Asymptoty grafu funkce
Lenka Přibylová
28. července 2006
Obsah
Najděte asymptoty grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
. . . . . . . . . 3
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Nejprve nalezneme definiční obor funkce. Asymptota bez
směrnice může nastat pouze v nedefinovaném bodě x0 = 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Hledáme jednostranné limity v x0 = 2, nejprve zprava.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Dosazením dostáváme limitu typu
k
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Pro x  2+
je jmenovatel kladné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Záporný čitatel a kladný jmenovatel dává záporné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Hledáme limitu v x0 = 2 zleva.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Dosazením dostáváme limitu typu
k
0
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Pro x  2-
je jmenovatel záporné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Záporný čitatel a záporný jmenovatel dává kladné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty bez směrnice ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
:
D(f) = R - {2}
lim
x2+
1 - x2
x - 2
=
-3
0+
= -
lim
x2-
1 - x2
x - 2
=
-3
0-
= 
Funkce má asymptotu bez směrnice a je jí přímka x = 2.
Obě jednostranné limity v bodě x0 = 2 jsou nevlastní, funkce
má tečnu t : x = 2 v nevlastních bodech [2, ].
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Podle předpisu k = lim
x
f(x)
x
je k = lim
x
1-x2
x-2
x
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Roznásobíme jmenovatel.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Víme, že stačí uvažovat hlavní členy polynomů.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Krácením dostaneme k = -1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Podle předpisu q = lim
x
(f(x) - kx) je
q = lim
x
1 - x2
x - 2
- (-1)x .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Převádíme na společného jmenovatele.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Upravíme čitatel.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Limitu typu


řešíme např. l'Hospitalovým pravidlem.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  :
k = lim
x
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x
-x2
x2
= -1
q = lim
x
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x
-2
1
= -2
Funkce má pro x   asymptotu se směrnicí a je jí přímka
y = -x - 2.
Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se
směrnicí y = kx + q.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
Analogicky řešíme limity pro x  -. U racionálních lomených
funkcí je pravidlem, že je výsledek stejný jako pro x  .
POZOR - u ostatních funkcí tomu tak není!!!
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y =
1 - x2
x - 2
pro x  -:
k = lim
x-
1 - x2
x(x - 2)
= lim
x-
1 - x2
x2 - 2x
= lim
x-
-x2
x2
= -1
q = lim
x-
1 - x2
x - 2
+ x = lim
x-
1 - x2
+ x(x - 2)
x - 2
= lim
x-
1 - 2x
x - 2
l'H
= lim
x-
-2
1
= -2
Funkce má i pro x  - asymptotu se směrnicí a je jí také
přímka y = -x - 2.
Obě čísla k a q existují, existuje tedy také asymptota se
směrnicí y = kx + q.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×