Obsah rovinného útvaru pod křivkou
Lenka Přibylová 31. července 2006
Obsah rovinné plochy   omezené spojitou nezápornou funkcí
y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b:
y = f(x)
S= /  f(x)dx
©Lenka Přibylová. 2006 |
1
Určete obsah útvaru omezeného křivkou y = —, osou x a přímkami x = 1 a
x = 5.
©Lenka Přibylová. 2006 |
y = -,xe(l,5),S=?
Nakreslíme graf hyperboly. eb b b m-------------------
(SLenka Přibylová. 201
y = -,xe(l,5),S=?
S =
Vyjádříme obsah plochy pod hyperbolou jako určitý integrál. eb b b m--------------------------------------------------------------------------------
slunná Miiuyiova. Juub|
y = -,xe(l,5),S=?
Vyjádříme obsah plochy pod hyperbolou jako určitý integrál, f(x) =
CcjLenKa rnuyio
"ó
y = -,xe(l,5),S=?
Najdeme primitivní funkci. eb b b m--------------------------
(SLenka Přibylová. 201
y = -,xe(l,5),S=?
= ln5-lnl
Vypočítáme určitý integrál pomocí Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy meze.
I-Q-H-HJ^---------------(ŠLenka Přibylová. 2006 |
y = -,xe(l,5),S=?
= ln5-lnl = ln5
Dopočítáme. g  B  B  h—
(SLenka Přibylová. 201
Tí
Určete obsah útvaru omezeného křivkou y = cos X, osou x a přímkami x = —
a x = n.
}
©Lenka Přibylová. 2006 |
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
Nakreslíme graf funkce kosinus.
ES   El   ET
(SLenka Přibylová. 201
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
S =
}
Napíšeme určitý integrál. EH   B   B   M---------------------------
(SLenka Přibylová. 201
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
7T
S=    /    cosxdx
2
l/W=cc
cos x
läLenka Přibylová. 201
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
S =
TC
cosxdx
,7T
Graf na intervalu (—, n) leží pod osou x, obsah plochy tedy bude absolutní hodnota určitého integrálu.
É3     Q     B     M                                                                                                                                                   '   I' "I    Přibylovi 20(
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
S =
TC
cosxdx
smx
Najdeme primitivní funkci. EH   B   B   M------------------------------
(SLenka Přibylová. 201
,TC
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
S =
TC
cos x dx  =
=		sin x	n 71 2	=
TC
= s in 7T — sin ■
Vypočítáme určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy meze.
I-Q-Q-HS^------------------(1)Lenka Přibylová. 2006 |
,7T
y = cos x, x e (—, n), S =?
]
S =
TC
cos x dx  =
=		sin x	n 71 2	=
7T
= s in 7T — sin ■
= 0-1  = 1
Dopočítame. g  B  B  h—
(SLenka Přibylová. 201
Určete obsah útvaru omezeného křivkou y = x   + 2x   — 3x a osou x.
©Lenka Přibylová. 2006 |
y = x°
2xz
3x, S=?
nakreslíme graf funkce y = x3 + 2x2 - 3x = x(x2 + 2x - 3) = x(x + 3)(x - 1). Průsečíky s osou x jsou —3,0,1:
y(—4) = —4 • ( — 1) • (—5) < 0, na intervalu (—oo, —3) je funkce záporná. y( —1) = —1 • 2 • (—2) > 0, na intervalu (—3,0) je funkce záporná. y(0.5) = 0.5 • 3.5 • (—0.5) < 0, na intervalu (0,1) je funkce záporná. y(2) = 2 • 5 • 1 > 0, na intervalu (1, oo) je funkce záporná.
^Laika Miiupuu. JU*
Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál. Musíme ovšem rozdělit oblast na 2 části - nad osou x, x e (-3,0), f (x) = x3 + 2x2 - 3x.
Cc)l_enka Přibylová, zv.
y = x°
2xz
3x, S=?
S =
2xz
a pod osou x. Obsah je pak absolutní hodnotou určitého integrálu na intervalu
<0,l>./(x)
2xz - 3x.
-ó
y = x3 + 2x2 - 3x, S=?J
S =
-3X  + x4     2x3
2x2-	3xdx +	
3x2~ 2 _	i 0	
x3 + 2x2 - 3x dx
2xá     3x2
-3
Najdeme primitivní funkci. eh  b  B  M-----------------------
(SLenka Přibylová. 201
y = x3 + 2x2 - 3x, S=?J
S = I     x3 + 2x2 - 3x dx
x"
T
2x3 ~3~
3x2 2
O
x3 + 2x2 - 3x dx
2xá
3xz
-3
81 _ 18 _ 27
1      2     3     „
i+3-2"0
Vypočítáme určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy meze.
I-Q-Q-HS^------------------(1)Lenka Přibylová. 2006 |
y = x3 + 2x2 - 3x, S=?J
S = I     x3 + 2x2 - 3x dx
x"
T
2x3 ~3~
3x2 2
O
x3 + 2x2 - 3x dx
2xá
3xz
-3
_          81 _ 18 _ 27
1      2     3     n i+3-2"0
71 ~6~
Dopočítame převedením na společného jmenovatele.
(SLenka Přibylová. 201
Konec
El   B
©Lenka Přibylová. 2006 Q