Matematika L a Lenka Přibylová BEI q q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita Q Obsah Základy matematické logiky 10 Základní množinové pojmy 14 Množina reálných čísel a její podmnožiny 17 Funkce 19 Složená funkce 21 Vlastnosti funkcí 23 Inverzní funkce 38 Komplexní čísla 43 Polynomy 57 BBI q 19 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Celočíselné kořeny Racionální lomená funkce Číselné vektory Lineární kombinace vektorů Lineární závislost a nezávislost vektorů. Matice Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Determinant matice 59 82 84 101 102 104 107 126 131 138 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Soustavy lineárních rovnic 153 Gaussova eliminační metoda 158 Cramerovo pravidlo 159 Analytická geometrie v rovině 160 Kuželosečky 167 Analytická geometrie v prostoru 173 Významné plochy v prostoru 181 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 183 Limita funkce 185 Jednostranná limita 188 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Nevlastní body Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Spojitost funkce Pravidla pro počítání s limitami Výpočet limity funkce Derivace funkce Vzorce a pravidla pro derivování Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů 192 194 197 198 200 204 206 212 215 217 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Užití derivací k výpočtu limit Monotónnost funkce. Lokální extrémy. Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Asymptoty funkce Průběh funkce Taylorův polynom Integrální počet funkcí jedné proměnné Základní vzorce a pravidla Metoda per partes Substituční metoda 219 221 224 227 229 230 233 235 238 240 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Integrace racionálních lomených funkcí Integrace goniometrických funkcí. Integrace iracionálních funkcí. Integrace složené exponenciální funkce Určitý integrál Newtonova-Leibnizova formule Vlastnosti určitého integrálu Výpočet určitého integrálu Geometrické aplikace určitého integrálu Nevlastní integrál 243 247 248 250 251 255 256 257 258 261 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 264 Parciální derivace 270 Diferenciál a tečná rovina plochy 272 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 274 Absolutní extrémy 278 Integrální počet funkcí dvou proměnných 280 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Základy matematické logiky Definice: Výrok je sdělení o jehož pravdivosti můžeme rozhodnout. Pravdivostní hodnotou výroku V je číslo p (V) = 1, pokud je výrok V pravdivý a p (V) = 0, pokud je výrok V nepravdivý Logické spojky umožňují z jednotlivých výroků tvořit složitější. negace -i A není pravda, že A konjunkce A a B A a zároveň B disjunkce A VB A nebo B implikace A ^ B jestliže A, pak B ekvivalence A <(=4> B A právě když B (č) 2016 Masarykova univerzita Q Tabulka pravdivostních hodnot základních výroků: p(A) p(B) p(A a B) p(A v B) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 p(A) p(B) p(A => B) p(A 4» B) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Dennice: Tautologie je složený výrok, který má vždy pravdivostní hodnotu 1 bez ohledu na to, jaké jsou pravdivostní hodnoty výroků, z nichž je utvořen. Veta: Následující výroky jsou tautologie: A v -> A, A O A, -i(A v B) (-A a -iB), -i(A B) (aa-iB), A A, (A =4* -.A) =4> - n(aab) (-iA v -iB) (A ^ B) ^ (-.A ^ -.B) A (č) 2016 Masarykova univerzita Q Sdělení "celé číslo x je větší než ľ'není výrok, protože nelze rozhodnout o jeho pravdivosti či nepravdivosti. Teprve když za x dosadíme nějakou přípustnou konstantu, dostaneme výrok. Takovéto sdělení se nazývá výroková forma. Je-li V{x) výroková forma, pak její definiční obor je množina těch oc takových, že V{oc) je výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V{x) je množina těch oc z definičního oboru, že V{oc) je pravdivý výrok. Z výrokové formy můžeme vytvořit výrok dosazením konstanty z definičního oboru nebo tzv. kvantifikací proměnných. Kvantifikovaný výrok vytvoříme z výrokové formy tak, že udáme počet objektů, pro něž z výrokové formy utvoříme výrok pomocí kvantifikátoru "každý"(V), "alespoň jeden"(3), "nejvýše dva", "právě tři"atd. Příklady z logiky <= (č) 2016 Masarykova univerzita Q Základní množinové pojmy Množina je soubor nějakých věcí nebo objektů, které nazývme prvky množiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří. Množiny značíme zpravidla velkými písmeny A, B,C,..., jejich prvky malými písmeny a,b,c,x,____Příslušnost, resp. nepříslušnost, prvku x do množiny A značíme x £ A, resp., x i A Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků A = {1,4,7} nebo zadáním pravidla, které určí, zda daný prvek do množiny patří nebo ne A = {x : x je sudé a 0 < x < 7} = {0,2,4,6} (č) 2016 Masarykova univerzita Q r Definice: Sjednocením množin A a. B nazýváme množinu AU B = {x : x e AV x e B}, průnikem množin A a B nazýváme množinu A D B = {x : x e A A x e B}, rozdílem množin A a B nazýváme množinu A - B = {x : x e A A x £ B}. Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji 0. Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývá konečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývá nekonečná. (č) 2016 Masarykova univerzita Q Základní číselné množiny mají pevně dohodnutá označení: Definice: N = {1,2,3,...}... množina přirozených čísel Z = {..., —3, —2, — 1,0,1,2,3,...}... množina celých čísel Q=< — : m £ Z, n £ N > ... množina racionálních čísel l n J R = (—oo, oo)... množina reálných čísel I = R — Q ... množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b G R} ... množina komplexních čísel (č) 2016 Masarykova univerzita Q Množina reálných čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B C A Množinu R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny R jsou intervaly. (č) 2016 Masarykova univerzita Q Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. 9-? a < x < b i i -1-1- a b uzavřený interval (a, b) označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. t-1 a► y. Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech y G H, pro která existuje x G D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Pokud jsou D (f) a H(/) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní (č) 2016 Masarykova univerzita Q a distributivní zákon. (f±g)(x)=f(x)±g(x) {f-g)(x)=f(x)-g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcíD(/)nD(g). Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D(f)nD(g)-{x:g(x)=0}. Další operací je skládání f uncí. (c) 2016 Masarykova univerzita Q Složená funkce Definice: Nechť u = g{x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Nechť y = f(u) je funkce s definičním oborem D(/) D H(g). Složenou funkcí (f °g)(x) = f(g(x)) rozumíme přiřazení, které Vx e D(g) přiřazuje y = /(w) = f(g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci / vnější složkou složené funkce. f°g BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic [x, f(x)\, x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. (č) 2016 Masarykova univerzita Q Vlastnosti funkcí Definice: Nechť/ je funkce a M C D (f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M zdola ohraničená, jestliže 3 d G R takové, že pro M x G M platí d < f (x). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M shora ohraničená, jestliže 3 h G R takové, že pro ViG M platí /(x) < h. 3. Řekneme, že funkce / je na množině M ohraničená, je-li na M ohraničená zdola i shora. Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce /. (č) 2016 Masarykova univerzita Q Graf zdola ohraničené funkce leží nad nějakou vodorovnou přímkou: (č) 2016 Masarykova univerzita Q Graf shora ohraničené funkce leží pod nějakou vodorovnou přímkou: (č) 2016 Masarykova univerzita Q Graf ohraničené funkce leží mezi nějakými dvěma vodorovnými přímkami: (č) 2016 Masarykova univerzita Q Definice: 1. Řekneme, že funkce / je sudá, pokud pro Vx e D(f) platí, že -xeD(/) a f(-x)=f(x). v 2. Řekneme, že funkce / je lichá, pokud pro Vx e platí, ze -XGD(/) a /(-*) =-/(x). BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Graf sudé funkce je symetrický podle osy y: (č) 2016 Masarykova univerzita Q Graf liché funkce je symetrický podle počátku: (č) 2016 Masarykova univerzita Q v Definice: Nechť p e R, p > 0. Řekneme, že funkce / je periodická s periodou p, pokud pro Vx e D (/) platí x + peD(/) a f(x)=f(x + p). y y = f(x) BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M rostoucí, pokud pro Vxi,X2 G M splňující Ji < X2 platí/(xi) < f{x^). v 2. Řekneme, že funkce / je na množině M klesající, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující Ji < X2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li bud7 rostoucí nebo klesající. BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Graf rostoucí funkce: BEI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Graf klesající funkce: BEI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M neklesající, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující x\ < %2 platí/(xi) < f(x2). v 2. Řekneme, že funkce / je na množině M nerostoucí, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující Ji < %2 platí/(xi) > /(X2). 3. Funkci / nazýváme monotónní na množině M , je-li bud7 nerostoucí nebo neklesající. BBI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Graf neklesající funkce: BEI q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Graf nerostoucí funkce: Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. 