as
VYUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
ŕ-RA
Statistika v průzkumném studiu
Provádění odhadů
Závěr ?
Reprezentativnost
9
Ověření popis /l
V^ Výsledek
as
Testy hypotéz
Cílová pop "
Závěr ? Interpretace
OTÁZKY
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
rnA
INTERVAL SPOLEHLIVOSTI - velmi užitečná míra věrohodnosti odhadů -
Bodové
Číslo (chyba) (Odhad parametru)
ODHADY
Intervalové
Interval pravděpodobných hodnot
sx
Spolehlivost (Pravděpodobnostní interpretace)
Obecný tvar:
Odhadovaný parametr
Kvantil
modelového  .    SE (odhadu)
rozložení
Kv pro (1 - a/2)
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
r»A
NORMÁLNI ROZLOŽENI - model pro odhad průměru -
Cílová populace
M
X
r		
	Prezentace	
	n; x; s s n; x;   ,— '_' í n n; x; c n;  x; Interval spolehlivost i pro odhad průměru	
X......odhad průměru
as
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
ŕ-RA
NORMÁLNI ROZLOŽENI - odhad průměru je rovněž normálně rozložen
Cílová                               / x     znakx
populace

X:
M
Náhodné výběry o n = 100
X1     X2
\.
X3 %•—
X4....   Xi
_________y
q>(x)
prumerx
M
X
S3
VÝUKA: Biostatistika-základní kurz
x: ).i ± 3s
x
M±3
fTT
yr
^   Standardní chyba odhadu průměru
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
rnA
o              v
ODHAD PRŮMĚRU I. Vztahy
Bodový
f   s   ^
JV    i
V ~Jn J
Intervalový
x-&-n~l)
-,   Av = n-\)
\-CC/                 I
< JU<X+tf_
ay
sin
/2      sin
. TT+ Av=n-1)
ju : x ±ť
-OL,
S^
X
... příslušný kvantil Studentova
rozložení - a ... spolehlivost hodnoceného
intervalu
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
rnA
Interval spolehlivosti odhadu průměru je pouze informací o přesnosti tohoto odhadu
Interval spolehlivosti je hodnocen pro (1 - a) procentní spolehlivost
Cílová                    r^-----------------------------
,                       Sirku intervalu určuje:
populace                                                 J
a) velikost vzorku
b) rozptyl (variabilita) vzorku
c) požadovaná spolehlivost
Výběrové populace
Původní proměnná x
Výběr n=10 pro odhad průměru
Výběr n=100 pro odhad průměru
as
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
ODHAD PRŮMĚRU II. Příklad
X: Cena výrobku v n = 21 obchodech Data:
n = 2l:x = 3.58:5  =0.12
5" w?
s- = J0,12/21 = 0,075
95% Interval spolehlivosti:
(u = n-1)
(20)
t
1-a/2
= t0)975 =2,086
ju : x ± 2,086  .s
X
3,58 - 2,086.0,075 < jU < 3,58 + 2,086.0,075
3,423 < m < 3,737
N/l
P (3,423 < m < 3,737) > 0,95
as
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
r*JtA
Interval spolehlivosti pro odhad rozptylu

