s intenzitou Iq bude mít z definice po odrazu od rozhraní intenzitu RIq a po průchodu rozhraním T Iq.
Předpokládejme tedy planparalelní desku (což může přibližně popisovat i čočku poblíž jejích vrcholů) o indexu lomu ri\ ponořenou ve vzduchu (viz Obr. 1). Potom při skoro kolmém dopadu
"i l3
Ri
Til — 1
ni + 1
Ti
4ti 1
(ni + 1)2'
(2)
První paprsek prošlý deskou má intenzitu
t -t2t -   16ni r
/2-Tl/°- (n1 + l)4/o'
každý další prošlý paprsek přibere dva odrazy sklo-vzduch,
I4 = RIt'IIq, Iq = r\t'Iiq, ...
Jednotlivé paprsky tedy představují členy geometrické posloupnosti s prvním členem T^Iq a kvocientem Rf. Odpovídající geometrickou řadu dokážeme sečíst,
T1.R1
	/  / n=1	
		
		ni
		n=l
l2   I4 l6		
h + h + h +
T?
Obr. 1: Planparalelní deska ponořená do vzduchu.
1-r'(l
Po dosazení tak pro celkovou intenzitu prošlého světla včetně započtení násobných odrazů uvnitř desky dostáváme
2ni
(3)
1 + n{
Uvažujme konkrétně sklo s indexem lomu ri\ = 1.5. Pro něj má první prošlý paprsek intenzitu I2 = 0.9216/o a všechny prošlé paprsky se složí do celkové intenzity jen nepatrně vyšší, přibližně 1^ = 0.9231/o-
Pokusme se nyní zjistit, zda by celkovou propustnost bylo možné zvýšit nanesením vhodné vrstvy na přední stěnu desky. Předpokládáme-li vrstvu s indexem lomu ni (viz Obr. 2), dostáváme skoro kolmé odrazivosti a propustnosti mezi jednotlivými typy prostředí:
Ri
r
Ri
ni - 1 ni + 1
ni - ni ni + ni
Tli — 1 Tli + 1
To
T :
Ti
4tio
První prošlý paprsek bude mít intenzitu
h = ^TTiIo
%Aň\n\
(ni + l)2
4TllTl2 (Til + Tl2)2
4ti 1 = (ni + l)2
(ti2 + l)2(Tll +ti2)2(tii + 1):
(4)
1
struktura násobných odrazů však bude v tomto případě bohatší: kromě paprsků, které se odráží uvnitř první vrstvy, se také mohou vracet paprsky od zadní stěny desky, a budto se odrazit zase zpět, nebo znovu vstoupit do první vrstvy a tam způsobovat další násobné odrazy. Abychom mohli výpočet rozumně dokončit, zanedbáme paprsky vracející se zpět druhým prostředím a násobné odrazy necháme probíhat jen v horní vrstvě a to pouze z úplně prvního paprsku, který do ní vstoupil. Tento postup není kritický: jak demonstruje výše uvedený příklad, největší množství světla je shromážděno právě v paprscích, které prodělaly minimum parazitních odrazů.
Každý další uvažovaný paprsek tedy projde navíc dvěma odrazy: jedním od rozhraní vrstva-vzduch, a druhým od rozhraní vrstva-sklo:
h = RR-iTxTTih, I6 = (RR2?T1TT2h,...
Jedná se opět o geometrickou řadu, kterou dokážeme sečíst, takže celková intenzita prošlého světla se započtením uvažovaných násobných odrazů má tvar
I,
U
T1TT2
I6nfri2
(5)
Obr. 2: Jednovrstvá antireflexní úprava. Pro jednoduchost započteme pouze primární násobné odrazy v antireflexní vrstvě.
00     1 — RR2        (ni + l)3(m+n|) °" Hledáme-li maximum posledního výrazu vzhledem k proměnnému indexu lomu ni vrstvy, klademe
d/oo     16n?(ni + l)3(ni + n|) - Z2n\n\(nx + l)3
dn2
(ni + l)6(ni +n|)2
0,
odkud dostáváme podmínku
n2
(6)
Lze snadno ověřit, že se skutečně jedná o maximum, a s dosazením této hodnoty pro optimální propustnost sytému vrstva-deska dostáváme
^max        /        . 1\o-tu-
(ni +1)-1
Pro výše zvolené sklo to znamená optimální index lomu vrstvy přibližně ni propustnost asi 0.94/q, tedy o necelá dvě procenta vyšší, než bez vrstvy.
1.22 a nejlepší dosažitelnou
2