Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice Derivace a tečny aneb matematika „libovolně malých“ změn Nejen velké, ale i malé změny „jsou život“ aneb opravdu potřebujeme diferenciální počet? Batesonův pokus se žábou Batesonův zákon Bateson – Ehrenberg Organismus reaguje na časovou změnu (derivaci) vnímaných počitků. „Matematizace“: P … signál, podnět (vnímaný počitek) R … odezva, reakce Rozpad jader Absorpce záření Přírodní zákony - příklady Klasická mechanika – Newtonův druhý pohybový zákon Klasická elektrodynamika – zákon elektromagnetické indukce Kvantová mechanika – časový vývoj systému Příroda nás informuje o změnách. Zákony přírody nejčastěji představují chování časových a prostorových změn veličin. Je tedy dobré umět se změnami počítat? Jak se dělí nula nulou Limitní chod Nulou dělit nelze. Je-li například funkce h(x), jmenovatelem podílu p(x) = g(x) / h(x), a h(x) pro určitou hodnotu a proměnné x nabývá nuly, nelze hodnotu a do zlomku dosadit (nedal by se vyčíslit). Viděli jsme ale, že když se ve zlomku p(x) blíží k nule jak čitatel, tak jmenovatel, může se stát, že se hodnota zlomku blíží k jistému definovanému číslu L. Číslo L se pak nazývá limitou funkce p(x) a píšeme Jedna důležitá limita Problém tečny a derivace Výpočet směrnice a rovnice přímky Výpočet směrnice a rovnice tečny Derivace a fyzika Příklad: S rovnoměrným pohybem po kružnici se již každý jistě setkal, třeba na řetízkovém kolotoči. Takový pohyb koná například i odstředivka používaná ve zdravotnických zařízeních. Řekněme, že nějaké tělísko obíhá ve vzdálenosti R = 1,0 m od osy kolotoče a že jeden oběh trvá T = 4,0 s. Závislost polohy tělíska na čase pak lze vyjádřit například takto: Průměrná rychlost za dobu Δt Průměrná rychlost ve zmenšujícím se intervalu Okamžitá rychlost jako limita Příklady odvození derivací Příklad 1: f (x) = x^3^ Metoda vykrácení nepohodlného výrazu Příklad 2: f (x) = sin x Derivace elementárních funkcí Pravidla pro derivování Pravidlo pro složenou funkci Odhady změn hodnot funkce Dva příklady na odhady Příklad 1. Určete přibližnou hodnotu čísla 2,03^5 . Příklad 2. Určete přibližnou hodnotu sin 3^o. Několik úloh na derivace a tečny Úloha 1. Odvoďte pravidlo pro derivaci funkcí x^4, ^ x^5, x^n. Pro x^n použijte binomickou větu. Úloha 2. Vypočtěte derivace následujících funkcí Úloha 3. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin^2 x v bodě t = π/4. Integrály a plochy aneb jak zjistit funkci z její derivace Obrácená úloha mechaniky aneb od zrychlení k trajektorii Základní zákon mechaniky – druhý Newtonův zákon – umožňuje vyjádřit zrychlení hmotného bodu na základě sil, jimiž na hmotný bod působí okolní objekty. Zrychlení je však derivací rychlosti, a ta je derivací polohy. Abychom zjistili funkci, která popisuje závislosti polohy hmotného bodu na čase, musíme nějakou zpětnou procedurou najít, jak vypadala funkce, než jsme ji zderivovali. Opačná procedura k derivování, tj. nalézání původní (primitivní) funkce, se nazývá integrování. Primitivní funkce (neurčitý integrál) Předpokládejme, že na intervalu [a, b] je definována funkce f(x), která je spojitá (její limita v každém bodě existuje a je rovna funkční hodnotě, graf funkce není „potrhaný“). Funkce F(x) definovaná na intervalu (c, d) obsahujícím [a, b], a taková, že její derivace na intervalu [a, b] je rovna F^/(x) = f(x), je primitivní funkcí (neurčitým integrálem) k funkci f(x) na [a, b]. Příklad: Funkce f(x) = 4x^3 – 2x + 1 je definována na R. Funkce F(x) = x^4 – x^ 2 + x je k ní funkcí primitivní, ale také všechny funkce tvaru F(x) + libovolná konstanta C. Jak je to možné, že jedna a táž funkce má nekonečně mnoho primitivních funkcí lišících se navzájem o konstantu? Tabulka primitivních funkcí – I Tabulka primitivních funkcí – II Problém plochy Diferenciální rovnice aneb jak z rovnice pro změnu určit funkci Rozpad jader – ještě jednou Rozpad jader - řešení Ještě jednou mechanika Radiologická fyzika pravděpodobnost měření a zpracování dat