Matematika přednáška Lenka Přibylová 2. února 2007 c Lenka Přibylová, 2007 × Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí 22 Inverzní funkce 37 Komplexní čísla 42 Polynomy 56 c Lenka Přibylová, 2007 × Celočíselné kořeny 59 Racionální lomená funkce 83 Číselné vektory 85 Lineární kombinace vektorů 102 Lineární závislost a nezávislost vektorů. 103 Matice 105 Operace s maticemi 108 Hodnost matice 127 Inverzní matice 132 Determinant matice 139 c Lenka Přibylová, 2007 × Soustavy lineárních rovnic 154 Gaussova eliminační metoda 159 Cramerovo pravidlo 160 Analytická geometrie v rovině 161 Kuželosečky 168 Analytická geometrie v prostoru 174 Významné plochy v prostoru 182 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 184 Limita funkce 186 Jednostranná limita 189 c Lenka Přibylová, 2007 × Nevlastní body 193 Nevlastní limita 195 Limita v nevlastním bodě 198 Spojitost funkce 199 Pravidla pro počítání s limitami 201 Výpočet limity funkce 205 Derivace funkce 207 Vzorce a pravidla pro derivování 213 Diferenciál funkce 216 Derivace vyšších řádů 218 c Lenka Přibylová, 2007 × Užití derivací k výpočtu limit 220 Monotónnost funkce. Lokální extrémy. 222 Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. 225 Asymptoty funkce 228 Průběh funkce 231 Taylorův polynom 232 Integrální počet funkcí jedné proměnné 235 Základní vzorce a pravidla 237 Metoda per partes 240 Substituční metoda 242 c Lenka Přibylová, 2007 × Integrace racionálních lomených funkcí 245 Integrace goniometrických funkcí. 248 Integrace iracionálních funkcí. 249 Integrace složené exponenciální funkce 251 Určitý integrál 252 Newton­Leibnitzova formule 256 Vlastnosti určitého integrálu 257 Výpočet určitého integrálu 258 Geometrické aplikace určitého integrálu 259 Nevlastní integrál 262 c Lenka Přibylová, 2007 × Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 265 Parciální derivace 271 Diferenciál a tečná rovina plochy 273 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 275 Absolutní extrémy 279 Integrální počet funkcí dvou proměnných 281 c Lenka Přibylová, 2007 × Základy matematické logiky Definice: Výrok je sdělení o jehož pravdivosti můžeme rozhod- nout. Pravdivostní hodnotou výroku V je číslo p(V) = 1, pokud je výrok V pravdivý a p(V) = 0, pokud je výrok V nepravdivý. Logické spojky umožňují z jednotlivých výroků tvořit složitější. negace A není pravda, že A konjunkce A B A a zároveň B disjunkce A B A nebo B implikace A B jestliže A, pak B ekvivalence A B A právě když B c Lenka Přibylová, 2007 × Tabulka pravdivostních hodnot základních výroků: p(A) p(B) p(A) p(A B) p(A B) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 p(A) p(B) p(A B) p(A B) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Tautologie je složený výrok, který má vždy pravdivostní hodnotu 1 bez ohledu na to, jaké jsou pravdivostní hodnoty vý- roků, z nichž je utvořen. Věta: Následující výroky jsou tautologie: A A, A A, A A, (A A) A (A B) (A B), (A B) (A B) (A B) (A B), (A B) (A B) c Lenka Přibylová, 2007 × Sdělení "celé číslo x je větší než 1" není výrok, protože nelze rozhodnout o jeho pravdivosti či nepravdivosti. Teprve když za x dosadíme nějakou přípustnou konstantu, dostaneme výrok. Takovéto sdělení se nazývá výroková forma. Je-li V(x) výroková forma, pak její definiční obor je množina těch takových, že V() je výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je množina těch z definičního oboru, že V() je pravdivý výrok. Z výrokové formy můžeme vytvořit výrok dosazením konstanty z definičního oboru nebo tzv. kvantifikací proměnných. Kvantifikovaný výrok vytvoříme z výrokové formy tak, že udáme počet objektů, pro něž z výrokové formy utvoříme výrok pomocí kvantifikátoru "každý" (), "alespoň jeden" (), "nejvýše dva", "právě tři" atd. Příklady z logiky c Lenka Přibylová, 2007 × Základní množinové pojmy Množina je soubor nějakých věcí nebo objektů, které nazývme prvky množiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří. Množiny značíme zpravidla velkými písmeny A, B, C, . . ., jejich prvky malými písmeny a, b, c, x, . . . . Příslušnost resp. nepříslušnost prvku x do množiny A značíme x A, resp. x / A Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků A = {1, 4, 7} nebo zadáním pravidla, které určí, zda daný prvek do množiny patří nebo ne A = {x : x je sudé 0 x < 7} = {0, 2, 4, 6} c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Sjednocením množin A a B nazýváme množinu A B = {x : x A x B}, průnikem množin A a B nazýváme množinu A B = {x : x A x B}, rozdílem množin A a B nazýváme množinu A - B = {x : x A x / B}. Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji . Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývá konečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývá nekonečná. c Lenka Přibylová, 2007 × Základní číselné množiny mají pevně dohodnutá označení: Definice: N = {1, 2, 3, . . .} . . . množina přirozených čísel Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .} . . . množina celých čísel Q = m n : m Z, n N . . . množina racionálních čísel R = (-, ) . . . množina reálných čísel I = R - Q . . . množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b R} . . . množina komplexních čísel c Lenka Přibylová, 2007 × Množina reálných čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B A Množinu R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny R jsou intervaly. c Lenka Přibylová, 2007 × Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. a b a < x < b uzavřený interval a, b označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. a b a x b Další možné typy intervalů jsou například tyto: a b a x < b a - < x a a, b) (-, a c Lenka Přibylová, 2007 × Funkce Definice: Necht'jsou dány neprázdné množiny D a H. Pravidlo f, které každému prvku x D přiřazuje právě jeden prvek y H, se nazývá funkce. Zapisujeme y = f(x) nebo f : x y. Množina D = D( f ) se nazývá definiční obor funkce f. Množina všech y H, pro která existuje x D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce f a označujeme jej H( f ). Pokud jsou D( f ) a H( f ) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní c Lenka Přibylová, 2007 × a distributivní zákon. f g (x) = f (x) g(x) f g (x) = f (x) g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí D( f ) D(g). f g (x) = f (x) g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D( f ) D(g) - {x : g(x) = 0}. Další operací je skládání funcí. c Lenka Přibylová, 2007 × Složená funkce Definice: Necht' u = g(x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Necht' y = f (u) je funkce s definičním oborem D( f ) H(g). Složenou funkcí f g (x) = f g(x) ro- zumíme přiřazení, které x D(g) přiřazuje y = f (u) = f (g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci f vnější složkou složené funkce. x g(x) f g(x) g f f g D(g) D( f ) H( f ) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořáda- ných dvojic [x, f (x)], x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. y x0 f (x0) x0 c Lenka Přibylová, 2007 × Vlastnosti funkcí Definice: Necht' f je funkce a M D( f ) podmnožina definičního oboru funkce f. 1. Ř ekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže d R takové, že pro x M platí d f (x). 2. Ř ekneme, že funkce f je na množině M shora ohraničená, jestliže h R takové, že pro x M platí f (x) h. 3. Ř ekneme, že funkce f je na množině M ohraničená, je-li na M ohraničená zdola i shora. Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlast- nost platí na celém definičním oboru funkce f. c Lenka Přibylová, 2007 × Graf zdola ohraničené funkce leží nad nějakou vodorovnou přímkou: y x0 d y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Graf shora ohraničené funkce leží pod nějakou vodorovnou přímkou: y x0 h y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Graf ohraničené funkce leží mezi nějakými dvěma vodorovnými přímkami: y x0 h d y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: 1. Ř ekneme, že funkce f je sudá, pokud pro x D( f ) platí, že -x D( f ) f (-x) = f (x). 2. Ř ekneme, že funkce f je lichá, pokud pro x D( f ) platí, že -x D( f ) f (-x) = -f (x). c Lenka Přibylová, 2007 × Graf sudé funkce je symetrický podle osy y: y x0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Graf liché funkce je symetrický podle počátku: y x 0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht'p R, p > 0. Ř ekneme, že funkce f je periodická s periodou p, pokud pro x D( f ) platí x + p D( f ) f (x) = f (x + p). y x0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' f je funkce a M D( f ) podmnožina definičního oboru funkce f. 1. Ř ekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, pokud pro x1, x2 M splňující x1 < x2 platí f (x1) < f (x2). 2. Ř ekneme, že funkce f je na množině M klesající, pokud pro x1, x2 M splňující x1 < x2 platí f (x1) > f (x2). 3. Funkci f nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li bud'rostoucí nebo klesající. c Lenka Přibylová, 2007 × Graf rostoucí funkce: y x 0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Graf klesající funkce: y x0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' f je funkce a M D( f ) podmnožina definičního oboru funkce f. 1. Ř ekneme, že funkce f je na množině M neklesající, pokud pro x1, x2 M splňující x1 < x2 platí f (x1) f (x2). 2. Ř ekneme, že funkce f je na množině M nerostoucí, pokud pro x1, x2 M splňující x1 < x2 platí f (x1) f (x2). 3. Funkci f nazýváme monotónní na množině M , je-li bud' nerostoucí nebo neklesající. c Lenka Přibylová, 2007 × Graf neklesající funkce: y x0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Graf nerostoucí funkce: y x0 y = f (x) Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. Interaktivní on-line kvizy na vlastnosti funkcí. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' f je funkce a M D( f ) podmnožina definičního oboru funkce f. Ř ekneme, že funkce f je na množině M prostá, pokud pro x1, x2 M splňující x1 = x2 platí f (x1) = f (x2). Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: y x0 y = f (x) y x0 y = f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Inverzní funkce Definice: Necht' f je prostá funkce. Funkci f -1 , která každému y H( f ) přiřazuje právě to x D( f ), pro které platí y = f (x), nazýváme inverzní funkcí k funkci f. x y f f -1 D( f ) = H( f -1 ) H( f ) = D( f -1 ) c Lenka Přibylová, 2007 × 1. x D( f ), y H( f ) platí f -1 f (x) = x a f f -1 (y) = y. 2. Grafy funkcí f a f -1 jsou symetrické podle osy prvního kvadrantu: y x0 f f -1 c Lenka Přibylová, 2007 × Elementární funkce Interaktivní on-line kviz na grafy funkcí v posunutém tvaru. Poznámka 1 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f (y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce f prostá, je toto vyjádření jednoznačné. Příklad na nalezení inverzní funkce c Lenka Přibylová, 2007 × U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = x y = x2 , x 0 y = 3 x y = x3 y = ex y = ln x y = ax , a = 1 y = loga x y = sin x, x -/2, /2 y = arcsin x y = cos x, x 0, y = arccos x y = tg x, x (-/2, /2) y = arctg x y = cotg x, x (0, ) y = arccotg x c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 2. Platí tedy například: x2 = x ln(ex ) = x eln x = x arcsin(sin x) = x Příklad . Vypočtěte, pro které x platí ln x = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: ln x = 3 eln(x) = e3 x = e3 . = 20.0855 c Lenka Přibylová, 2007 × Komplexní čísla Definice: Komplexním číslem rozumíme uspořádanou dvojici re- álných čísel a, b zapsanou ve tvaru z = a + bi(algebraický tvar kom- plexního čísla). Číslo a = Re z nazýváme reálnou, číslo b = Im z imaginární částí komplexního čísla z. Číslo z = a - bi nazýváme číslem komplexně sdruženým s číslem z. Definujeme operace součet a součin takto: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i z1z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i Tyto operace vycházejí ze základní definice i = -1. Platí tedy především i2 = -1. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Pro komplexní čísla z1, z2, z3 platí ˇ z1 + z2 = z2 + z1 ˇ z1z2 = z2z1 ˇ z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 ˇ z1(z2z3) = (z1z2)z3 ˇ z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 Poznámka 3. Podíl z1 z2 dvou komplexních čísel z1, z2, z2 = 0, je komplexní číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru a + bi tak, že zlomek z1 z2 rozšíříme číslem z2 c Lenka Přibylová, 2007 × Příklad. 2 + 5i 3 - 4i = (2 + 5i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i) = -14 + 23i 9 + 16 = - 14 25 + 23 25 i c Lenka Přibylová, 2007 × Příklad. 2 + 5i 3 - 4i = (2 + 5i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i) = -14 + 23i 9 + 16 = - 14 25 + 23 25 i Zlomek rozšíříme číslem 3 + 4i, protože je komplexně sdružené s jmenovatelem 3 - 4i. c Lenka Přibylová, 2007 × Příklad. 2 + 5i 3 - 4i = (2 + 5i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i) = -14 + 23i 9 + 16 = - 14 25 + 23 25 i Roznásobíme, přitom 5i 4i = -20 a ve jmenovateli použijeme vzorec (a + b)(a - b) = a2 - b2 , kde (4i)2 = -16. Jmenovatel je tedy nutně reálné číslo. c Lenka Přibylová, 2007 × Příklad. 2 + 5i 3 - 4i = (2 + 5i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i) = -14 + 23i 9 + 16 = - 14 25 + 23 25 i Dostáváme tak vždy výsledek v algebraickém tvaru. c Lenka Přibylová, 2007 × Geometrické znázornění komplexních čísel. Komplexní číslo z = a + bi znázorňujeme v Gaussově rovině: Im Re0 a b -b z = a + bi z = a - bi c Lenka Přibylová, 2007 × Absolutní hodnotou komplexního čísla z = a + bi rozumíme reálné číslo |z| = a2 + b2. V Gaussově rovině představuje |z| vzdálenost z od počátku. Platí |z| = zz, |z1z2| = |z1||z2|. Im Re0 z1 z2 z1 + z2 |z2 - z1| c Lenka Přibylová, 2007 × Goniometrický tvar komplexního čísla Každé nenulové komplexní číslo z = a + bi lze jednoznačně zapsat v goniometrickém tvaru z = r(cos + i sin ), kde r = |z| a je úhel, který svírá průvodič komplexního čísla z s reálnou osou, platí tedy cos = Re z |z| , sin = Im z |z| Číslo se nazývá argument (nebo též amplituda) komplexního čísla z a značí se = arg z. c Lenka Přibylová, 2007 × I když se nebudeme zabývat funkcemi komplexní proměnné, poznamenejme alespoň, že ei = cos + i sin . Dostáváme takto Eulerův tvar komplexního čísla z = r(cos + i sin ) = rei . Věta: Je-li z1 = r1(cos + i sin ) a z2 = r2(cos + i sin ), pak z1 z2 = r1ei r2ei = r1r2ei(+) = r1r2(cos( + ) + i sin( + )). c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 4. Pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvodit základní goniometrické vzorce pro násobné argumenty, např. cos(2) + i sin(2) = ei2 = ei(+) = ei ei = = (cos() + i sin()) (cos() + i sin()) = = cos2 - sin2 + i2 sin cos Věta (Moivreova věta): Je-li z = r(cos + i sin ) = rei , pak pro m Z platí zm = rm eim = rm (cos m + i sin m). c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (Odmocnina z komplexního čísla): n-tá odmocnina z kom- plexního čísla z = |z|(cos + i sin ) má n různých hodnot tvaru n z = n |z| cos + 2k n + i sin + 2k n , kde k = 0, 1, 2, . . ., n - 1. Poznámka 5. Je zřejmé, že umocněním na n-tou dostaneme vždy číslo z, protože funkce sin a cos mají periodu 2. c Lenka Přibylová, 2007 × Geometrický význam násobení a odmocňování Jestliže z1 = r1(cos + i sin ) a z1 = r1(cos + i sin ) jsou dvě komplexní čísla, které v Gaussově rovině leží ve vzdálenosti r1, resp. r2 a jejich průvodiče s reálnou osou svírají úhel , resp. , pak jejich součin z = z1z2 = r1r2(cos( + ) + i sin( + )) leží ve vzdálenosti r1 r2 a průvodič svírá s reálnou osou úhel + . Im Re0 z1 z2 z1z2 + c Lenka Přibylová, 2007 × Všech n hodnot n-té odmocniny z komplexního čísla z = r(cos + i sin ) leží na kruhu s poloměrem n z a jejich průvodiče rozdělují kruh na n stejných částí. Průvodič první z hodnot svírá s reálnou osou úhel n . Im Re0 z1 z2 z3 z4 c Lenka Přibylová, 2007 × Polynomy Definice: Funkci P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, kde an = 0, a0, . . . , an R nazýváme polynom stupně n. Čísla a0, . . . , an nazýváme koeficienty polynomu P(x). Koeficient a0 se nazývá absolutní člen. Definice: Kořenem polynomu P(x) je číslo x0 C, pro které platí P(x0) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Je-li x0 kořenem polynomu, pak lineární polynom (x - x0) s proměnnou x nazýváme kořenový činitel příslušný kořenu x0. Číslo x0 je k-násobným kořenem polynomu P, jestliže P(x) = (x - x0)k G(x), kde G je polynom a x0 již není jeho kořenem. Věta (Základní věta algebry): Polynom stupně n má právě n kom- plexních kořenů. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 má právě dva kořeny, a to x1,2 = -b b2 - 4ac 2a . c Lenka Přibylová, 2007 × Celočíselné kořeny Věta (Hornerovo schéma): Necht' f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, g(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + + b1x + b0 jsou polynomy. Je-li f (x) = (x - )g(x) + b-1, pak platí an = bn-1 a bk-1 = bk + ak, pro k = 0, 1, . . ., n - 1. Hornerovo schéma se používá k vypočtení funkční hodnoty polynomu v daném bodě. V případě, že je funkční hodnota nulová, je dané číslo kořenem polynomu. c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Do záhlaví tabulky sepíšeme sestupně všechny koeficienty. c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Číslo -3 zapíšeme vlevo do záhlaví řádku. c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Sepíšeme hlavní koeficient. c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3 1 - 4 = -7 c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3 (-7) - 4 = 17 c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3 17 - 0 = -51 c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3 (-51) + 7 = 160 c Lenka Přibylová, 2007 × Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 - 4x3 - 4x2 + 7 v x = -3. 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Na posledním místě v řádku dostaneme hodnotu polynomu P(-3) = 160. c Lenka Přibylová, 2007 × Celočíselné kořeny polynomu Pn(x) s celočíselnými koeficienty lze pomocí Hornerova schématu hledat mezi děliteli absolutního členu an, jak je vidět z následujícího roznásobení: 2(x - 2)(x + 3)(x2 + 5) = 2(x2 + x - 6)(x2 + 5) = 2x4 + . . . -60. Hornerovo schéma je také výhodné pro nalezení rozkladu na kořenové činitele, protože v případě dosazení kořene (tedy b-1 = 0) po řádcích dělí polynom příslušným kořenovým činitelem (x - ). c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Vypíšeme dělitele čísla 36 (i záporné). c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Budeme počítat hodnoty pomocí Hornerova schematu. Připravíme si proto koeficienty polynomu z levé strany rovnice do tabulky. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Dosadíme x = 1. Je-li P(x) polynom z pravé strany rovnice, vidíme, že P(1) = -72 a toto číslo x = 1 není kořenem. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Podobně ani x = -1 není kořenem. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Ani x = 2 není kořenem. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Nyní jsme zjistili, že x = -2 je kořenem. Levou stranu rovnice je tedy možno přepsat do tvaru (x + 2)(x4 - x3 - 3x2 - 3x - 18) = 0. Dál zkoumáme jenom polynom, který stojí v tomto součinu jako druhý. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Dosadíme opět x = -2. Opět je toto číslo kořenem a levou stranu rovnice je možno přepsat do tvaru (x + 2)2 (x3 - 3x2 + 3x - 9) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. ˇ Dosadíme opět x = -2. Nyní již se o kořen nejedná. ˇ Protože na konci polynomu, do kterého nyní dosazujeme, stojí číslo 9, zajímáme se jen o dělitele tohoto čísla. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. ˇ Vyškrtneme čísla která nedělí číslo 9 a dosazujeme další na řadě, x = 3. ˇ Vidíme, že x = 3 je kořenem. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. Polynom má dvojnásobný kořen x = -2 a jednoduchý kořen x = 3. Koeficienty 1, 0, 3 znamenají, že v součinu stojí polynom x2 + 0x + 3, který nemá reálné kořeny. c Lenka Přibylová, 2007 × Ř ešte v oboru celých čísel x5 + x4 - 5x3 - 9x2 - 24x - 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 a 36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 = 0 -2 1 -1 -3 -3 -18 0 -2 1 -3 3 -9 0 -2 1 -5 13 -35 3 1 0 3 0 Rozklad na součin je (x + 2)2 (x - 3)(x2 + 3) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Racionální lomená funkce Definice: Funkce R(x) = Pn(x) Qm(x) , kde P, Q jsou polynomy stupně n, m, je racionální funkce. Je-li n m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, je-li n < m, nazývá se funkce R(x) ryze lomená. Věta: Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet poly- nomu a ryze lomené funkce. Každou ryze lomenou funkci R(x) = Pn(x) Qm(x) lze rozepsat na součet parciálních zlomků. V rozkladu na parciální zlomky přísluší každému r-násobému reálnému kořeni polynomu Qm(x) právě r parciálních c Lenka Přibylová, 2007 × zlomků A1 ax + b + A2 (ax + b)2 + + Ar (ax + b)r . Dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů polynomu Qm(x) přísluší právě s parciálních zlomků B1x + C1 ax2 + bx + c + B2x + C2 (ax2 + bx + c)2 + + Bsx + Cs (ax2 + bx + c)s . Koeficienty A1, A2, . . . , Ar, B1, C1, B2, C2, . . . , Bs, Cs jsou určeny jednoznačně. Příklady na dělení polynomu polynomem Příklady na rozklad na parciální zlomky On-line kvizy na racionální funkce a dělení polynomů. c Lenka Přibylová, 2007 × Číselné vektory Ve fyzice a technických disciplínách se zkoumají veličiny ˇ skalární: představují velikost ­ hmotnost, čas, teplota, . . . ˇ vektorové: mají více složek, mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci ­ síla, okamžitá rychlost, posunutí . . . , nebo mo- hou představovat data ­ časová řada, barva (RGB), souřadnice pozice . . . c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Množinu Rn uspořádaných n-tic reálných čísel a = (a1, a2, . . . , an) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem defi- novanými (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) k(a1, a2, . . . , an) = (ka1, ka2, . . . , kan) pro všechna k R a (a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bn) Rn na- zýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto pro- storu, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a1, . . . , an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0, 0, . . ., 0) dimenze n nazýváme nu- lovým vektorem. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 6. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orien- tované průvodiče bodů: y x0 (1, 2) A = [1, 2] (2, 1.5) B = [2, 1.5] (1, -0.5) Vektor v = AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B - A. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 2 b - c = (1, 2, 1) + 2 (3, 0, -1) - (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, -2) - (2, 1, 0) = (1 + 6 - 2, 2 + 0 - 1, 1 - 2 - 0) = (5, 1, -1) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 2 b - c = (1, 2, 1) + 2 (3, 0, -1) - (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, -2) - (2, 1, 0) = (1 + 6 - 2, 2 + 0 - 1, 1 - 2 - 0) = (5, 1, -1) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) Dosadíme za vektory a vynásobíme vektor b dvěma (násobíme tedy každý prvek tohoto vektoru dvěma). c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 2 b - c = (1, 2, 1) + 2 (3, 0, -1) - (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, -2) - (2, 1, 0) = (1 + 6 - 2, 2 + 0 - 1, 1 - 2 - 0) = (5, 1, -1) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0)Sečteme (odečteme) odpovídající si komponenty vektorů. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 2 b - c = (1, 2, 1) + 2 (3, 0, -1) - (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, -2) - (2, 1, 0) = (1 + 6 - 2, 2 + 0 - 1, 1 - 2 - 0) = (5, 1, -1) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0)Upravíme. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor, c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) původní vektor se nemění, protože ke každé komponentě přičteme nulu. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) Násobení skalární nulou c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobení nulou přejde na nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů. c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s vektory a = (1, 2, 1), b = (3, 0, -1), c = (2, 1, 0) a + 0 = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a 0 a + 0 b + 0 c = (0, 0, 0) = 0 a + b - 2 c = (1, 2, 1) + (3, 0, -1) - (4, 2, 0) = (0, 0, 0) c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Vektor -a = -1 a nazýváme vektorem opačným k vek- toru a. Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo |a| = a2 1 + a2 2 + + a2 n = n i=1 a2 i . Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže |a| = 1. Velikost vektoru a = (-2, 1, 4, 0, -3) je |a| = 4 + 1 + 16 + 9 = 30. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Skalárním součinem vektorů a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) nazýváme číslo a b = a1 b1 + a2 b2 + + an bn = n i=1 aibi. Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a b = |a| |b| cos , kde je úhel, který svírají vektory a a b. Naopak tedy pro nenulové vektory platí, že svírají úhel , pro který platí cos = a b |a| |b| , = arccos a b |a| |b| . c Lenka Přibylová, 2007 × Ú hel, který svírají vektory a = (2, -1, 3, 2), b = (1, -2, -2, 1) splňuje cos = 2 + 2 - 6 + 2 4 + 1 + 9 + 4 1 + 4 + 4 + 1 = 0 18 10 = 0, = 2 = 90 Vektory jsou kolmé (ortogonální) je jejich skalární součin roven nule. c Lenka Přibylová, 2007 × Lineární kombinace vektorů Definice: Necht' u1, u2, . . . , un jsou vektory stejné dimenze a k1, k2, . . . , kn R. Vektor v = k1u1 + k2u2 + + knun = n i=1 kiui nazýváme lineární kombinací vektorů u1, u2, . . . , un. Příklady na lineární kombinaci vektorů. c Lenka Přibylová, 2007 × Lineární závislost a nezávislost vektorů. Definice: Vektory u1, u2, . . . , un nazýváme lineárně závislé, je-li aspoň jeden z vektorů lineární kombinací ostatních. V opačném případě je nazýváme lineárně nezávislé. Věta: Vektory u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé nulový vek- tor je právě jen jejich nulovou lineární kombinací, tj. 0 = k1u1 + k2u2 + + knun právě pro k1, k2, . . . , kn = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Platí-li 0 = k1u1 + k2u2 + + knun a alespoň jedno ki je nenulové, jsou vektory u1, u2, . . . , un lineárně závislé. Poznámka 7. Vektory jsou jistě závislé, pokud ˇ je mezi nimi alespoň jeden nulový. ˇ jsou mezi nimi dva vektory stejné. ˇ je-li některý vektor násobkem jiného. Definice: Báze vektorového prostoru dimenze n je libovolná line- árně nezávislá soustava n vektorů. Věta: Libovolný vektor vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Báze tedy generuje celý vektorový prostor. c Lenka Přibylová, 2007 × Matice Definice: Maticí typu m × n rozumíme uspořádané schema A = a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n ... ... ... am1 am2 amn kde aij R pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n. Množinu všech matic typu m × n označujeme symbolem Rm×n . Zkráceně zapisujeme Am×n = (aij) . c Lenka Přibylová, 2007 × Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice a často říkáme, že je řádu n místo typu n × n. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru aii, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály. Definice: Matice Am×n = (aij), kde aij = 0 pro všechna i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n se nazývá nulová matice. Definice: Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotko- vou matici značíme I. Definice: Schodovitá (stupňová) se nazývá matice, jejíž každý řá- dek začíná větším počte nul než předcházející. c Lenka Přibylová, 2007 × A = 3 4 2 -1 1 2 0 3 1 1 1 -2 0 0 0 2 0 1 B = 3 4 2 -1 1 2 0 0 1 1 1 -2 0 0 2 2 0 1 Matice A je schodovitá, matice B není schodovitá ­ druhý a třetí řádek začíná stejným počtem nul. Definice: Bud' A = (aij) Rm×n . Matice AT = (aji) Rn×m , tj. matice, která vznikne záměnou řádků a sloupců matice A, se nazývá matice transponovaná k matici A. A = 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 4 -2 1 AT = 2 3 2 4 -1 1 0 -2 2 -2 1 1 c Lenka Přibylová, 2007 × Operace s maticemi Definice: ˇ Necht' A = (aij), B = (bij) Rm×n . Součtem matic A a B rozumíme matici C = (cij) Rm×n , kde cij = aij + bij. Zapisujeme C = A + B. ˇ A = (aij) Rm×n a k R. Součinem čísla t a matice A rozu- míme matici D = (dij) Rm×n , kde dij = k aij. Zapisujeme D = kA. S maticemi tedy pracujeme stejně jako s čísly, sčítáme a číslem násobíme jednotlivé prvky. Platí proto komutativní, asociativní i distributivní zákon. c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášt'. c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášt'. c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášt'. c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 c Lenka Přibylová, 2007 × Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 + 1 -2 1 0 1 3 2 4 1 = 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 3 3 -3 3 3 2 1 4 4 2 = 9 -9 9 9 6 3 12 12 6 Při násobení matice číslem násobíme každou položku matice samostatně. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: A = (aij) Rm×p a B = (bij) Rp×n . Součinem matic A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C = (cij) Rm×n , kde cij = ai1b1j + ai2b2j + + aipbpj = p k=1 aikbkj = ai bj pro všechna i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, tj. prvek na i-tém řádku a j-tém sloupci vznikne jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadí). c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno A B = C, cij = k aikbkj c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Sečteme. c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno Pro matice NEPLATÍ komutativní zákon. Násobíme-li matice v opačném pořadí, c Lenka Přibylová, 2007 × Vynásobte matice 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 2 4 -1 2 3 1 = 2 2 + (-1) (-1) + 2 3 2 4 - 1 2 + 2 1 3 2 + 1 (-1) - 2 3 3 4 + 1 2 - 2 1 2 2 + 0 (-1) + 1 3 2 4 + 0 2 + 1 1 = 11 8 -1 12 7 9 2 4 -1 2 3 1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 = není definováno neodpovídají dokonce ani počty členů skalárního součinu. Komutativní zákon ale neplatí ani pro čtvercové matice. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Součin matic je asociativní a distributivní zprava i zleva vzhledem ke sčítání, tj. platí A(BC) = (AB)C (asociativita) A(B + C) = AB + AC (levý distributivní zákon) (B + C)A = BA + CA (pravý distributivní zákon) vždy, když tyto operace mají smysl. Součin matic není komutativní. Věta: Bud' A matice. Pak platí IA = A a AI = A vždy, když je tento součin definovaný. c Lenka Přibylová, 2007 × Hodnost matice Definice: Bud' A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A ozna- čujeme h(A). Věta: Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. c Lenka Přibylová, 2007 × A = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 0 0 0 0 0 0 je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. B = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Následující úpravy nazýváme ekvivalentní: ˇ záměna pořadí řádků ˇ vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem ˇ přičtení jiného řádku (nebo jeho násobku) k druhému ˇ vynechání řádku složeného ze samých nul Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentní, jestliže lze ma- tici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentních úprav. Značíme A B. Věta: Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 8. