Matematická (pato)fyziologii Jarní semestr 2022
Matematická (pato)fyziologie - Úlohy 3
Termín zadání: 3.3.2022
Termín odevzdání: 9.3.2022
1 Tlak v levé komoře (10 bodů)
V průběhu systoly vypuzuje levá komora krev do aorty. Normální průměr otevřené aortální
chlopně je asi 2 cm. Uvažujte nyní dospělého člověka v klidové situaci, který má minutový
srdeční výdej 5 litrů a tepovou frekvenci 70/min. Systola zabírá přibližně třetinu srdeční periody.
Přesněji se však dá trvání systoly (v milisekundách !!) stanovit pomocí vztahu
timesyst = 0, 4.
√
RR
kde RR je srdeční perioda, neboli čas mezi dvěma R kmity na EKG (v sekundách!!). Vezměme
průměrný systolický tlak v aortě 100 mmHg.
1. Spočítejte pro uvedený případ zdravého člověka v klidu, jaký je systolický tlak v levé
komoře a jakou minutovou práci levá komora koná.
Řešení: Zaveďme následující značení:
pLK systolický tlak v levé komoře
pao systolický tlak v aortě
∆p tlakový gradient na aortální chlopni, pLK − pao
vao rychlost toku krve přes aortální chlopeň
SV tepový objem, stroke volume
CO minutová srdeční výdej, cardiac output
HR tepová frekvence, heart rate
timesyst doba trvání systoly
Wmin minutová srdeční práce
Pro systolický tlak v levé komoře platí
pLK = pao + ∆p
Jak bylo odvozeno při přednášce, zhruba platí
∆p = 4v2
ao
Pro tepový objem zjevně platí
SV = vao.Sao.timesyst
1
Pro rychlost toku přes aortální chlopeň vao tedy platí
vao =
SV
Sao.timesyst
=
CO/HR
π.12.0, 4.
√
RR
S konkrétními hodnotami
vao =
5000/70
π.0, 4. 60/70
≈ 61 cm.s−1
= 0, 61 m.s−1
Proto ∆p = 4.0, 612 = 1, 5 mmHg a pLK = 100 + 1, 5 = 101, 5 mmHg. Za fyziologických
okolností tedy aortální chlopeň nepředstavuje pro levou komoru téměř žádnou překážku.
Pro minutovou srdeční práci platí
Wmin = pLK.CO = 101, 5.5000 = 507, 5 mmHg.l.min−1
= 66, 7 J.min−1
2. Spočítejte nyní systolický tlak v levé komoře a minutovou práci levé komora pro běžícího
člověka s tepovou frekvencí 120/min a minutovým srdečním výdejem 10 litrů.
Řešení: Dosadíme do stejných vztahů.
vao =
10000/120
π.0, 4. 60/120
≈ 94 cm.s−1
= 0, 94 m.s−1
Proto ∆p = 4.0, 612 = 3, 5 mmHg, pLK = 103, 5 mmHg a Wmin = 136 J.min−1. Za
fyziologických okolností tedy ani při zátěži nepředstavuje aortální chlopeň omezení.
Aortální stenoza je onemocnění, kdy je zúžena aortální chlopeň, což znesnadňuje ejekci komory.
Stupeň aortální stenozy se hodnotí zejména plochou otevřené aortální chlopně, parametrem
označovaným jako AVA (aortic valve area). Za významnou a vhodnou ke zvážení chirurgické
náhrady chlopně se považuje stenoza s AV A < 1 cm2.
3. Spočítejte, jaký je systolický tlak v levé komoře a jakou minutovou práci levá komora koná
u pacienta v klidu s AV A = 1 cm2. Ostatní parametry nechť jsou stejné jako v úloze 1.1.
Řešení:
S konkrétními hodnotami
vao =
5000/70
1.0, 4. 60/70
≈ 193 cm.s−1
= 1, 93 m.s−1
Proto ∆p = 4.1, 932 = 15 mmHg, pLK = 115 mmHg a Wmin = 75, 7 J.min−1. Ani takto
významná stenoza by proto v klidu pro levou komoru nepředstavovala podstatný problém.
Výpočet však gradient podhodnocuje, poněvadž ignoruje turbulentní proudění, které se při
rychlém toku stenotickou chlopní objevuje (a je slyšitelné jako aortální šelest) a tlakový
gradient zvyšuje. Další podhodnocení je v tom, že mechanická systola je kratší než ve
výpočtu použitá elektrická systola timesyst. To vede k vyšším rychlostem i gradientům.
4. Spočítejte nyní systolický tlak v levé komoře a minutovou práci levé komora pro běžícího
člověka s tepovou frekvencí 120/min a minutovým srdečním výdejem 10 litrů, s AV A =
1 cm2.
Řešení:
vao =
10000/120
1.0, 4. 60/120
≈ 295 cm.s−1
= 2, 95 m.s−1
2
Proto ∆p = 35 mmHg a pLK = 135 mmHg a Wmin = 177, 6 J.min−1. Při takto rychlém
toku je již turbulentní efekt podstatný, lze proto očekávat zřetelně vyšší tlakový gradient,
který již limituje výkonnost levé komory.
5. Vysvětlete, proč je pro pacienty s těžkou aortální stenozou typická námahová synkopa
(ztráta vědomí při námaze).
