Substituční metoda
Lenka Přibylová 28. července 2006
H   H
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
íe2x+7dx................................      3
í xel-x2áx................................    11
/___________dx                                                                      19
BEI    BI    13    iaa                                                                                                                                    ©Lenka Přibylová, 20060
Vypočtěte / e   + dx
,2*+7,
©Lenka Přibylová, 2006|
Vypočtěte / e2x+7 dx
e2x+7dx
Vnitřní složka je 2x + 7.
3    El    13    133                                                                                                                                    (c) LeňT^RfByfcWT^TOSj
Vypočtěte / e2x+7 dx
e2x+7dx =
Zavedeme substituci 2x + 7 = t.
iLjLyiiuiiiu!,w^uuü|
Vypočtěte / e2x+7 dx
e2x+7dx
Nalezneme vztah mezi dx a dř.
—I...I......   . ... g
Vypočtěte / e2x+7 dx \
e2x+7dx
2x + 7=t 2dx= dř
1 , dx = - dř 2
©Lenka Přibylová, 2006|
Vypočtěte / e2x+7 dx \
e2x+7dx
2x + 7=t 2dx= dř
1 , dx = - dř 2
éldt
BEI
Dosadíme substituci.
—I...I......   . ... g
Vypočtěte / e2x+7 dx
	2x + 7=t
e2x+7dx =	2dx= dř 1 , dx = - dř 2
	
1 t ---é + c	
= / éldt
Integrujeme.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte / e2x+7 dx
e2x+7dx =
2x + 7=t 2dx= dř
1 , dx = - dř 2
-e* + c= -e2x+7 + c
= I éldt
Použijeme substituci k návratu k proměnné x. Došli jsme k témuž výsledku jako při použití vztahu / f(ax + b) dx = -F(ax + b).
BEI    El    ia
^J^^PflB^^^^^W^^^^J
A-x
Vypočtěte / xe       dx.
]
©Lenka Přibylová, 2006|
Vypočtěte / xe1 x dx.
)
xe1 x dx
Výraz je součinem polynomu a složené exponenciální funkce.
(c) Lenka ťiibylová, 2UU6 £
A-xí
Vypočtěte / xe       dx.
]
xe1 x dx
l-xz = t
Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e
—I...I......   . ... i
A-xí
Vypočtěte / xe       dx.
]
xe1 x dx
l-xz = t -2xdx = dř
Hledáme vztah mezi diferenciály. Derivujeme obě strany substituce.
(c) Lenka ťiibylova, 2UU6 £
A-xí
Vypočtěte / xe       dx.
]
	l-x2 = t
xe1 x dx	-2xdx = dř 1  , xdx = —- dř 2
	
Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu.
|    B    B    B                                                                                                                                    (ö Lenka ťnbylova,UUt>|
A-xí
Vypočtěte / xe       dx.
]
	l-x2 = t
xe1 x dx	-2xdx = dř 1  , xdx = —- dř 2
	
e(dř
Dosadíme.
—I...I......   . ... g
A-xí
Vypočtěte / xe       dx.
]
xe
\-xl
dx
1 - xz = t -2xdx = dř
1  , xdx = —- dř 2
efdt
--<?'+c
Vypočtěte integrál pomocí vzorce.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
A-xL
Vypočtěte / xe       dx.
]
	l-x2 = t
xe1 x dx	-2xdx = dř 1  , xdx = —- dř 2
	
e(dř
= --£'+C
= --e1 x +c
Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte / ------------,         dx
)
©Lenka Přibylová, 2006|
Vypočtěte / ------------,         dx
dx
)
(2 + x)y/l+X
Příklady s odmocninou z lineárního členu řešíme vždy druhou substituční metodou. Zbavujeme se tak nepříjemné odmocniny.
3    E|    Q    Íä3~~                                                                                                                                                         (tyLenka Přibylová, 2UU61  |
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
)
(2 + x)y/l+X
dx =
Vl + x = t
Zavedeme proto substituci t = \A + x.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
:dx
)
(2 + x)VTT.
dx =
Odmocninu vždy převedeme umocněním na tvar bez odmocniny, přecházíme takto vlastně k inverzní funkci.
BEI    Q    Q
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
(2 + x)VTT.
)
	Vl + x	= t
dx =	l + x = x = t2-	t2 -1
Inverzní funkce bude v přepisu také třeba.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
)
(2 + x)VTT.
	
	Ví + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2řdř
Hledáme vztah mezi diferenciály. Derivujeme obě strany inverzní substituce.
3 Lenka Přibylová, 20061  |
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
(2 + x)VTT.
)
	
	Ví + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2řdř
t2-l)
Všechny výrazy s x zaměníme pomocí substituce za ekvivalentní výrazy s t. Nejdříve použijeme za x inverzní substituce.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)Vl + x
dx
(2 + x)Vl+x
)
	
	Vl+X = ř
dx =	1 + X = ř2 x = ř2 - 1
	dx = 2řdř
Í2 + Í2-I)ř
Odmocnina odpovídá ř.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
)
(2 + x)VTT.
	
	Ví + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2řdř
Í2 + Í2-I)ř
•2řdř
Diferenciál také substituujeme. Všechny členy s x jsme nahradili.
(C) Lenka ťiibylová, 2UU6 £
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
)
(2 + x)VTT.
	
	Ví + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2řdř
Í2 + Í2-I)ř
•2řdř = 2
1 + ř2
dř
Zkrátíme a konstantu převedeme před integrál.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
)
(2 + x)y/l+X
	
	Ví + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2řdř
1
2 + t2-l)t 2 arctg t + c
■2tdt = 2
1 + ř2
dř
Integrujeme.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Vypočtěte
(2 + x)VTT
■.dx
)
(2 + x)VTT.
	
	Vl + x = t
dx =	l + x = t2 x = t2-l
	dx = 2tdt
t2-l)t
■2tdt = 2
1 + ř2
dř
= 2 arctg t + c = 2 arctg \J\ + x + c
BEI
Navrátíme se k původní proměnné.
^^^^HB^^^^^W^^^^J