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale také řádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vznikly původně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídá jedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy, které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku ­ rovnic, vynásobení řádku ­ rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsou tedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic. x1 + 3x2 - x3 = 0 (-2) 2x1 + x2 + x3 = 0 přičteme k druhé rovnici x1 + 3x2 - x3 = 0 -5x2 + 3x3 = 0 1 3 -1 2 1 1 1 3 -1 0 -5 3 c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentních úprav převést do schodovitého tvaru. Věta: Transponování nemění hodnost matice. Příklady na výpočet hodnosti matice. c Lenka Přibylová, 2007 × Inverzní matice Definice: Bud' A Rn×n čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A-1 A = I = AA-1 , nazýváme matici A-1 inverzní maticí k matici A. Věta: Necht' matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. det(A) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B c Lenka Přibylová, 2007 × Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Vynásobíme zleva maticí inverzní. c Lenka Přibylová, 2007 × Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Použijeme asociativní zákon pro násobení. c Lenka Přibylová, 2007 × Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Použijeme definici inverzní matice. c Lenka Přibylová, 2007 × Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B ˇ Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. ˇ Ted' už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní maticí zprava, obdrželi bychom vztah A X A-1 = B A-1 , ze kterého hledané X nelze vyjádřit. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 9. Inverzní matici k čtvercové matici A hledáme pomocí řád- kovách ekvivalentních úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnost matice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednot- kové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1 . Příklady na výpočet inverzní matice. c Lenka Přibylová, 2007 × Determinant matice Definice: Permutací o n-prvcích rozumíme uspořádanou n-tici k1, k2, . . . , kn, která vznikla přeskládáním čísel 1, 2, . . . , n. Inverzí rozumíme záměnu i-tého a j-tého prvku v permutaci. Definice: Bud' A Rn×n čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A = (-1)p a1k1 a2k2 . . . ankn přes všechny permutace sloupcových indexů. Číslo p je počet in- verzí dané permutace. Zapisujeme také det A = |A| = |aij|. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 10. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součet všech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tato definice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu, protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n!. Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý: n = 1 : det A = a11 n = 2 : det A = a11a22 - a12a21 Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protože prvky matice násobíme do kříže: a11 a12 a21 a22 = a11a22 - a12a21 c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 Determinant je číslo, které vznikne jako součet všech součinů prvků v různých řádcích a soupcích a 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 Jednoduchý způsob, jak všechny tyto členy najít je tzv. Sarussovo pravidlo, kdy nejprve opíšeme první dva řádky matice pod determinant, c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 sečteme součiny na všech diagonálách c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 sečteme součiny na všech diagonálách c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 sečteme součiny na všech diagonálách c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. c Lenka Přibylová, 2007 × Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33 +a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31 a11 a12 a13 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 -a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Bud' A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že ma- tice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní A je regu- lární, tj. det A = 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: ˇ přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k ji- nému řádku (sloupci) ˇ ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostat- ním řádkům (sloupcům) matice ˇ transponování matice c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: ˇ přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění zna- ménko ˇ vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zme- nší se hodnota determinantu a-krát (tj. z řádku nebo sloupce lze vytýkat) Poznámka 11. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -1 2 4 0 1 12 = 2 1 2 4 -1 2 4 0 1 12 = 2 4 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 . c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A i-tý řádek a j-tý sloupec, označujeme determinant vzniklé submatice Mij a nazýváme jej minor příslušný prvku aij. Číslo Aij = (-1)i+j Mij nazýváme algebraický doplněk prvku aij. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec resp. řádek determinantu A platí det A = a1jA1j + a2jA2j + + anj Anj = n i=1 aijAij, det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin = n j=1 aijAij, tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho alge- braického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 12. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. c Lenka Přibylová, 2007 × Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla x1, x2, splňující: Ú loha 1 : 4x1 + 5x2 = 7 x1 - 2x2 = 4 Ú loha 2 : 4 1 x1 + 5 -2 x2 = 7 4 Ú loha 3 4 5 1 -2 x1 x2 = 7 4 Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + + amnxn = bm Proměnné x1, x2, . . . , xn nazýváme neznámé. Reálná čísla aij nazý- váme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Ř ešením soustavy rovnic rozumíme uspořá- danou n-tici reálných čísel [t1, t2, . . . , tn] po jejichž dosazení za ne- známé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Matici A = a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n ... ... ... ... am1 am2 am3 amn nazýváme maticí soustavy. Matici Ar = a11 a12 a13 a1n b1 a21 a22 a23 a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 am3 amn bm nazýváme rozšířenou maticí soustavy. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 13 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b b1 = b2 = = bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 14. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řeši- telná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineár- ních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax = b je řeši- telná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice sou- stavy Ar = (A|b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). ˇ Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). ˇ Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. ˇ Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. c Lenka Přibylová, 2007 × Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zda je soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h(A) = h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. Příklady na Gaussovou eliminační metodou. c Lenka Přibylová, 2007 × Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro i-tou složku xi tohoto řešení platí: xi = Di D , kde D = det A a Di je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou i-tého sloupce za sloupec b. Příklady na Cramerovo pravidlo. c Lenka Přibylová, 2007 × Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k nor- málovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (-b, a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b = 0, rozumíme podíl k = - a b . Směrnice k = tg , kde je úhel, který přímka svírá s osou x. V případě, že b = 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. c Lenka Přibylová, 2007 × Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x p + y q = 1, kde p = 0 je úsek vyt'atý přímkou na ose x, q = 0 je úsek vyt'atý přímkou na ose y. y x0 p q c Lenka Přibylová, 2007 × Přímku p, která prochází bodem A = [x0, y0] se směrovým vektorem s = (s1, s2) má parametrické rovnice x = x0 + s1t, y = y0 + s2t, kde t (-, ) je parametr. Věta: Přímka určená body A = [x1, y1] a B = [x2, y2] má obecnou rovnici x - x1 y - y1 x2 - x1 y2 - y1 = 0. Je-li x1 = x2, má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru y - y1 = y2 - y1 x2 - x1 (x - x1). Přímka určená bodem A = [x1, y1] a směrovým vektorem s = (s1, s2) má obecnou rovnici x - x1 y - y1 s1 s2 = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Vzdálenost bodů A = [x1, y1] a B = [x2, y2] v rovin- ném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem |AB| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2. Pro vzdálenost d bodu A = [x0, y0] od přímky p o rovnici ax + by + c = 0 platí d = |ax0 + by0 + c| a2 + b2 . Dvě přímky o rovnicích a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0 svírají úhly a - , přičemž platí cos = a1a2 + b1b2 a2 1 + b2 1 a2 2 + b2 2 . c Lenka Přibylová, 2007 × Dvě přímky o rovnicích y = k1x + q1 a y = k2x + q2 svírají úhly a - , přičemž platí tg = k2 - k1 1 + k1k2 , pro k1k2 + 1 = 0, = 2 , pro k1k2 + 1 = 0. Často je třeba rozhodnout o vzájemné poloze dvou přímek p, q o rovnicích a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0. p q právě tehdy když a1 b1 a2 b2 = 0, p q právě tehdy když a1 b1 c1 a2 b2 c2 má hodnost 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Je-li p přímka ax + by + c = 0 a q přímka daná bodem A a směrovým vektorem (s1, s2), pak p q právě tehdy když as1 + bs2 = 0. Je-li p přímka daná bodem A a směrovým vektorem (s1, s2) a q přímka daná bodem B a směrovým vektorem (u1, u2), pak p q právě tehdy když s1 s2 u1 u2 = 0. Poznámka 15. Rovnoběžné přímky (resp. jejich směrové vektory) nazýváme kolineární. Směrové vektory kolineárních přímek jsou lineárně závislé. c Lenka Přibylová, 2007 × Kuželosečky Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od pev- ného bodu S (středu kružnice) konstantní vzdálenost r, nazývanou poloměr kružnice. Věta: Kružnice o středu v bodě [x0, y0] a poloměru r má obecnou rovnici (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 . c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F1, F2 (ohnisek) konstantní součet vzdáleností (2a). Věta: Elipsa ve středové poloze, při níž ohniska leží v bodech F1 = [-e, 0] a F2 = [e, 0] o poloosách délky a, b, má rovnici x2 a2 + y2 b2 = 1, kde b2 = a2 - e2 . y x0 ab e F2 F1 c Lenka Přibylová, 2007 × Elipsa se středem v bodě [x0, y0], jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadného systému má obecnou rovnici (x - x0)2 a2 + (y - y0)2 b2 = 1 Poznámka 16. Číslo a se nazývá hlavní poloosa elipsy, b vedlejší poloosa elipsy a e excentricita elipsy (výstřednost elipsy). Definice: Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F1, F2 (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností (2a). Věta: Hyperbola ve středové poloze, při níž ohniska leží v bodech F1 = [-e, 0] a F2 = [e, 0] má rovnici x2 a2 - y2 b2 = 1, kde b2 = e2 - a2 . c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 a b e F2F1 y = b a x y = - b a x Hyperbola se středem v bodě [x0, y0], jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadného systému má obecnou rovnici (x - x0)2 a2 - (y - y0)2 b2 = 1 c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Parabola je množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu F (ohniska) a pevné přímky d (řídící přímky), neprocházející bodem F. Věta: Parabola s ohniskem F = p 2 , 0 a s řídící přímkou x = - p 2 má rovnici y2 = 2px, kde 2p se nazývá parametr paraboly. c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 F = p 2 , 0- p 2 Parabola s vrcholem v bodě [x0, y0] a osou y = y0 má obecnou rovnici (y - y0)2 = 2p(x - x0). Parabola s vrcholem v bodě [x0, y0] a osou x = x0 má obecnou rovnici (x - x0)2 = 2p(y - y0). c Lenka Přibylová, 2007 × Analytická geometrie v prostoru Věta: Libovolnou rovinu v prostoru lze vyjádřit rovnicí ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d jsou konstanty, přičemž a, b, c nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b, c) je kolmý k rovině . Naopak každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a2 + b2 + c2 > 0, představuje rovinu kolmou k vektoru n = (a, b, c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. c Lenka Přibylová, 2007 × Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x p + y q + z r = 1, kde p = 0 je úsek vyt'atý přímkou na ose x, q = 0 je úsek vyt'atý přímkou na ose y a r = 0 je úsek vyt'atý přímkou na ose z. Animace roviny. Rovina určená bodem A = [x0, y0, z0] a dvěma nekolineárními vektory u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) má parametrické rovice x = x0 + u1s + v1t, y = y0 + u2s + v2t, z = z0 + u3s + v3t kde s, t (-, ) jsou parametry. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Rovina určená body A = [x1, y1, z1], B = [x2, y2, z2] a C = [x3, y3, z3] má obecnou rovnici x - x1 y - y1 z - z1 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0. Rovina určená bodem A = [x1, y1, z1] a nekolineárními vektory u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) má obecnou rovnici x - x1 y - y1 z - z1 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Vzdálenost bodů A = [x1, y1, z1] a B = [x2, y2, z2] v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem |AB| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. Pro vzdálenost d bodu A = [x0, y0, z0] od roviny o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí d = |ax0 + by0 + cz0 + d| a2 + b2 + c2 . Dvě roviny o rovnicích a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a a2x + b2y + c2z + d2 = 0 svírají úhly a - , přičemž platí cos = a1a2 + b1b2 + c1c2 a2 1 + b2 1 + c2 1 a2 2 + b2 2 + c2 2 . c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Přímka p, která prochází bodem A = [x0, y0, z0] rovnoběžně s nenulovým vektorem s = (s1, s2, s3) má parametrické rovnice x = x0 + ts1, y = y0 + ts2, z = z0 + ts3 kde t (-, ) je parametr. Vektor s je směrový vektor přímky p. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Průsečnicí dvou různoběžných rovin daných rovnicemi a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 je přímka, jejíž směrový vektor je dán tzv. vektorovým součinem normálových vektorů těchto rovin, tedy s = (a1, b1, c1) × (a2, b2, c2) = (b1c2 - c1b2, c1a2 - a1c2, a1b2 - b1a2). Vektorový součin vektorů u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) můžeme symbolicky psát takto: u × v = i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 . c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 17. Platí |u × v| = |u| |v| sin , kde je úhel, který svírají vektory u a v, tj. vektorový součin má velikost rovnu obsahu rovnoběžníku určeného těmito vektory a směrový vektor je k nim kolmý. Věta: Bud' dána rovina : ax + by + cz + d = 0 a přímka p se směrovým vektorem s = (s1, s2, s3). p právě tehdy, když normálový vektor roviny je kolmý ke směrovému vektoru přímky, tj. n s = as1 + bs2 + cs3 = 0, p právě tehdy, když jsou vektory s a n kolineární, tj. a1 b1 c1 s1 s2 s3 má hodnost 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Ú hlem, který svírá přímka p s rovinou , rozumíme úhel 0, 2 , který svírá přímka p se svým pravoúhlým průmětem do roviny . p 2 - n s Poznámka 18. Z této definice a definice skalárního součinu plyne, že smě- rový vektor s přímky p svírá s rovinou s normálovým vektorem n úhel , pro který platí sin = cos 2 - = |n s| |n||s| . c Lenka Přibylová, 2007 × Významné plochy v prostoru Koule se středem v bodě S = [x0, y0, z0] a poloměru r má rovnici (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2 . Elipsoid se středem v počátku souřadnic a s poloosami a, b, c má rovnici x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. Eliptický hyperboloid se středem v počátku souřadnic má rovnici x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Eliptický paraboloid s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici x2 p + y2 q = 2z, kde p q > 0. Hyperbolický paraboloid s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici x2 p - y2 q = 2z, kde p q > 0. Kužel s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici x2 a2 + y2 b2 - z2 c2 = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu x0 R rozumíme libovolný otevřený interval I, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod x0 středem. x0 - x0 x0 + Takovýto interval nazýváme -okolím bodu x0 a označujeme O(x0). Jestliže z -okolí bodu x0 vyjmeme bod x0, mluvíme o ryzím -okolí bodu x0 a budeme jej značit ^O(x0). x0 - x0 x0 + c Lenka Přibylová, 2007 × Pravým ryzím -okolím bodu x0 rozumíme otevřený interval ^O+ (x0) = (x0, x0 + ) x0 x0 + a levým ryzím -okolím bodu x0 rozumíme otevřený interval ^O- (x0) = (x0 - , x0). x0 - x0 c Lenka Přibylová, 2007 × Limita funkce Definice: Necht' x0, L R a f : R R je funkce f definovaná v nějakém ryzím okolí bodu x0. Ř ekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu rovnu číslu L, jestliže > 0 existuje > 0 takové, že pro x ^O(x0) platí f (x) O(L). Píšeme lim xx0 f (x) = L. c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 L x0 y = f (x) L + L - ^O(x0) c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 L x0 y = f (x) L + L - ^O(x0) c Lenka Přibylová, 2007 × Jednostranná limita Definice: Necht' x0, L R a f : R R. Dále necht' je funkce f definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu x0. Ř ekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro x ^O+ (x0) platí f (x) O(L). Píšeme lim xx+ 0 f (x) = L. Analogicky definujeme limitu zleva. c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 L y = f (x) x0 L + L - ^O+ (x0) c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 L y = f (x) x0 L + L - ^O- (x0) c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě x0 R limitu právě tehdy když lim xx+ 0 f (x) = lim xx- 0 f (x). c Lenka Přibylová, 2007 × Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body . Označujeme R = R {, -} Prvky nazýváme nevlastní body, body množiny R nazýváme vlastní body. Pro a R definujeme: a + = , a - = -, + = , - - = - = -.(-) = , .(-) = -, a = a - = 0 - < a < , | | = , c Lenka Přibylová, 2007 × Je-li a > 0 definujeme a = a (-) = -, a je-li a < 0 definujeme a = - a (-) = . Poznámka 19. Nejsou tedy definovány operace: - , .0 a Takovýmto výrazům říkáme neurčité výrazy. Poznamenejme, že samozřejmě není definováno dělení nulou. c Lenka Přibylová, 2007 × Nevlastní limita Definice: Ř íkáme, že funkce f (x) má v bodě x0 nevlastní limitu + (-), jestliže pro M > 0 existuje > 0 takové, že pro x ^O(x0) platí f (x) > M (resp. f (x) < -M). Píšeme lim xx0 f (x) = +(-.) c Lenka Přibylová, 2007 × y xx0 y = f (x) M 0 ^O(x0) c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 20. Aby existovala limita v bodě x0 R, nemusí být funkce f v bodě x0 definována. Například limita funkce lim x0 sin x x existuje, i když tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jedno- stranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim x1 1 - 3x2, nebo lim x0- ln(x). Příklad na numerický výpočet limity c Lenka Přibylová, 2007 × Limita v nevlastním bodě Definice: Ř íkáme, že funkce f (x) má limitu L v nevlastním bodě + (-), jestliže pro > 0 existuje K > 0 takové, že pro x > K (resp. x < -K) platí f (x) O(L) . y x L + L - L y = f (x) K0 c Lenka Přibylová, 2007 × Spojitost funkce Definice: Ř ekneme, že funkce f : R R je spojitá v bodě x0, jestliže x0 D( f ) a lim xx0 f (x) = f (x0) . Ř ekneme, že funkce f : R R je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě x0, jestliže x0 D( f ) a lim xx+ 0 f (x) = f (x0) ( lim xx- 0 f (x) = f (x0)). Definice: Ř ekneme, že funkce je spojitá na intervalu (a, b), a, b) (a, b a, b , je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava resp. zleva. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu a, b své nej- vyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. y xa b y x a bc Věta: Necht' f (x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu a, b a platí f (a) f (b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c (a, b) takové, že f (c) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Pravidla pro počítání s limitami Věta: Bud' a R , k R, f, g : R R. Jestliže mají f a g v bodě a limitu, pak platí lim xa k = k lim xa f (x) g(x) = lim xa f (x) lim xa g(x) lim xa f (x) g(x) = lim xa f (x) lim xa g(x) lim xa k f (x) = k lim xa f (x) lim xa f (x) g(x) = lim xa f (x) lim xa g(x) pro lim xa g(x) = 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: lim xa k1 f1(x) + + kn fn(x) = k1 lim xa f1(x) + + kn lim xa fn(x) S využitím předchozí věty lze počítat následující limity 1. lim x (arctg x + arccotg x) = 2 + 0 = 2 2. lim x0- 1 x cos x = - 1 = - 3. lim x 1 xex = 1 = 1 = 0 Větu nelze použít pro výpočet limity lim x0+ 1 x + ln x , protože bychom obdrželi neurčitý výraz - . c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Je-li funkce g je spojitá, platí lim xx0 g( f (x)) = g( lim xx0 f (x)). Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim xa |f (x)| = | lim xa f (x)| lim xa f (x) n = lim xa f (x) n lim xa n f (x) = n lim xa f (x) lim xa b f (x) = blimxa f (x) lim xa logb f (x) = logb lim xa f (x) c Lenka Přibylová, 2007 × Příklad . Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1. lim x0+ ln 1 x = ln = 2. lim x- arctg(e-x ) = arctg = 2 3. lim x0+ ln(sin x) = ln(0+) = - c Lenka Přibylová, 2007 × Výpočet limity funkce ˇ V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. ˇ V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mo- hou dosazením vznikat výrazy typu ­ k 0 , které vedou k nevlastní limitě, ­ 0 0 a , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí L´Hospitalova pravidla nebo pomocí úprav. c Lenka Přibylová, 2007 × Interaktivní on-line kvizy na limity elementárních funkcí Interaktivní on-line kvizy na základních operace s limitami Příklady na výpočet limit Interaktivní on-line kvizy na výpočet limit c Lenka Přibylová, 2007 × Derivace funkce Definice: Necht' x0 D( f ). Ř ekneme, že funkce f má v bodě x0 derivaci rovnu f (x0), jestliže existuje konečná limita f (x0) = lim h0 f (x0 + h) - f (x0) h . Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f (x) nemá v bodě x0 derivaci. c Lenka Přibylová, 2007 × y xx0 x0 + h f (x0) f (x0 + h) f (x0 + h) - f (x0) y = f (x) h 0 c Lenka Přibylová, 2007 × y xx0 x0 + h f (x0) f (x0 + h) f (x0 + h) - f (x0) y = f (x) h 0 c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 21. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce f procházející body [x0, f (x0)] a [x0 + h, f (x0 + h)] má směrnici f (x0 + h) - f (x0) h . Jestliže se s bodem (x0 + h) blížíme k bodu x0 (tj. provádíme-li limitní přechod lim h0 ), přejde sečna v tečnu v bodě [x0, f (x0)]. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci f (x0). Poznámka 22. Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [x0, f (x0)] y = f (x0)(x - x0) + f (x0). c Lenka Přibylová, 2007 × y xx0 f (x0) t : y = f (x0)(x - x0) + f (x0) y = f (x) 0 c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht'má funkce f derivaci v každém bodě otevřeného intervalu I. Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce f v bodě x je na I definována funkce, kterou nazý- váme derivací funkce f na intervalu I a označujeme f . Často označujeme derivaci mimo f také jako y nebo dy dx . Funkci, která má v bodě x0 resp. na intervalu I derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě x0 resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f (x) funkce f (x) = x. f (x) = lim h0 x + h - x h = lim h0 h h = 1 f (x) = (x) = 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Necht' f, g jsou funkce a c R konstanta. Platí [c f (x)] = c f (x) [f (x) g(x)] = f (x) g (x) [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) f (x) g(x) = f (x)g(x) - f (x)g(x) g2(x) , g(x) = 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: c Lenka Přibylová, 2007 × k = 0 (cos x) = - sin x (xn ) = nxn-1 (tg x) = 1 cos2 x (ex ) = ex (cotg x) = - 1 sin2 x (ax ) = ax ln a (arcsin x) = 1 1 - x2 (ln x) = 1 x (arccos x) = - 1 1 - x2 (loga x) = 1 x ln a (arctg x) = 1 1 + x2 (sin x) = cos x (arccotg x) = - 1 1 + x2 Příklady na základní vzorce pro derivování. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Pro složenou funkci platí [f (g(x))] = f (g(x))g (x), kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 23. Výraz f (g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce f vypočtenou v bodě g(x). Příklady na derivování složené funkce. Interaktivní on-line kvizy na metodu derivování. On-line příklady na výpočet derivace funkce. Další interaktivní on-line příklady na výpočet derivace funkce. c Lenka Přibylová, 2007 × Diferenciál funkce Definice: Necht'funkce f (x) je spojitá v nějakém okolí O(x0) bodu x0 a necht' existuje derivace f (x0). Necht' x0 + h O(x0). Dife- renciálem funkce f (x) v bodě x0 rozumíme výraz d f (x0) = f (x0) h. y xx0 x0 + h f (x0) f (x0 + h) y = f (x) h 0 d f (x0) c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 24. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu d f (x0). Diferenciál d f (x0) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f (x), bude diferenciál d f (x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f (x) = x platí d f (x) = dx = 1 h, můžeme použít vztahu h = dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f (x): d f (x) = dy = f (x)dx, tj. f (x) = dy dx . c Lenka Přibylová, 2007 × Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f (x) nazýváme funkci ( f ) , tj. derivaci první derivace funkce y = f (x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f (x) definujeme jako deri- vaci derivace řádu n - 1, tj. f (n) = f (n-1) (x) . Vyšší derivace označujeme takto: f , f , f (4) , f (5) , . . . , f (n) nebo y , y , y(4) , y(5) , . . . , y(n) nebo d2y dx2 , d3y dx3 , . . . , dny dxn . c Lenka Přibylová, 2007 × Příklady na derivace vyšších řádů. c Lenka Přibylová, 2007 × Užití derivací k výpočtu limit Věta: l'Hospitalovo pravidlo: Necht'a R a necht'funkce fa g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Necht'dále platí bud' lim xa f (x) = lim xa g(x) = 0 nebo lim xa |g(x)| = . Pak platí lim xa f (x) g(x) = lim xa f (x) g(x) , pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 25. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu 0 0 nebo takto: 0 = 0 1/ = 0 0 nebo 0 = 1/0 = - lze převést na spol. jmenovatel do tvaru 0 0 nebo 1 = eln 1 = eln 1 = e 0 a stejný trik lze použít na výrazy typu 00 a 0 . Příklady na užití l'Hospitalova pravidla. c Lenka Přibylová, 2007 × Monotónnost funkce. Lokální extrémy. Věta: Necht' f (x) je na a, b spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: ˇ Funkce f (x) je na a, b konstantní x (a, b) platí f (x) = 0. ˇ Funkce f (x) je na a, b rostoucí x (a, b) platí f (x) > 0. ˇ Funkce f (x) je na a, b klesající x (a, b) platí f (x) < 0. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Ř ekneme, že f (x) má v bodě x0 lokální maximum (mi- nimum), resp. lokální extrém, jestliže x z nějakého okolí x0 platí f (x) f (x0) f (x) f (x0) . Pokud pro x = x0 platí ostré nerov- nosti, nazýváme lok. extrém ostrým. y x0 a b c d e y = f (x) Věta: Má-li funkce f v x0 lokální extrém, pak f (x0) = 0 nebo derivace f (x0) neexistuje. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Necht' f (x0) = 0 a f (x0) = 0. Pak má f (x) v x0 lokální extrém, a to ˇ lokální maximum, je-li f (x0) 0, ˇ lokální minimum, je-li f (x0) 0. Definice: Je-li f (x0) = 0, pak bod [x0, f (x0)] nazýváme stacionár- ním bodem. On-line příklady na výpočet lokálních extrémů. c Lenka Přibylová, 2007 × Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávní) v bodě x0, jestliže její graf leží v okolí x0 nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávní) na intervalu I, je-li kon- vexní (konkávní) v každém jeho bodě. Věta: Necht' f (x) je diferencovatelná na (a, b). Pak ˇ jestliže x (a, b) platí f (x) > 0 f je konvexní na (a, b), ˇ jestliže x (a, b) platí f (x) < 0 f je konkávní na (a, b). c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 a b c d y = f (x) Definice: Funkce f má v bodě x0 inflexní bod, jestliže má v x0 tečnu a f (x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f (x) může mít inflexní bod v takovém bodě x0 kde f (x0) = 0 nebo kde f (x0) neexistuje. c Lenka Přibylová, 2007 × y x0 in f. y = f (x) Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. c Lenka Přibylová, 2007 × Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke grafu funkce v některém nevlastním bodě. Věta: Funkce má ˇ asymptotu bez směrnice x = x0 má f v bodě x0 nevlastní limitu zleva nebo zprava. ˇ asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x k = lim x f (x) x R a q = lim x ( f (x) - kx) R c Lenka Přibylová, 2007 × ] c Lenka Přibylová, 2007 × y xx0 t : x = x0 0 y = f (x) y xx0 t : x = x0 0 y = f (x) Příklad na výpočet asymptot. c Lenka Přibylová, 2007 × Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D( f ), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a prů- sečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme f , najdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme f , najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. Příklady na průběh funkce. c Lenka Přibylová, 2007 × Taylorův polynom Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty. U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. Definice: Necht'funkce f má v okolí bodu x0 spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f (x) v bodě x0 rozumíme polynom Tn(x) =f (x0) + f (x0) 1! (x - x0) + f (x0) 2! (x - x0)2 + . . . + f (n)(x0) n! (x - x0)n . c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 26. Taylorův polynom stupně n má v bodě x0 stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce f, tj. Tn(x0) = f (x0), Tn (x0) = f (x0), ... Tn (n) (x0) = f (n) (x0). On-line animace Taylorova polynomu. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (Taylorova věta): Necht'funkce f má v okolí O(x0) bodu x0 spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi x0 a x takové, že x O(x0) platí f (x) = Tn(x) + Rn+1(x), kde Tn(x) je Taylorův polynom a Rn+1(x) je polynom stupně ale- spoň n + 1 v proměnné (x - x0), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru Rn+1(x) = f (n)(c) (n + 1)! (x - x0)n+1 . Příklady na výpočet Taylorova polynomu. Jak být lepší než kalkulačka... c Lenka Přibylová, 2007 × Integrální počet funkcí jedné proměnné Definice: Bud' I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro x I, nazývá se funkce F primitivnífunkcí k funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f(x) dx = F(x). Poznámka 27. Z existence derivace primitivní funkce F(x) vyplývá, že je vždy spojitá na I. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (postačující podmínka existence neurčitého integrálu): Ke ka- ždé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Věta (jednoznačnost primitivní funkce): Primitivní funkce je na da- ném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: 1. Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí to- též i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. 2. Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x I. c Lenka Přibylová, 2007 × Základní vzorce a pravidla Věta: Necht' f, g jsou funkce integrovatelné na I, c necht'je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, c f (x) dx = c f (x) dx. Základní vzorce pro nalezení primitivní funkce vyplývají ze vztahů pro derivace elementárních funkcí a jsou dány následujícími vztahy. Primitivní funkce jsou definovány pro všechna x z definičního oboru integrované funkce: c Lenka Přibylová, 2007 × 0 dx = c ex dx = ex + c 1 dx = x + c ax dx = ax ln a + c, 1 = a > 0 xn dx = xn+1 n + 1 + c 1 x2 + A2 = 1 A arctg x A + c 1 x dx = ln |x| + c 1 A2 - x2 = arcsin x A + c sin x dx = - cos x + c 1 x2 B = ln |x + x2 B| + c cos x dx = sin x + c 1 A2 - x2 dx = 1 2A ln A + x A - x + c 1 sin2 x dx = - cotg x + c f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + c 1 cos2 x dx = tg x + c c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (speciální případ složené funkce): Necht' f je funkce integro- vatelná na I. Pak f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b), kde F je funkce primitivní k funkci f na intervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b I. Příklady na přímou metodu integrace. c Lenka Přibylová, 2007 × Metoda per partes umožnuje derivovat některé součiny. Vychází z pravidla pro derivaci součinu: (u v) = u v + uv (u v) dx = u v dx + uv dx uv = u v dx + uv dx uv dx = uv - u v dx c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 28 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď P(x) polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály násle- dujících typů P(x)ex dx, P(x) sin(x) dx, P(x) cos(x) dx, a P(x) arctg x dx, P(x) lnm x dx. U první skupiny integrálů postupujeme tak, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, a v případě potřeby tento postup opakujeme. U druhé skupiny integrálů naopak derivujeme funkce arctg x a ln x. Příklady na metodu per partes. c Lenka Přibylová, 2007 × Substituční metoda Věta: Necht' f (t) je funkce spojitá na intervalu I, necht'funkce (x) má derivaci na intervalu J a platí (J) = I. Potom na intervalu J platí f ((x)) (x) dx = f (t) dt, dosadíme-li napravo t = (x) Poznámka 29. Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo t místo (x) a dt místo (x) dx. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Necht' f (x) je funkce spojitá na intervalu I, necht'funkce (t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí (J) = I. Potom na intervalu I platí f (x) dx = f ((t)) (t) dt, dosadíme-li napravo t = -1 (x), kde -1 (x) je funkce inverzní k funkci (x). Poznámka 30. Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo (t) místo x a (t) dt místo dx. Existence inverzní funkce -1 plyne z nenulovosti derivace funkce . Výraz napravo sice vypadá komplikovaněji, v praxi však substituci volíme vždy tak, aby po úpravě vpravo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítat. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlastně jedná o použití vzorce z první metody zprava doleva. c Lenka Přibylová, 2007 × Příklady na substituční metodu. c Lenka Přibylová, 2007 × Integrace racionálních lomených funkcí Při integraci neryze lomené funkce vždy rozkládáme funkci na součet polynomu a ryze lomené funkce, a to pomocí dělení polynomů se zbytkem nebo trikovým doplněním čitatele. Polynom pak integrujeme a ryze lomenou funkci rozkládáme na jednodušší ryze lomené funkce, tzv. parciální zlomky. Dostaneme jednoduché integrály, z nichž některé typy uvádíme: a) 1 ax + b b) 1 (ax + b)k c) 1 ax2 + bx + c d) Mx + N ax2 + bx + c c Lenka Přibylová, 2007 × a) Substituce t = ax + b nebo vzorec f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) pro funkci f (x) = 1 x dává 1 ax + b dx = 1 a ln |ax + b| + c b) Substituce t = ax + b nebo vzorec f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b) pro funkci f (x) = x-k dává 1 (ax + b)k dx = 1 a (ax + b)-k+1 -k + 1 + c c Lenka Přibylová, 2007 × c) Jmenovatel doplníme na čtverec a integrujeme podle vzorce 1 x2 + A2 = 1 A arctg x A + c nebo 1 A2 - x2 dx = 1 2A ln A + x A - x + c. Příklad na integraci rac. lomené funkce typu c). d) Čitatel zlomku rozložíme na 2 sčítance tak, že první je derivací jmenovatele a druhý konstanta, pak integrujeme zvlášt' Příklady na integraci rac. lomené funkce typu d). c Lenka Přibylová, 2007 × Integrace goniometrických funkcí. R(cos x) sin x dx zavádíme substituci t = cos x R(sin x) cos x dx zavádíme substituci t = sin x R(sin x) resp. R(cos x) jsou rac. lomené funkce jen v sinu resp. kosinu. Většinou je třeba integrand na tento typ převést užitím goniometrických vzorců nebo rozšířením zlomku. Příklady na integraci goniometrických funkcí. Poznámka 31. Univerzální metodou k výpočtu R(sin x, cos x) dx je sub- stituce t = tg x 2 . V případě pouze sudých mocnin funkcí sinus a kosinus je jednodušší substituce t = tg x. c Lenka Přibylová, 2007 × Integrace iracionálních funkcí. Některé jednoduché iracionální funkce (tj. funkce, které obsahují odmocniny) již umíme integrovat: 3 x5 dx = x 5 3 = . . . základním vzorcem pro integraci mocniny, dx 4x + 9 = (4x + 9)- 1 2 dx = . . . s použitím věty o integraci speciální složené funkce nebo substitucí t = 4x + 9, 2x x2 + 1 dx = . . . substitucí t = x2 + 1. c Lenka Přibylová, 2007 × Necht'R je racionální lomená funkce. R x, n1 f (x), n2 f (x), . . . dx, kde f (x) = x, f (x) = ax + b nebo f (x) = ax + b cx + d řešíme substitucí ts = f (x), kde s je tzv. společný odmocnitel, tj. nejmenší společný násobek čísel n1, n2, . . . . R(x, a2 - x2)dx řešíme substitucí x = a sin t R(x, a2 + x2)dx řešíme substitucí x = a tg t R(x, x2 - a2)dx řešíme substitucí x = a sin t Příklady na integraci iracionání funkce. c Lenka Přibylová, 2007 × Integrace složené exponenciální funkce Necht'R je racionální lomená funkce. R(ex )dx řešíme substitucí t = ex On-line příklady na výpočet integrálů. On-line kvizy na určení metody integrace. On-line interaktivní příklady na výpočet integrálů. c Lenka Přibylová, 2007 × Určitý integrál Spočítat obsah plochy je jedna ze základních matematických úloh. Lidé potřebovali znát velikost pozemku, odhadnout úrodu nebo umět rozdělit majetek. Až do konce 17. století však používali přibližnou metodu, známou již ze starověku. Průmyslovou revoluci svým způsobem odstartoval objev Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize ­ diferenciální a integrální počet. Formule, která dnes nese jejich jména, totiž slouží k přesnému stanovení obsahu útvaru omezeného křivkou y = f (x) a osou x na intervalu a, b . Dnes ji najdete v pozadí veškerých technických vymožeností, protože je základem většiny fyzikálních a technických vzorců. Lze s její pomocí spočítat např. množství energie vytvořené vodní elektrárnou, únosnost pilířů mostu, statické i dynamické vlastnosti moderních staveb nebo také dobu, za kterou sinice zamoří přehradu. c Lenka Přibylová, 2007 × Než se seznámíme s objevem přesného výpočtu obsahu, vrátíme se ke starým Ř ekům. Ti počítali přibližně obsah plochy pod křivkou y = f (x) tak, že útvar rozsekali na kousky, které byly podobné obdélníkům, spočítali jejich obsahy a sečetli je. Rozdělíme tedy interval a, b na dílky a = x0 < x1 < < xn = b. x0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6 Na obrázku je n = 6. Obsah i-tého obdélníku je přibližně f (i)(xi - xi-1), kde i (xi-1, xi) je tzv. reprezentant. c Lenka Přibylová, 2007 × Součet všech obdélníků a přibližný obsah útvaru je Sn = n i=1 f (i)(xi - xi-1). Tomuto číslu dnes říkáme integrální součet. Je zřejmé, že na našem obrázku dostaneme pro n > 6 přesnější odhad obsahu útvaru pod křivkou. První důležitý krok, který Newton a Leibnitz provedli, byl limitní přechod n . Dílky dělení xi = xi - xi-1 pak mají délku konvergující k 0 a označujeme je dx (už jsme se s tímto symbolem setkali, jde o diferenciál x). Formálně tak dostáváme zápis n i=1 f (i)xi b a f (x) dx, kde znak integrálu původně opravdu znamenal protáhlé písmeno S - suma. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Bud' a, b uzavřený interval a f funkce definovaná a ohraničená na a, b . Ř ekneme, že funkce f je integrovatelná na intervalu a, b , jestliže existuje číslo I, které je limitou I = lim n Sn = lim n n i=1 f (i)xi pro libovolnou posloupnost dělení s délkou dílků konvergující k 0, při libovolné volbě reprezentantů. Číslo I nazýváme určitý integrál funkce f na intervalu a, b a označujeme b a f (x) dx. On-line animace na definici určitého integrálu. c Lenka Přibylová, 2007 × Newton­Leibnitzova formule Pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou bylo tedy nutné vytvořit nejprve pojem limity a poté diferenciální a integrální počet, který nezávisle na sobě pro výpočet obsahu vytvořili Newton s Leibnitzem. Teprve integrální počet je totiž tím nástrojem, který lze pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou skutečně použít. Věta (Newton­Leibnitzova formule): Necht'funkce f (x) je integro- vatelná na a, b . Necht'F(x) je funkce spojitá na a, b , která je na intervalu (a, b) primitivní k funkci f (x). Pak platí b a f(x) dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a). c Lenka Přibylová, 2007 × Vlastnosti určitého integrálu Z Newton-Leibnitzovy věty vyplývají následující vlastnosti určitého integrálu: b a [f (x) + g(x)] dx = b a f (x) dx + b a g(x) dx b a c f (x) dx = c b a f (x) dx a a f (x) dx = 0 b a f (x) dx = - a b f (x) dx b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx, pro c a, b c Lenka Přibylová, 2007 × Výpočet určitého integrálu Najít primitivní funkci umíme. V Newton-Leibnitzově větě je ale také podmínka spojitosti funkce na intervalu a, b , což je nutné zkontrolovat. Příklady na výpočet určitého integrálu. c Lenka Přibylová, 2007 × Geometrické aplikace určitého integrálu ˇ Obsah rovinné plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: S = b a f (x) dx ˇ Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi y = d(x) a y = h(x), které na intervalu a, b splňují d(x) h(x), a přímkami x = a a x = b: S = b a h(x) - d(x) dx c Lenka Přibylová, 2007 × ˇ Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: V = b a f2 (x) dx ˇ Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spoji- tými funkcemi y = d(x) a y = h(x), které na intervalu a, b splňují d(x) h(x), a přímkami x = a a x = b: V = b a h2 (x) - d2 (x) dx c Lenka Přibylová, 2007 × ˇ Délka rovinné křivky y = f (x) x a, b , která je na intervalu a, b diferencovatelná. L = b a 1 + [f (x)]2 dx ˇ Obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: P = 2 b a f (x) 1 + [f (x)]2 dx c Lenka Přibylová, 2007 × Nevlastní integrál Nevlastní integrál je rozšířením pojmu určitého integrálu. Určitý integrál je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace. Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body , budeme souhrnně nazývat singularitami. Integrál b a f (x) dx nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel a, b je rovno , nebo funkce f (x) není ohraničená na uzavřeném intervalu a, b (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singularitu - nemusí jít vždy o body a nebo b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu). Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní integrál vypočítat. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' f (x) má singularitu v horní mezi b (resp. dolní mezi a). Existuje-li konečná limita lim tb- t a f (x) dx resp. lim ta+ b t f (x) dx říkáme, že nevlastní integrál konverguje (existuje) a definujeme b a f (x) dx = lim tb- t a f (x) dx resp. b a f (x) dx = lim ta+ b t f (x) dx Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní říkáme, že integrál b a f (x) dx neexistuje. c Lenka Přibylová, 2007 × Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem meze. Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem funkce. Složitější příklad na výpočet nevlastního integrálu. On-line příklady na výpočet nevlastních integrálů. c Lenka Přibylová, 2007 × Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Necht'jsou dány neprázdné množiny D R2 a H R. Pravidlo f, které každému prvku [x, y] D přiřazuje právě jeden prvek z H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f(x, y). Množina D = D( f ) se nazývá definiční obor funkce f. Množina všech z H, pro která existuje [x, y] D s vlastností f (x, y) = z se nazývá obor hodnot funkce f a označujeme jej H( f ). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D( f ) R2 a H( f ) R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Grafem funkce z = f (x, y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x, y, f (x, y)], x a y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. x y z H D [x0, y0, f(x0, y0)] [x0, y0]x0 y0 c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Bud' [x0, y0] R2 bod, 1 > 0 a 2 > 0 čísla. Množinu O = {[x, y] R2 : |x - x0| < 1, |y - y0| < 2} nazýváme okolím bodu [x0, y0]. Ryzím okolím bodu [x0, y0] rozumíme množinu ^O = O - {[x0, y0]}. x y x0 x0 + 1x0 - 1 y0 y0 + 2 y0 - 2 okol´i [x0, y0] c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht' [x0, y0] R2 , L R a f : R2 R je funkce definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0]. Ř ekneme, že funkce f má v bodě [x0, y0] limitu rovnu číslu L, jestliže > 0 existuje ryzí okolí ^O bodu [x0, y0] (1, 2 > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x, y] ^O platí f (x) O(L). Píšeme lim [x,y][x0,y0] f (x) = L. Poznámka 32. Definice limity funkce dvou proměnných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Ř ekneme, že funkce f : R2 R je spojitá v bodě [x0, y0], jestliže [x0, y0] D( f ) a lim [x,y][x0,y0] f (x, y) = f (x0, y0) . Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [x0, y0] je funkce spojitá v bodě [x0, y0]. Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [x0, y0] je funkce spojitá v bodě [x0, y0], pokud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice: Necht'u = g(x, y) a v = h(x, y) jsou funkce definované v množině M, necht' f (u, v) je funkce definovaná v množině D a necht' pro každý bod [x, y] M platí [g(x, y), h(x, y)] D. Pak funkce přiřazující každému bodu [x, y] M číslo f [g(x, y), h(x, y)] se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce f se nazývá její vnější složka, g(x, y), h(x, y) její vnitřní složky. c Lenka Přibylová, 2007 × Parciální derivace Definice: Bud' f (x, y) funkce a [x0, y0] bod. Funkce g(x) = f (x, y0) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g(x) v bodě x0 derivaci g (x0), nazýváme ji parciální derivací funkce f (x, y) podle x v bodě [x0, y0] a značíme ji f x(x0, y0) nebo f (x0, y0) x . Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí f x(x0, y0) = lim h0 f (x0 + h, y0) - f (x0, y0) h f y(x0, y0) = lim h0 f (x0, y0 + h) - f (x0, y0) h c Lenka Přibylová, 2007 × Geometrický význam parciální derivace. Příklady na parciální derivace Interaktivní on-line příklady na parciální derivace Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky. Má-li např. funkce f x(x, y) v bodě [x0, y0] parciální derivaci podle x, značíme ji f xx(x0, y0) nebo f2(x0, y0) x2 . Má-li funkce f x(x, y) v bodě [x0, y0] parciální derivaci podle y, značíme ji f xy(x0, y0) nebo f2(x0, y0) xy . Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Necht' má funkce f (x, y) parciální derivace f xy(x0, y0) a f yx(x0, y0) spojité v bodě [x0, y0]. Pak platí f xy(x0, y0) = f yx(x0, y0). c Lenka Přibylová, 2007 × Diferenciál a tečná rovina plochy Definice: Necht' je funkce f (x, y) spojitá v okolí O bodu [x0, y0] a necht' existují parciální derivace f x(x0, y0) a f y(x0, y0). Necht' bod [x, y] = [x0 + h, y0 + k] O. Totálním diferenciálem funkce f (x, y) v bodě [x0, y0] rozumíme výraz d f (x0, y0) = f x(x0, y0) h + f y(x0, y0) k. Poznámka 33. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar d f (x, y) = f x(x, y)dx + f y(x, y)dy. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Má-li funkce f (x, y) v bodě [x0, y0] totální diferencál, pak má graf funkce z = f (x, y) v bodě [x0, y0, f (x0, y0)] tečnou rovinu o rovnici z = f (x0, y0) + f x(x0, y0) (x - x0) + f y(x0, y0) (y - y0) Tečná rovina. Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [x0, y0] do bodu x0 + h, y0 + k. V dostatečně malém okolí bodu [x0, y0] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. f (x0, y0) = f (x0 + h, y0 + k) - f (x0, y0) . = d f (x0, y0). c Lenka Přibylová, 2007 × Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Definice: Bud' f (x, y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu [x0, y0] a necht'pro každé [x, y] O platí f (x, y) f (x0, y0)resp.f (x, y) f (x0, y0). Pak říkáme, že funkce f (x, y) má v bodě [x0, y0] lokální maximum resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta: Necht'funkce f (x, y) má v bodě [x0, y0] lokální extrém a necht' zde má parciální derivace f x(x0, y0) a f y(x0, y0). Pak platí f x(x0, y0) = f y(x0, y0) = 0. Poznámka 34. Bod [x0, y0], který splňuje vlastnost f x(x0, y0) = f y(x0, y0) = 0 nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Po- dobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Staci- onární bod nemusí být lokálním extrémem. c Lenka Přibylová, 2007 × Definice:Má-li funkce f (x, y) parciálníderivace2. řádu, nazýváme matici druhých derivací H = f xx(x, y) f xy(x, y) f yx(x, y) f yy(x, y) Hessova matice funkce f (x, y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Necht'má funkce f (x, y) ve stacionárním bodě [x0, y0] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [x0, y0] kladný, má funkce f (x, y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [x0, y0] záporný, nemá funkce f (x, y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [x0, y0] v tomto případě nazýváme sedlem. c Lenka Přibylová, 2007 × Poznámka 35. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [x0, y0] lokální extrém, můžeme o maximu resp. minimu rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud f xx(x0, y0) > 0, nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. Lokální extrém. Sedlo. Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných Interaktivní on-line příklady na lokální extrémy c Lenka Přibylová, 2007 × Absolutní extrémy Definice: Bud' M R2 množina v rovině, [x0, y0] bod, f (x, y) funkce definovaná na množině M. Ř ekneme, že funkce f (x, y) má v bodě [x0, y0] absolutní maximum resp. absolutní minimum, jestliže pro [x, y] M platí f (x, y) f (x0, y0) resp. f (x, y) f (x0, y0). Věta: Necht'M = je množina v rovině, [x0, y0] M bod, f (x, y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce f (x, y) v bodě [x0, y0] absolutní extrém, pak bod [x0, y0] leží bud'na hranici množiny M nebo v něm má funkce f (x, y) lokální extrém. c Lenka Přibylová, 2007 × Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech ˇ stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), ˇ dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M ˇ a ve vrcholech (pokud existují). Absolutní extrém. c Lenka Přibylová, 2007 × Integrální počet funkcí dvou proměnných Tak jako u integrace funkce jedné proměnné představoval určitý integrál na nějakém intervalu obsah plochy pod křivkou danou touto funkcí na tomto intervalu, tak i pro funkce dvou proměnných určitý integrál (říkáme mu dvojný integrál) představuje objem pod plochou danou funkcí dvou proměnných na nějaké rovinné podmnožině. Dvojný integrál. Ne vždy takový dvojný integrál existuje, ale my se tímto tématem nebudeme zabývat. Uvedeme si pouze jednu konkrétní metodu výpočtu dvojného integrálu pro spojité funkce dvou proměnných a takzvané elementární množiny - nejjednodušší typ tzv. měřitelných množin. Dvojný integrál z funkce (x, y) na rovinné podmnožině značíme (x, y) dx dy. c Lenka Přibylová, 2007 × Věta (Fubiniova věta): Necht'a < b, funkce f, g funkce jedné pro- měnné spojité na a, b a (x, y) funkce spojitá na elementární množině x = [x, y] R2 : a x b, f (x) y g(x) . Pak pro dvojný integrál platí x (x, y) dx dy = b a g(x) f (x) (x, y) dy dx. Analogicky na elementární množině y = [x, y] R2 : a y b, f (y) x g(y) platí y (x, y) dx dy = b a g(y) f (y) (x, y) dx dy. c Lenka Přibylová, 2007 × Z této věty vyplývá, že dvojný integrál na obdélníkové oblasti = [a, b] × [c, d] f (x, y) dx dy je podle Fubiniovy věty roven integrálu b a d c f (x, y) dy dx respektive integrálu d c b a f (x, y) dx dy. Je-li navíc funkce f (x, y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné y, pak platí g(x)h(y) dx dy = b a g(x) dx d c h(y) dy. c Lenka Přibylová, 2007 × Interaktivní příklady na výpočet dvojných integrálů. V některých případech je pro výpočet dvojného integrálu vhodné provést transformaci proměnných. Jde ve své podstatě o substituční metodu integrace. Zavedeme-li nové proměnné regulární transformací : x = g(u, v), y = h(u, v), pak platí f (x, y) dx dy = () f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)|dudv, kde J(u, v) = g u(u, v) g v(u, v) h u(u, v) h v(u, v) je jakobián zobrazení (zobrazení je regulární pokud je tento determinant nenulový - podobně jsme definovali regulární matice). Množina je zobrazena na množinu (). c Lenka Přibylová, 2007 × Nejčastěji užívanou transformací je transformace do polárních souřadnic. Jde o případy, kdy je množina kruh, mezikruží nebo kruhová výseč apod. Polární souřadnice zavedeme pomocí zobrazení : x = r cos , y = r sin , kde r je vzdálenost bodu [x, y] od počátku a je úhel, který svírá jeho průvodič s osou x. Tento přepis jsme již používali pro komplexní čísla při přechodu z algebraického do goniometrického tvaru. Zobrazení je regulární, protože jeho jakobián je J(r, ) = cos -r sin sin r cos = r. Interaktivní příklady na transformace dvojných integrálů. c Lenka Přibylová, 2007 × KONEC c Lenka Přibylová, 2007 ×