Ústav fyzikálního inženýrství Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně
GEOMETRI CKÁ OPTI KA
Přednáška 4
i
Obsah
• Základy geometrické (paprskové) optiky
Reálné optické prvky
- hranol pro lom,
- minimální deviace,
- optický klin,
- planparalelní destička.
Úvod
Ad impossibilia nemo tenetur
Nikdo nemůže být nucen k nemožnostem.
Disperze - opakování
Jestliže optickými prvky jako jsou čočka nebo hranol prochází bílé světlo, rozkládá se do různých barevných odstínů, protože každá barva se lomí jinak. Tento fenomén je znám jako disperze.
• Disperze vzniká důsledkem závislosti rychlosti světla v látkách na frekvenci světla (rychlost světla se zpravidla s rostoucí frekvencí zmenšuje —► ve vakuu k disperzi světla nedochází),
• index lomu optického prostředí závisí na frekvenci světla a při (normální) disperzi se s rostoucí frekvencí zvětšuje,
• disperze dokazuje, že bílé světlo je světlo složené z jednoduchých (barevných) světel.
odchyíkci
cer-vcnd ilurá fialovú
(p ... lámavý úhel
na lámavých plochách optického hranolu se světlo láme dvakrát —► hranolové spektrum (řada na sebe navazujících barevných proužků)
Bílé světlo se hranolem rozloží na spektrum, v němž jsou zastoupeny všechny barvy odpovídající paprskům monofrekvenčního světla v posloupnosti : červená (nejmenší hodnota indexu lomu), oranžová, žlutá, zelená, modrá, fialová (největší hodnota indexu lomu).
Zdroj: http://www.zeiss.com a http://fvzika.qbn.cz/
4
Disperze - index lomu
hy[fta
červená žlutq
fiíllDVÚ
f=c/X = c0/X0
X... vlnová délka světla v daném prostředí, A0
délka světla ve vakuu,
c0... rychlost světla ve vakuu
vlnová
n = c0 / c
X = X01 n
X
kolimátor (štěrbina umístěná v ohnisku spojné čočky), optický hranol, stínítko
V optickém prostředí o indexu lomu n je vlnová délka světla n-krát menší než ve vakuu (frekvence se nemění).
Hranolový Spektroskop
• přístroj na studium složení světla,
• základní přístroj používaný ve spektrální analýze
Pozn.: Spektroskop (spektrum pozorujeme okem pomocí dalekohledu)
spektrograf (spektrum je zaznamenáno na fotografické desce nebo pomocí záznamového zařízení) 5
Na hranol s lámavým úhlem (pas indexem lomu Paprsek vystupující z hranolu určíme z rovnic:
Hranol - lámavé prostředí omezené dvěma rovinami (jeho stranami), které svírají úhel zvaný lámavý úhel hranolu (cp). Přímka, v níž se strany hranolu protínají, je lámavá hrana, každá rovina na ní kolmá je hlavní řez hranolu.
• Základna hranolu - rovina (kolmá k ose souměrnosti lámavého úhlu a k hlavnímu řezu), kterou je hranol ukončen.
j dopadá monochromatické světlo pod úhlem
, sine, sme1 =-L,
n
£2=cp-£Í>
sine^ = ftsin£2. g
Lom světla hranolem - úhel deviace
Z podmínky, že součet úhlů ve čtyřúhelníku 9 + e + 90 0 + 90°= 360 °a že v trojúhelníku je £Í + £2+£ =180° vyplývá, že cp = ex + £2.
Jinak zapsáno: £2 — 9" ei-/ n     \ vzduch
Pro celkovou odchylku (deviaci) ô lomeného paprsku od dopadajícího platí: ô = 8X +82. •   Další úhly lomu na rovinách hranolu: 81=£1' + 81 a£2-82=£2 nebo
5, = £,      a 82 = £2 -£2. Z toho vyplývá: 8 = (e1-e'1) + (e'2-E2).
Dosazením 9 dostaneme: 8 = (£x — £[) + (£2 — £2) = el +£2 — (p,
8 =£, +£2 -cp.
