Určitý integrál Lenka Přibylová 28. července 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah I (3x2 + 2x-9)dx.......................... 3 / -dx ................................. 14 J-l x / -~-----dx............................... 16 73 x2-4 / xlnxdx................................ 24 I sin2xcosxdx............................ 32 Jo ■ BOB ©LenkaPnbylová^OOóQ Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. ) ©Lenka Přibylová, 2006| A Najděte / (3x2 + 2x - 9) dx. 1 l (3x2+2x-9)dx -2 Počítáme určitý integrál z polynomu na intervalu (—2,1). Polynom je spojitá funkce na celém R, proto můžeme k výpočtu použít Newton-Leibnitzovu větu. Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = Najdeme primitivní funkci k danému polynomu. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = ' X3 „X2 3t+2t Najdeme primitivní funkci k danému polynomu ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' a zapíšeme ji do hranatých závorek s dolní a horní mezí intervalu. Tento zápis značí odčítání F(l) — F(—2). Integrační konstantu nemusíme psát, protože by se v rozdílu stejně odečetla. bei ni ia iaa ^^^MS^^^^BW^TO^ Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' x3 + x2 - 9x Před dosazováním upravíme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' x3 + x2 - 9x =1+1-9 Dosadíme do primitivní funkce horní mez ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' x3 + x2 - 9x = 1 + 1 -9- (-8 + 4 + 18) a odečteme hodnotu v dolní mezi. —I...I...... . ... g Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' =1+1-9 x3 + x2 - 9x 4 + 18) = -7-14= -21 Dostali jsme výsledek, kterým je vždy číslo, protože představuje obsah plochy pod křivkou y = 3x2 + 2x — 9. Najděte / (3xz + 2x - 9) dx. 1 (3x2+2x-9)dx = 4+4-91' x3 + x2 - 9x =1+1-9 4 + 18) = -7-14= -21 Proč je určitý integrál záporný? ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / (3x2 + 2x - 9) dx. -2 ) Graf funkce je pod osou x, n proto v integrálním součtu ^/(£,)Ax, je /(£;) záporné číslo. Integrální ! = 1 součet je tedy záporný a také jeho limita - určitý integrál - je záporné číslo. Obsah útvaru omezeného osou x a křivkou na daném intervalu je tedy absolutní hodnota určitého integrálu: S = 21. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte Tz) ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte Tz) Funkce není na intervalu spojitá, jelikož v bodě 0 není definovaná. Určitý integrál neexistuje. Najděte / ——- dx. ) ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / ——- dx. J3 X Q ) 7 X x2-4 dx Funkce není definovaná a spojitá v bodech, kde je jmenovatel nulový: x2 — 4 = 0. Není tedy definovaná v bodech 2 a —2. Na celém intervalu (3,7) je tedy funkce definovaná a spojitá, můžeme proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. BEI (c) LenkäTflB^fl^^CWf 7 X Najděte / ——- dx. J3 X Q ) 7 x 1 ŕ 7.x dx = - -~----- dx = x2 - 4 2Í3 x2-4 Jde o ryze lomenou funkci. V čitateli vytvoříme derivaci jmenovatele x 2 4)'= 2x. BEI Q jg OS (c) LeňT^RfByBvS^TOSj Najděte / ——- dx. j3 X Q i x 1 ŕ 2x , ■ dx = - / -~------ dx = 3 x2 - 4 2Í3 x2-4 -ln|xz -4| Použijeme vzorec ///(x)dx-y /(x) - = ln|/(x)|. ■ (IJJLUUJilťllUVluUI, JUUtft Najděte 3 xz-4 ■dx. ) x 1 ŕ 2x , dx = - -~----- dx = x2-4 2 h x2-4 = -ln45 2 -lnlx2 -4| 2 ' ' Dosadíme horní mez: 72 — 4 = 45 ĚB ei la laa ~~^^^^— ILJLyilUlllU^va^UUuí Najděte ■dx. 3 XA 1 x 1 ŕ 2x , dx = - -~----- dx = x2-4 