2            2
S    ~ CT    pro velká n
2      [n - ľ]s'
z =—-^—
Interval spolehlivosti
a) pro <t
. (»-i>
2      (B_i) ^ O"    S                („_1}
^ a/2                       Z (l-a/2)
b) pro er:
{n-\)s2
2      («-0
X "i1
<<J<
(»-!>
2            («-1)
c)procr/Vn :
. (»-i>:
2      (b-1) «£  a/2
<^<
(«-1>
2            («-1)
^  (l-a/2)V
-směrodatná odchylka odhadu průměru (S.E.)
as
VYUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
Interval spolehlivosti pro odhad rozptylu - příklad
Příklad: měření produkce metabolitu (x) u buněk dvou nádorových linií
Linie 1
n = 50
s2(x) = 10 (mg/ml)2
s(x) = 3,16 mg/ml
x = 2 mg/ml
šx = 0,447 mg/ml
95% IS
49  *   10<   ?<49  *   10 77,22   ~     ~    31,56
6,98 <<r2 <15,53 c = 1,58
Linie 1
n = 100
s2(x) = 16 (mg/ml)2
s(x) = 4 mg/ml
x = 2,8 mg/ml
šx = 0,4 mg/ml
95% IS
99   *   16      2    99   *   16 ------------< er   <------------
128,42                  73,36
12,33 <cr2 < 13,49 c = 1,43
S3
VÝUKA: Biostatistika-základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
ru
Výpočet mediánu z frekvenčních dat a jeho odhady
a)  Určete medián tohoto souboru dat: 1,3,4,5,7,8         [4,5]
b)  Určete medián tohoto souboru dat: 5,1,8,3,4           [4]
c)  Tento príklad je ukázkou výpočtu mediánu u velkého souboru dat. V následující tabulce je uveden rozbor rozložení souboru dat od 179 krav, kde sledovanou veličinou byl počet dní od narození telete do znovuobnovení menstruačního cyklu. Uvedená data jsou velmi zjednodušena a jsou zde uvedena pouze pro ilustraci:
Class limits (days)	0,5-20,5	20,5-40,5	40,5-60,5	60,5-80,5	80,5-100,5	100,5-120,5	120,5-140,5	140,5-160,5	160,5-180,5	180,5-200,5	200,5-220,5
Frequency	8	33	50	32	15	20	11	6	2	1	1
Cumulative frequency	8	41	91	123	138	158	169	175	177	178	179
Frekvence zastoupení dosahuje nejvyšší hodnoty u třídy od 40,5 - 60,5 dnů. Druhý (menší) frekvenční pík lze pozorovat u intervalu od 100,5 do 120,5 dní. Existence dvou maxim (bimodální data) je důkazem nenormality tohoto
konkrétního souboru.
as
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
r*JtA
Výpočet mediánu z frekvenčních dat a jeho odhady

Jelikož n =179, pak je medián devadesátá hodnota od počátku souboru, a dále je zřejmé, že bude velmi blízko horní hranici třídy 40,5 - 60,5 dní. Za předpokladu, že 50 hodnot této třídy je v ní rovnoměrně rozmístěno lze použít následující vzorec:
M       =     X    T    +    -^—,  kde
XL = hodnota X (sledované veličiny) na spodní hranici třídy obsahující medián: zde 40,5 dní
g = pořadová hodnota mediánu minus kumulativní frekvence do horní hranice předchozí třídy, tj. 90-41= 49
I = třídní interval: 20 dní
f = frekvence ve třídě obsahující medián
•   Dosadíme-li do uvedeného vzorce, získáme odhad mediánu jako 60 dní. Průměr tohoto datového souboru je 69,9, což je významně odlišná hodnota, a potvrzuje znovu nenormální charakter dat.
•   U velkých vzorků z normálních populací je výběrový odhad mediánu normálně rozložen kolem populační hodnoty se směrodatnou odchylkou 1,253 g /J~ň U normálního rozložení, kde medián i průměr představují odhad stejné hodnoty, je medián méně přesný než průměr. Proto hlavní význam mediánu spočívá u nesymetrických distribucí.
•   Existuje velmi jednoduchá metoda pro výpočet intervalu spolehlivosti pro odhad mediánu a jako horní a spodní hranice slouží pořadová čísla vypočítaná podle následujícího vztahu:
n představuje velikost datového souboru, zje kvantil standardizovaného normálního rozložení pro příslušnou pravděpodobnost. U našeho příkladu je n = 179 a pro 95% interval spolehlivosti je z přibližně rovno 2. Horní a spodní limit pro odhad mediánu tedy je 90 + VÍ79 =77 a 103. 95% interval spolehlivosti je tedy tvořen počty dní, které mají pořadí 77 a 103:
77: Počet dní = 40,5+(36)(20)/50 = 55 dní 103: Počet dní = 60,5+(12)(20)/32 = 68 dní
Medián cílové populace byl tedy odhadnut 95% intervalem spolehlivosti jako hodnota ležící mezi 55 a 68 dny. Interpretujte tento výsledek.
VÝUKA: Biostatistika - základní kurz
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ
r*JtA