Hodnost matice Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 c Lenka Přibylová, 2006 × Obsah Najděte hodnost matice A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Najděte hodnost matice B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 ˇ Ř ádek R1 bude klíčový. ˇ Zůstane jako první a pomocí něj budeme nulovat zbylá čísla v prvním sloupci. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Vynulujeme prvek a21. Provedeme -3R1 + R2. -3 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Vynulujeme prvek b31. Provedeme R1 + R3. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Prvek a41 je nulový a tento řádek tedy stačí pouze opsat. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 ˇ První řádek (původně klíčový) zůstane. ˇ Červeně označený řádek obsahuje jedničku na začátku a zvo- líme jej jako další klíčový řádek. To je nejšikovnější, protože a42 = 1, zatímco a22 = -5 a a23 = 4. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Vynulujeme prvek a22. Provedeme 5R4 + R2. 5 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Vynulujeme prvek a32. Provedeme -4R4 + R2. -4 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 ˇ Poslední řádek můžeme vydělit číslem 18. ˇ Ostatní řádky zůstanou. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 ˇ První dva řádky zůstanou. ˇ Prvek a34 = -1 je šikovnější pro další úpravy, než a33 = 26. Proto jako další klíčový volíme řádek R4. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 Vynulujeme prvek a33. Provedeme 26R4 + R3. 26 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice A. A = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (A) = 4 ˇ Matice je ve schodovitém tvaru. ˇ Schodovitý tvar má čtyři řádky. Hodnost je čtyři. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 ˇ Zvolíme červený řádek jako klíčový. ˇ Tento řádek zůstává a píšeme ho jako první. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 2R1 - 3R2 = . . . (-3) 2 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 2R3 - 3R2 = . . . (-3) 2 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 R4 - R2 = . . . (-1) c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 První řádek zůstává. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 ˇ Další klíčový řádek bude jeden z červených řádků. ˇ Protože by vytváření dalších nul bulo složitější, uděláme me- zikrok ­ vytvoříme nejprve jedničku. ˇ Druhý řádek ponecháme na svém místě. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Zvolíme červený řádek jako klíčový a provedeme R2 - R3 = . . . (-1) c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Vytvoříme jedničku i v dalším řádku: R2 - R4 = . . . . (-1) c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 ˇ Ř ádek R3 je násobkem řádku R4. ˇ Jeden z nich můžeme tedy odstranit. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 ˇ Odstranili jsme třetí řádek. ˇ První řádek zůstává. ˇ Nový klíčový řádek bude řádek s jedničkou. Píšeme jej jako druhý. c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Vytvoříme nulu místo čísla -5. Provedeme tedy 5R3 + R2 = . . . 5 c Lenka Přibylová, 2006 × Najděte hodnost matice B. B = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 ˇ Matice je ve schodovitém tvaru. ˇ Schodovitý tvar má tři řádky. ˇ h (A) = 3. c Lenka Přibylová, 2006 × KONEC c Lenka Přibylová, 2006 ×