5BI Cl 19 ias Interaktivní kvizy na vlastnosti funkcí. © 2016 Masarykova univerzita Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. Řekneme, že funkce / je na množině M prostá, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující Ji 7^ X2 platí/(xi) 7^ fixi)- Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: © 2016 Masarykova univerzita Q Inverzní funkce Definice: Nechť / je prostá funkce. Funkci která každému y £ H (f) přiřazuje právě to x G D (f), pro které platí y = f (x), nazýváme inverzní funkcí k funkci /. (č) 2016 Masarykova univerzita Q 1. Vx e D(f), Vy e H(f) platí/-1(/(x))= x a/(/"1(y))= y. 2. Grafy funkcí / a /_1 jsou symetrické podle osy prvního kvadrantu: © 2016 Masarykova univerzita Q Elementární funkce <= Interaktivní kvizy na grafy funkcí v posunutém tvaru. <= Poznámka 1 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce / prostá, je toto vyjádření jednoznačné. Příklad na nalezení inverzní funkce <= (č) 2016 Masarykova univerzita Q U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = \fx y = x2, x > 0 y = x3 y = ex y = ln x y — ax,a > 0,a ^ 1 y = log. * y = sin x, x G ( — 71/2, n/2) y = arcsinx y — cos x, x G (0,tí) y = arccos x y = tg x, x G { — n 12, n 12) y = arctgx y = cotg x, x G (0,7i) y = arccotgx (č) 2016 Masarykova univerzita Q Poznámka 2. Platí tedy například: V x2 = x \n(ex) = x J n x = x e (sin x) = x Příklad . Vypočtěte, pro které x platí ln x = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: lnx = 3 gln(x) = e3 x = e3 = 20.0855 (č) 2016 Masarykova univerzita Q Komplexní čísla Definice: Komplexním číslem rozumíme uspořádanou dvojici reálných čísel a, b zapsanou ve tvaru z = a + bi (algebraický tvar komplexního čísla). Číslo a — Re z nazýváme reálnou, číslo b — Im z imaginární částí komplexního čísla z. Číslo ž — a — bi nazýváme číslem komplexně sdruženým s číslem z. Definujeme operace součet a součin takto: zi + z2 = (fli + «2) + (Pí + b2)i ziz2 — (#i#2 &1&2) + (#1^2 + aib\)i Tyto operace vycházejí ze základní definice z = v1—\. Platí tedy především i2 = -1. (č) 2016 Masarykova univerzita Q Veta: Pro komplexní čísla z\, z2/ Z3 platí Z\ + Z2 = Z2 + Z\ Z^Z2 — Z2Z^ Z\ + (z2 + z3) = (Zl + Z2) + ^3 2l(z2Z3) = (Z!Z2)Z3 Zi (z2 + z3) = ZXZ2 + ZxZ3 Zl Poznámka 3. Podíl — dvou komplexních čísel Zi,z2, z2 7^ 0, je komplexní Z2 číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru a + bi tak, že zlomek — rozšíříme číslem z2 z2 sa bi h tas (č) 2016 Masarykova univerzita Příklad. 2 + 5/ 3-4ž bei ej q rag (č) 2016 Masarykova univerzita Q Příklad. 2 + 5/ _ (2 + 5i) (3 + 4t) 3 - 4d ~ (3 - 4z) (3 + 4z) Zlomek rozšíříme číslem 3 + 4i, protože je komplexně sdružené s jmenovatelem 3 — 4/. ESI El 13 133 © 2016 Masarykova univerzita Příklad. 2 + 5/ _ (2+ 5/) (3+ 4/) _ -14 + 23/ 3-4/ " (3 - 4/) (3 + 4/) " 9 + 16 Roznásobíme, přitom 5/ • 4/ = —20 a ve jmenovateli použijeme vzorec (a + b)(a-b) = a2-b2, kde (4/)2 = —16. Jmenovatel je tedy nutně reálné číslo. (č) 2016 Masarykova univerzita Příklad. 2 + 5i _ (2 + 5i)(3 + 4d) _ -14 + 23i _ 14 23. 3 — 4i ~ (3 - 4i)(3 + 4i) ~ 9 + 16 ~ ~25 + 25? [ Dostáváme tak vždy výsledek v algebraickém tvaru._ BBI BI H 188 (č) 2016 Masarykova univerzita Geometrické znázornění komplexních čísel. Komplexní číslo z = a + bi znázorňujeme v Gaussově rovině: bbi ej Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Absolutní hodnotou komplexního čísla z = a + bi rozumíme reálné číslo |z| = \/ a1 + b2. V Gaussově rovině představuje \z\ vzdálenost z od počátku. Platí z = Vzž, Im \ zlz2\ — \zl\\z2 Z\ + Z2 BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Goniometrický tvar komplexního čísla Každé nenulové komplexní číslo z = a + bi lze jednoznačně zapsat v goniometrickém tvaru z = r(cos (p + i sin ) = rel(p. Věta: Je-li z\ = r\ (cos oc + i sin oc) a z2 = r2(cos j8 + i sin j8), pak z1 -z2 = ri^za -r2e^ = r^e1^^ = rxr2(cos(a: + j8) +isin(a + ]8)) El la las (č) 2016 Masarykova univerzita Poznámka 4. Pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvodit základní goniometrické vzorce pro násobné argumenty, např. cos(2a) + z sin(2a) = e*2* = = eioc • eia = = (cos(#) + ísin(#)) • (cos(a) + isin(#)) = = cos a — sin a + i2 sin oc cos a: Věta (Moivreova věta): Je-li z = r(cos cp + i sin q>) = relcp, pak pro m G Z platí zm = rmel(?m = rm (cos mcp + ismmcp). (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta (Odmocnina z komplexního čísla): n-tá odmocnina z komplexního čísla z = \z\ (cos

) leží na kruhu s poloměrem \fž a jejich průvodiče rozdělují kruh na n stejných částí. Průvodič první z hodnot svírá s reálnou osou úhel —. n Im f Z2____ (č) 2016 Masarykova univerzita q Polynomy Definice: Funkci P(x) = anxn + an-\Xn 1 + • • • + a\X + ao, kde an ^ 0, ao,...,an G R nazýváme polynom stupně n. Čísla ao,...,an nazýváme koeficienty polynomu P(x). Koeficient Uq se nazývá absolutní člen. Definice: Kořenem polynomu P(x) je číslo Xq e C, pro které platí P(x0) = 0. Definice: Je-li Xq kořenem polynomu, pak lineární polynom (x — Xq ) s proměnnou x nazýváme kořenový činitel příslušný kořenu Xq. Číslo Xq je fc-násobným kořenem polynomu P, jestliže P(x) = (x — Xo)kG(x), kde G je polynom a Xq již není jeho kořenem. sol ci ia las (č) 2016 Masarykova univerzita Věta (Základní věta algebry): Polynom stupně n má právě n komplexních kořenů. Věta: Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 má právě dva kořeny, a to *1,2 = -b± Vb2 -4ac 2a bbi ej Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q r Celočíselné kořeny Věta (Homérovo schéma): Nechť f{x) — anxn + an_\%n 1 + • • • + a\x + uq, g(x) = bn_ixn 1 + bn_2xn z -\-----h b\x + b0 jsou polynomy. Je-li f{x) = (x — oc)g(x) + b_\, pak platí an = bn_i a bfc_i = ocb^ + a^, pro k = 0,1,..., n — 1 n-2 Homérovo schéma se používá k vypočtení funkční hodnoty polynomu v daném bodě. V případě, že je funkční hodnota nulová, je dané číslo kořenem polynomu. © 2016 Masarykova univerzita q Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = 1 BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v % = ~3-| 1-4-4 0 7 Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = 1 1 -4 -4 0 7 Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = 1 1 -4 -4 0 7 1 Sepíšeme hlavní koeficient. Nalezne^ 1 -4 -4 0 7 1 -7 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3-1-4= -7 188 (č) 2016 Masarykova univerzita sbi ci la Nalezne^ 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-7) - 4 = 17 (č) 2016 Masarykova univerzita Naleznět^^ 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3-17-0 = -51_ (č) 2016 Masarykova univerzita Naleznět^^ 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-51)+ 7 = 160 © 2016 Masarykova univerzita Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = 1 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Na posledním místě v řádku dostaneme hodnotu polynomu P(-3) = 160. EbTEI Q 183 (č) 2016 Masarykova univerzita Celočíselné kořeny polynomu Pn(x) s celočíselnými koeficienty lze pomocí Hornerova schématu hledat mezi děliteli absolutního členu an, jak je vidět z následujícího roznásobení: 2{x - 2)(x + 3) (x2 + 5) = 2{x2 + x - 6) (x2 + 5) = 2x4 + ... -60. Homérovo schéma je také výhodné pro nalezení rozkladu na kořenové činitele, protože v případě dosazení kořene oc (tedy b-\ = 0) po řádcích dělí polynom příslušným kořenovým činitelem (x — oc). © 2016 Masarykova univerzita q Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. © 2016 Masarykova univerzita q feste v oboru celých čísel + 5^ - 9»» - 24* - 36 = 0. | Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. Vypíšeme dělitele čísla 36 (i záporné). fete v oboru celých «sel ? + ŕ - 5? - 9X^ - 24* - 36 = 0. | Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1-5-9 -24 -36 Budeme počítat hodnoty pomocí Hornerova schématu. Připravíme si proto koeficienty polynomu z levé strany rovnice do tabulky. (č) 2016 Masarykova univerzita sol ci la iae Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0 Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 Dosadíme x = 1. Je-li P(x) polynom z pravé strany rovnice, vidíme, žeP(l) = —72 a toto číslo x = 1 není kořenem. El 181 188 (cT) 2016 Masarykova univerzita Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 1 1 2 -3 -12 -36 -72 0 -5 -4 -20 -16 Podobně ani x = — 1 není kořenem. EBI El H 188 (cT) 2016 Masarykôv^um^veŕzitä" Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 /o Ani x = 2 není kořenem. © 2016 MasaryŔ7)v^HiruwŕzTtä~ Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 /o -2 1 -1 -3 -3 -18 0 Nyní jsme zjistili, že x = —2 je kořenem. Levou stranu rovnice je tedy možno přepsat do tvaru (x + 2) (x4 - x3 - 3x2 -3x- 18) = 0. Dál zkoumáme jenom polynom, který stojí v tomto součinu jako druhý. (c) 2016 Masarykova univerzita Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -2 1 -1 -3 -3 -18 -2 1-3 3-9 0 Dosadíme opět x = —2. Opět je toto číslo kořenem a levou stranu rovnice je možno přepsat do tvaru (x ± 2)2(x3 - 3xz + 3x - 9) = 0. v_ (cT) 2016 Masarykova univerzita Řešte v oboru celých čísel x5 ± x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0 Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -2 -2 1 -3 3 -9 -2 1 -5 13 -35 • Dosadíme opět x = —2. Nyní již se o kořen nejedná. • Protože na konci polynomu, do kterého nyní dosazujeme, stojí číslo 9, zajímáme se jen o dělitele tohoto čísla. ESJ El 18! ig&^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ (c) ZU16 Masarykova univerzita^^^ Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 7Í37 7±97 a -2 -2 1-3 3-9 -2 3 1 -5 13 -35 10 3 0 Vyškrtneme čísla která nedělí číslo 9 a dosazujeme další na řadě, x = 3. Vidíme, že x = 3 je kořenem. sbi "lil 19 (č) 2016 Masarykova univerzita Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 7±3ľ a -2 -2 3 1 0 3 Polynom má dvojnásobný kořen x = — 2 a jednoduchý kořen x = 3. Koeficienty 1,0,3 znamenají, že v součinu stojí polynom x2 + Ox + 3, který nemá reálné kořeny © 2016 Masarykova univerzita sbi ci la iae Řešte v oboru celých čísel x + x — 5x — 9x — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 7±3ľ a -2 -2 3 1 0 3 Rozklad na součin je (j + 2)2(j-3)(x2 + 3) = 0. EEi ej Q iaa (č) 2016 Masarykova univerzita q Racionální lomená funkce Definice: Funkce R(x) = n , kde P, Q jsou polynomy stupně >2m [X ) n, m, je racionální funkce. Je-li n > tn, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, je-li n ,&n), • • «/&n) £ lRn na- zýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto pro- storu, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a\,..., an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0,0,.. .,0) dimenze n nazýváme nulovým vektorem. (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 6. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orientované průvodiče bodů: y o A = [1,2 B = [2,1.5] (1,-0.5) Vektor v = AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B — A. © 2016 Masarykova univerzita q Operace s vektory a = (1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c bei Q Q VSS (c) 2016 Masarykova univerzita q Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 2-b-c= (1,2,1)+ 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) Dosadíme za vektory a vynásobíme vektor b dvěma (násobíme tedy každý prvek tohoto vektoru dvěma). © 2016 Masarykova univerzita sbi ci la iae Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c = (1,2,1) + 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1) + (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 2-£-c = (1,2,1) + 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1) (cT) 2016 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor, (cT) 2016 Masarykova univerzita 5Bi bi ia las Operace s vektory a = (1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) BEI Q Q VSS (cT) 2016 Masarykova univerzita q Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a původní vektor se nemění, protože ke každé komponentě přičteme nulu. EbPJ~EJ 18! 183 (c) 2016 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a O-a + 0-b + O-c Násobení skalární nulou Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a O-fl + O-K + O-c = (0,0,0) = 0 je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobení nulou přejde na nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor. BBI El 131 133 (č) 2016 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a O-a + 0-b + O-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c [ Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů. BBI BI H 188 (c) 2016 Masarykova univerzita Operace s vektory a = (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c = (1,2,1) + (3,0,-1) - (4,2,0) = (0,0,0) EE1 Q 19 199 (cT) 2016 Masarykova univerzita | Definice: Vektor —a = — 1 • a nazýváme vektorem opačným k vektoru a. Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo n a a2 + U2 + ľ i=l Cľ Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže \a\ = 1 Velikost vektoru a = (-2,1,4,0,-3) je \a\ = V4 + 1 + 16 + 9 = VŠO. © 2016 Masarykova univerzita q Definice: Skalárním součinem vektorů a — {a\,a2,.. . b {b\, &2/ • • • / bn) nazýváme číslo n a- b = fli • Ž?i + ^2 • ^2 + • • • + &n • bn = ^ fl/b/. z=l Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a - b — \a • b • cos q>, kde

je jejich skalární součin roven nule. (č) 2016 Masarykova univerzita q Lineární kombinace vektorů Definice: Nechť U\,u^_,...,un jsou vektory stejné dimenze a k\, ki,..., kn e IR. Vektor n v = fcitTi + kjUi + • • • + knun = k i=l nazýváme lineární kombinací vektorů Příklady na lineární kombinaci vektorů. BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Lineární závislost a nezávislost vektorů. Definice: Vektory u\, u2,... ,un nazýváme lineárně závislé, je-li aspoň jeden z vektorů lineární kombinací ostatních. V opačném případě je nazýváme lineárně nezávislé. Věta: Vektory u\, u2,..., un jsou lineárně nezávislé ^ nulový vektor je právě jen jejich nulovou lineární kombinací, tj. 0 = k\iľ\ + k2u2 + • • • + knu n právě pro k\, k2, ..., kn = 0. Věta: Platí-li 0 = k\iľ\ + k2u2 + • • • + knun a alespoň jedno kj je nenulové, jsou vektory iľ\, u2,..., un lineárně závislé. BI H 133 (č) 2016 Masarykova univerzita Poznámka 7. Vektory jsou jistě závislé, pokud • je mezi nimi alespoň jeden nulový. • jsou mezi nimi dva vektory stejné. • je-li některý vektor násobkem jiného. Definice: Báze vektorového prostoru dimenze n je libovolná lineárně nezávislá soustava n vektorů. Věta: Libovolný vektor vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Báze tedy generuje celý vektorový prostor. (č) 2016 Masarykova univerzita q Matice Definice: Maticí typu m x n rozumíme uspořádané schéma A = / #11 #12 013 021 022 023 \0ml 0m2 a2n a mn kde Ujj £ R pro i = 1,..., m a y = 1,..., n. Množinu všech reálných matic typu m x n označujeme symbolem Rmxn. Zkráceně zapisujeme Amxn — (#//) • © 2016 Masarykova univerzita q Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice a často říkáme, že je řádu n místo typu n x n. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru au, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály Definice: Matice Amx n — (fl/y),kdefl/y = 0 pro všechna z = 1,... ,m a] = 1,...,n se nazývá nulová matice. Definice: Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotkovou matici značíme L Definice: Schodovitá (stupňová) se nazývá matice, jejíž každý řádek začíná větším počtem nul než předcházející. (č) 2016 Masarykova univerzita q 3 4 2-11 2 A = lo 3 1 1 1-2 0 0 0 2 0 1 3 4 2-11 2 B = I 0 0 1 1 1-2 0 0 2 2 0 1 Matice A je schodovitá, matice B není schodovitá - druhý a třetí řádek začíná stejným počtem nul. Definice: Buď A = (au) g Rmxn. Matice AT = (aji) g Rnxm, tj. matice, která vznikne záměnou řádků a sloupců matice A, se nazývá matice transponovaná k matici A. A = (2 -1 3 1 -2 2 0 1 \4 -2 1/ 5bi Cl 19 ias 2 3 2 4 -1 1 0 -2 2 -2 1 1 (č) 2016 Masarykova univerzita Operace s maticemi /- Definice: Nechť A = (a{]), B = (bij) G Rmxn. Součtem matic A a B rozumíme matici C = (qy) G Rmxn, kde q-y = fl/y + b/y. Zapisujeme C = A + B. mxn a.k G R. Součinem čísla fc a matice A rozu- ij) G Rmxn, kde rf/y = k-a{] A = (fl/y) G R mime matici D = (djj) G Rmxn, kde = k • Zapisujeme D = kA. S maticemi tedy pracujeme stejně jako s čísly, sčítáme a číslem násobíme jednotlivé prvky Platí proto komutativní, asociativní i distributivní zákon. (č) 2016 Masarykova univerzita q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. /2 -1 2 \ /l -2 1\ 3 1 -2 + 0 1 3 \2 0 1 / \2 4 1/ EB1 Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3 3 1 -2+0 1 3|= 2 0 1 / \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. (č) 2016 Masarykova univerzita sol ci ia las Sečtětem^tice^^ýslednm '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3~ 3 1 -2 + 0 1 3 | = ( 3 2 1 2 0 1 / \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. (č) 2016 Masarykova univerzita sol ci ia las Sečtětem^tke^^ýsl^ '2-1 2 \ /l -2 1 3 1 -2+0 1 3|= 2 0 1 / \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. (č) 2016 Masarykova univerzita sol ci ia las Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3~ 3 1 -2 + 0 1 3 = 3 2 1 2 0 1 \2 4 1/ \4 4 2 (č) 2016 Masarykova univerzita q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3~ 3 1 -2 + 0 1 3 = 3 2 1 2 0 1 \2 4 1/ \4 4 2 3-3 3 3 13 2 1 4 4 2 9-9 9 9 6 3 12 12 6 Při násobení matice číslem násobíme každou položku matice samostatně. 188 (č) 2016 Masarykova univerzita 5bi Cl 19 Definice: A = (aíy) G Rmx? a B = (bř7) G R?xn. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C = (czy) G Rmxnr kde qy = flzlbl7- + fl/2b2y H-----h fl/pb^y = aikbkj = az- • by fc=i pro všechna z = 1,..., m, / = 1,..., n, tj. prvek na z-tém řádku a /-tém sloupci vznikne jako skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadí). © 2016 Masarykova univerzita q A • B = C, Cíj = y^aikbk] (č) 2016 Masarykova univerzita Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a y-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El 181 153 (č) 2016 Masarykova univerzita '2-2 + (-1) • (-1) + 2-3 2-4-1 - 2 + 2-1 Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a y-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El 181 133 (č) 2016 Masarykova univerzita '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4 3-2 + 1 • (-1) -2-3 -1-2 + 2-1 Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El 181 188 (č) 2016 Masarykova univerzita '2-2 + (-1) • (-1) + 2-3 2-4-1 - 2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1) -2-3 3-4 + 1- 2-2-1 Na místě i j ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a y-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El H 133 (č) 2016 Masarykova univerzita '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. BI H 133 (č) 2016 Masarykova univerzita 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin /-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El lgl 133 (cT) 2016 Masarykova univerzita 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 [ Sečtei Sečteme. |g| 153 © 2016 Masarykova univerzita 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 Pro matice NEPLATÍ komutativní zákon. Násobíme-li matice v opačném pořadí, © 2016 Masarykova univerzita sol ci la iae 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 neodpovídají dokonce ani počty členů skalárního součinu. Komutativní zákon ale neplatí ani pro čtvercové matice. © 2016 Masarykova univerzita Věta: Součin matic je asociativní a distributivní zprava i zleva vzhledem ke sčítání, tj. platí A{BC) = {AB)C A(B + C) =AB + AC (B + C)A = BA + CA (asociativita) (levý distributivní zákon) (pravý distributivní zákon) vždy, když tyto operace mají smysl. Součin matic není komutativní. Věta: Bud7 A matice. Pak platí IA = A a AI = A vždy, když je tento součin definovaný. (č) 2016 Masarykova univerzita q Hodnost matice Definice: Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h (A). Věta: Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaruje rovna počtu jejích nenulových řádků. EBI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q A = (2 2 O O O O \0 O 2 1 O O je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. 