7
Lom světla hranolem - úhel minimální deviace
Pro odchylku (deviaci) 5 lomeného paprsku od dopadajícího platí:
5 = (e1-e'1) + (e2-e'2)=e1+e'2-<p9 nebo* 5 =arcsin(^sin81/) + arcsin[^sin((p -e^J-cp.
• Závislost odchylky 8 na úhlu dopadu £, pro n=1,5 a p = 60°:
d6 -n
• Podmínka pro extrém: ~T7 - u> vede k rovnici
"jív
1
deí
5 =
7ZCOS8
1
/30° ÍC^/fO" fiO* 70° 30*
ncos(cp-e;)        A   u      , !7T
= 0 nebo po uprave
^/l-ínsine,')2 Jl-[/isin(<p-e,')] (l-n2)sin(<p-2e1') = 0.   pongyadž n* 1, sin(cp -2e,') = 0,h>e,' = <p/2
a pro lom světla hranolem při minimální deviaci plyne: £2 —--» £2 — —ei-
^využitím: sine1 = ftsine1/, £1-£2 =(P' ^sin£2 = sin£2
s
Lom světla hranolem - uhel minimální deviace
Z výsledku je zřejmé, že minimální odchylka 8min nastane po takový úhel dopadu, při kterém je paprsek uvnitř hranolu kolmý k rovině souměrnosti lámavého úhlu K = le2|) , nebo paprsek dopadající a vstupující jsou souměrně položeny vzhledem k rovině souměrnosti lámavého úhlu (ei = M).
Platí tedy: nsin(p/2 = sinep a pro ^ v případě K = ~£p a S = Sm dostáváme: cp+8m
a pro index lomu vychází:       .  1 /     o \
sm-((p+5m)
n----
sin
9
Na tomto vzorci spočívá Fraunhoferova metoda k určování indexu lomu látek*.
* Viz např.: Fuka/Havelka: Optika str. 778
9
Lom světla hranolem
Aby paprsek z hranolu vystoupil, je nutné, aby úhel Paprsek vystupuje podél stěny (tj. z'2 = -90°), je-li sin
tjyl menší než úhel mezný.
e2 =-. n
Ze vztahu   sine1 =nsin((p-|e2|), je patrno, že pokud 9 >|e2|> jsou úhly dopadu jen
kladné, je-li 9
<
jsou úhly dopadu kladné i záporné.
10
Optické klíny (hranoly s malým lámavým úhlem)
* Při malém lámavém úhlu <p hranol nazýváme optickým klínem.
* Omezíme-li se na malé úhly dopadu, rovnice
sme1 =
, _ sin81
n
přejdou na tvar
' 8i
F  = —
n
*   Po dosazeni do vzorce pro <F:
takže
Pazn.: pro libovolný úhel dopadu platí: prochází ve vztah
í______' A
v
v
\
L
\
)
■,
8
který pro
* viz Havelka: Optika vz. (1.14) nebo Fuka, Havelka: Optika I, vz. (32)
11
Optické klíny - využití
Diasporametr - soustava dvou stejných klínů, které se otáčejí proti sobě kolem osy 00'.
Jsou-li lámavé hrany klínů rovnoběžné a na stejné straně osy 00' je odchylka největší (rovná se dvojnásobku odchylky ô1 jednoho klínu). Otočí-li se každý klín o úhel \|/ z této základní polohy, je odchylka soustavy: 5 = ^ôf + ôf + 2ôx2 cos 2y = 2ôx cos\|/. Uvedená dvojice klínů představuje tedy klín proměnlivé odchylky od O do 28v Využití: například na zvýšení měřícího rozsahu fokometrů - tj. přístrojů které měří vrcholovou vzdálenost brýlových čoček, sférických, tórických a prizmatických.
Transformace eliptického svazku na „kruhový" (např. u laserových diod)
Anamorphic prism pairs Zdroj: http://www.triorlabs.com/
12
Planparalelní destička
Pro cp=0° přechází hranol v planparalelní destičku.
