Nevlastní integrál vlivem funkce
Lenka Přibylová
3. srpna 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
Definice - singularita v horní mezi 3
1
0
1
1 - x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Definice - singularita v dolní mezi 10
8
0
1
x1/3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Definice - singularita uvnitř intervalu integrace 18
2
0
1
(x - 1)2/3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
-1
1
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Definice - singularita v horní mezi
xa b
y = f (x)
b
a
f (x) dx = lim
tb-
t
a
f (x) dx = lim
tb-
[F(t) - F(a)]
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
V horní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 1
funkce není definovaná. Jde o výraz typu
1
0
. Nelze spočítat určitý
integrál, protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t
z levého okolí x = 1 je nyní integrál určitý,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
Dosadíme meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
0
1
1 - x
dx.
1
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
t
0
1
1 - x
dx = lim
t1-
- ln |1 - x|
t
0
= lim
t1-
- ln |1 - t| + ln 1 = 
Spočteme limitu. Integrál diverguje.
lim
t1-
ln |1 - t| = ln |0+
| = 
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Definice - singularita v dolní mezi
xba
y = f (x)
b
a
f (x) dx = lim
ta+
b
t
f (x) dx = lim
ta+
[F(b) - F(t)]
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
V dolní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 0
funkce není definovaná. Jde o výraz typu
1
0
. Nelze spočítat určitý
integrál, protože v x = 0 neexistuje primitivní funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t
z pravého okolí x = 0 je nyní integrál určitý,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
Zjednodušíme zlomek. Konstantu lze vytknout až před limitu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
Dosadíme meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
8
0
1
x1/3
dx.
8
0
1
3

x
dx = lim
t0+
8
t
1
3

x
dx = lim
t0+
x2/3
2/3
8
t
=
3
2
lim
t0+
3

x2
8
t
=
3
2
lim
t0+
4 -
3

t2 = 6
Spočteme limitu.
lim
t0+
3

t2 = 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Definice - singularita uvnitř intervalu integrace
a c
y = f (x)
xb
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není
definovaná pro x = 1. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde
funkce není ohraničená.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t
v levém resp. pravém okolí x = 1 jsou nyní integrály určité,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
Dosadíme meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
2
0
1
(x - 1)2/3
dx.
2
0
1
(x - 1)2/3
dx =
1
0
1
(x - 1)2/3
dx +
2
1
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
t
0
1
(x - 1)2/3
dx + lim
t1+
2
t
1
(x - 1)2/3
dx
= lim
t1-
3
3

x - 1
t
0
+ lim
t1+
3
3

x - 1
2
t
= lim
t1-
3
3

t - 1 + 3 + lim
t1+
3 - 3
3

t - 1 = 6
Spočteme limity.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není
definovaná pro x = 0. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde
funkce není ohraničená.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t
v levém resp. pravém okolí x = 0 jsou nyní integrály určité,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
Dosadíme meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte
1
-1
1
x
dx.
1
-1
1
x
dx =
0
-1
1
x
dx +
1
0
1
x
dx
= lim
t0-
t
-1
1
x
dx + lim
t0+
1
t
1
x
dx
= lim
t0-
ln |x|
t
-1
+ lim
t0+
ln |x|
1
t
= lim
t0-
ln |t| - ln 1 + lim
t0+
ln 1 - ln |t|
Spočteme limity.
lim
t0+
ln |t| = -
Integrál neexistuje.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×