3 -1 5\ 0 0 3 -12 1 0 0 0/ (2 2 2 3 -1 5 \ 0 0 1 0 0 3 003 -1 2 1 \0 0 0 1 1 -2/ není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. (c) 2016 Masarykova univerzita I Definice: Následující úpravy nazýváme ekvivalentní: • záměna pořadí řádků • vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem • přičtení řádku (nebo jeho násobku) k jinému řádku • vynechání řádku složeného ze samých nul Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentní, jestliže lze matici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentních úprav. Značíme A ^ B. Věta: Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. ebi ej q iaa © 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 8. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale také řádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vznikly původně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídá jedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy, které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku - rovnic, vynásobení řádku - rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsou tedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic. x\ + 3x2 — X3 = 0 • (—2) 2x\ + X2 + X3 = 0 přičteme k druhé rovnici x\ + 3x2 — X3 = 0 —5x2 + 3x3 = 0 \2 1 1 ) \Q -5 3 J (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentních úprav převést do schodovitého tvaru. Věta: Transponování nemění hodnost matice. v Definice: Čtvercová matice typu n x n, která má hodnost n, se nazývá regulární. Příklady na výpočet hodnosti matice. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Inverzní matice Definice: Buď A G Rnxn čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A'1 A = I = AA~l, -i nazýváme matici A inverzní matici k matici A, Věta: Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A existuje právě tehdy, když je matice A regulárni, tj. má nezávislé řádky. EEl Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita q Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení j A ■ X = B (č) 2016 Masarykova univerzita q Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení j A ■ X = B A'1 -(A -X) =A~X-B | Vynásobíme zleva maticí inverzní._ BbP Q 188 (č) 2016 Masarykova univerzita Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení j A ■ X = B A'1 -(A -X) =A~1-B (A~l • A)-X = A~l -B Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení j A ■ X = B A'1 -(A -X) = A~X-B (A-1 • A)-X = A'1 -B I-X = A~1 -B Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení j A ■ X = B A'1 -(A -X) =A~X-B (A~l • A)-X = A~l -B I-X = A~1 -B X = A'1 ■ B • Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. • Ted' už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní matici zprava, obdrželi bychom vztah A - X - A-1 = B-A'1, ze kterého hledané X nelze vyjádřit. S El 1881 (č) 2016 Masarykova univerzita Poznámka 9. Inverzní matici k regulární čtvercové matici A hledáme pomocí řádkových ekvivalentních úprav tak, že převádíme matici A na matici jednotkovou a tytéž úpravy současně provádíme na vedle zapsané jednotkové matici. Z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1. Příklady na výpočet inverzní matice. <= BBI Q 19 199 © 2016 Masarykova univerzita q Determinant matice Definice: Permutací o n-prvcích rozumíme uspořádanou n-tici k\, k2, • • •, kn, která vznikla přeskládáním čísel 1,2,..., n. Inverzí rozumíme záměnu z-tého a y-tého prvku v permutaci. Definice: Bud7 A e Rnxn čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A = £(-1)^1^02*2 • "ankn v přes všechny permutace sloupcových indexů. Číslo p je počet inverzí dané permutace. Zapisujeme také det A = |A| = \a i] i • Poznámka 10. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součet všech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tato BBI Q 19 (č) 2016 Masarykova univerzita q definice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu, protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n\. Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý: n — \\ det A — a\\ n — 2 : det A = #n#22 aiiaii Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protože prvky matice násobíme do kříže: #21 022 — ^11^22 — 012^21 © 2016 Masarykova univerzita q Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 a21 a22 a23 a3i ^32 #33 #11#22#33—#11#23#32_#12^21^33 +#12#23#31 +#13^21^32 — ^13^22^31 Determinant je číslo, které vznikne jako součet všech součinů prvků v různých řádcích a soupcích a ±1. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^™™™™™™™-™™™™™™™"™™™"™™™™™(c) 2016 Masarykova univerzita™ bei ci ia las Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 a23 #31 #32 #33 «11«22«33—«11«23«32_«12«21«33 +#12#23«31 +«13«21«32~«13«22«31 #11 #21 «31 #H #21 #12 #22 «32 #12 #22 «13 «23 «33 «13 «23 Jednoduchý způsob, jak všechny tyto členy najít je tzv. Sarussovo pravidlo, kdy nejprve opíšeme první dva řádky matice pod determinant, EsP Q 133 (č) 2016 Masarykova univerzita Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 a23 031 032 #33 «11«22«33—«11«23«32—«12«21«33 +«12«23«31+«13«21«32 —«13«22«31 «11 «21 «31 «11 «21 «12 «22 «32 «12 «22 «13 «23 «33 «13 «23 «11«22«33 | sečteme součiny na všech diagonálách bbI El Q 133 1 (č) 2016 Masarykova univerzita Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11«22«33_ «11«23«32_ «12«21«33 +«12«23«31+«13«21«32—«13«22«31 «11 «21 «H «21 «12 «22 «32 «12 «22 «13 «23 «33 «13 «23 «11«22«33 + «21«32«13 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11«22«33-«11«23«32_ «12«21«33 +«12«23«31 +«13«21 «32—«13«22«31 «11 «21 «31 «11 «21 «12 «22 «32 «12 «22 «13 «23 «33 «13 «23 «11«22«33 + «21«32«13 + «31«12«23 sečteme součiny na všech diagonálách eBl bi iq] las (č) 2016 Masarykova univerzita 1 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 #21 #22 a23 #31 #32 #33 #11#22«33—«11«23«32_«12«21«33 +#12#23«31 +«13«21«32~«13«22«31 #11 #21 #H #21 #12 #22 «32 #12 #22 «13 «23 «33 «13 «23 «11«22«33 + «21«32«13 + «31«12«23 -#31#22#13 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. © 2016 Masarykova univerzita EBI El 19 IQS Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí all a12 a13 021 022 «23 031 032 033 011022033 - 011023^32 — «12«21«33 +012023^31+^13^21032 — 013^22031 011 021 031 011 021 012 022 032 012 022 013 #23 #33 «13 «23 0H022033 + «21«32«13 + «31«12«23 -031022013 011032023 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. © 2016 Masarykova univerzita Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí «11 «12 «13 «21 «22 a23 #31 #32 #33 «11«22«33—«11«23«32_«12«21«33 +#12#23«31 +«13«21«32~«13«22«31 #11 #21 «31 #H #21 #12 #22 «32 #12 #22 «13 «23 «33 «13 «23 «11«22«33 + «21«32«13 + «31«12«23 -#31#22#13 «11«32«23 " «21«12«33 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. (č) 2016 Masaryk^v^ŕmverzita Věta: Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: • přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) • ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice • transponování matice BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Věta: Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: • přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko • vy dělí me-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát (tj. z řádku nebo sloupce lze vytýkat) Poznámka 11. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 1 2 4 1 2 1 -1 2 4 = 2 -1 2 4 = 2-4- -1 2 1 0 1 12 0 1 12 0 1 3 © 2016 Masarykova univerzita q v Věta: Čtvercová matice A má závislé řádky <(=4> det A = 0. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní A je regulární, tj. det A ^ 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Necht7 A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A i-tý řádek a j-ty sloupec, označujeme determinant vzniklé submatice M/y a nazýváme jej minor příslušný prvku #;y. Číslo A{] = (-1)Í+>M nazýváme algebraický doplněk prvku a (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec, resp, řádek, determinantu A platí n det A = UijAy + Cl2jA2j + ' ' ' + ^nj^nj ~ Yl/ ai)^i)' i=l n V. det A = au Au + ai2Ai2 H-----h ainAin = a^Aip tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho algebraického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 12. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. (č) 2016 Masarykova univerzita q Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla x\, Xi, splňující: 4xi + 5xi = 7 Úloha 1 : X\ — 2x2 — 4 Úloha 2 : Úloha 3 : Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. (č) 2016 Masarykova univerzita q r Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic #11*1 + #12*2 + #13*3 + ' ' ' + #ln*n = &1 #21*1 + #22*2 + #23*3 + ' ' ' + #2n*n = &2 #31*1 + #32*2 + #33*3 + ' ' ' + #3n*n = ^3 #ml*l ~l~ #m2*2 "i" #m3*3 H~ " " " H~ #mn*n — & Proměnné %\, Xi,..., xn nazýváme neznámé. Reálná čísla nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla by koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel [t\, ti,..., tn] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. 5BI Cl 19 ias (č) 2016 Masarykova univerzita r Definice: Matici A = / 011 012 013 021 022 023 \0ral 0m2 0m3 nazýváme maticí soustavy. Matici Ar — / 011 012 013 021 022 023 \ 0ml 0m2 0m3 01n\ 02n a mn ) a2n a mn b2 bm J nazýváme rozšířenou maticí soustavy. (cT) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 13 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). / «11 «12 «21 «22 \cim\ ttml «ln\ Al\ #2 n %2 a mn ) \XnJ \bmj Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b bx = b2 = • • • = bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. BBI EJ 19 199 (cT) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 14. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice X\ — 0, x2 — 0, ..., xn — 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax — b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy Ar = (A\b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). • Soustava nemá řešení, pokud h (A) ^h(Ar). • Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. • Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h (A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h (A)) nezávislých parametrů. (cT) 2016 Masarykova univerzita q Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zda je soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h (A) =h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. Příklady na Gaussovou eliminační metodou. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro z-tou složku x\ tohoto řešení platí: kde D = det A a D; je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou z-tého sloupce za sloupec b. ^ Příklady na Cramerovo pravidlo. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = [a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k normálovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. 5BI Cl 19 ias (č) 2016 Masarykova univerzita Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (—b, a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b ^ 0, rozumíme podíl k = — ^. Směrnice k = tg oc, kde a: je úhel, který přímka svírá s kladnou osou x. V případě, že b ^ 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y - + - = 1, v q kde p 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y. (c) 2016 Masarykova univerzita q bei q q raa © 2016 Masarykova univerzita q Přímku p, která prochází bodem A = [xo/í/o] se směrovým vektorem s = (si,S2) má parametrické rovnice x = Xq + Sir, y = yo + s2ř, kde ř g (—oo, oo) je parametr. Věta: Přímka určená body A — >i,yi; a B = x2, y2; má obecnou rovnici X i^i y-yi = 0. X2 — X\ y2-yi Je-li X\ 7^ J2/ má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru y-yi = ¥^r(x-*i)- Přímka určená bodem A = \x\,y{\ a směrovým vektorem s = (s\, s2) má obecnou rovnici y-yi Si s2 = 0. sel ra la las (cT) 2016 Masarykova univerzita Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y-\\ a B = [x2,yi] v rovinném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem AB| = ^(x2-x1)2 + (y2-y1)2. Pro vzdálenost bodu A = [xo/í/o] °d přímky p o rovnici ax + by + c = 0 platí uxq + by o + c d = V a2 + b2 Dvě přímky o rovnicích a\X + b\y + c\ = 0 a a2x + b2y + c2 = 0 svírají úhly (p a. n — (p, přičemž platí cos (p — 0102 + b\b2 \Al + ^l\la2 + ^2 BBI EJ 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Dvě přímky o rovnicích y — k\X -\- q\ a y = k2x + q2 svírají úhly

0, představuje rovinu p kolmou k vektoru n = (a, b, c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. (č) 2016 Masarykova univerzita q Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y z - + - + - = 1, p q r kde p 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y a r ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose z. Animace roviny. Rovina p určená bodem A = [^o/i/O/^o] a dvěma nekolineárními vektory u = {u\, u2, u^) a v = {v\, v2, v^) má parametrické rovice x — xq + u\s + v\t, y = yo + u2s + v2t, z — zq + u^s + v$t kde s, t e (—oo, oo) jsou parametry © 2016 Masarykova univerzita q Věta: Rovina určená body A = \x\,y\,z-\\, B = [X2/Í/2/Z2] a C = *3/í/3/z3 má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — zi x2 -x1 y2 - yi z2 - zi *3 ~ *1 í/3 - í/1 23 - Zi = 0. Rovina určená bodem A = \x\,y\,z-\\ a nekolineárními vektory w = {u\, U2, U3) a v = (i?!, 172/ ^3) má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — zi ^1 1^2 ^3 »1 ^2 ^3 = 0. © 2016 Masarykova univerzita q Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y\,z-\\ a B = [X2,y2/Zi] v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem AB\ = y/(x2 - *i)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2. Pro vzdálenost d bodu A = [xo,yo/Zo] od roviny p o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí d = uxq + by q + czq + d V a2 + b2 + c2 Dvě roviny o rovnicích a\X + b\y + c\z + d\ = 0 a a^x + b^y + C2Z + d2 = 0 svírají úhly

l + cly/a% + h% + c% sol ci ia las (č) 2016 Masarykova univerzita Věta: Přímka p, která prochází bodem A = [xo/i/O/Zo] rovnoběžně s nenulovým vektorem s = [s\, Si, S3) má parametrické rovnice x — xq + ts\, y — yo + tsi, z = zq + ts^ kde ŕ G (—00,00) je parametr. Vektor s je směrový vektor přímky V- © 2016 Masarykova univerzita q r Věta: Průsečnicí dvou různoběžných rovin daných rovnicemi a\x + b\y + c\z + di = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 je přímka, jejíž směrový vektor je dán tzv. vektorovým součinem normálových vektorů těchto rovin, tedy s = (a\,b\,c\) x (a2,b2,c2) = (b\c2 — c\b2,c\a2 — a\c2,a\b2 — b\a2). Vektorový součin vektorů u = {u\, u2,1*3) a v = 02/ ^3) můžeme symbolicky psát takto: u x v — i j k U\ U2 U3 V\ v2 v3 EBi ej q igg (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 17. Platí u x v\ — \u v • srn 0. Hyperbolický paraboloid s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 x V --v— = 2z, kde p • q > 0. Kužel s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 2 xA y zz --h----=0 a2 b2 c2 BBI Q Q lag (č) 2016 Masarykova univerzita q Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu Xq e IR rozumíme libovolný otevřený interval í, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod Xq středem. Xq — S Xq Xq + ô -O | O- Takovýto interval nazýváme ^-okolím bodu Xq a označujeme 0$(xq). Jestliže z ^-okolí bodu Xq vyjmeme bod xq, mluvíme o ryzím ^-okolí bodu Xq a budeme jej značit O^(xq). Xq — S Xq Xq + ô -0 0 0- (č) 2016 Masarykova univerzita q Pravým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ó^(*o) = (x0,x0 + ó) Xq Xq + 8 -o o- a levým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ój(xo) = (xo-S,x0). Xq — 5 Xq -o o- bbi Q 19 199 © 2016 Masarykova univerzita | Limita funkce Definice: Necht7 x$, L g R a / : R —t R je funkce / definovaná v nějakém ryzím okolí bodu xq. v Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje 3ô > 0 takové, že pro x g Oj(xo) platí f (x) g Oe(L). Píšeme lim /(x) = L. © 2016 Masarykova univerzita q BEI Q Q lag (č) 2016 Masarykova univerzita q y = f'O) (č) 2016 Masarykova univerzita q Jednostranná limita Definice: Nechť Xq,L GRa/:R4R. Dále nechť je funkce / definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému £ > 0 existuješ > 0 takové, že pro Vx £ O^(xq) platí/(x) G Oe(L). Píšeme lim f(x) = L. _V -y I Q Analogicky definujeme limitu zleva. (č) 2016 Masarykova univerzita q (cT) 2016 Masarykova univerzita bei EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě Xq e IR limitu právě tehdy když lim f(x) = lim f(x). 0 o bbi Q 19 199 (c) 2016 Masarykova univerzita | Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body ±00. Označujeme R* =RU {00,-00} Prvky ±00 nazýváme nevlastní body, body množiny R nazýváme vlastní body. Pro a G R definujeme: a + 00 = 00, a — 00 = —00, 00 + 00 = 00, —00 < a < 00, zb 00 = 00, — 00 — 00 = —00 00 • 00 = —00.(—00) = 00, 00.(—00) = —00, — = a — O 00 —00 (č) 2016 Masarykova univerzita q Je-li a > O definujeme a • oo = oo a • (—00) = — 00, a je-li a < O definujeme a • 00 = —00 a • (—o°) = 00, Poznámka 19. Nejsou tedy např. definovány operace: ±00 oo — oo, zboo.O a ±00 Takovýmto výrazům rikame neurčíte výrazy. Poznamenejme, ze samozřejmě není definováno dělení nulou. BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Nevlastní limita v Definice: Říkáme, že funkce f(x) má v bodě Xq nevlastní limitu +00 (—oo), jestliže pro VM > 0 existuje 5 > O takové, že pro Vx e Ós(xq) platí/(x) > M (resp./(x) < —M). Píšeme lim = +00(—00). © 2016 Masarykova univerzita q BEI Q 19 199 (c) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 20. Aby existovala limita v bodě Xq G R, nemusí být funkce sin x f v bodě Xn definována. Například limita funkce lim- existuje, i když J x^o x tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jednostranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim yl - 3x2, nebo x—>1 lim ln(x). x—)>0~ Příklad na numerický výpočet limity <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Limita v nevlastním bodě v Definice: Říkáme, že funkce f (x) má limitu L v nevlastním bodě +00 (—00), jestliže pro Vč > 0 existuje K > 0 takové, že pro Vx > K (resp. \/x < -K) platí f (x) g Oe(L) . y y = /(*) © 2016 Masarykova univerzita q Spojitost funkce v Definice: Řekneme, že funkce / : R —>► R je spojitá v bodě x$, jestliže Xq e D(f) a lim /(x) = /(*o) • Řekneme, že funkce / : R —>► R je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě Xq, jestliže Xq e a lim f{x) = /(*o) ( lim f{x) = /(*o))- _V y I y_V y Definice: Řekneme, že funkce je spojitá na intervalu {a,b), (a,b) (a,b) (a, b), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava, resp. zleva. (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu (a, b) své nej-vyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. b x Věta: Nechť/(x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu (a,b) a platí f (a) • f(b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c G (a, b) takové, že f{c) = 0. (č) 2016 Masarykova univerzita q Pravidla pro počítání s limitami r Věta: Buď a e IR*, k e IR, /, g : R —^ R. Jestliže mají / a g v bodě a vlastní limitu, pak platí lim fc = k x—^a \hn(f(x)±g(x I™ (/(*)•#(*)) lim k ■ f (x) lim 44 x—^a lim ± ]img(x) x^a x^a lim • ]img(x) x^raJ X k • lim fix) x^a lim/(x) x—^a _ x—>a \xmg(x) x^a pro lim#(x) 7^ 0, x^a © 2016 Masarykova univerzita q Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: lim(fci/i(x) H-----\-knfn(x)) = ki lim U(x) H-----Ykn lim fn(x) x—^ v x—^ x—^ S využitím předchozí věty lze počítat následující limity -11./ \ 71 ^ 71 1. lim (arctgx + arccotgx) = — + 0 = — x—w 2 2 1 2. lim — cos x = —oo • 1 = x^O" X — 00 3. lim 1 X ^ = i = o 00 - 00 00 Větu nelze použít pro výpočet limity 1 lim [ —h ln x ), x^0+ V x protože bychom obdrželi neurčitý výraz 00 — 00 5BI Cl 19 ias (č) 2016 Masarykova univerzita Veta: Je-li funkce g je spojitá, platí lim g(f(x)) =g(lim /(*)) X^Xq X^Xq Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim I fix) x^a J lim fix) x^a x—^a (lim fix Kx^a n lim X^fU f(x) = ,"/lim/(x) lim bfW = b x—^a limx^a f(x) X^fU Jim(logř,/(^)) =logfc(lim/(x)) (c) 2016 Masarykova univerzita q Příklad. Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1 1. lim ln[ — x^0+ V x ln oo = 00 2. lim arctg(e x) = ||arctgoo 71 2 3. lim ln(sinx) = ||ln(0+) = —00 (č) 2016 Masarykova univerzita q Výpočet limity funkce • V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mohou dosazením vznikat výrazy typu k Ô 0 Ô , které vedou k nevlastní limitě, oo 00 , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí I/Hospitalova pravidla nebo pomocí úprav. (č) 2016 Masarykova univerzita q Interaktivní kvizy na limity elementárních funkcí <= > Interaktivní kvizy na základních operace s limitami <= Příklady na výpočet limit <= © 2016 Masarykova univerzita Derivace funkce Definice: Nechť Xq e D (f). Řekneme, že funkce / má v bodě Xq derivaci rovnu f7(xo), jestliže existuje konečná limita fM = lim f(xo + h)-f(xo)_ 1 - h Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f{x) nemá v bodě Xq derivaci. EBl EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q (č) 2016 Masarykova univerzita y = /0) f(x0 + h) f(xo) f(xo + h) - /(zo) t)/ x0 x0 + /z (č) 2016 Masarykova univerzita Poznámka 21. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce / procházející body [*0//(*o)] a [Jo + h,f(xo + h)] fix -\- /z)_f (x ) má směrnici —---——-—-. Jestliže se s bodem (xq + h) blížíme k bodu h Xq (tj. provádíme-li limitní přechod lim), přejde sečna v tečnu v bodě h->o [xQ,f(xo)]. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci /'(*o)- Poznámka 22. Má-li funkce / v bodě Xq derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [#o//(*o)] y = f(x0)(x-x0) + f(x0). (č) 2016 Masarykova univerzita q BEI Q Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Nechť má funkce / derivaci v každém bodě otevřeného intervalu L Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce / v bodě x je na I definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce / na intervalu I a označujeme f7. Často označujeme derivaci mimo f také jako y' nebo dy dx' Funkci, která má v bodě xq, resp. na intervalu í, derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě xq, resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f(x) funkce f{x) = x. f'(x) — lim X ^—- = lim \ = 1 h^o h h^oh /'(*) = (x)' = 1. (č) 2016 Masarykova univerzita q Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Nechť/, g jsou funkce a c £ R konstanta. Platí [cf{xY \f{x)±g{x) [f(x)g(x) cf'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) f'(x)g(x)-f(x)gf(x) g2(x) , g(x) ŕ 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: (č) 2016 Masarykova univerzita q k' = O (cos x)7 — — sin x íxny = nxn-l (tgxY = cosz x 1 {exy = ex (cotg x)7 =--Ty— sin x 1 (ax)' = ax\na (arcsinx)7 = VI3*2 1 1 (ln x)7 = - (arccosx)7 =--, X yl — x1 1 1 (log^x)7 = —;— (arctgx)7 =--~ v ^a J xlna v 07 1 + x2 1 (sin x)7 = cos x (arccotex)7 = —--~ v 7 v ô y 1 + x2 Příklady na základní vzorce pro derivování. BBI Q Q 153 (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Pro složenou funkci platí kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 23. Výraz ff(g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce / vypočtenou v bodě g(x). Příklady na derivování složené funkce. Interaktivní kvizy na metodu derivování. Příklady na výpočet derivace funkce. <= Interaktivní kvizy na výpočet derivace funkce. EEI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Diferenciál funkce Definice: Nechť funkce f(x) je spojitá v nějakém okolí O(xo) bodu Xo a nechť existuje derivace /'(xq). Nechť Xq + h £ O(xq). Diferenciálem funkce f(x) v bodě Xq rozumíme výraz df(xo) = f'(xo) -h. y f(x0 + h} f(xo)---- y = /(*) o Poznámka 24. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu BBI El 181 133 (č) 2016 Masarykova univerzita df(xo). Diferenciál df(xo) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), bude diferenciál df(x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f(x) = x platí df(x) — d x — 1 ■ /z, můžeme použít vztahu h — dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f(x)\ df(x) — dy — f (x)dx, tj. (c) 2016 Masarykova univerzita q Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f(x) nazýváme funkci (ff)f, tj. derivaci první derivace funkce y = f (x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f{x) definujeme jako derivaci derivace řádu n — 1, tj. = (x)]''. Vyšší derivace označujeme takto: jrff^ jrfff^ y (4)^(5)^ _ j{n) d2y d3y dny dx2' dx3' " ' ' dxn' © 2016 Masarykova univerzita q Příklady na derivace vyšších řádů. <= © 2016 Masarykova univerzita Užití derivací k výpočtu limit Věta: l'Hospitalovo pravidlo: Nechťa G R* a nechťfunkce f a g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Necht7dále platí bud7 lim f (x) = limg(x) = 0 nebo x—^ x—^a lim = 00. Pak platí Um M = Um X^fU X^fO. pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 25. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu 0 nebo oo - ô OO takto: 0 • oo 0 0 nebo 0 • oo co co l/oo Ô 1/0 oo 00 — 00 lze převést na spol. jmenovatel do tvaru 0 nebo 00 ô 00 1 oo .lni oo .oo-ln 1 a stejný trik lze použít na výrazy typu O = e 00° oo-O Příklady na užití 1'Hospitalova pravidla. <= EEI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Monotónnost funkce. Lokální extrémy. r Věta: Nechť/(x) je na (a, b) spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: Funkce f{x) je na (a,b) konstantní <^ Ví G (a,b) platí f(x)=0. Jestliže Vx e (a, b) platí f'(x) > 0, pak je funkce f{x) na (a,b) rostoucí. Jestliže Vx e (0, b) platí /'(x) < 0, pak je funkce f{x) na (a,b) klesající. (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Řekneme, že f(x) má v bodě Xq lokální maximum (minimum), resp. lokální extrém, jestliže Vx z nějakého okolí Xq platí f(x) < f(xo) (f(x) > f(xo))- Pokud pro x ^ Xq platí ostré nerovnosti, nazýváme lok. extrém ostrým. y (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Nechť f (xq) = O a f"(xo) ^ 0. Pak má f{x) v Xq lokální extrém, a to lokální maximum, je-li//7(xo) < 0, lokální minimum, je-li f"(xo) > 0. Definice: Je-li/7(xo) = 0, pak bod [*0//(*o)] nazýváme stacionárním bodem. Příklady na výpočet lokálních extrémů. 5BI Cl ISi I9S (cT) 2016 Masarykova univerzita Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávni) v bodě xq, jestliže její graf leží v okolí Xq nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávni) na intervalu l, je-li konvexní (konkávni) v každém jeho bodě. Věta: Nechť/7 (x) je diferencovatelná na [a, b). Pak jestliže Vx G (a, b) platí /77(x) > 0 ^ /je konvexní na (a,b), jestliže Vx G {a, b) platí /77(x) < 0 ^ /je konkávni na (a,b). (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Funkce / má v bodě Xq inťlexní bod, jestliže má v Xq tečnu a f"(x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f(x) může mít inflexní bod v tzv. kritickém bodě Xq kde fff(xo) — 0/ nebo tam, kde fh\xq) neexistuje. EBI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita | y y = /(*) Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. 5BI BI 19 I9S (č) 2016 Masarykova univerzita Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke grafu funkce v některém nevlastním bodě. Věta: Funkce má asymptotu bez směrnice x = Xq <(=4> má / v bodě Xq nevlastní limitu zleva nebo zprava. asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x ±00 f(x) k = lim J-^- e R a q = lim (f(x) -kx) £ R x—^±00 X x—^±00 (č) 2016 Masarykova univerzita q Příklad na výpočet asymptot. <^= EBI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D(/), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme f', najdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme f", najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. Příklady na průběh funkce. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Taylorův polynom r Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. Definice: Nechť funkce / má v okolí bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f(x) v bodě Xq rozumíme polynom Tn(x) =/(*o) + " *o) + ^^(x - x,Y + + 1! 