Řešení: Při námaze dojde k dilataci svalových arteriol a tím k poklesu systémové cévní
rezistence. Aby nedošlo k poklesu arteriálního tlaku, musí se zvýšit srdeční výdej. To
však levá komora při vysokém aortálním gradientu nedokáže. Výsledkem je hypotenze a
synkopa.
6. Proč pacienti s aortální stenozou často pociťují námahové bolesti na hrudi? Pomohlo by
jim medikamentozní zvýšení nebo snížení arteriálního tlaku?
Řešení: Myokard levé komory musí konat vyšší práce, má vyšší spotřebu kyslíku, ale koronární
perfuze je nezměněna. Myokard je tak relativně ischemický, což vede k anginozním
bolestem na hrudi. Ani jedno příliš nepomůže. Zvýšení arteriálního tlaku zvyšuje koronární
perfuzi, ale zároveň zvyšuje srdeční práci. Snížení tlaku snižuje srdeční práci, ale zároveň
snižuje koronární perfuzi. Pomoci by teoreticky mohl např. betablokátor, který zpomalí
kontrakci levé komory, čímž sníží aortální tlakový gradient.
2 Vykreslení funkce pomocí matplotlib (5 bodů)
Pomocí knihovny matplotlib vykreslete v jednom společném grafu funkce x2 a x3 pro x v intervalu
[−2, 2], každou funkci jinou barvou, přidejte legendu, a vyznačte průsečík obou funkcí širokým
kruhovým bodem nějaké další barvy.
Řešení:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# definice prom ě nn é a funkc í
x = np.linspace(−2, 2,100)
y = x∗∗2
z = x∗∗3
fig, axes = plt.subplots()
axes.plot(x, y, ’b’, label = ’$x^2$’)
axes.plot(x, z, ’r’, label = ’$x^3$’)
axes.plot(1, 1, ’oy’, markersize=20)
axes.plot(0, 0, ’oy’, markersize=20)
axes.set_xlabel(’x’)
axes.set_ylabel(’y’)
axes.legend()
3 Napodobení grafu pomocí matplotlib (5 bodů)
Napodobte co nejpřesněji následující obrázek grafů. Styl byl zvolen seaborn.
Řešení:
3
Obrázek 1: Úloha 2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use(’seaborn’)
fig, axes = plt.subplots(2,2, figsize = (8,6))
# definice prom ě nn é a funkc í
x = np.linspace(0, 5,100)
y00 = x
y01 = x∗x
y10 = np.sin(x)
y11 = np.cos(x)
# lev ý horn í graf
axes[0,0].plot(x, y00, ’b’, label = ’$x$’)
axes[0,0].set_ylabel(’y’)
axes[0,0].legend()
# prav ý horn í graf
axes[0,1].plot(x, y01, ’r’,ls= ’−−’, label = ’$x^2$’)
axes[0,1].legend()
# lev ý doln í graf
axes[1,0].plot(x, y10, ’g’, ls= ’−.’,label = ’$\sin x$’)
axes[1,0].set_xlabel(’x’)
axes[1,0].set_ylabel(’y’)
axes[1,0].legend()
4
Obrázek 2: Úloha 3
# prav ý doln í graf
axes[1,1].plot(x, y11, ’y’, ls= ’dotted’,label = ’$\cos x$’)
axes[1,1].set_xlabel(’x’)
axes[1,1].legend()
plt.savefig(’uloha.png’,dpi = 300)
Bonusová úloha - Největší společný dělitel (5 bodů)
Napište program v Pythonu s následujícími dovednostmi:
1. Ze vstupu (input) postupně načtěte několik přirozených čísel (použijte while cyklus) a
postupně je ukládejte do proměnné vhodného datového typu (např. list)
2. Pokud zadáte 0, dotazování na další čísla se ukončí a program určí největšího společného
dělitele všech čísel.
3. Dělitele najděte tak, že budete postupně zkoušet čísla od 1 výše, zda dělí všechna čísla
v listu (for i in list) pomocí operace mod. Sami určete, které největší číslo je třeba
testovat.
4. Program nakonec vypíše „Největší společný dělitel čísel x1, x2,... je ...“, přičemž za x1,
x2.. dosadí zadaná čísla.
5
Řešení: Jedno z mnoha možných řešení.
def nejvetsi_spolecny_delitel(cisla):
kam_az_testovat = min(cisla) # sta čí testovat do nejmen ší ho čí sla
for nsd in range(kam_az_testovat ,0, −1): # sestupn á posloupnost
index = True # nsd by mohl být NSD
for cislo in cisla:
if cislo % nsd != 0:
index = False # nsd nen í NSD
break # konec for cyklu , jde na dal ší nsd
if index == True: # nsd je NSD
return(nsd)
cisla = [] # pr á zdn ý list
i = int(input(’Zadejte přirozené číslo: ’))
while i!=0: # testuje ukon č en í zad ávání
cisla.append(i) # př id ání do listu
i = int(input(’Zadejte přirozené číslo: ’))
print(’Největší společný dělitel čísel ’ + str(cisla) + ’ je ’ + \\
str(nejvetsi_spolecny_delitel(cisla)))
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Zadejte přirozené číslo: 12
Zadejte přirozené číslo: 18
Zadejte přirozené číslo: 24
Zadejte přirozené číslo: 0
Největší společný dělitel čísel [12, 18, 24] je 6
6