Planparalelní destička neodchyluje paprsek, nýbrž jej rovnoběžně posouvá.
73
Planparalelní destička
4—- <*(l~ .wcr< -
Snellův zákon:
14
Planparalelní destička
Uthi
f     1- ±(
4 = 4-r - dfa—SSUSs.
1*
Odrazné hranoly
• Odrazné hranoly (využívá se úplný - totální odraz světla) se využívají zejména v optických přístrojích namísto odrazu na kovech (zrcadla).
• Nahrazují rovinná (kovová) zrcadla.
• Výhody:
větší odrazivost,
nevzniká dvojitý odraz (jak je tomu u zrcadel s kovovou vrstvou na zadní straně skla), odrazné plochy hranolů jsou pevné a svírají navzájem neproměnný úhel - celek je stabilnější než soustava zrcadel.
• Odrazné hranoly jsou zpravidla sestaveny tak, aby střední paprsky svazků byly kolmé ke stěně vstupní a výstupní (zmenší se tím ztráty světla odrazem a optické vady).
• Odrazné plochy u těchto hranolů se opatřují kovovou vrstvou jenom tehdy, jestliže paprsky dopadají pod úhlem menším než je úhel mezní (viz. např. pentagonální hranol).
16
Odrazné hranoly - pravoúhlý rovnoramenný hranol
•   Pravoúhlý rovnoramenný hranol má troje využití.
e
Chod paprsků pravoúhlým rovnoramenným hranolem
Obdoba zrcadla, vytváří však skutečný obraz.
Přetočení obrazu beze změny optické osy.
17
Odrazné hranoly - střechový hranol
Střechový hranol má vzhled obyčejného pravoúhlého rovnoramenného hranolu, jehož přeponová stěna je nahrazena dvěma stěnami protínající se pod úhlem 90°.
«
o
Chod paprsků střechovým hranolem.
Roof prisms
Zdroj: http://www.thorlabs.com/
Odrazné hranoly - pentagonální hranol
Kolmým řezem pantagonálním hranolem je pětiúhelník ABCDE. Vstupní stěna AB svírá se stěnou výstupní BC úhel 90°, odrážející stěny AC a CD mohou být pokryty kovovou vrstvou (stříbro, hliník) a svírají úhel 45°, stěna DE nemá optického účinku. Libovolný paprsek SU po dvou odrazech a lomech vystupuje z hranolu ve směru ITS' kolmém ke směru paprsku kolmém ke směru paprsku dopadajícího, co je velmi důležitá vlastnost tohoto hranolu (využití např. v geodézii).
Chod paprsků pentagonálním hranolem.
■
Penta prism
Zdroj: http://www.larnbda.ee/
Otočení optické osy o 90° ale nepřetáčí obraz stranově (jako pravoúhlý hranol). Příklad použití: - jednooká zrcadlovka - tvorba vzpřímeného obrazu v hledáčku. 19
Odrazné hranoly - rombický hranol
Rombický hranol se skládá v principu ze dvou pravoúhlých rovnoramenných hranolů.
Rhombic prism
Odrazné hranoly - příklad využití: dalekohled
Panel 1 of the figure shows the optics inside a pair of binoculars. They are essentially a pair of telescopes, one for each eye. But to make them more compact, and allow the eyepieces to be the right distance apart for a human face, they incorporate a set of eight prisms, which fold the light path. In addition, the prisms make the image upright. Panel 2 shows one of these prisms, known as a Porro prism. The light enters along a normal, undergoes two total internal reflections at angles of 45 degrees with respect to the back surfaces, and exits along a normal. The image of the letter R has been flipped across the horizontal. Panel 3 shows a pair of these prisms glued together. The image will be flipped across both the horizontal and the vertical, which makes it oriented the right way for the user of the binoculars.
Zdroj: http://www.ligritanclmatter.com/ 21
Odrazné hranoly - poznámka
•   Každý odrazný hranol působí jako planparalelní destička. Příklad: pravoúhlý rovnoramenný hranol a pentagonální hranol: /\
22