2 J3 x2 - 4 1 1 = -In45--ln5 2 2 -lnlx2 -4| 2 ' ' a dolní mez: 32 — 4 = 5 Ccj LenKa ťnDyiovi Najděte ■dx. 3 XA 1 3 Xz ■dx = - / -~----- dx = 2 h x2 -In Ix2 -4| 2 ' ' 111 = -In45--ln5= -ln9 2 2 2 Při úpravě použijeme vzorec pro práci s logaritmy: a ln a — In b = In - ^^HIB^WB^B^^Ü^ Najděte ■dx. 3 XA 1 x 1 ŕ 2x , dx = - -~----- dx = x2-4 2 J3 x2 - 4 -lnlx2 -4| 2 ' ' 111 = -In45--ln5= -In9 = ln3 2 2 2 a další vzorec a\nb = \nba. —I...I...... . ... g Najděte / xlnxdx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / xlnxdx. 2 x In x dx i Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce. Tyto funkce jsou na intervalu (1,2) spojité. Použijeme Newton-Leibnitzovu formuli. j B B B (oLmkaťnbylova^UUt,! Najděte / xlnxdx. x In x dx = 1 U - = In x m' = x x2 v = = x v = 2 Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce /» í/dx = = M • V — u' ödx kde u = = In x a o' = x. ^^HHBMB^WW!^ x In x dx = u = In x u' = 1 x v' = x v = x2 2 In x 2 x dx Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce u ■ v' dx = u ■ v — / u' ■ v dx kde u = In x a v' = x. První část vzorce u ■ v už je součástí primitivní funkce, proto ji musíme zapsat do hranatých závorek. Druhá část je určitý integrál, musíme tedy psát meze. Najděte / xlnxdx. x In x dx = 1 U - = In x u1 = x x2 v = = x v = 2 ■ In x i 2 x dx 4 1 1 f2 = - In 2-----lnl-----/ xdx 2 2 2Ji Dosadíme horní mez a odečteme hodnotu v dolní mezi. —I...I...... . ... g Najděte / xlnxdx. x In x dx = 1 U - = lnx m' = X X2 v = = X v = 2 ■ lnx 2x^1 i 2 x dx 4 1 1 r2 1 = - ln2-----lni-----/ xdx = 21n2----- 2 2 2 A 2 Najdeme primitivní funkci. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / xlnxdx. x In x dx = 1 U - = lnx m' = X X2 v = = X v = 2 ■ lnx 2x^1 i 2 x dx 4 1 1 r2 1 = - ln2-----lni-----/ xdx = 21n2----- 2 2 2 A 2 1 / 1 = 21n2-- 2-- 2 V 2 Dosadíme. —I...I...... . ... g Najděte / xlnxdx. x In x dx = 1 U - = lnx m' = X X2 v = = X v = 2 ■ lnx 2x^1 i 2 x dx 4 1 1 r2 1 = - ln2-----lni-----/ xdx = 21n2----- 2 2 2 A 2 = 21n2-^2-^) =21n2-^ 2 V 2 Z 4 Upravíme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos x áx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx 7T, Funkce je spojitá na celém R, tedy i na intervalu (0, —). Můžeme použít Newton-Leibnitzovu formuli. 3 El 13 133 (c) LeňT^RfByfcW^TO^ Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = t Primitivní funkci nalezneme pomocí substituce t = sin x, protože jde o funkci goniometrickou typu Ŕ(sinx) cos x. BEI Q Q ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = t cosxdx = dř Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = t cosxdx = dř ř2dř Dosadíme. —I...I...... . ... g Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = ř cosxdx = dř h = sinO = 0 h = srn — 2 = 1 = / řzdř Jo 71. Pro původní proměnnou x integrujeme na intervalu (0, —). Při přechodu k proměnné t musíme spolu s proměnnou x změnit i její interval integrace, protože ř 6 (0,1). ^HB^WH^WyS^ro? i Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = ř cosxdx = dř h = sinO = 0 h = srn — 2 = 1 = / ťdt = Integrujeme v proměnné t. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos x dx. sin2xcosxdx = sin x = ř cosxdx = dř h = sinO = 0 h = srn — 2 = 1 = / ťdt = Dosadíme meze proměnné t. Získáváme tedy výsledek aniž bychom se vraceli k původní proměnné. BEI Q jg OS (c) LeňT^RfByBvS^TOSj Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060