2! (X — Xq)h. (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 26. Taylorův polynom stupně n má v bodě Xn stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. Tn(x0) = f(x0), Tn'(x0) = f'(x0), Tn(B>(*o)=/(n)(x0)- Animace Taylorova polynomu. <= © 2016 Masarykova univerzita q r Věta (Taylorova věta): Nechť funkce / má v okolí 0(xq) bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi xq a x takové, že Vx £ O(xq) platí f(x) = Tn(x) +Rn+1(x), kde Tn(x) je Taylorův polynom a je polynom stupně ale- spoň n + 1 v proměnné (x — Xq), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru R /W(c) Příklady na výpočet Taylorova polynomu. Jak být lepší než kalkulačka... <= (c) 2016 Masarykova univerzita q Integrální počet funkcí jedné proměnné Definice: Buď I otevřený interval, / a F funkce definované na I. Jestliže platí Fř(x) = f{x) pro Vx £ I, nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci /, nebo též neurčitý integrál funkce / na intervalu L Zapisujeme Jf(x) dx = F(x). Poznámka 27. Z existence derivace primitivní funkce F(x) vyplývá, že je vždy spojitá na I. (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta (postačující podmínka existence neurčitého integrálu): Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. r Věta (jednoznačnost primitivní funkce): Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: 1. Je-li F primitivní funkcí k funkci / na intervalu í, platí totéž i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c G R je libovolná konstanta nezávislá na x. 2. Jsou-li FaG primitivní funkce k téže funkci / na intervalu í, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c e R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x E I. 5BI Cl 19 ias (č) 2016 Masarykova univerzita Základní vzorce a pravidla r Věta: Nechť/, g jsou funkce integrovatelné na í, c nechťje reálné číslo. Pak na intervalu I platí f(x) +g(x) dx = J f(x) dx + J g(x) dx, J cf{x) dx — c J f(x) dx. Základní vzorce pro nalezení primitivní funkce vyplývají ze vztahů pro derivace elementárních funkcí a jsou dány následujícími vztahy. Primitivní funkce jsou definovány pro všechna x z definičního oboru integrované funkce: (č) 2016 Masarykova univerzita q O dx = c ex dx = ex + c X 1 dx = x + c x d-X — x n+l n + 1 + c — dx = ln x + c x sin x dx — — cos x + c cos x dx — sin x + c sin2 x dx — — cotg x + c ax dx — ~~--h c, 1 7^ a > 0 x lna 1 ~9-TT = ~7 arete — + c x2 + A2 A 0 A 1 x = = aresin — + c 2 A V A2 - x Vx2±B 1 = ln x + \/x2 ± B + c dx = A2 - x2 "" 2A ln A + x A-x + c f (x) dx = ln \f(x) \ + c cos2 x dx = tg x + c BEI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta (speciální případ složené funkce): Nechť/je funkce integro-vatelná na I. Pak J f(ax + b) dx = ^¥{ax + b), kde F je funkce primitivní k funkci / na intervalu L Platí pro ta x, pro která je ax + b E L Příklady na přímou metodu integrace. <= Kvizy na přímou metodu integrace. <= EBI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Metoda per partes umožňuje derivovat některé součiny. Vychází z pravidla pro derivaci součinu: (u • v)' = u'v + uv' (u • v)f dx — J ufv dx + J uvf dx uv = j u'v dx + J uvf dx uvf dx = uv — í ufv dx (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 28 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď P (x) polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály následujících typů J P(x)e0ÍX dx, J P(x)sin(a:x) dx, J P (x) cos(ocx) dx, a JP(x)arctgx dx, JP(x)lnmx dx. U první skupiny integrálů postupujeme tak, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, a v případě potřeby tento postup opakujeme. U druhé skupiny integrálů naopak derivujeme funkce arctgx a lnx. Příklady na metodu per partes. <^= Kvizy na metodu per partes. <^= (č) 2016 Masarykova univerzita q Substituční metoda Věta: Nechť/(ř) je funkce spojitá na intervalu l, nechť funkce (p(x) má derivaci na intervalu / a platí ✓<*><*=//<')<«, dosadíme-li napravo t = - Příklad na integraci rac. lomené funkce typu c). -4= v d) Čitatel zlomku rozložíme na 2 sčítance tak, že první je derivací jmenovatele a druhý konstanta, pak integrujeme zvlášť Příklady na integraci rac. lomené funkce typu d). <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Kvizy na rozeznání typu parciálního zlomku. <= Kvizy na formální tvar rozkladu na parciálni zlomky. <= Kvizy na integraci pomocí rozkladu na parciálni zlomky. <= 181 188 © 2016 Masarykova univerzita Integrace goniometrických funkcí. J R(cos x) sin x dx zavádíme substituci ř = cos x J K(sin x) cos x dx zavádíme substituci ř = sin x R{sin x), resp. R(cos x), jsou rac. lomené funkce jen v sinu, resp. kosinu. Většinou je třeba integrand na tento typ převést užitím goniometrických vzorců nebo rozšířením zlomku. Příklady na integraci goniometrických funkcí. <= Poznámka31. Univerzální metodou k výpočtu J K(sinx,cosx) dxjesub- x stituce ř = tg—. V případě pouze sudých mocnin funkcí sinus a kosinus je jednodušší substituce ř = tgx. BBI Q 19 199 (cT) 2016 Masarykova univerzita | Integrace iracionálních funkcí. Některé jednoduché iracionální funkce (tj. funkce, které obsahují odmocniny) již umíme integrovat: J Vx^ dx — J x^> — ... základním vzorcem pro integraci mocniny, / , dX = ÍUx + 9)"2 dx = ... J VÄx + 9 J s použitím věty o integraci speciální složené funkce nebo substitucí t = 4x + 9, J 2xa/x2 + 1 dx = ... substitucí ř = x2 + 1. (č) 2016 Masarykova univerzita q Nechť R je racionální lomená funkce. J r(x, n\fj{x), ^/7W/---)^/ kde fix) — x, fix) = ax + b nebo fix) = ax řešíme substitucí J J J cx + a ts = f{x), kde s je tzv. společný odmocnitel, tj. nejmenší společný násobek čísel ri\, n^_,____ R{x, y a2 — x2)dx řešíme substitucí x — a sin ř R{x, v a2 + x2)dx řešíme substitucí x — a tg ř a Rix, y x2 — a2)dx řešíme substitucí x — — srn ř Příklady na integraci iracionání funkce. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Integrace složené exponenciální funkce Nechť .R je racionální lomená funkce. J R(ex)dx řešíme substitucí t — ex Kvizy na určení metody integrace. <= Další příklady na výpočet integrálů. <^= BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Určitý integrál Spočítat obsah plochy je jedna ze základních matematických úloh. Lidé potřebovali znát velikost pozemku, odhadnout úrodu nebo umět rozdělit majetek. Až do konce 17. století však používali přibližnou metodu, známou již ze starověku. Průmyslovou revoluci svým způsobem odstartoval objev Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize - diferenciální a integrální počet. Formule, která dnes nese jejich jména, totiž slouží k přesnému stanovení obsahu útvaru omezeného křivkou y = f (x) a osou x na intervalu (a, b). Dnes ji najdete v pozadí veškerých technických vymožeností, protože je základem většiny fyzikálních a technických vzorců. Lze s její pomocí spočítat např. množství energie vytvořené vodní elektrárnou, únosnost pilířů mostu, statické i dynamické vlastnosti moderních staveb nebo také dobu, za kterou sinice zamoří přehradu. (č) 2016 Masarykova univerzita q Než se seznámíme s objevem přesného výpočtu obsahu, vrátíme se ke v starým Rekům. Ti počítali přibližně obsah plochy pod křivkou y = f (x) tak, že útvar rozsekali na kousky, které byly podobné obdélníkům, spočítali jejich obsahy a sečetli je. Rozdělíme tedy interval a, b) na dílky a — Xq < x\ < • • • < xn = b. X\ x2 x3 X0 X4 x5 x6 Na obrázku je n = 6. Obsah i-tého obdélníku je přibližně f(£i)(xj — Xj_i), kde £z- G je tzv. reprezentant. © 2016 Masarykova univerzita q Součet všech obdélníků a přibližný obsah útvaru je n i=l Tomuto číslu dnes říkáme integrální součet. Je zřejmé, že na našem obrázku dostaneme pro n > 6 přesnější odhad obsahu útvaru pod křivkou. První důležitý krok, který Newton a Leibniz provedli, byl limitní přechod n —> co. Dílky dělení Axj = x i x i_^ pak mají délku konvergující k 0 a označujeme je dx (už jsme se s tímto symbolem setkali, jde o diferenciál x). Formálně tak dostáváme zápis kde znak integrálu původně opravdu znamenal protáhlé písmeno S -suma. © 2016 Masarykova univerzita q r Definice: Buď (a, b) uzavřený interval a / funkce definovaná a ohraničená na (a, b). Řekneme, že funkce / je integrovatelná na intervalu (a, b), jestliže existuje číslo í, které je limitou n I = lim Sn = lim f(£;)Ax i=l pro libovolnou posloupnost dělení s délkou dílků konvergující k 0, při libovolné volbě reprezentantů. Číslo I nazýváme určitý integrál funkce / na intervalu (a, b) a označujeme f(x) dx. a Animace k definici určitého integrálu. <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Newtonova-Leibnizova formule Pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou bylo tedy nutné vytvořit nejprve pojem limity a poté diferenciální a integrální počet, který nezávisle na sobě pro výpočet obsahu vytvořili Newton s Leibnizem. Teprve integrální počet je totiž tím nástrojem, který lze pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou skutečně použít. Věta (Newtonova-Leibnizova formule): Nechť funkce f{x) je inte-grovatelná na (a, b). Nechť F (x) je funkce spojitá na (a, b), která je na intervalu (a, b) primitivní k funkci f{x). Pak platí /bf(x) dx=[F(x)]J = F(b)-F(a) (č) 2016 Masarykova univerzita q Vlastnosti určitého integrálu Z Newtonovy-Leibnizovy věty vyplývají následující vlastnosti určitého integrálu: rb rb rb l if(x) dx = / f(x)dx + / g(x) dx J a Ja Ja rb rb I c - f(x) dx = c - / f(x)dx Ja Ja í f(x) dx = 0 J a rb ra I f(x) dx — — I f(x) dx J a Jb rb rC rb / f(x) dx — j f(x) dx + f(x) dx, pro c G (a, b) Ja Ja Jc sol ci ia las (č) 2016 Masarykova univerzita Výpočet určitého integrálu Najít primitivní funkci umíme. V Newtonově-Leibnizově větě je ale také podmínka spojitosti funkce na intervalu (a, b), což je nutné zkontrolovat. Příklady na výpočet určitého integrálu. <^= (č) 2016 Masarykova univerzita q Geometrické aplikace určitého integrálu • Obsah rovinné plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: • Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi y = d (x) a y = h (x), které na intervalu (a, b) splňují d (x) < h (x), a přímkami x = a a x = b: =^> S = / (/z(x) - dx <^= EBI EJ Q 133 (č) 2016 Masarykova univerzita q • Ob j em rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: =^> V = 71 / /2(x) dx <^= J a • Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitými funkcemi y = d (x) a y = h (x), které na intervalu (a, b) splňují d (x) < h (x), a přímkami x = a a x = b: y = ti ľ (h2(x) - d2(x)) dx^ Ja © 2016 Masarykova univerzita q Délka rovinné křivky y = f (x), x G (a, b), která je na intervalu a, b) diferencovatelná. => L = 1 + [f (x)]2 dx a Obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f{x), osou x a přímkami x = a a x = b\ P = 2tt ŕf(x)y/l + \f'(x)]*dx Ja v Kvizy na určitý integrál. (č) 2016 Masarykova univerzita q Nevlastní integrál Nevlastní integrál je rozšířením pojmu určitého integrálu. Určitý integrál je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace. Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body ±00, budeme souhrnně nazývat singularitami. Integrál / f (x) dx nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel Ja a, b je rovno ±00, nebo funkce f (x) není ohraničená na uzavřeném intervalu (a, b) (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singularitu - nemusí jít vždy o body a nebo b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu). Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní integrál vypočítat. (č) 2016 Masarykova univerzita q r Definice: Nechť f (x) má singularitu v horní mezi b (resp. dolní mezi a). Existuje-li konečná limita t^b~ Ja / f(x)dx (resp. lim / Ja t^>a+ J t říkáme, že nevlastní integrál konverguje (existuje) a definujeme rb rt / f (x) dx = lim / f (x) dx, Ja t—>b~ Ja rb rb (resp. / f (x) dx = lim / f(x)dx). Ja t^>a+ J t Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál f (x) dx neexistuje, nebo diverguje. a EBI EJ Q VSS (č) 2016 Masarykova univerzita q Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem meze. <= Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem funkce. <= Složitější příklad na výpočet nevlastního integrálu. <^= Další příklady na výpočet nevlastních integrálů. <= VS 183 © 2016 Masarykova univerzita Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Nechťjsou dány neprázdné množiny D C R a H C R. Pravidlo /, které každému prvku [x, y] G D přiřazuje právě jeden prvek z G H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f (x, y). Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech z G H, pro která existuje [x, y] G D s vlastností f (x, y) = z, se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D(/) C R2 a H (f) C R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. © 2016 Masarykova univerzita q Definice: Grafem funkce z = f{x,y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x, y,f{x, y)],xa-y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. z ♦ 5BI Cl 19 ias (č) 2016 Masarykova univerzita .. ry *0/í/oJ £ ÍR bod, ô\ > 0 a ô2 > 0 čísla. Množinu 2 : |x — Xq| < ^1/ |y ~~ 1/01 < ^2} nazýváme okolím Definice: Bud O = {[x,y] G R bodu [jQ,yo]. Ryzím okolím bodu [xo/í/o Ô = O - {[x0,y0]}. rozumíme množinu ž/o + * #0,2/0. ž/o - * x0 - íl x0 X0 + Ô] x (č) 2016 Masarykova univerzita q Dennice: Nechť [x0, y0] G R2, L G K a / : R2 —» R je funkce definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [xq, y q . v Řekneme, že funkce / má v bodě [xo/í/o] límítu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje ryzí okolí O bodu [xo/í/o] (3^1/^2 > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x, y] G O platí /(x) G Oe(L). Píšeme lim f {x) — L. [x,y]^[x0,yo] Poznámka 32. Definice limity funkce dvou proměnných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Řekneme, že funkce / : R R je spojitá v bodě [xo/í/o jestliže [x0,y0] e D(/) a lim /(x,y) = /Oo,yo) • [x,y]^[x0,yo] Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [xo/í/o] je funkce spojitá v bodě [xo,yo]- Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [xo,i/o] je funkce spojitá v bodě [xo,yo]/ pokud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. (č) 2016 Masarykova univerzita q Definice: Nechťu — g{x,y) a v — h(x,y) jsou funkce definované v množině M, nechť f(u,v) je funkce definovaná v množině D a nechť pro každý bod [x,y] G M platí [g(*,y),/z(*,y)] e ^-funkce přiřazující každému bodu \x,y\ G M číslo/[g(x,y)//z(x/y)] se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce / se nazývá její vnější složka, g{x, y), h{x, y) její vnitřní složky. BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Parciální derivace Definice: Buď f(x,y) funkce a [xo,i/o] bod. Funkce g(x) = f{x,y$) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g(x) v bodě Xq derivaci g7(xo)/ nazýváme ji parciální derivací funkce f{x,y) podle x v bodě [xo,i/o] a značíme ji /x(^0/í/o) nebo d/foo^yo) ^ Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí /xi^o/yoj - i™-^- fVr i, ^-1,-tti /(^yo+fe)-/(^yo) Mxo,yoJ - lim-^- (č) 2016 Masarykova univerzita q Geometrický význam parciální derivace. Příklady na parciální derivace <= Interaktivní kvizy na parciální derivace Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky Má-li např. funkce fx{x,y) v bodě [xo,i/o] parciální derivaci podle x, značíme ji fxx(xO/yo) nebo (^O/j/o) ^ Má-li funkce f7(x,i/) v bodě [xo/Vo] dxL parciální derivaci podle y, značíme ji /™(*0/ 3/0) nebo Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Nechť má funkce f{x,y) parciální derivace /™(*0/3/o) a /vx(J0/yo) spojité v bodě [xo/í/o]- Pak platí /xv(Jo/yo) -/vx(xo/yo)- xyx^w yvj Jyx sbi ia las (č) 2016 Masarykova univerzita Diferenciál a tečná rovina plochy Definice: Nechť je funkce f{x,y) spojitá v okolí O bodu [xo/í/o a nechť existují parciální derivace /x(^0/í/o) a /y(xO/í/o)- Nechť bod [x, y] = [Jq + /z, yo + /c] e O. Totálním diferenciálem funkce f{x,y) v bodě [xq/Í/o] rozumíme výraz df(x0,y0) =fx(xo>yo) - h + fíi^yo) -k. Poznámka 33. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar df(x,y) = f'x(x,y)dx + fý(x,y)dy. (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Má-li funkce f{x, y) v bodě [xq, y o] totální diferencál, pak má graf funkce z = f{x,y) v bodě [*o/yo//(*0/3/o)] tečnou rovinu o rovnici z = f(x0,y0) + f'x(x0,y0) • (x-x0)+fý(x0,y0) • (y-y0) Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [xo/yo] do bodu Xq +h,yo + fc. V dostatečně malém okolí bodu XO/yo] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. A/(xo,yo) = f(xo + h,yo + k)-f(x0,yo) =df(x0,yo)> (č) 2016 Masarykova univerzita q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Definice: Bud'/(x,y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu Xo/í/o] a nechť pro každé [x,y] G O platí f(x,y) < f(xQ/yo) resp./(x,y) > f(x0,y0). Pak říkáme, že funkce f{x, y) má v bodě [xq, y o] lokální maximum, resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. (č) 2016 Masarykova univerzita q Věta: Nechťfunkce f{x, y) má v bodě [xq, yo] lokální extrém a nechť zde má parciální derivace /x(*0/3/o) a /y(xO/í/o)- Pak platí fx(xo,yo) =fý(x0,y0) =0. Poznámka34. Bod [xo/í/o]> který splňuje vlastnost /í(*o,yo) =/J(*o,yo) =o nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Podobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Stacionární bod nemusí být lokálním extrémem. BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita | Definice: Má-li funkce /(x, y) parciální derivace 2. řádu, nazýváme matici druhých derivací _ j fxx(x'V) fxi/(x'y) Jyx(x' V ) fyy(x' V) Hessovou maticí funkce /(x, y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Nechť má funkce f{x, y) ve stacionárním bodě [xq, y o] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [xo,yo] kladný, má funkce f{x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [xo,yo] záporný, nemá funkce f{x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [xo,yo případě nazýváme sedlem. v tomto (č) 2016 Masarykova univerzita q Poznámka 35. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [xo,i/o] lokálni extrém, můžeme o maximu, resp. minimu, rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud fxx(xo'Vo) > 0, nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. Lokální extrém. <= Sedlo. <^= Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných <= Interaktivní kvizy na lokální extrémy <= (č) 2016 Masarykova univerzita q Absolutní extrémy Definice: Buď M £ IR množina v rovině, [xo,yo] b°cl, f(x,y) funkce definovaná na množině M. Řekneme, že funkce f{x,y) má v bodě [xo,i/o] absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro V[x,y] G M platí f (x,y) < /(xo/J/o)/ resp. j {x,y) > /(^0/]/o). Věta: NechťM ^ 0 je množina v rovině, [xo/í/o] G M bod, j [x,y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce j [x,y) v bodě [xo,yo] absolutní extrém, pak bod [xo/í/o] leží bud7 na hranici množiny M nebo v něm má funkce j [x,y) lokálni extrém. © 2016 Masarykova univerzita q Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech • stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), • dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M • a ve vrcholech (pokud existují). Absolutní extrém. <^= Příklady na absolutní extrémy <^= BBI Q 19 199 (č) 2016 Masarykova univerzita q Integrální počet funkcí dvou proměnných Tak jako u integrace funkce jedné proměnné představoval určitý integrál na nějakém intervalu obsah plochy pod křivkou danou touto funkcí na tomto intervalu, tak i pro funkce dvou proměnných určitý integrál (říkáme mu dvojný integrál) představuje objem pod plochou danou funkcí dvou proměnných na nějaké rovinné podmnožině. Ne vždy takový dvojný integrál existuje, ale my se tímto tématem nebudeme zabývat. Uvedeme si pouze jednu konkrétní metodu výpočtu dvojného integrálu pro spojité funkce dvou proměnných a takzvané elementární množiny - nej jednodušší typ tzv. měřitelných množin. Dvojný integrál z funkce (x,y) na rovinné podmnožině O Dvojný integrál. <^= značíme // (x,y) dxdy. (cT) 2016 Masarykova univerzita q r Věta (Fubiniova věta): Nechte < b, funkce /, g funkce jedné proměnné spojité na (a,b) a (x,y) funkce spojitá na elementární množině Or = Pak pro dvojný integrál platí \ / / — \ ' «y / ------- £ J---- ---------------- |[x,y] G R2 : a < x < b, f {x) < y < g(x)j. L •'íl L-' \?0) // y) dxdy = Ja {Jf{x) dy) dx- x Analogicky na elementární množině Oy — | \x,y\ G R2 : a < y < b, f (y) < x < g{y) j platí a, a (č) 2016 Masarykova univerzita Z této věty vyplývá, že dvojný integrál na obdélníkové oblasti O = [a, b] x je, d] r r f(x,y) dxdy o je podle Fubiniovy věty roven integrálu -d respektive integrálu -d Je-li navíc funkce f(x,y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné y, pak platí rb rd g(x)h(y) dxdy= / g(x) dx / h(y) dy. J a J c O © 2016 Masarykova univerzita 5BI Cl 19 ias Interaktivní příklady na výpočet dvojných integrálů. V některých případech je pro výpočet dvojného integrálu vhodné provést transformaci proměnných. Jde ve své podstatě o substituční metodu integrace. Zavedeme-li nové proměnné regulární transformací q>: x = g(u,v), y = h(u,v), pak platí f(x,y) dx dy = JJ f(g(u,v),h(u,v))\J(u,v)\dudv,